PRÁCTICA 9. Circuitos de dos puertos o bipuertos

Transcripción

1 PÁCTCA 9 Circuitos de dos puertos o ipuertos Ojetivo: Fmilirizr l lumno con lguns de ls forms que crcterizn un ipuerto. Determinr l relción que existe entre un form de representción otr. erificr l vlidez de ls expresiones que permiten clculr lguns funciones de red; tles como impednci de entrd slid, función de trnsferenci, etc. Utilizr el concepto de ipuerto en el nálisis de un circuito, sistem, eculizdor o filtro. Aplicr los conceptos de esclmiento en frecuenci e impednci en un circuito rel. Bosquejr l curv de respuest en frecuenci de un circuito rel. Conocer ls propieddes de un mplificdor opercionl idel en su plicción en el nálisis de un circuito que lo conteng. Teorí ásic Un plicción que se encuentr frecuentemente en l práctic es el uso de un dispositivo que sirv pr trnsmitir un señl de informción. Dicho dispositivo l cul denominremos circuito de dos puertos o simplemente ipuerto, demás de trnsmitir l señl, lguns veces, l dee mplificr, filtrr o modificr de lgun form, otrs veces tmién se utiliz pr proporcionr un coplmiento entre l señl de entrd l crg. L configurción generl de un ipuerto se muestr en l Fig. (), en el que por convenienci el suíndice se sign ls vriles del puerto de entrd el suíndice ls vriles del puerto de slid. () Figur l. () Configurción generl de un ipuerto. () () Condición de ls corrientes de puerto. Como l configurción generl del ipuerto tiene cutro terminles, es teóricmente posile definir un vrile pr cd un de ls corrientes en cd terminl. Pr eliminr est posiilidd, cd puerto de l red dee stisfcer l siguiente l condición: l corriente que entr un de ls terminles de un puerto es, pr todo tiempo, igul l corriente que sle por l otr terminl del mismo puerto; tl como muestr l Fig..(). Puesto que hor tenemos cutro vriles,,,, en lugr de ls dos que se requieren pr descriir un red de un puerto, hor se necesitn dos ecuciones pr relcionrls. Ess ecuciones tienen l siguiente form generl. U (s) k (s)w (s) k (s)w (s) U (s) k (s)w (s) k (s)w (s) () donde ls vriles U (s), U (s), W (s) W (s) pueden ser culesquier de ls vriles (s), (s), (s) o (s). Los k ij (s) se denominn prámetros de red son funciones de red que ls relcionn. Los posiles 77

2 vlores que pueden tomr U (s) U (s) se muestrn en l Tl son el resultdo de ls cominciones de cutro elementos tomdos de dos en dos. Un vez que U (s) U (s) se especificn, W (s) W (s) quedn determindos. Tl Cso U (s) U (s) W (s) W (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s) 3 (s) (s) (s) (s) 4 (s) (s) (s) (s) 5 (s) (s) (s) (s) 6 (s) (s) (s) (s) Cd conjunto tiene propieddes específics que lo hcen diferente de culquier otro decudo pr plicrlo cierts configurciones de redes. Ce señlr que conocido un conjunto de prámetros es posile encontrr otro, si es que éste existe. Prámetros z o de impednci de circuito ierto. En est sección considerremos el primer cso de l Tl ; (s) (s) pr ls vriles U (s) U (s); e (s) e (s) pr W (s) W (s); quedndo l Ec. () de l siguiente form (s) z (s) (s) z (s) (s) (s) z (s) (s) z (s) (s) () que los miemros de ldo izquierdo del conjunto resultnte tienen dimensiones de voltje ls vriles W (s) W (s) tienen dimensiones de corriente; los prámetros k ij (s) tienen dimensiones de impednci. L Ec. () puede escriirse en form mtricil como (s) Z(s)(s) (3) donde l mtriz Z(s) se denomin mtriz de prámetros z sus elementos z ij (s) prámetros z. Pr un red dd, los prámetros z pueden determinrse plicndo un conjunto de entrds de prue l red. Pr ver esto, considere l primer ecución de l Ec. (); si el puerto de slid de l red está en circuito ierto, entonces (s) 0, quedndo l ecución z 0 (4) recordndo que ls funciones de red se definen como (trnsformd de l slid)/(trnsformd de l entrd), l Ec. (4) indic que dee utilizrse como entrd un corriente en el puerto de entrd considerrse como respuest el voltje en el mismo puerto. Por lo que el prámetro z (s) qued definido por l relción z (s) (s) (s) (s) 0 (5) Un procedimiento similr puede emplerse pr clculr z (s); por lo que 78

3 z (s) (s) (s) (s) 0 (6) Los otros dos prámetros z ij, restntes, pueden encontrrse plicndo un corriente en el otro puerto. En l Fig. se muestrn ls condiciones necesris pr determinr dichos prámetros. z 0 z 0 z 0 z 0 Figur. Condiciones de prue pr clculr los prámetros z ij (s). Un propiedd importnte de los prámetros es que si pr un red dd son conocidos, puede encontrrse culquier función de red prtir de ellos. Por ejemplo, considere el prolem de clculr l función de (s) trnsferenci de voltje de circuito ierto. (s) L condición de circuito ierto implic que (s) 0, por lo que de l Ec. () se tiene (s) z (s) (s (s) z (s) (s) (7) de donde z (8) z Otro prolem podrí ser, determinr l impednci de entrd (s) cundo el puerto de slid está en corto (s) circuito. Si el puerto de slid se encuentr en corto circuito entonces (s) 0; de l Ec. () se tiene z (s) (s) z (s) (s) 0, por lo que z (9) z sustituendo en (s) z (s) (s) z (s) (s) i z z z z (0) 79

4 Un procedimiento similr puede emplerse pr encontrr culquier otr función de red. En lguns configurciones de redes es posile simplificr el cálculo de los prámetros, descomponiendo l red en cuestión, en redes más simples. Como ejemplo, considere el cso mostrdo en l Fig. 3 en donde se muestrn dos ipuertos conectdos en serie. Figur 3. Conexión de dos ipuertos en serie. Pr l red A con los voltjes corrientes mostrdos, podemos definir un conjunto de prámetros z ij medinte z z (s) Z (s) (s) () z z En form similr pr l red B se define el conjunto de prámetros z ij z z (s) Z (s) (s) () z z De l Fig. 3, l plicr ls lees de Kirchhoff, se tiene (s) (s) (s) (3) (s) (s) (s) (4) de ls Ecs. (), (), (3) (4) [ Z (s) Z (s)] (s) Z(s)(s) (s) (5) 80

5 Concluendo, pr un ipuerto formdo por dos ipuertos conectdos en serie;. sus prámetros z pueden encontrrse sumndo los prámetros z correspondientes de ls redes que lo componen. Ce hcer notr, que pr un red recíproc los elementos z z son igules por consiguiente l mtriz de prámetros z es simétric. Prámetros o de dmitnci de corto circuito. En est sección considerremos el cso de l Tl, en donde pr ls vriles U (s) U (s) se eligen (s) e (s). Por lo que los prámetros del ipuerto son funciones de red con dimensiones de dmitnci, ij (s), que especificn ls corrientes de los puertos como funciones de los voltjes (s) (s), o se (6) en form mtricil (s) Y(s)(s) (7) Dos de los cutro prámetros, (s) (s), pueden encontrrse plicndo un fuente de voltje en el puerto poniendo en corto circuito el puerto ; midiendo ls corrientes resultntes en cd puerto. Los otros dos prámetros se encuentrn en form similr, plicndo un voltje de entrd en el puerto poniendo en corto circuito el puerto. L Fig. 4 muestr ls condiciones pr determinr los prámetros ij (s) Figur 4. Condiciones de prue pr clculr los prámetros ij (s). En l sección nterior se mostró que (s) Z(s) (s) (8) premultiplicndo por l mtriz de prámetros Y (s)(s) Y(s)Z(s)(s) (9) considerndo l Ec. (7), se conclue que Y(s) Z(s) o Z(s) Y(s) (0) 8

6 De l mism mner, como se hizo pr el cálculo de los prámetros z de ipuertos en serie, es posile simplificr el cálculo de los prámetros ij descomponiendo l red originl en redes más simples. Considérese el circuito de dos puertos mostrdo en l Fig. 5. Este tipo de configurción es llmdo conexión prlelo de dos ipuertos. A B Figur 5. Conexión de dos ipuertos en prlelo. Pr el ipuerto A, l mtriz de prámetros de corto circuito es (s) Y (s) (s) () en form similr, pr el ipuerto B (s) Y (s) (s) () Aplicndo ls lees de Kirchhoff l circuito de l Fig. 5, se tiene (s) (s) (s) (3) (s) (s) (s) (4) considerndo ls Ecs. (), (), (3) (4) [ Y (s) Y (s)] (s) (s) (5) Así, los prámetros ij de todo el ipuerto, pueden clculrse sumndo los prámetros ij correspondientes de cd uno de los ipuertos individules que lo componen. 8

7 Ejemplo. Determine l función de trnsferenci del circuito de l Fig. 6. Z Z Z Figur. 6. Filtro ctivo. Pr determinr l relción que se dese, el circuito se puede considerr que está constituido por dos ipuertos conectdos en prlelo. Teniendo en cuent ls propieddes del mplificdos opercionl idel, (ver péndice ); esto es, considerndo l gnnci del mplificdor infinit, el potencil del nodo es nulo, 0; ddo que l impednci de entrd del mplificdor tmién se consider infinit, l corriente en l entrd inversor es nul, 0, lo que implic que Z Z Z 3 Figur 7. El filtro ctivo de l figur 6. 83

8 0 (6) Z3 o tmién Z 3 0 (7) Como consecuenci de que 0 e 0, el nodo es referido como tierr virtul. Considerndo lo nterior el circuito de l Fig. 6, puede rediujrse como muestr l Fig. 7. Nótese l similitud entre los circuitos de ls Figs De l Ec. (4) podemos escriir pr el circuito de l Fig. 7. (8) donde ( ) ( ) ( ) s s s z(s) z(s) z (s) z (s) (9) pr el ipuerto B (30) sustituendo ls Ecs. (9) (30) en l Ec. (8) (3) considerndo l Ec. (6) teniendo en cuent que Z 3 (s) (s) (s) (s) (s) (s) 0 (7 ) por lo que (3) 84

9 ecución que en función Z, Z Z3 es Prámetros híridos. Z ZZ ZZ3 ZZ3 (33) Z Z Z Z Z Z Z 3 3 A continución se presentn dos conjuntos de prámetros que difieren en cunto l nturlez de los vistos en ls dos secciones nteriores. Se denominn prámetros g prámetros h colectivmente prámetros híridos. Este nomre result propido deido que los elementos individules de cd conjunto tienen dimensiones diferentes. Los prámetros g de un ipuerto son ls funciones de red g ij (s) que especificn l corriente del puerto el voltje del puerto como funciones de ls otrs vriles. Ls relciones son g g g g (34) Dos de los cutro prámetros se encuentrn plicndo un fuente de voltje como entrd en el puerto poniendo en circuito ierto el puerto. Los otros dos se encuentrn plicndo un fuente de corriente como entrd en el puerto poniendo en corto circuito el puerto. En l Fig. 8 se muestrn ls condiciones mencionds. g 0 g 0 g 0 g 0 Figur 8. Condiciones de prue pr clculr los prámetros g. A prtir de los prámetros g es posile encontrr culquier otro conjunto de prámetros, si tl representción existe. Como ejemplo de lo nterior, se determinrá l relción que existe entre los prámetros g los prámetros. De l segund ecución de l Ec. 6 despejndo (s) (35) 85

10 (s) (36) comprndo con l segund ecución de l Ec. (34) se tiene g g (37) g (38) g (39) De l primer ecución de l Ec. (6) (40) sustituendo l Ec. (36) en l Ec. (40) rerreglndo términos (4) que tiene l form de l primer ecución de l Ec. (34) g g comprndo ls Ecs. (4) (4) (4) g (43) g (44) esumiendo, de ls Ecs. (38), (39), (43) (44) podemos escriir g g g g det Y(s) (45) donde Y(s) det. Es importnte notr que pr un ipuerto ddo, si los prámetros existen, los prámetros g tmién existirán si sólo si (s) 0. Los prámetros h de un ipuerto son ls funciones de red h ij (s) que especificn el voltje del puerto l corriente del puerto como funciones de ls otrs vriles. Ls relciones son 86

11 h h h h ( ) s (46) Dos de los cutro prámetros se encuentrn plicndo un fuente de corriente de entrd en el puerto, poniendo en corto circuito el puerto. Los otros dos prámetros se encuentrn plicndo un fuente de voltje de prue en el puerto poniendo en circuito ierto el puerto. En l Fig. 9 se muestrn ls condiciones nteriores. h 0 h 0 h 0 h 0 Figur 9. Condiciones de prue pr clculr los prámetros h. Si comprmos ls Ecs. (34) (46), se deduce que l mtriz de prámetros h l mtriz de prámetros g stisfcen l siguiente relción H(s) G(s) o G(s) H(s) (47) Prámetros de trnsmisión o prámetros ABCD. Ahor se presentn dos conjuntos de prámetros que difieren completmente de los vistos nteriormente. L primer diferenci consiste en que U (s) U (s) no son vriles de cd uno de los puertos. Ahor U (s) U (s) representn (s) e (s) W (s) W (s) corresponden (s) (s). L rzón por l que (s) se le sign un signo negtivo se clrrá más trde. Los coeficientes k ij (s) de l Ec. () se indicn por los términos A(s), B(s), C(s) D(s), por lo que A B C D (48) Pr un red dd los prámetros ABCD pueden clculrse plicndo entrds de prue de mner similr lo que se hizo pr determinr los prámetros de ls secciones nteriores. Pr ver esto considere l primer ecución de l Ec. (48); si el puerto se pone en circuito ierto, 0, se tiene A (49) Pr implementr un situción de prue semejnte lo que se hizo ntes, se plicrí un fuente idel de voltje en el puerto. Se hce énfsis en el término fuente idel de voltje, pr tener presente que su impednci es nul; como se h supuesto que (s) 0, lo que su vez implic un impednci infinit, est 87

12 situción ocsion un incongruenci. Por consiguiente, pr evitrl, (s) se constitue en l entrd (s) en l slid; sí el prámetro A(s) se puede determinr prtir de l siguiente ecución A(s) (s) (s) (s) 0 (50) entonces el prámetro A(s) result ser el recíproco de l rzón del voltje de circuito ierto del puerto l voltje del puerto del ipuerto. Si hor ponemos en corto circuito el puerto, (s) 0, l primer ecución de l Ec. (48) result ser B (5) siguiendo un rzonmiento semejnte l hecho pr el cálculo de A(s); se conclue que (s) dee ser l entrd (s) l respuest, por lo tnto B(s) (s) (s) (s) 0 (5) Pr clculr los prámetros C(s) D(s), se utiliz l segund ecución de l Ec. (48) procediento en form nálog pr el cálculo de A(s) B(s) se tiene C(s) (s) (s) (s) 0 (53) D(s) (s) (s) (s) 0 (54) En l Fig. 0, se muestrn ls condiciones de prue pr clculr los elementos de l mtriz de trnsmisión. A 0 C 0 B 0 D 0 Figur 0. Condiciones de prue pr clculr los prámetros de trnsmisión o ABCD. 88

13 A continución se determin l relción que existe entre los prámetros z los prámetros ABCD. Despejndo (s) de l segund ecución de l Ec. (48) ( ) ( ) ( ) D s (55) C s C s sustituendo l ecución nterior en l primer ecución de l Ec. (48) rerreglndo términos ( ) ( ) ( ) D B C C A s A s (56) C s comprndo ls Ecs. (55) (56) con l Ec. () result z z z ( ) ( ) s z s C donde det T(s) A D B C. ( ) A s det T(s) D s ( ) (57) En ls definiciones de los prámetros ABCD, cd prámetro define un función de trnsferenci entre un vrile del puerto otr del puerto. Es decir, todos los prámetros están relciondos con l trnsmisión de un señl del puerto l puerto ; deido esto, es por lo que se denominn prámetros de trnsmisión. H lguns conexiones de ipuertos pr los cules los prámetros ABCD de cd un de ls redes que lo integrn pueden usrse pr encontrr l mtriz de trnsmisión de todo el ipuerto. Pr ver esto, considere, los dos ipuertos conectdos en cscd de l Fig.. A B Figur. Dos ipuertos conectdos en cscd. Pr el ipuerto A se tiene A C B D ( ) s (58) pr el ipuerto B A C B D ( ) s (59) 89

14 De l Fig., es evidente que,,,, último formdo por los ipuertos A B está dd por por. Considerndo lo nterior ls Ecs. (58) (59); l mtriz de trnsmisión del ipuerto A C B D A C B D ( ) s (60) Qué se puede concluir sore el sentido o signo negtivo de (s)? El último conjunto de prámetros que se present, es el que se denomin prámetros ABCD, el cul se define como A C B D ( ) s (6) donde l mtriz cudrd se denomin mtriz de prámetros ABCD o mtriz invers de prámetros de trnsmisión, T '(s). Deido su poc plicción en l práctic, únicmente se hce mención de ellos. Aplicciones A continución se clculn lguns funciones de red que son de interés en l síntesis de los de circuitos. Considere el circuito de l Fig. Z s s Z L Z i Z 0 Figur. Bipuerto conectdo un fuente de entrd un crg. L primer función de red que se determin es l impednci de entrd, Z i (s), que es l impednci vist por l fuente s (s) de impednci intern Z s (s), cundo un crg Z L (s) está conectd l puerto de slid. El cálculo de Z i (s) es importnte que permite hcer un evlución de eficienci en l potenci que se trnsmite l crg. De l Fig. se tiene Z L (6) sustituendo l Ec. (6) en l Ec. (6) rerreglndo términos, result Z (s) i (s) (s) YL (s) (s) det Y(s) (s)y L (s) (63) 90

15 donde Y L Z (s) L L segund función de red que se clcul es l impednci que ve l crg, cundo un fuente con impednci intern Z s (s) es conectd l puerto de entrd. Est impednci l que se represent por Z o (s) permite evlur l impednci de coplmiento que se conect l puerto de slid. Pr su cálculo, es necesrio cncelr l fuente s (s), en l Fig. ; por lo tnto Z (64) s sustituendo l Ec. (64) en l segund ecución de l Ec. (6) rerreglndo términos, se tiene Z o Ys det Y(s) Y s (65) donde Y s Z (s) s A continución se determin l función de trnsferenci de ls corrientes, que se define como Hi (66) sustituendo l Ec. (6) en l segund ecución de l Ec. () de donde z z z (67) L z Hi (68) Z z L (s) Finlmente, se otiene l función de trnsferenci de los voltjes, Hv, pr lo cul se sustitue l (s) Ec. (6) en l segund ecución de l Ec. (6) otenemos Hv (69) Y L Experimentos relizr Experimento Arme el circuito de l Fig. 3. 9

16 S S L s (t) 0 sen 00πt, s L kω Figur 3. Circuito delt. elice ls mediciones necesris pr clculr: ) L impednci de entrd, Z i (s). ) L impednci de slid, Z o (s). c) L función de trnsferenci, H i (s). d) L función de trnsferenci, H v (s). e) Compre sus cálculos con los vlores teóricos ddos por ls Ecs. (63), (65), (68) (69). Qué conclue? Experimento Arme el circuito de l Fig. 4. S S L s (t) 0 sen 00πt, s L kω, /3 kω Figur 4. Circuito estrell. epit los incisos del experimento. Compre estos resultdos con los que otuvo en el experimento nterior. Que puede deducir? Er de esperrse? 9

17 Experimento Arme el circuito de l Fig. 5. Este circuito present un form de implementr l nd elementl de un eculizdor de mgnitud que trj en el rngo de frecuencis de udio. Nótese que el cpcitor C conectdo en prlelo con el potenciómetro puede considerrse como un circuito delt, por lo que l sustituirlo por su circuito equivlente estrell; dicho circuito puede representrse por el mostrdo en l Fig kω 00 kω 3 ΜΩ C 5.6 ηf C 560 pf C k (k) C 3 3 Figur 5. Bnd elementl de un eculizdor de mgnitud. L función de trnsferenci de circuito de l Fig. 5 tiene l siguiente form donde s s d Hv (70) s cs d C C c C d C ( 3 k( k) ) C ( 3 ) C ( k)( k 3) C ( ) C k ( ( k) ) 3 ) Clcule,, c d pr los vlores de los elementos de l Fig. 5; sustitúlos en l Ec. (70) compre l función de trnsferenci resultnte con l Ec. (7). Qué conclue? ) Oserve en el osciloscopio l curv de mgnitud de en función de ω; pr 0 k. c) Lo que oserv en el osciloscopio er de esperrse? Por qué? 3 93

18 d) Pr k 0, clcule: el ncho de nd, fctor de clidd, frecuenci centrl gnnci. Pr relizr esto, mid lo necesrio, o clcúlelo teóricmente. e) Si se dese que el circuito de l Fig. 5, presente ls misms crcterístics en cunto ncho de nd, fctor de clidd gnnci en otr frecuenci igul l dole de l frecuenci centrl determind en el inciso nterior. Cuáles deen ser los nuevos vlores de C, C,,, 3 pr logrr esto? f) Compruee lo nterior experimentlmente muéstrelo l instructor. g) Aplique l circuito de l Fig. 5, un señl cudrd de frecuenci f 000 Hz oserve l respuest en el osciloscopio. Qué oserv? Pr contestr est pregunt considere l teorí de Fourier. Equipo necesrio Osciloscopio Generdor de funciones Multímetro Mteril necesrio Cpcitor de 5.6 ηf Cpcitor de 560 pf Cpcitor de.7 ηf Cpcitor de 70 pf esistores de 0 kω, /4 de wtt esistores de MΩ, /4 de wtt esistores de kω, /4 de wtt Potenciómetro linel de 00 kω Amplificdor opercionl 74 o equivlente Cuestionrio previo. Encuentre l mtriz de prámetros Z (s) l mtriz de prámetros Y (s) de los circuitos mostrdos en l Fig. 6. C B A () () c Figur 6. () Circuito delt. () Circuito estrell.. A prtir de los resultdos otenidos en el inciso nterior, clcule: i) Los vlores de ls resistencis del circuito delt en función de ls resistencis del circuito estrell pr que sen equivlentes. 94

19 ii) Los vlores de ls resistencis del circuito estrell en función de ls resistencis del circuito delt pr que sen equivlentes.. Demuestre l vlidez de l Ec. (33). 3. Si los circuitos de ls Figs. 6 5 son equivlentes, encuentre ls expresiones de,, Z (s), Z (s) Z 3 (s) en función de, k, ( k), 3,. sc sc 4. Si l función de trnsferenci de un circuito está dd por v v x0 ( 0. k( k) ) s ( k( k) 56( k) ) s 0x x0 ( 0. k( k) ) s ( k( k) 56k) s 0x0 3 (7) Bosqueje, emplendo un softwre de grficción, l respuest en frecuenci de dicho circuito pr k 0, 0.5. BBLOGAFÍA Desoer C. A., nd Kuh E. S. Bsic Circuit Theor Mc Grw Hil, 969 Ht W. H., Jr., Kemmerl J. E., Durin, S. M. Análisis de circuitos en ingenierí. Sext edición Mc Grw Hill, 003 Dorf,. C. Svood, J. A. Circuitos Eléctricos. 5ª edición Alfomeg, 003 Johnson, D. E., Hilurn, J. L., Johnson, J.., Scott, P. D. Análisis Básico de Circuitos Eléctricos. Quint Edición Prentice Hll Hispnomericn, S. A., 996 The Student Edition of MATLAB The Ultimte Computing Environment for Technicl Eduction The Mth Works nc., 995 Coughlin,. F., Driscoll F. F. Amplificdores Opercionles Circuitos ntegrdos Lineles Prentice Hll, 993 Greme, J. G., Toe, G. E., nd Huelsmn, L. P. Opertionl Amplifiers. Design nd Applictions Mc Grw Hill, 985 Huelsmn, L. P., nd Allen, P. E. ntroduction to the Theor nd Design of Active Filters McGrwHill, 980 Sánchez Esquivel,. M., Slvá Cllej, A. Nots del curso de: Diseño Construcción de Filtros Anlógicos Digitles 95