Planeamiento de sistemas de distribución de energía eléctrica usando Branch and Bound

Transcripción

1 Planeamento de sstemas de dstrbucón de energía eléctrca usando Branch and Bound Maurco Granada Echeverr 1 Ramón Alfonso Gallego Rendón 2 Rcardo Alberto Hncapé Isaza 3 RESUMEN Este trabajo presenta un algortmo de Branch and Bound para resolver el problema del planeamento de Sstemas de Dstrbucón de Energía Eléctrca consderando el dmensonamento y localzacón de nuevas subestacones, así como tambén las rutas de nuevos almentadores prmaros. El modelo matemátco del problema es clasfcado como Lneal Entero Mxto (PLEM) y presenta explosón combnatoral. Palabras clave: Sstemas de Dstrbucón, programacón lneal, Branch and Bound, optmzacón. ABSTRACT Ths paper presents a Branch and Bound algorthm to solve the plannng problem of the electrcal energy Dstrbuton Systems consderng the dmenson and locaton of new substatons, as the way of new prmary feeders too. The mathematcal model employed s clasfed as Mxed Integer Lnear (PLEM), the model presents combnatoral exploson. Key words: Dstrbuton Systems, lnear programmng, Branch and Bound, optmzaton. 1. INTRODUCCIÓN El desarrollo ndustral para la produccón de benes y servcos báscos como lumnacón, coccón, refrgeracón, recreacón y calefaccón en vvendas, hoteles y negocos, los servcos de comuncacón y fnanceros de algunas empresas y el crecmento natural de la poblacón, entre otros, son factores que requeren cada vez mayores cantdades de energía eléctrca, con certos estándares de caldad, confabldad y costos. El sumnstro de esta energía debe ser oportuno y de caldad, garantzando un sumnstro de energía a corto, medano y largo plazo sn ncurrr en sobrecostos para los usuaros, lo cual representa un reto para las empresas de energía eléctrca. Este estudo del crecmento de la demanda de energía eléctrca y la adecuada expansón de los sstemas de dstrbucón es conocdo como el planeamento de sstemas de dstrbucón. Para mostrar la complejdad nvolucrada en el planeamento de los sstemas de dstrbucón se lustra en la fgura 1 un sstema de dstrbucón prmaro que ncluye la localzacón de nuevos almentadores y subestacones. En este ejemplo hay 13 posbles almentadores (coárbol de líneas punteadas) y una nueva subestacón. Las decsones de nstalacón de estos elementos ascenden al orden de 2 14 =16384 alternatvas que componen el conjunto de posbles solucones. El planeamento de los sstemas de dstrbucón puede hacerse en una o en varas etapas. En el modelo multetapa generalmente cada etapa tene el msmo período de tempo. Así por ejemplo, s la planeacón es dvdda en 5 etapas, para el sstema de la fgura 1, entonces el nuevo conjunto de solucones sería de (2 14 ) 5 = 1805 x alternatvas. 1 Docente del programa de ngenería eléctrca de la Unversdad Tecnológca de Perera. 2 Docente del programa de ngenería eléctrca de la Unversdad Tecnológca de Perera. 3 Docente del programa de ngenería eléctrca de la Unversdad Tecnológca de Perera. Artículo recbdo en Septembre de 2005 Aceptado en Octubre de 2005 Fgura 1. Sstema de Dstrbucón de Energía Por lo tanto para la solucón del problema anteror se han propuesto en la lteratura técncas heurístcas, optmzacón clásca y optmzacón combnatoral. En la línea de solucón usando optmzacón clásca son pro- 44 Vol. 10 No. 2

2 El modelo matemátco formulado corresponde a un problema de Programacón Lneal Entero Mxto. puestas técncas de programacón lneal entera mxta usando Branch and Bound con modelos de transporte [1], programacón cuadrátca entera mxta [2] y algortmos basados en técncas de descomposcón [3]. En los trabajos que proponen técncas combnatorales se encuentran frecuentemente los Algortmos Genétcos [4] y Búsqueda Tabú [5]. En este trabajo, el problema del Planeamento de Sstemas de Dstrbucón es formulado como un problema Lneal Entero Mxto (PLEM), consderando las restrccones de radaldad del sstema, capacdades máxmas de subestacones y almentadores y balance nodal de todo el sstema. La técnca de solucón adoptada es un Algortmo de Branch and Bound aplcada a dos sstemas de la lteratura [6]. 2. DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA Un crecmento en la demanda mplca un crecmento en lo sstemas de dstrbucón dado que es necesaro atenderla adecuadamente. Este crecmento se traduce esencalmente en: la nstalacón de nuevos almentadores, la nstalacón de nuevas subestacones, la amplacón de las subestacones exstentes, el cambo del calbre de los almentadores exstentes, la reconfguracón de la topología de la red y la redstrbucón de cargas entre los almentadores o subestacones. S el crecmento de la demanda no se atende adecuadamente se pueden presentar problemas como: sobrecargas en los almentadores cuando su capacdad máxma de potenca es excedda, sobrecargas en los transformadores prmaros cuando su capacdad máxma de potenca es excedda, desmejoramento del perfl de tensón debdo a problemas de regulacón, ncremento en las pérddas que se presentan en transformadores y almentadores y se puede perder la confguracón radal del sstema. Lo anteror se consttuye en un conjunto de restrccones cuyo cumplmento es necesaro para garantzar una adecuada operacón de la red. La mayoría de los estudos de planeamento sólo tenen en cuenta los aspectos económcos y técncos. El aspecto económco es ncludo como una funcón objetvo a ser mnmzada y los requermentos técncos son ncludos como restrccones en el modelo matemátco. La funcón objetvo nvolucra la suma de tres térmnos que deben ser mnmzados. El prmero corresponde a los costos fjos asocados a la nstalacón de todos los nuevos almentadores nvolucrados en la propuesta de solucón en estudo. La varable bnara δ j {1,0} ndca la nstalacón (δ j =1) o no (δ j =0) del almentador ubcado entre el nodo y el nodo j y CF j es el costo de adconar el almentador propuesto entre el nodo y el nodo j. Para calcular el costo fjo de todos los almentadores nuevos el prmer térmno adopta la sguente forma: ( δ CF ) j j (1) El segundo térmno nvolucra, de forma lneal, los costos varables de operacón del sstema asocados a las pérddas óhmcas. S se consdera que la corrente a través de un almentador es proporconal al flujo de potenca, es posble defnr los costos totales de operacón en todo el sstema así: [CV (X +X )] j j j (2) Donde X j es el flujo de potenca que crcula del nodo al nodo j y CV j son los costos varables de operacón del almentador ubcado entre el nodo y el nodo j. Como el flujo de potenca crcula en ambos sentdos se debe consderar el flujo del nodo j al nodo (X j ). El tercer térmno recoge el costo fjo total de adconar subestacones nuevas. Al gual que en los almentadores nuevos, se cuenta con una varable bnara δ {1,0} que ndca la nstalacón o no de la subestacón. Para calcular el costo fjo total de todas las subestacones nuevas adconadas se emplea la sguente expresón: ( *CF) δ (3) La mnmzacón de estos tres térmnos conforman la funcón objetvo z del modelo, de la sguente manera: mn z = ( δj*cf j) + [CV j*(x j+x j )] + ( δ *CF ) (4) Vol. 10 No. 2 45

3 Las restrccones asocadas son: Cumplmento del balance de potenca: esta restrccón consste en garantzar que en cada nodo el flujo neto de potenca que llega por las líneas conectadas al nodo más la potenca S sumnstrada por la subestacón sea gual a la demanda D (ver fgura 2), es decr que cumpla con la sguente ecuacón: (X j - X j ) + S - D = 0 j (5) Para mplementar el modelo matemátco de deben tener en cuenta los sguentes aspectos: Los almentadores y subestacones exstentes no tenen asgnado un costo de nversón pero s tenen asgnado un costo de operacón. Con el fn de facltar el modelamento matemátco y la solucón del problema del planeamento, los centros de demanda son defndos y representan un grupo de almentadores prmaros y/o secundaros, los cuales para propóstos eléctrcos y de cálculos son consderados como un únco nodo. No hay pérdda de potenca por el tramo de un almentador. Los costos de nversón y la localzacón de los almentadores y subestacones propuestas son conocdos de antemano. Fgura 2.Balance de potenca Capacdad máxma de los almentadores y subestacones: una solucón factble será aquella que no vole la capacdad máxma X j de la línea y la capacdad máxma S de la subestacón: X j _ Xj (6) _ S S (7) Fnalmente se establecen la restrccones de varables enteres y contnuas: j { } δ j, δ 0,1 X R (8) El modelo matemátco formulado corresponde a un problema de Programacón Lneal Entero Mxto (PLEM), debdo a que ncluyen varables bnaras y contnuas. Las bnaras son varables de decsón que corresponden a la nstalacón de nuevos almentadores y nuevas subestacones y las varables contnuas corresponden al flujo de potenca por los almentadores. El problema es lneal debdo a que las pérddas del sstema (costos de operacón) son lnealzadas. El factor de potenca del sstema es consderado constante. Las cargas son representadas por un modelo de corrente contnua. 3. TÉCNICA DE SOLUCIÓN El algortmo de Branch and Bound (ramfcar y acotar) es un método exacto para encontrar la solucón a problemas lneales con solucones enteras (PLE) y enteras mxtas (PLEM) [7]. La flosofía del Branch and Bound consste en resolver un PLEM a través de la solucón sucesva de problemas de programacón lneal (PL) que son versones relajadas del PLEM orgnal y que pueden ser resueltos por técncas conocdas de solucón. Incalmente se resuelve el problema orgnal relajando la ntegraldad de sus varables enteras, es decr, permtendo que las varables enteras tengan valores reales. Esta prmera fase se denomna solucón al problema P 0. S el problema tene solucón entera en todas las varables enteras, sgnfca que se ha encontrado la solucón óptma global. De lo contraro, se elge de forma aleatora una de las varable con solucón no entera y se le aplca un 46 Vol. 10 No. 2

4 proceso teratvo de ramfcacón que permta encontrar su valor entero. El proceso de dvsón de la varable consste en generar dos subproblemas de la sguente manera: Subproblema P1: consste en resolver el problema P0 sumándole una restrccón de la forma Subproblema P2: consste en resolver el problema P0 sumándole una restrccón de la forma n j * n j * nj n j +1 (9) * Donde [n j ] es el mayor entero contendo en la varable n j que está sendo separada. (10) La solucón de estos dos PL s permten buscar en un espaco reducdo de solucones el valor entero de la varable. Por lo tanto estos subproblemas se deben resolver de la msma forma que el problema P 0. Es decr, s no tene solucón entera se repte el proceso hasta que el espaco de solucón sea agotado. Las confguracones resultantes son almacenadas, de forma ordenada según su funcón objetvo, en un arreglo. Esta metodología tene como ventaja encontrar solucones óptmas alternatvas. Sn embargo, presenta problemas de efcenca computaconal debdo a la gran cantdad de nformacón que se debe almacenar en problemas de gran tamaño. Exsten algunos crteros para determnar cuales problemas resolver y cuales no denomnados crteros de sondaje o acotamento. Estos crteros orentan la búsqueda y dsmnuyen el esfuerzo computaconal: La solucón del problema es nfactble, por lo tanto cualquer problema que se desprenda de él posee mayor nvel de nfactbldad. Con el fn de dsmnur el esfuerzo computaconal nvertdo en el proceso de optmzacón se utlza la regla LIFO (acrónmo en nglés de Last In Frst Out), la cual consste en resolver el ultmo PL generado a partr de la respuesta nmedatamente anteror (sn resolver todo el problema de nuevo) medante una técnca de dual Smplex canalzado. Una ventaja de los algortmos enumeratvos es la de obtener el óptmo global del problema abordado, ya que realzan una búsqueda de todo el espaco de solucones. Pero a medda que el número de varables crece el tempo necesaro para la resolucón de un problema puede hacer nvable su utlzacón práctca. 4. PRUEBAS Y RESULTADOS El algortmo de Branch and Bound fue mplementado en el software de optmzacón GAMS. Fueron smulados dos sstemas eléctrcos, consderando una sola etapa de planeamento. Para ambos sstemas se consderó solamente un calbre de conductor (no se consdera reconductorzacón de almentadores exstentes). 4.1 Sstema I El sstema de la Fgura 3 está consttudo por once (11) nodos (nueve de los cuales son de carga), una subestacón exstente (Nodo 20), cuatro almentadores exstentes (L1_20, L1_2, L3_20, L3_7), una subestacón futura o canddata (Nodo 21) y dez (10) almentadores futuros o canddatos (líneas punteadas). El problema resuelto tene solucón entera, por lo tanto no se puede separar. El problema no tene solucón entera pero presenta una solucón de peor caldad que la de una solucón entera ya encontrada. E decr, el problema puede tener solucón entera dentro de su regón factble, pero ésta no entrega una mejor respuesta que la mejor conocda (ncumbente). Por esta razón es mportante encontrar una buena ncumbente ncal para acelerar el proceso de convergenca. Fgura 3. confguracón ncal del sstema I Vol. 10 No. 2 47

5 Los parámetros eléctrcos del sstema son: La capacdad máxma de los almentadores (exstentes y canddatos) es 20 MVA. La capacdad máxma de las subestacones (exstentes y canddatas) es 60 MVA. El Costo Fjo de los almentadores nuevos es 20 (Und/Km). El Coto Fjo de la subestacón nueva es 400 (Und/Km). 4.2 Sstema II El sstema de la Fgura 5 está conformado por doce (12) nodos (once de los cuales son de carga), una subestacón exstente (Nodo 20), tres almentadores exstentes (L1_20, L1_2, L3_20), dos subestacones futuras o canddatas (Nodos 21 y 22) y trece (13) almentadores futuros o canddatos. El Costo Varable de los almentadores (nuevos y exstentes) es 4 (Und/MVA/Km). El Costo Varable para las subestacones no es consderado. Las longtudes de los almentadores y los valores de las cargas del sstema se lustran en las Tablas 1 y 2 respectvamente. Tabla I. Longtud de los almentadores del sstema I NODO 20_1 1_2 20_3 3_7 1_5 2_6 3_4 5_6 4_21 5_21 6_9 7_8 8_21 21_9 LONGITUD (KM) Tabla II. Datos de carga del sstema I NODO DEMANDA (MVA) En la Fgura 4 se observa la confguracón óptma encontrada la cual tene un valor de 820 Undades. En la fgura 4 se observa el sentdo y el valor de los flujos de potenca del sstema. Se puede observar como todas las cargas quedan abastecdas completamente. Fgura 5. Confguracón ncal del sstema II Los parámetros eléctrcos del sstema son: La capacdad máxma de los almentadores (exstentes y canddatos) es 20 MVA. La capacdad máxma de las subestacones (exstentes y canddatas) es 30 MVA. El Costo Fjo de los almentadores nuevos es 20 (Und/Km). El Coto Fjo de las subestacones nuevas es 400 (Und/Km). El Costo Varable de los almentadores (nuevos y exstentes) es 4 (Und/MVA/Km). El Costo Varable para las subestacones no es consderado. Las longtudes de los almentadores y los valores de las cargas del sstema se lustran en las Tablas 3 y 4 respectvamente. Tabla III. Longtud de los almentadores del sstema II LÌNEA 20_1 1_2 20_3 1_5 20_5 5_21 2_6 3_4 4_21 6_21 3_7 21_22 6_9 7_8 8_21 9_21 LONGITUD (KM) Tabla IV. Datos de carga del sstema II Fgura 4. Confguracón óptma del sstema I NODO DEMANDA (MVA) Vol. 10 No. 2

6 Para este sstema se encontraron dos confguracones óptmas (óptmos alternatvos). En las Fguras 6 y 7 se observan ambas confguracones las cuales tenen un valor de 936 Undades monetaras. De gual forma se observa que todas las cargas quedan abastecdas completamente. caída de tensón en el modelo después de decdr la nstalacón de un nuevo almentador. Estas partculardades permteron obtener un buen desempeño de la metodología propuesta en la smulacón de sstemas con un gran número de varables de decsón, consderando varos escenaros y la posbldad de que durante el proceso de búsqueda se puderan analzar dferentes tpos de recursos a ser colocados en el sstema. Para el sstema de dstrbucón de la cudad de Perera se obtuvo un plan de expansón que dfere del propuesto actualmente. Un estudo nteresante, consste en realzar un análss comparatvo entre los planes realzados con el fn de determnar comportamentos económcos. Fgura 6. Prmer óptmo alternatvo del sstema II. El planeamento de sstemas de dstrbucón efectuado por las empresas del sector eléctrco se realza, tradconalmente, basándose en la experenca del ngenero encargado de esta área. La metodología propuesta en este trabajo realza un plan de expansón para estos sstemas cuyo resultado fnal podría traducrse en grandes ahorros económcos para las empresas. Con el fn de mejorar la solucón del problema de la expansón de sstemas de dstrbucón se recomenda tener en cuenta para futuros trabajos los sguentes aspectos: Fgura 7. Segundo óptmo alternatvo del sstema II. 5. CONCLUSIONES En este trabajo se propuso e mplementó un algortmo de Branch and Bound el cual es un método exacto de optmzacón aplcado a la solucón del problema de la expansón de sstemas de dstrbucón. Los resultados obtendos con las smulacones de los dos sstemas de potenca comprueban la efcenca de la metodología propuesta debdo a que se encontró la confguracón óptma para el modelo lneal entero mxto alcanzando la msma confguracón óptma encontrada en la lteratura especalzada. Con el fn de reducr el número de problemas a ser resuelto por el algortmo planteado se generaron solucones ncumbentes ncales de buena caldad ncluyendo la restrccón de Involucrar en el modelo matemátco los costos varables de las subestacones pues en la lteratura es dfícl encontrar autores que hallan tendo en cuenta este costo de operacón (admnstracón, operacón, mantenmento, etc) en la funcón objetvo. Sempre que las condcones de la red lo permtan, tener en cuenta la expansón de las subestacones exstentes pues en algunos casos podría ser más económco amplar una subestacón exstente que nstalar una nueva. Trabajar con un modelo no lneal entero mxto, es decr, en lugar de nvolucrar las pérddas de la red en forma lnealzada se deben trabajar dchos valores (costos varables de los almentadores) en forma no lneal con el fn de obtener un modelamento más exacto. Resolver el sstema de dstrbucón tenendo en cuenta varas funcones objetvo como mpactos ambentales o confabldad de la red. En la lteratura especalzada a pesar de que en Vol. 10 No. 2 49

7 la últma década se han publcado dversos trabajos con un tratamento multobjetvo del problema, la tendenca se mantene en consderar solamente una funcón objetvo que consdera los costos de nversón y operacón de la red. Implementar nuevas metodologías de solucón como Algortmos Genétcos y Búsqueda Tabú, entre otros. 6. AGRADECIMIENTOS Los autores expresan su agradecmento a la Unversdad Dstrtal Francsco José de Caldas por facltar los medos para esta publcacón y a la Unversdad Tecnológca de Perera (U.T.P.) por el apoyo prestado al grupo de nvestgacón en planeamento eléctrcos y al grupo DINOP (desarrollo en nvestgacón operatva) de la U.T.P. [4] Ramírez-Rosado, I.J., Bernal-Agustín, J.L.: «Genetc Algorthms Appled to the Desgn of Large Power Dstrbuton Systems», IEEE Transactons on Power Systems, Vol. 13 No. 2, pp , May [5] Bazán, F.A., Mantovan, J.R.S., Romero, R.A.: «Planeamento de Expansón de Sstemas de Dstrbucón de Energía Eléctrca Usando un Algortmo de Búsqueda Tabú», XIV Congreso Brasleño de Automatzacón, Natal-Brasl, Septembre [6] Almeda, M.S., Mantovan, J.R.S., Romero, R.A.: «Colocacón Óptma de Subestacones y Almentadores en Sstemas de Dstrbucón de Energía Eléctrca Usando un Algortmo de Branch and Bound», XIV Congreso Brasleño de Automatzacón, Natal-Brasl, Septembre [7] Gallego R., Ramón y Romero L., Rubén. «Optmzacón En Sstemas Eléctrcos II», Texto Guía en Maestría en Eléctrca, Unversdad Tecnológca de Perera. Maurco Granada Echeverr Nacó en Perera, Colomba. Recbó su título como ngenero electrcsta en 2001 en la UTP. Magíster en eléctrca en la msma unversdad en Docente del programa de ngenería eléctrca de la Unversdad Tecnológca de Perera. 7. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS [1] Sun et al: «Optmal Dstrbuton Substaton and Prmary Feeder Va the Fxed Charge Network Formulaton», IEEE Transactons on Power Apparatus and Systems, Vol. PAS-100, No. 5. [2] Ponnavako et al.: «Dstrbuton System Plannng Trough Mxed Integer Programmng Approach», IEEE Transactons on Power Delvery, Vol. PWRD-2, No. 4, pp [3] Kagan, N., Adams, R.N.: «A Benders Descomposton Approach to the Multobjetve Dstrbuton Plannng Problem», Internaconal Journal of Electrcal Power & Energy Systems, Vol. 15, No. 5, pp Ramón Alfonso Gallego Rendón Recbó su título como ngenero electrcsta en 1981 en la Unversdad Tecnológca de Perera. Magíster en sstemas de potenca 1985 (Unversdad Naconal). Ph.D en Eléctrca (Unversdad de Campnas -Brazl). Docente del programa de ngenería eléctrca de la Unversdad Tecnológca de Perera. Rcardo Alberto Hncapé Isaza Recbó su título como ngenero electrcsta en 2002 en la Unversdad Tecnológca de Perera. Magíster en eléctrca en la msma unversdad en Vol. 10 No. 2