COLEGIO DE BACHILLERES

Transcripción

1 Un proceso pertinente de formción pr l vid COLEGIO DE BACHILLERES Guí pr presentr eámenes de Recuperción o Acreditción Especil (Apoy Pln 9) CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II

2 Guí pr presentr eámenes de Recuperción o Acreditción Especil. Cálculo diferencil e Integrl II (Versión preliminr) Est guí fue elbord por l Secretrí Acdémic, trvés de l Dirección de Plneción Acdémic. Colbordor Profr. Dvid S. Contrers Rivs. Colegio de Bchilleres, Méico. www. cbchilleres.edu.m Rncho Vist Hermos No. E-Hciend Cop, 9, Méico, Distrito Federl. L presente obr fue editd en el procesdor de plbrs Word (Office p). Word es mrc registrd de Microsoft Corp. Este mteril se utiliz en el proceso de enseñnz - prendizje del Colegio de Bchilleres, institución públic de educción medi superior del sistem Eductivo Ncionl. Ningun prte de est publicción, incluido el diseño de l cubiert, puede reproducirse, lmcenrse o trnsmitirse en form lgun, ni tmpoco por medio lguno, se éste eléctrico, electrónico, químico, mecánico, óptico, de grbción o de fotocopi, sin l previ utorizción escrit por prte del Colegio de Bchilleres, Méico. ENERO ii

3 ÍNDICE PRESENTACIÓN PRÓLOGO UNIDAD LA INTEGRAL DEFINIDA..... Integrción numéric.... Aplicción del conocimiento..... Ejercicios.... Tbl de comprobción L Integrl Definid Aplicción del conocimiento..... Ejercicios.... Tbl de comprobción..... Ejercicios de utoevlución.... Clve de respuests... UNIDAD LA INTEGRAL INDEFINIDA L Integrl Indefinid.... Aplicción del conocimiento..... Ejercicios.... Tbl de comprobción Aplicción de l Integrl Aplicción del conocimiento..... Ejercicios.... Tbl de comprobción..... Ejercicios de utoevlución.... Clve de respuests... Pág. IV V BIBLIOGRAFÍA SUGERENCIAS PARA PRESENTAR EXÁMENES DE RECUPERACIÓN O ACREDITACIÓN ESPECIAL iii

4 PRESENTACIÓN Ls evluciones de recuperción y de creditción especil son oportuniddes que debes provechr pr probr ls signturs que, por diverss rzones, reprobste en el curso norml; pero cuiddo!, presentrse un emen sin l preprción suficiente signific un frcso seguro, es un pérdid de tiempo y un cto irresponsble que puedes evitr. Cómo umentr tu probbilidd de éito en el emen medinte l utilizción de est guí? L respuest es simple, observ ls siguientes regls: Convéncete de que tienes cpcidd necesri pr creditr l signtur. Recuerd que fuiste cpz de ingresr l Colegio de Bchilleres medinte un emen de selección. Sigue l pie de l letr ls instrucciones de l guí. Procur dedicrte l estudio de este mteril, durnte dís l menos, tres hors diris continus. Contest tod l guí: es un requisito que l presentes resuelt y en limpio l profesor plicdor ntes del emen correspondiente. iv

5 PRÓLOGO En el mrco del progrm de desrrollo institucionl y, el estudinte dquiere un especil relevnci, por lo que el Colegio de Bchilleres metropolitno se h vocdo l elborción de diversos mteriles didácticos que poyen l estudinte en diversos momentos del proceso de enseñnz prendizje. Uno de los mteriles elbordos son ls guís de estudio, ls cules tienen como propósito poyr los estudintes que deben presentr eámenes de recuperción o creditción especil fvoreciendo sus probbiliddes de éito. En este conteto, l guí pr presentr eámenes de recuperción y creditción especil de Cálculo Diferencil e Integrl II se h elbordo con el propósito de que los estudintes que se encuentrn en situción cdémic irregulr y que tienen necesidd de presentr eámenes en periodos etrordinrios pr creditr l signtur cuenten con este mteril pr llevr cbo su preprción y, sí, contr con más elementos pr incrementr sus posibiliddes de éito. Est guí bord en form integrl y sintétic ls principles temátics estblecids en el progrm de estudio; ls ctividdes y ejercicios que se plnten son un poyo pr que el estudinte recupere los conocimientos previos, los relcione con otros más complejos y, en su cso, los plique en el desrrollo de procedimientos y modelos mtemáticos propios del cálculo. Esto permitirá que, con el estudio de l guí, continúe desrrollndo y ejercitndo sus hbiliddes de nálisis y rzonmiento mtemático. Al finl del desrrollo de ls uniddes l guí contiene un utoevlución sobre los elementos esenciles de tod l unidd, pr que el lumno verifique su grdo de comprensión y dominio. Asimismo se incluyen lguns sugerencis pr reforzr el poyo sobre los spectos estrtégicos del tem. En l primer unidd, LA INTEGRAL DEFINIDA, se bord de mner gráfic y lgebric el cálculo del límite de un sum, se nliz l vrición de cmbios cumuldos, pr llegr l cálculo de un áre bjo un curv. Posteriormente se identificn ls propieddes de l integrl definid pr plicrl en l solución de diversos problems, l finl de l unidd se bord el teorem fundmentl del cálculo, sí como el plntemiento de problems en los cules se plicn y verificn los procedimientos y modelos mtemáticos estudidos en el plntemiento de l solución. En l segund unidd, LA INTEGRAL INDEFINIDA, se bordn ls propieddes de l integrl indefinid, se estudi cómo determinr un función originl prtir de su derivd y enseguid se clculn ls integrles indefinids de funciones lgebrics y trscendentes, pr encontrr su plicción en diferentes tipos de problems. Por último se proporcion un bibliogrfí básic en l que se pueden consultr los tems desrrolldos en l guí. En síntesis, l guí pr presentr eámenes de recuperción y creditción especil constituye un mteril didáctico producto del esfuerzo cdémico orientdo fortlecer los niveles de provechmiento y creditción de los estudintes. v

6 vi Cálculo Diferencil e Integrl II

7 UNIDAD I LA INTEGRAL DEFINIDA

8 Cálculo Diferencil e Integrl II

9 UNIDAD. Integrción Numéric Aprendizjes Clculr por proimción el límite de un sum. Anlizr l vrición de l rzón de cmbios cumuldos. Clculr el áre bjo un curv. Arquímedes clculó el áre de un círculo por medio de proimciones sucesivs, inscribió rectángulos dentro del círculo, clculó el áre de cd rectángulo y sumó tods ésts. Después construyó rectángulos más estrechos de modo que l sum de ls áres de los rectángulos se proimb cd vez más l áre del círculo. En est unidd se estudirá como se determin el áre que eiste entre curvs, hciendo uso del cálculo integrl, sí como su definición y uso de ls fórmuls de integrción. Pr logrr los prendizjes nteriores, es recomendble repsr los siguientes tems: álgebr, funciones trigonométrics, ecución de l rect, gráfics y derivds. Pr un función, l ide intuitiv de continuidd es que l curv que represente l gráfic debe dibujrse con un trzo continuo, o se, que no teng sltos. Por ejemplo: se A el áre de un región limitd por el eje y l gráfic de un función no negtiv y = f(), l cul está definid en un cierto intervlo cerrdo, b, como se observ en l siguiente figur. y y = f() A = áre b El cálculo del áre A se llev cbo dividiendo dich áre en un determindo número de rectángulos, es decir, en n rectángulos sobre el intervlo, b. Bosch Girl, Crlos. Et l. Cálculo Diferencil e Integrl. p.p. 7-7

10 Lo nterior se represent en l gráfic siguiente: y y f () b L gráfic nterior represent ls áres de los rectángulos, l cul es un proimción l áre rel. Generlmente dichs áres se representn en uniddes cudrds (u ). Como podrás observr, l sum de tods ls áres de los rectángulos son un proimción l áre bjo l curv, est áre se represent con l siguiente definición, donde el símbolo (sigm) indic un sum. Definición. Se f() un función continu en el intervlo cerrdo, b y f(), pr tod en el intervlo, b. Se define el áre bjo l gráfic en el intervlo como: A n k f ( * k ) k De l fórmul nterior,, y * k y f ), se representn en l siguiente gráfic. k ( * k f() f ( * k ) k Donde represent el punto que será evludo por l función y f ) represent l ltur del * k rectángulo, el vlor b represent l bse de cd rectángulo. * k ( * k

11 Cálculo Diferencil e Integrl II UNIDAD A prtir de l gráfic, se tienen ls siguientes condiciones: Al dividir el áre en n rectángulos, el ldo derecho de cd uno éstos, está representdo por * k. L mplitud (bse del rectángulo) en cd uno de ellos es igul. L ltur del rectángulo construido bjo l curv se represent por: ) ( * k f. Pr utilizr l fórmul de l definición., es conveniente relizr los siguientes psos: Pso : Divide el intervlo, b en n subintervlos, esto es: n b Pso : Hz que los * k sen los ldos derecho de cd subintervlo. Si =, entonces pr efectur los cálculos se utiliz l siguiente fórmul: n b * n b * n b * n b k k k * b b n b n n n * Es importnte revisr l sustitución de los vlores, sí como sus signos y relizr correctmente ls operciones. Por otr prte el ultimo vlor de * k depende del vlor de n, por ejemplo si n =, entonces * k debe clculrse hst n-, en est cso *. Pr obtener l ltur de cd uno de los rectángulos ) ( * k f, se sustituyen los vlores de,, * *... * k en l función.

12 Ls condiciones nteriores no siempre se stisfcen en l solución de problems. Por esto es necesrio generlizr los conceptos los siguientes csos : L función puede ser discontinu en lgunos puntos de, b. f() puede ser negtivo pr lgun en el intervlo, b. Ls longitudes de los subintervlos k, pueden ser diferentes entre sí. El número w puede ser culquier número en, k. k Un prtición P de un intervlo cerrdo, b, es un descomposición culquier del intervlo, b en subintervlos de l form:,,,,,,,... n-, n Donde n es un número entero positivo y los k k son números tles que: =... n- n = b L longitud del k-esimo subintervlo k-, k, se denot por k k, es decir: k k k L prtición contiene n subintervlos, donde uno de éstos es el más lrgo, sin embrgo puede hber más de uno. L longitud del subintervlo más lrgo de l prtición se le llm Norm de l Prtición P y se denot por P. En l siguiente figur se observ un prtición del intervlo, b. =... k- k... n- n El siguiente concepto l sum de Riemnn, es llmdo sí en honor del mtemático B. Riemnn, y es un concepto fundmentl pr l definición de l Integrl definid. Definición. Se f un función definid en un intervlo cerrdo, b y se P un prtición de, b. Un sum de Riemnn de f pr P es culquier epresión R p de l form: R p n k f ( w ) k k donde w k es un número en el intervlo k-, k. Cfr. Swokowski W., Erl. Introducción l Cálculo con Geometrí Anlític p.p..

13 UNIDAD L siguiente es l representción gráfic de l integrl definid. y f w k y f () n k w k k Ls flechs indicn donde se loclizn estos puntos. Observ en l gráfic que l ltur de los rectángulos está dd por l función evlud en el punto w k, o se f(w k ). Se debe tomr en cuent que un áre es positiv si está por rrib del eje y se le sign un signo menos ls áres que están por debjo del eje. 7

14 8 Cálculo Diferencil e Integrl II APLICACIÓN DEL CONOCIMIENTO Anliz el procedimiento con el cul se resuelven los siguientes ejemplos. Se l función f() = en el intervlo cerrdo -,, con n =. Pso : Se gráfic l función y se divide el intervlo -, en subintervlos. y n b ) ( Pso : Al sustituir los dtos, se obtienen los siguientes resultdos: * n b Recuerd que el vlor de = = - * n b 9 * n b Es importnte revisr l sustitución de los vlores, sí como sus signos y relizr correctmente ls operciones. Por otr prte, el ultimo vlor de * k depende del vlor de n, en este cso n =, entonces * k debe clculrse hst el vlor de n-, en este ejercicio hst *

15 UNIDAD Pso : Pr obtener l ltur de cd uno de los rectángulos f ), se sustituyen los vlores de en l función * * *, y f ( ) ( * k * * f ( ) recuerd que: f ( * * ) f ( * * ) 9 Pso : Se sustituyen los vlores en l fórmul A n k f ( * k ) k * * * A f ( ) f ( ) f ( ) 9 A A u Por lo tnto el vlor del áre es: A = 7.9 u. Observ el siguiente procedimiento pr resolver otro ejercicio. Consider l función f ( ) 8, se P un prtición del intervlo cerrdo, en cinco subintervlos determindos por: =, =., =., =., = y =. Encuentr: ) L norm de l Prtición. b) L sum de Riemnn R p sí w =, w =, w =., w = y w =. 9

16 Pso : Se gráfic l función f ( ) 8 y se indicn los puntos correspondientes w k. Se indicn los rectángulos de lturs f w ) pr k =,,, y intervlos. ( k y Pso : Se determinn ls bses de los rectángulos de l siguiente mner: Ést es l norm de l prtición P (Cntidd myor de los )..

17 UNIDAD Pso : Se plic l fórmul función. R p n k f ( w ) y se clculn los f w ), sustituyendo los vlores en l k k ( k R p f ( w ) f ( w ) f ( w ) f ( w ) f ( w ) f () f () 8 8 f (.) f () f (.) Sustituyendo los vlores se obtiene: R R p p f ()(.) f ()() f (.)() f ()(.) f (.)() (7.)(.) ()() (.87)() (.)(.) ( 7.)() por lo tnto R. u p

18 Ahor, tomndo en cuent el ejemplo nterior, resuelve el siguiente ejercicio. Se f ( ) 8 clcul l sum de Riemnn R p de l función pr l prtición P de, en los cinco subintervlos determindos por: =, =., =, =., = y = ; w =., w =., w =., w =. y w = Pso : Elbor l gráfic l función. Pso : Clcul los vlores de k y obtén l norm de l prtición P. Pso : Clcul los vlores f w ). ( k Pso : Aplic l fórmul R p n k f ( w ) y clcul l sumtori de Riemnn. k k

19 UNIDAD EJERCICIOS INSTRUCCIONES: Lee con tención cd uno de los siguientes rectivos, y contest lo que se solicit en cd uno de ellos. ) Se f ( ) en el intervlo cerrdo, con n =. I.- Clcul el áre A plicndo l definición. II.- Reliz l gráfic. ) Se f ( ) en el intervlo cerrdo, con n =. I.- Clcul el áre A plicndo l definición. II.- Reliz l gráfic.

20 ) Se f ( ) en el intervlo cerrdo, con n = 8. I.- Clcul el áre A plicndo l definición. II.- Reliz l gráfic. INSTRUCCIONES: En cd uno de los siguientes ejercicios, los números ddos: (,,... n ) determinn un prtición P del intervlo cerrdo, b. ),, =, =., =., =.7, =. y = I.- Clcul los,,..., n II.- Clcul l norm P de l prtición.

21 UNIDAD ),, =, =, =.7, =, =. y = I.- Clcul los,,..., n II.- Clcul l norm P de l prtición. ) -,, = -, = -.7, = -, =., =.9 y = I.- Clcul los,,..., n II.- Clcul l norm P de l prtición.

22 INSTRUCCIONES: Lee con tención cd uno de los siguientes ejercicios y contest lo que se solicit. 7) Aplic l definición. l siguiente función y clcul l sum de Riemnn. Se f ( ) en el intervlo cerrdo, dividido en subintervlos determindos por: =, =, =, = y =, si: w =., w =., w =. y w =. 8) Aplic l definición. l siguiente función y clcul l sum de Riemnn. Se f ( ) en el intervlo cerrdo -, dividido en los cutro subintervlos determindos por: = -, =, =, =, y =, si: w = -, w =, w = y w = 9) Aplic l definición. l siguiente función y clcul l sum de Riemnn Se f ( ) 8 en el intervlo cerrdo, dividido en los cutro subintervlos determindos por: =, =., =, =. y =, si: w =, w =, w = y w =

23 7 Cálculo Diferencil e Integrl II UNIDAD TABLA DE COMPROBACIÓN Número de pregunt Respuest correct I,,, ) ( n b b n f 7 * * * () () f f f u A II

24 8 Cálculo Diferencil e Integrl II Número de pregunt Respuest correct I (), ) ( * * * b n f 9 7 f f f 7 7 u A A II y

25 9 Cálculo Diferencil e Integrl II UNIDAD Número de pregunt Respuest correct I,, 8,, ) ( b n f 7 7 * 7 * * * * * * f f f f f f f

26 Cálculo Diferencil e Integrl II u A A II I II. P I II. P Número d pregunt Respuest correct

27 Cálculo Diferencil e Integrl II UNIDAD II.7 P 7...., ) ( w w w w f ) (.) (.) (.) (.) 8 (.) (.). (.) f f f f () () 8() () u R p 8 ) (, ) ( w f w w w ) ( ) ( f () () f 8 () () f () () f 79 ()() (8)() ()() )() ( u R R p p Número de pregunt Respuest correct

28 Cálculo Diferencil e Integrl II Número de pregunt Respuest correct 9...., 8 ) ( w w f.... w w 8 () 8 () f f 9 8 () 8 () f f 7 9 () () u R R p p Sugerencis Si te equivocste en los rectivos, ó, revis con detenimiento los ejemplos resueltos. Si te equivocste en los rectivos, ó revis el libro de Swokowski, Introducción l Cálculo con Geometrí Anlític, pág. 7. Si te equivocste en los rectivos 7, 8 ó 9 revis l definición. y consult el libro de Swokowski, p.p.

29 UNIDAD. L Integrl Definid Aprendizjes Identificr ls propieddes de l integrl definid. Aplicr l noción de integrl definid l solución de problems. Aplicr el teorem fundmentl del cálculo en l solución de problems. L integrl definid puede interpretrse como el áre bjo l curv y en form equivlente como un límite. En el tem nterior se proimó el vlor del áre bjo l curv medinte sum de ls áres de un conjunto de rectángulos contenidos dentro del áre determinr. Clculr l integrl definid plicndo ls sums de Riemnn, es bstnte tedioso y frecuentemente difícil. Pr hcerlo más simple, necesitmos desrrollr lguns propieddes de l integrl definid, ls cules se presentn con los siguientes teorems. Propieddes de l integrl definid. Teorem: Se f l función constnte, definid por f ( ) c pr tod en el intervlo cerrdo, b, entonces: b f ) d c d c( b b ( ) En donde: b : Represent el límite superior. : Represent el límite inferior. : Se le llm signo de integrción, el cul indic sum. f () : Se le llm integrndo. b f () : Se le llm integrl definid, que indic el límite de un sum.

30 L representción gráfic de l función constnte f ( ) c, es l siguiente: y c b c d b f ( ) c (función constnte) Teorem: Sí f es integrble en, b y k es un número rel culquier, entonces kf es integrble en, b y b k f ( ) d k b f ( ) d L conclusión del teorem nterior veces se enunci de l siguiente form: Un fctor constnte en el integrndo se puede scr del signo de l integrl. No está permitido scr fuer del signo de integrl epresiones en ls cules prece l vrible Teorem: Sí f y g son funciones integrbles en, b, entonces g b b f ( ) g( ) d f ( ) d f es integrble en, b b g( ) d y Teorem: Sí f es integrble en un intervlo cerrdo y sí, b y c son tres números culesquier en ese intervlo, entonces: c f ( ) d f ( ) d b c b f ( ) d Cfr. Swokowski. W. Erl. Introducción l Cálculo con Geometrí Anlític. Pág..

31 UNIDAD Ls siguientes definiciones formn prte de ls propieddes de l integrl definid. Sí b y f es un función integrble en el intervlo cerrdo, b, entonces: b f ( ) d b f ( ) d f ( ) d Observ que l cmbir los límites de integrción, l integrl cmbi de signo; por otr prte si los límites de integrción son igules, result cero l integrl porque no hy áre pr clculr, sino que se trt de un punto. El siguiente teorem enunci el hecho notble de que G es un ntiderivd de f. Además muestr como se puede usr culquier ntiderivd pr encontrr l integrl definid de f. A este teorem se le conoce como: Teorem Fundmentl del Cálculo. Se f un función continu en un intervlo cerrdo, b Prte I: Sí se define G como: pr todo en G( ) f ( t) dt, b, entonces G es un ntiderivd de f en, b Prte II: Sí F es un ntiderivd de f, entonces:. b f ( ) d F( b) F( ) Este Teorem fue descubierto de mner independiente en Inglterr por Sir Isc Newton ( 77) y en Alemni por Gottfried Leibnitz ( 7). Es principlmente debido este descubrimiento que se les tribuye estos sobreslientes mtemáticos l invención del Cálculo Pr plicr el teorem fundmentl del cálculo, debemos recordr que un función continu es quell que se represent con un solo trzo o se sin despegr el lápiz. Por otr prte, un ntiderivd es un función que l derivrl ést se convierte en l función integrr, por ejemplo: l ntiderivd de es, porque si derivmos obtenemos: d d () Cfr. Swokowski W. Erl Introducción l Cálculo con Geometrí Anlític. Pág..

32 Cálculo Diferencil e Integrl II APLICACIÓN DEL CONOCIMIENTO Observ cuiddosmente los psos pr resolver l siguiente integrl, utilizndo el teorem fundmentl del cálculo y hciendo uso de ls propieddes de l integrl definid. Clcul l integrl definid dd por l función 9 ) ( f en el intervlo cerrdo,. Pso : Dd l función se debe buscr un ntiderivd de ést, esto es: 9 si ést función se deriv, se obtiene l función originl. Pso : Se sustituye l función originl con el signo de integrl y se escriben los límites de integrción. d 9 Pso : Se plicn ls propieddes de l integrl definid. d d d d d Pso : Se evlún ls integrles, sustituyendo el límite superior () menos el límite inferior (); estos vlores se sustituyen por l en l ecución nterior, de l siguiente mner: 9 = ) ( 9() () () 9() () u Por lo tnto el vlor de l integrl es: 7 9 u d

33 UNIDAD Siguiendo los psos nteriores resuelve el siguiente ejercicio. Clcul l integrl definid, dd l función Pso : Busc un ntiderivd de l función. f ( ) en el intervlo cerrdo,. Pso : Represent l función originl como un integrl, sustituyendo los límites de integrción. Pso : Aplic ls propieddes de l integrl. Pso : Evlú l integrl, sustituyendo primero el límite superior y restndo el límite inferior. Pso : Simplific y obtén el resultdo. 7

34 EJERCICIOS INSTRUCCIONES: Lee con tención cd uno de los siguientes ejercicios y plic ls propieddes de l integrl definid y encuentr el vlor de ls siguientes integrles.. d. d. d INSTRUCCIONES: Lee con tención cd uno de los siguientes problems y contest lo que se solicit, notndo el desrrollo y l solución.. Se l función ( ) I.- Clcul el áre bjo l curv. f en el intervlo cerrdo,. II.- Reliz l gráfic. 8

35 UNIDAD. Se l función ( ) I.- Clcul el áre bjo l curv. f en el intervlo cerrdo,. II.- Reliz l gráfic.. Se l función f ( ), en el intervlo cerrdo,. I.- Clcul el áre bjo l curv. II.- Reliz l gráfic. INSTRUCCIONES: En los siguientes rectivos plic el teorem fundmentl del cálculo y clcul el vlor de ls siguientes integrles. 7. Cd l función f ( ) en el intervlo cerrdo, I.- Clcul el áre de l región comprendid por l función.. II.- Reliz l gráfic. 9

36 8. Dd l función f ( ) entre = y =. I.- Clcul el áre de l región comprendid por l función. II.- Reliz l gráfic. 9. Dd l función f ( ), entre = - y =. I.- Clcul el áre de l región comprendid por l función. II.- Reliz l gráfic.

37 Cálculo Diferencil e Integrl II UNIDAD TABLA DE COMPROBACIÓN Número de pregunt Respuest correct d d () () u u A 9 7 u A u d d d d A

38 Número de pregunt d Respuest correct I () () A u II 8 y I 9 d () ( ) II A u y

39 UNIDAD Número de pregunt I d Respuest correct 8 8 A u II y I d A u 7 II y } - - -

40 Número de pregunt Respuest correct d d A u y

41 Cálculo Diferencil e Integrl II UNIDAD Número de pregunt Respuest correct 9 I d d d u A II y

42 EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN INSTRUCCIONES: Lee con tención cd uno de los siguientes rectivos y contest lo que se solicit, notndo el desrrollo y l solución.. Dd l función ( ) I.- Determin el áre bjo l curv. Pr resolver estos ejercicios cuents con novent minutos. f, en el intervlo cerrdo,, con n =. II.- Reliz l gráfic.. Dd l función f ( ) en el intervlo cerrdo,, con n = 8. I.- Determin el áre bjo l curv. II.- Reliz l gráfic.

43 UNIDAD. Clcul l sum de Riemnn pr l función ( ) subintervlos determindos por: 7,,,,, pr: w, w, w, w, w f en el intervlo cerrdo, con cinco INSTRUCCIONES: Lee con tención cd uno de los siguientes rectivos y plic ls propieddes de l integrl definid pr evlur ls siguientes integrles.. Clcul el áre bjo l curv de l integrl: d. Clcul el áre bjo l curv de l integrl: d 7

44 . Clcul el áre bjo l curv de l integrl: d INSTRUCCIONES: Lee con tención cd uno de los siguientes rectivos y plic el teorem fundmentl del cálculo, mostrndo el desrrollo y l solución. 7. Se l función ( ) I.- Clcul áre bjo l curv. f, en el intervlo cerrdo,. II.- Reliz l gráfic. 8

45 UNIDAD 8. Se l función f ( ), en el intervlo cerrdo,. I.- Determin el áre bjo l curv. II.- Reliz l gráfic. 9

46 9. Dd l función ( ) I.- Clcul el áre bjo l curv. f, en el intervlo cerrdo,. II.- Reliz l gráfic.

47 UNIDAD CLAVE DE RESPUESTAS Número de pregunt I II Respuest correct y A u I II 7 A u y R p 9 u.8 u A u A u A 9 u

48 Número de pregunt 7 I II Respuest correct A u y 8 I II A u y I II y - A 8 u

49 UNIDAD II LA INTEGRAL INDEFINIDA

50 Cálculo Diferencil e Integrl II

51 UNIDAD. L integrl indefinid Aprendizjes Identificr ls propieddes básics de l integrl indefinid. Determinr l función originl prtir de su derivd. Clculr l integrl indefinid de funciones lgebrics. Clculr l integrl indefinid de funciones trscendentes. En el estudio del cálculo integrl es muy importnte que identifiques que dd l derivd de un función, encuentres l función originl, esto es, l ntiderivd o primitiv de l función, l cul le llmremos integrl indefinid. Pr diferencir l integrl definid de l integrl indefinid, ést no se le escriben los límites de integrción, sino que se le greg un c que signific constnte de integrción, f() se le llm integrndo y represent l vrible de integrción, l representmos con l siguiente Definición d Llmmos F un ntiderivd de f en el intervlo I, si F( ) f ( ) d en I, es decir, si F () = f() pr tod en I, esto es: f ( ) d F( ) c sí y sólo si F'( ) f ( ) Est definición se puede interpretr de l siguiente mner: Al integrr un función f() obtenemos como resultdo F(); si este resultdo se deriv obtendremos como resultdo l integrndo y demás nos sirve como comprobción. Propieddes básics de l integrl indefinid. Observ ls siguientes propieddes, ls cules debemos tomr en cuent pr el cálculo de integrles indefinids. Sí f es integrble y k es un número rel culquier, entonces kf es integrble. k f ( ) d k f ( ) d Sen f y g dos funciones integrbles, entonces: i) ii) f ( ) g( ) d f ( ) d f ( ) g( ) d f ( ) d g( ) d g( ) d

52 Un fctor constnte k puede escribirse ntes del signo de integrl, donde c es l constnte de integrción. k d k d k c Regl de ls potencis pr integrles indefinids. d n n n Donde el eponente n es un número rcionl y n - En ls funciones trscendentes se encuentrn ls trigonométrics, ls eponenciles y ls logrítmics. Pr clculr este tipo de integrles se usn ls siguientes fórmuls de integrción. sen u du cos u c cos u du sen u c tn u du ln sec u c sec csc u du tn u c u du cot u c sec u tn u du sec u c csc u cot u du csc u c cot u du ln sen u c sec u du ln sec u tn u c csc u du ln csc u cot u c e u du e c du ln u c u u u du c ln u c

53 UNIDAD APLICACIÓN DEL CONOCIMIENTO Observ en los siguientes ejemplos cómo se plicn ls propieddes de l integrl indefinid. Vmos clculr l siguiente integrl indefinid d Pso : El es un constnte que se puede escribir fuer de l integrl. d Pso : Pr encontrr un ntiderivd de (o se l primitiv) plicmos l fórmul siguiente: d o se que: n d n n c d Pso : Se relizn ls operciones indicds y se obtiene finlmente el resultdo. d c c Pr relizr l comprobción de l integrl, se deriv el resultdo, esto es: d d c Recuerd que l derivd de un constnte es igul cero. Al simplificr se obtiene l integrndo. d d c Not: recuerd que l hcer mención de l ntiderivd o primitiv nos estmos refiriendo l integrl indefinid. d c d Ahor vemos l plicción de ests propieddes en un función polinomil. Clcul l integrl indefinid d y reliz l comprobción. Pso : Se escribe l integrl, recordndo que l sum o rest de funciones es igul l sum o rest de ls integrles, esto es: d d d d d 7

54 8 Cálculo Diferencil e Integrl II Pso : Los fctores constntes se escriben fuer de l integrl y se plic l fórmul de un potenci, como se muestr continución: d d d d d Pso : Se integr cd un de ésts. c d c d c d c d Pso : Se sustituyen los vlores, tomndo en cuent que c c c c c. c d Pso : Finlmente se simplific el resultdo. c d Pr verificr el resultdo, se deriv el polinomio y se obtiene el integrndo. () c d d Simplificndo se obtiene: c d d Anliz los siguientes procedimientos pr clculr integrles indefinids trscendentes. Clcul l integrl indefinid d sen y reliz l comprobción. Pso : Este tipo de integrles se resuelven de form inmedit, por lo tnto: c d cos sen

55 UNIDAD Pso : Se reliz l comprobción derivndo el resultdo. d d (cos c) d d cos d d c sen sen Ahor resuelve los siguientes ejercicios, plicndo ls propieddes de l integrl indefinid. ) Clcul l integrl 9 8 d y reliz l comprobción. b) Clcul l integrl cos d y reliz l comprobción. 9

56 EJERCICIOS INSTRUCCIONES: Anliz con tención cd uno de los siguientes epresiones y clcul ls integrles plicndo el método de integrción respectivo.. 7 d. 8 d. d

57 UNIDAD. d. d. d 7. 9 d

58 8. d 9. d INSTRUCCIONES: Anliz ls siguientes epresiones y plicndo el procedimiento decudo, clcul ls integrles trscendentes.. ( e ) d. d

59 UNIDAD. sec d. cos d sen. d 8. d

60 Cálculo Diferencil e Integrl II TABLA DE COMPROBACIÓN Número de pregunt Respuest correct. c d 7 7. c d 8. c d 8 9. c d ) (. c d. c d 7. c d c d 9. c d. c e d e. c d ln. c tn d sec. c d sen cos. c d cos sen. c d ln 8 8

61 UNIDAD. Aplicción de l integrl. Aprendizjes Aplicr el método de sustitución l cálculo de integrles. Aplicr el método de integrción por prtes l cálculo de l integrl. Aplicr el método de epnsión en frcciones prciles l cálculo de l integrl. Aplicr ls técnics de integrción en el cálculo de áres entre gráfics de funciones. Clculr el volumen generdo por sólidos de revolución. I.- El método de sustitución o cmbio de vrible Consiste en sustituir l vrible por un nuev vrible; vemos el siguiente: Teorem: Se g un función derivble y supóngse que F es un ntiderivd de f. Entonces u = g(). f g( ) g'( ) d f ( u) du F( u) c F( g( )) Observ el siguiente ejemplo donde se plic este método. d Evlú l siguiente integrl: Pso : Se hce el cmbio de vrible, tomndo u, entonces l derivd de u es du d Pso : Se sustituyen estos vlores en l integrl, esto es: du d u c Observ que du du d y en el integrndo sólo se tiene d, entonces d. Pso : Se plicn ls propieddes de l integrl; esto es, se escribe fuer de l integrl por ser un constnte. d u du

62 Cálculo Diferencil e Integrl II Pso : Se reliz l integrl, obteniendo lo siguiente: c u du u c u c u c u Pso : Se hce el cmbio de vrible de u y se sustituye en el resultdo: c d por lo tnto: c Más delnte desrrollremos otros ejemplos donde se plique este método. II. Método de integrción por prtes: El método de integrción por prtes se bs en l integrción de l fórmul derivd del producto de dos funciones. Vemos el siguiente procedimiento pr obtener l fórmul de integrción por prtes: Se u = u() y v = v(), entonces: ) '( ) ( ) '( ) ( ) ( ) ( u v v u v u D Integrndo mbos ldos de l ecución se obtiene l siguiente epresión: d u v d v u v u ) '( ) ( ) '( ) ( ) ( ) ( Despejndo l primer integrl tenemos: d u v v u d v u ) '( ) ( ) ( ) ( ) '( ) ( Sí d u du y d v dv ) '( ) ( ', entonces l ecución nterior se puede escribir de l form siguiente: du v u v dv u

63 UNIDAD L cul es l fórmul pr integrr por prtes. El éito de éste método, depende de l elección propid de u y dv, lo cul se consigue solmente con l práctic. Pr plicr este método, vmos evlur l siguiente integrl: cos d Pso : Se escribe cos d como u dv ; entonces u y du d Pso : Si dv cos d, entonces, pr encontrr v se integrn mbos ldos, obteniendo: dv v sen c cos d, entonces Pso : Los vlores de u, du, dv y v se sustituyen en l fórmul, quedndo de l siguiente mner: cos d sen sen d L integrl de sen d cos c, sustituyendo este resultdo en l integrl nterior, se obtiene el resultdo. cos d sen cos c Recuerd que ls constntes de integrción están incluids en c. III. Método de integrción de funciones rcionles (Método de epnsión en frcciones prciles). Un función rcionl es, por definición, el cociente de dos polinomios, por ejemplo: f ( ), g( ), h( ) 8 f ( ) Teóricmente culquier epresión rcionl se puede epresr como un sum de epresiones g( ) rcionles cuyos denomindores son potencis de polinomios de grdo menor o igul dos. L sum de frcción prcil. F F... F f ( ) F F... g( ) r es l descomposición en frcciones prciles de F r f ( ) g( ) y cd F k se llm 7

64 Observ con detenimiento los siguientes psos pr obtener l descomposición en frcciones prciles de ( ) g( ) f. Si el grdo de f() no es menor que el de g(), se reliz l división.. Epresr g() como un producto de fctores lineles p q o forms cudrátics irreducibles b c y grupr los fctores repetidos pr que g() quede epresdo como un producto de fctores distintos de l form. Aplicr ls siguientes regls: q m ) Por cd fctor de l form q m p o bien b c n un sum de m frcciones prciles de l form: con m y n enteros no negtivos. p con m, l descomposición en frcciones prciles contiene A A p q ( p q) Am... ( p q) m Donde cd numerdor Ak es un número rel. b c b) Por cd fctor n n, donde b c, con es Irreducible, l descomposición en frcciones prciles contiene un sum de n frcciones prciles de l form: A b A b b c ( b c) An bn... ( b c) n Donde todos los A y b son números reles. k k Cfr. Swokowski W., Erl. Introducción l Cálculo con Geometrí Anlític. p.p

65 UNIDAD Cálculo de áres entre gráfics de funciones Consideremos ls curvs y f ( ) y y g( ) con mbs funciones sobre el intervlo b. Ells determinn l región que se muestr continución: y y f () A y g() b Observ que ( ) y g( ), b. El áre de f () en el b intervlo, best dd por f ( ) d. Si g es otr función y f ( ) g( ) pr tod en, b, f son funciones continus en el intervlo cerrdo entonces el áre A de l región cotd por ls gráfics de f ( ) y g( ), y b, está dd por A b b b f ( ) d g( ) d f ( ) g( ) Es importnte que conozcs que pr encontrr los puntos de intersección, estos se clculn resolviendo simultánemente ls ecuciones; es decir se iguln ls dos funciones y se resuelven ésts, encontrndo los límites de integrción. Sólidos de revolución. Si un región pln situd completmente un ldo de un líne fij en su plno, gir lrededor de ést, entonces se gener un Sólido de revolución. L rect fij se llm eje del sólido de revolución. Por lo tnto el volumen del sólido de revolución se define de l siguiente mner: Se f un función continu en el intervlo cerrdo, by se R l región cotd por l gráfic de f, el eje y ls rects = y =b. El volumen V del sólido de revolución generdo l girr R lrededor del eje es: d V b f ( ) d Purcell, Edwin, J. Vrberg, Dle. Cálculo Diferencil e Integrl, p.p

66 APLICACIÓN DEL CONOCIMIENTO Observ con detenimiento los siguientes ejemplos, donde se plicn los métodos de integrción y reliz los ejercicios propuestos. Evluremos l siguiente integrl indefinid plicndo el método de sustitución. d Pso : Se tom como u, entonces l derivd de u es du ( ) d, recuerd que l derivd de un constnte es cero. Pso : Observ que en l integrl están y d y l relizr el cmbio de vrible de l siguiente form: du d, qued du d Pso : Se sustituyen los vlores de u y du en l integrl, obteniendo de est mner el cmbio de vrible. d u du Pso : Cómo es un constnte, se plicn ls propieddes de l integrl y se coloc fuer de dich integrl este vlor, esto es: Pso : Se reliz l integrl. du u u du u u d c c u c Pso : Se sustituye el vlor que se tomó como u y se obtiene el resultdo de dich integrl, esto es: d c c

67 UNIDAD Ejercit tus conocimientos y plic este método de sustitución en l siguiente integrl. d Vmos resolver un ejemplo plicndo el método de integrción por prtes en l siguiente integrl. sen d Pso : Se tom como u ; l derivd de u es du d ; de est mner dv sen, entonces v es l integrl de sen v sen d cos c Pso : Con estos vlores se sustituyen en l fórmul udv uv vdu. sen d cos cos cos cos d d Pso : Observ que l integrl del ldo derecho otr vez se tiene que relizr por prtes, entonces se hcen los siguientes cmbios: u du d dv cos d v sen c De est mner, l integrl cos d, qued de l siguiente mner: cos d sen sen d sen cos c Not: es importnte que Ls constntes c, c, y c se incluyen l finl del resultdo de l integrl pr no crer confusión con dichs constntes. Pso : Sustituyendo los vlores, se obtiene el resultdo de l integrl. sen d cos cos d cos sen cos c cos sen cos c

68 Ejercit tus conocimientos y clcul l siguiente integrl: sen d El siguiente ejercicio se resuelve plicndo el método de epnsión en frcciones prciles. d Pso : Se fctoriz el denomindor, quedndo de l siguiente form. ( ) ( )( ) Pso : Al fctor le corresponde un frcción prcil de l form A, de l mism form, los fctores y ( ) les corresponden frcciones prciles de l form: descomposición en frcciones prciles tiene l siguiente form: B C ;, respectivmente; l Pso : Se multiplic por ( )( ) A B C mbos ldos de l iguldd y se obtiene lo siguiente: ( ) A( )( ) b( )( ) C( )( Simplificndo tenemos que: A( )( ) B( ) C( ) ( ) ver pso )

69 UNIDAD Pso : Los vlores de A, B y C pueden encontrrse sustituyendo por vlores que hgn que los fctores sen cero en l ecución ( ), es decir, en este cso, tom los vlores de:, - y +. Pr: Simplificndo se obtiene: () A ( )( ) B()( ) C()( ) A Pr: ( ) A ( )( ) B( )( ) C( )( ) Simplificndo se obtiene: B Pr: () A ( )( ) B()( ) C()( ) Simplificndo se obtiene: C Pso : L descomposición en frcciones prciles es: ( )( ) Pso : Se integr y l sum de ls constntes, l denotmos como c ; de est form obtenemos el resultdo finl. d d d d ln ln ln c Aplic tus conocimientos y reliz l siguiente integrl, plicndo el método de frcciones prciles. d

70 Observ como se clcul el áre entre dos curvs en el siguiente ejemplo: Encontrremos el áre de l región cotd por ls gráfics y y y y relizremos l gráfic. Pso : Un form de encontrr los límites de integrción es relizndo l gráfic. L otr form es igulndo ls dos funciones. Pr este ejemplo, encontrremos los límites de integrción de ls dos forms. Se y Ecución () Despejndo y de l ecución () y (), tenemos que: De l ecución () De l ecución () Igulndo ls ecuciones () y (), se tiene: y Ecución () y Ecución () y Ecución () Fctorizndo est ecución: Igulndo cero cd fctor: Por lo tnto, los límites de integrción es:, ( )( )

71 UNIDAD L otr form es relizndo l gráfic. De l ecución () se despej l incógnit y, y se elbor un tbl dndo vlores pr encontrr el respectivo vlor de y. y, y - -(-) + = -9 + = - (-, -) - -(-) + = - + = (-, ) - -(-) + = - + = (-, ) -() + = (, ) -() + = - + = (, ) -() + = - + = (, ) -() + = = - (, -) De l ecución () se despej l incógnit y y se elbor otr tbl dndo vlores pr encontrr su respectivo vlor de y. y, y - -(-) + = + = 9 (-, 9) - -(-) + = + = 7 (-, 7) - -(-) + = + = (-, ) -() + = + = (, ) -() + = - + = (, ) -() + = - + = - (, -) -() + = - + = - (, -) Pso : Se reliz l gráfic con los vlores obtenidos de ls dos tbls. y (-, ) y 8 y (, -) Como puedes observr en l gráfic los puntos donde se intersectn ls dos gráfics son (-, ) y (, -), esto nos indic que y son los límites de integrción.

72 Pso : L gráfic que est por encim de l región es l que tiene por ecución y, como se observ en l gráfic, y l que está por debjo del áre determinr es l que tiene por ecución y. Esto nos indic que el áre A entre ls curvs está dd por l diferenci de ls funciones, es decir, l ecución y menos l ecución y, esto se represent por l integrl siguiente: Pso : Se clcul l integrl nterior. d d ( ) d () ( ) u ( ) ( 9 Por lo tnto el áre es: A u Ejercit tus conocimientos y clcul el áre entre ls curvs de ls siguientes funciones: g( ), reliz ls gráfics correspondientes. f ( ) y

73 7 Cálculo Diferencil e Integrl II UNIDAD Pr clculr el volumen de un sólido revis con tención el siguiente ejemplo: Se ) ( f, observ como se clcul el volumen del sólido de revolución generdo l girr l región bjo l gráfic de f() con = - y = lrededor del eje. Pso : Se gráfic l función ) ( f, en el intervlo que se indic. y Pso : Se plic l fórmul pr encontrr el volumen, en el intervlo,. d d V Pso : Se integr y se evlú dich integrl, obteniendo de est mner el volumen del sólido de revolución. V ) ( ) ( ) ( () V V V Por lo tnto el volumen del sólido de revolución es: V - ) ( f

74 Ejercit tus conocimientos y clcul el volumen del sólido de revolución generdo l girr l región bjo l gráfic de ( ),. Reliz l gráfic. f, en el intervlo 8

75 UNIDAD EJERCICIOS INSTRUCCIONES: Lee con tención los siguientes rectivos y resuelve lo que se pide. I.- Aplic el método de sustitución y evlú ls siguientes integrles, escribe tu desrrollo y l solución.. d. 9 d e. d e 9

76 . d. sen cos d. 9 d 7

77 UNIDAD II.- Aplic el método de integrción por prtes y clcul ls siguientes integrles. 7. sen d 8. ln d 9. e d. cos d 7

78 III.- Aplic el método de frcciones prciles ls siguientes integrles.. d. d. d 7

79 UNIDAD IV.- Clcul el áre entre ls gráfics de ls funciones que se indicn y reliz l gráfic correspondiente.. f ( ), g( ). f ( ), g( ). f ( ), g( ) V.- Clcul el volumen generdo por el sólido de revolución lrededor del eje, ddo en cd un de ls siguientes funciones, en el intervlo que se indic. Reliz l gráfic correspondiente. 7. f ( ), 7

80 8. g ( t) t, 9. h( t) t,. y, 7

81 UNIDAD TABLA DE COMPROBACIÓN Número de pregunt u Respuest correct du du d d u 9 du d 9 d 9 u e du e d e d ln e e u du d d c du d 7 c du e c c d d u sen du cos d u sen 9 d sen du d d ln 9 c du d 9 c u du d dv sen d v cos 7 sen d cos cos c 8 u ln du d dv d ln d ln c v 7

82 Número de pregunt Respuest correct u du d dv e d v e e d e e d 9 L integrl del ldo derecho se reliz otr vez por prtes, esto es: u du d dv e v e d e c e u du d dv cos d v sen cos d sen cos c A B d ln ln c A B d ln ln c A B C d ln ln ln c 7

83 UNIDAD Número de pregunt Respuest correct f ( ) g( ), ( ) d d 7 u y f ( ) g( ), d d u 8 y

84 Número de pregunt f ( ) Respuest correct g( ),. d d y. u V f ( ), d d u 7. y g ( t) t, V t dt u 8. y

85 UNIDAD Número 9. de pregunt Respuest correct h( t) t, V t y dt u y, V d 9 u y Sugerencis Si te equivocste en los rectivos del l, revis los ejercicios resueltos y consult el libro de Edwin J. Purcell y Dle Vrberg. Cálculo Diferencil e Integrl, p.p Si te equivocste en los rectivos del 7 l, revis los ejercicios resueltos y consult el libro de Erl W. Swokowski. Cálculo con Geometrí Anlític, p.p. -8. Si te equivocste en los rectivos del l reviss los ejercicios resueltos y consult el libro de Edwin J. Purcell y Dle Vrberg. Cálculo Diferencil e Integrl, p.p. 8-. Recuerd que du u ln u c - 79

86 EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN INSTRUCCIONES: Lee con tención cd uno de los siguientes rectivos y contest lo que se solicit, notndo el desrrollo y l solución. Pr resolver estos ejercicios cuents con novent minutos. I.- Aplic ls propieddes de l integrl indefinid y evlú l siguiente integrl.. 7 d. Encuentr un ntiderivd (primitiv) de l función: f ( ). Evlú l siguiente integrl indefinid. d 8

87 UNIDAD. Evlú l siguiente integrl indefinid. tn d II.- INSTRUCCIONES: Aplic el método de sustitución y evlú ls siguientes integrles indefinids.. d d. cos 8

88 8 Cálculo Diferencil e Integrl II III.- Aplic el método correspondiente y clcul ls siguientes integrles indefinids. 7. d e cos 8. d IV.- Clcul el áre entre ls gráfics. 9. ) ( ) ( g y f. Reliz l gráfic.

89 UNIDAD V.- Clcul el volumen del sólido de revolución.. Se f ( ). Clcul el volumen del sólido de revolución l girr l gráfic de l función f() lrededor del eje en el intervlo,. Reliz l gráfic. 8

90 Número de pregunt CLAVE DE RESPUESTAS Respuest correct 7 c F( ) c c ln sec c ó ln cos c ln c sen c 7 e cos sen c 8 ln ln ln c A u y V u y

91 BIBLIOGRAFÍA BOSCH GIRAL, CARLOS., GUERRA TEJADA, MANUEL. Cálculo Diferencil e Integrl. 8ª reimpresión. Publicciones Culturl, Méico, 99. SWOKOWSKI EARL W. Introducción l Cálculo con Geometrí Anlític. Grupo Editoril Iberoméric, Méico, 987. LEITHOLD LOUIS. El Cálculo con Geometrí Anlític. Hrl, Méico, 97. PURCELL EDWIN J., VARBERG DALE. Cálculo Diferencil e Integrl. Prentice Hll Hispnomericn, Méico, 99. 8

92 SUGERENCIAS PARA PRESENTAR EXÁMENES DE RECUPERACIÓN O ACREDITACIÓN ESPECIAL Pr evitr culquier contrtiempo l presentr el emen de recuperción o creditción especil debes considerr ls siguientes recomendciones: Orgnizción: Preséntte l menos con minutos de nticipción l slón indicdo. Debes mostrr est guí resuelt l profesor plicdor. Llev el comprobnte de inscripción l emen y tu credencil ctulizd. Llev dos lápices del No. ó ½. No olvides un gom que no mnche. Durnte el emen: Lee con tención tnto ls instrucciones como ls pregunts y si tienes lgun dud consúltl con el plicdor. Contest primero ls pregunts que te prezcn fáciles y después concentr tod tu tención en ls difíciles. Si te solicitn eplicr o desrrollr lgún tem, identific ls ides principles que quiers eponer y escríbels de l mner más concret y clr que pueds, evit el plntemiento de ides innecesris. Escribe tus respuests con letr clr, legible y sin flts de ortogrfí. Al terminr de contestr el emen, revíslo nuevmente pr segurrte que tods ls pregunts estén contestds. Centr tu tención en el emen, no trtes de copir, recuerd que el compñero de junto puede estr equivocdo. 8

93 L Guí pr presentr eámenes de Recuperción o Acreditción Especil de Cálculo Diferencil e Integrl II se terminó de reimprimir en el mes de mrzo de en los tlleres del Colegio de Bchilleres. Prol. Rncho vist Hermos Núm. Col. E Hciend Cop Méico, D.F. El tirje fue de ejemplres más sobrntes pr reposición. 87