CATEDRA 0 8 METODOS NUMERICOS. Ingeniería Civil ING.CRISTIANCASTROP. Facultad de Ingeniería de Minas, Geología y Civil

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1 CATEDRA 0 8 Fcultd de Ingenierí de Mins, Geologí y Civil Deprtmento cdémico de ingenierí de mins y civil METODOS NUMERICOS Ingenierí Civil ING.CRISTIANCASTROP.

2 Cpitulo VI Sistem de Ecuciones Algebrics Lineles Métodos Itertivos ING.CRISTIANCASTROP.

3 MÉTODOS ITERATIVOS DE SOLUCIÓN Introducción TABLA No. : Comprción de ls crcterístics de diversos métodos lterntivos pr encontrr soluciones de ecuciones lgebrics lineles simultánes MÉTODO ESTABILIDAD PRECISIÓN RANGO DE APLICACIÓN COMPLEJIDAD DE LA PROGRAMACIÓN GRÁFICO --- Pobre Limitdo --- Regl de Crmer --- Afectdo por errores de redondeo Limitdo --- COMENTARIOS Puede tomr más tiempo que el método numérico Escesiv complejidd de cálculo pr más de tres ecuciones Eliminción de Guss (con pivoteo prcil) --- Descomposición LU --- Guss_Seidel Puede no converger si no es digonlmente dominnte Afectdo por errores de redondeo Generl Moderd Afectdo por errores de redondeo Generl Moderd Apropido solo pr sistems digonlmente EXCELENTE dominntes FÁCIL Método de eliminción preferido; permite el cálculo de l mtriz invers

4 MÉTODOS ITERATIVOS DE SOLUCIÓN Comprción de Métodos Directos e Itertivos prtir de l cntidd de operciones mtemátics

5 MÉTODOS ITERATIVOS DE SOLUCIÓN Debemos resltr que lo métodos vistos hst l ctulidd pr solucionr sistems de ecuciones lgebrics lineles son muy cros computcionlmente. Estos métodos eigen un memori de máquin proporcionl l cudrdo del orden de l mtriz de coeficiente A. De igul mner se producen grndes errores de redondeo como consecuenci del número de operciones. 5

6 MÉTODOS ITERATIVOS DE SOLUCIÓN Debemos mencionr que en estos métodos necesitn tener un proimción inicil de l solución y no espermos tener un solución ect un cundo tods ls operciones se relicen utilizndo un ritmétic ect. Pero podemos decir que en muchos csos son ms efectivos que los métodos directos por requerir mucho menos esfuerzo computcionl y sus errores se reducen, esto es ciert cundo l mtriz es dispers es decir cundo l mtriz tienen un lto porcentje de elementos nulos 6

7 MÉTODOS ITERATIVOS DE SOLUCIÓN Aplicciones Rr vez pr resolver sistems lineles de dimensión pequeñ. Tiempo requerido myor pr logrr l precisión Los métodos directos son suficientemente ectos. Utilidd pr l resolución de los sistems de ecuciones diferenciles en plicciones de: Tods ls rms de ingenierí Ciencis sociles Economí Estos métodos son útiles en l predicción del clim, nálisis mtricil de estructurs, donde el volumen de vribles merit el uso de etenss mtrices. 7

8 MÉTODOS ITERATIVOS DE SOLUCIÓN Estos métodos en mención son más efectivos que los vistos nteriormente y hn permitido solucionr sistems de hst 000 ecuciones y vribles un más, sistems que se presentn en l solución numéric de ecuciones diferenciles prciles (EDP). Supongmos que tenemos el sistem A =b () Luego podemos escribir como: A b = 0 () Que es un ecución vectoril que se puede escribir sí: f () = 0 () 8

9 MÉTODOS ITERATIVOS DE SOLUCIÓN El propósito es buscr un mtriz B y su vector C de tl form que l ecución vectoril es l siguiente: =B +C () Se un rreglo de l ecución () ie que l solución de un ecución se tmbién solución de l otr ecución, luego se propone lo siguiente: Primero: Proponer un vector inicil (0) como l primer proimción l vector solución Segundo: clculr l sucesión de vectores que son soluciones proimds (), (), (), (),..., vector solución 9

10 MÉTODOS ITERATIVOS DE SOLUCIÓN Usndo: ( R) B ( R) C, R 0,,,... Donde: ( R) R, R,..., R n T 0

11 MÉTODOS ITERATIVOS DE SOLUCIÓN Observción:. Pr que l sucesión de soluciones converj vector solución es necesrio que m j, j n se m proime l vector j, j n j j, j n decir sen menores que un vlor pequeño fijdo previmente y que se mntengn menores pr todos los vectores siguientes de l iterción. Es decir: lim, j n m m j j. L form como llegr l ecución =B+Cse define l lgoritmo y su convergenci.

12 MÉTODOS ITERATIVOS DE SOLUCIÓN. Se dd el sistem De b b tenemos que: b b b Con 0, 0, 0 b (5)

13 (6) MÉTODOS ITERATIVOS DE SOLUCIÓN C B b b b 0 0 0

14 MÉTODOS ITERATIVOS DE SOLUCIÓN Un vez que es determind l ecución (6) se propone un vector inicil (0) que puede ser (0) = 0 cero o lgún otro vector que se proimdo l vector solución. Pr determinr l sucesión buscd de solución itertivo tenemos los siguientes métodos numéricos: Método de Jcobi (Desplzmiento simultneo) Método de Guss Seidel (Desplzmiento sucesivo) Método de Sobrereljción (Succesive-Over-Reltions)

15 MÉTODOS ITERATIVOS DE SOLUCIÓN Convergenci Este criterio tmbién se plic ls ecuciones lineles que se resuelven con el método de Guss-Seidel. Por tnto, l plicr este criterio sobre ls ecuciones de Guss-Seidel y evlundo con respecto cd un de ls incógnits, obtenemos l epresión siguiente: En otrs plbrs, el vlor bsoluto de ls pendientes en l ecución, deben ser menor que l unidd pr segurr l convergenci. Esto es, el elemento digonl debe ser myor que el elemento fuer de l digonl pr cd reglón de ecuciones. L generlizción del criterio nterior pr un sistem de n ecuciones es: n ii i j, j 5

16 MÉTODOS ITERATIVOS DE SOLUCIÓN Divergenci Seidel X X X Convergenci Divergenci Seidel X Divergenci Jcobi Divergenci Jcobi X X Resultdo de ls iterciones utilizndo ls ecuciones sin ordenr u : v : X X 6

17 MÉTODOS ITERATIVOS DE SOLUCIÓN Convergenci Resultdo de ls iterciones utilizndo previmente el criterio de digonl dominnte v : u : Convergenci Seidel X X Convergenci Jcobi X X X X Convergenci Seidel X Convergenci Jcobi X 7

18 Métodos Itertivos Jcobi, Guss Seidel, Reljción 8

19 Método de Jcobi 9

20 MÉTODO DE DESPLAZAMIENTO SIMULTÁNEO DE JACOBI Si es el vector de proimción l solución después de R iterciones, entonces, tendremos l siguiente proimción 0 MÉTODOS ITERATIVOS DE SOLUCIÓN R R R R ) ( ) ( ) ( ) ( R R R R R R R R R R b b b

21 Fenómeno que se puede generlizr pr n ecuciones MÉTODOS ITERATIVOS DE SOLUCIÓN n i b n i j j R j j i i ii R i,,...,,

22 MÉTODOS ITERATIVOS DE SOLUCIÓN Método de Jcobi Este método se puede ilustrr usndo ls siguientes ecuciones: b b b ()

23 MÉTODOS ITERATIVOS DE SOLUCIÓN Método de Jcobi El método comienz resolviendo l ec. pr, y e introduciendo el índice k que se utilizr pr indicr el número de iterciones, se obtiene: ( k ) b ( k ) b ( k ) ( k ) ( k ) ( k ) ( k ) b ( k ) ( k ) ()

24 MÉTODOS ITERATIVOS DE SOLUCIÓN Método de Jcobi Además se requiere de un vector inicil i = ( (k), (k), (k) ) el cul represent l primer proimción de l solución del sistem, con lo que se produce k+. Este vector si no se conoce se puede sumir como: 0 = (0 (0), 0 (0), 0 (0) ) Con estos vlores y ls fórmuls de ls ecuciones () se vn clculndo los nuevos vlores de i El proceso se continu hst que i + i e.

25 MÉTODOS ITERATIVOS DE SOLUCIÓN Ejemplo : Método de Jcobi Resolver el siguiente sistem de tres ecuciones por el Método de Jcobi, pr un = 5% : 7 X X X = X + X X = 00-5 X 5 X + X = 0 Ls siguientes fórmuls ls utilizmos pr encontrr X,X yx en cd un de ls iterciones b b b 5

26 MÉTODOS ITERATIVOS DE SOLUCIÓN Método de Jcobi Pr l primer iterción el vlor de X, X y X sustituir en cd un se sumirá como cero. Aplicndo b() se obtiene: b , , b 0,

27 MÉTODOS ITERATIVOS DE SOLUCIÓN Método de Jcobi Pr l segund iterción el vlor de X, X y X serán los clculdos nteriormente. Aplicndo () se obtiene: b 500 0,7785 9,58 7,66 b 00 6, ,76,66 b 0 0,6 5 9,76 5 9,58 7

28 MÉTODOS ITERATIVOS DE SOLUCIÓN Método de Jcobi Un vez obtenidos estos resultdos se debe clculr el error proimdo porcentul pr cd uno de los resultdos, pr ello utilizmos l siguiente fórmul: nuevo nterior r r nuevo r 00% 0,7785 9,76 0, % 6,6568 9,58 6, %,% 5%,8% 5% 0,6,66 0,6 86,68% 5% 00% Ddo que no se cumple con el se debe continur iterndo. 8

29 MÉTODOS ITERATIVOS DE SOLUCIÓN Método de Jcobi Siguiendo el mismo procedimiento, se obtiene el siguiente cudro de resultdos: Iterción 0 0, , , ,76 9,58,66 0,7785 6,6568 0,6,%,8% 86,68%,758 7,8,0 7,7% 6,57% 5,897%,655 8,57876,958,0%,066% 6,59% 5,887 8,76977,5 0,685%,08%,8% Se resltn los dtos donde los errores obtenidos son menores que 5%, se logr un error proimdo porcentul menor en ls tres incógnits hst l quint iterción. 9

30 MÉTODOS ITERATIVOS DE SOLUCIÓN Método de Jcobi Si sustituimos estos vlores en ls ecuciones originles pr verificr los resultdos se obtiene: 7 *(,887) *(8,76977) *(,5) = 98, *(,887) + *(8,76977) *(,5) = 98, *(,887) 5 *(8,76977) + *(,5) = 7,885 Al clculr los porcentjes de error de estos resultdos se obtiene: Error EC , % 0,0% Error EC 00-98, % 0,0% Error EC 0-7, % 0,88% 0

31 Ejemplo: Solución: MÉTODOS ITERATIVOS DE SOLUCIÓN C B / / / / 0 / 0 0 / 0 / 0 0 / 0 / 0 0 / 0

32 MÉTODOS ITERATIVOS DE SOLUCIÓN Vlor Inicil Cundo no tenemos un proimción inicil del vector solución, se us como vector inicil el vector cero, ie 0 0,0,0, 0 Método de Jcobi T Pr determinr () reemplzmos (0) en el sistem ddo ie

33 Pr determinr () reemplzmos (0) en el sistem ddo ie MÉTODOS ITERATIVOS DE SOLUCIÓN T,,, ()

34 Determinndo () MÉTODOS ITERATIVOS DE SOLUCIÓN T 6 5, 6 5, 6 5, ()

35 MÉTODOS ITERATIVOS DE SOLUCIÓN R R R R R 5

36 Método Guss-Seidel 6

37 MÉTODO GAUSS SEIDEL DESPLAZAMIENTO SUCESIVO Este método se diferenci del nterior en que los vlores que se vn clculndo en l (R + ) ésim iterción se usn pr clculr los vlores restntes de es mism intercción. 7 MÉTODOS ITERATIVOS DE SOLUCIÓN n i b b b b i i j j R j i R n I i i j j i i ii R i R R R R R R R R R R, ) ( ) ( ) (

38 MÉTODOS ITERATIVOS DE SOLUCIÓN Método de Guss-Seidel Este método en generl converge ms rápidmente que el método de Jcobi. Supone que un mejor proimción l solución, se obtiene sustituyendo los vlores prciles clculdos, en lugr de sumir un proimción inicil. Utilizndo ls ecuciones de (): b b b 8

39 MÉTODOS ITERATIVOS DE SOLUCIÓN Método de Guss-Seidel Y despejndo pr, y y dicionndo los vlores y obtenidos, est se puede epresr como: ( k ) b ( k ) ( k ) ( k ) b ( k ) ( k ) ( k ) b ( k ) ( k ) El vlor de se clcul con los vlores sumidos de y. Posteriormente el vlor de obtenido y sumido, se usn pr clculr. Y finlmente el nuevo vlor de sle de los vlores clculdos y. 9

40 MÉTODOS ITERATIVOS DE SOLUCIÓN Método de Guss-Seidel Ejemplo: Resolver el siguiente sistem de tres ecuciones por el Método de Guss Seidel, pr un = 5% : 7 X X X = X + X X = 00-5 X 5 X + X = 0 Ls siguientes fórmuls ls utilizmos pr encontrr X,X yx en cd un de ls iterciones b b b 0

41 MÉTODOS ITERATIVOS DE SOLUCIÓN El vlor de se clcul con los vlores sumidos de y que en principio es cero. Posteriormente el vlor de obtenido y sumido (0), se usn pr clculr. Y finlmente el nuevo vlor de sle de los vlores clculdos y. b b Método de Guss-Seidel , , ,76 0 b 0, ,76 5 6,566

42 MÉTODOS ITERATIVOS DE SOLUCIÓN Método de Guss-Seidel Pr l segund iterción, en el cálculo de X el vlor de X y X serán los clculdos nteriormente. Entonces pr X : b 6, ,96,808 Pr X se utiliz el vlor de X de l primer iterción y el de X de l segund iterción: b 5, ,6097,808

43 MÉTODOS ITERATIVOS DE SOLUCIÓN Método de Guss-Seidel Pr X se utiliz el vlor de X y X clculdos en l segund iterción: b 0,99 5,96 5 8,6097 Un vez obtenidos estos resultdos, se debe clculr el error proimdo porcentul pr cd uno de los resultdos, con l fórmul: nuevo r r 00% % nuevo r nterior

44 MÉTODOS ITERATIVOS DE SOLUCIÓN Método de Guss-Seidel Un vez plicdo el cálculo de error se determin que los vlores son superiores l premis inicil ( = 5%), determinándose que se deben continur ls iterciones hst que se cumpl el criterio. Iterción 0 0, ,76 6,566,808,96 8,6097,99,0%,9% 0,56%,99 8,85869,609,5%,0%,57% Se resltn los dtos donde los errores obtenidos son menores que 5%, se logr un error proimdo porcentul menor en ls tres incógnits en l tercer iterción

45 MÉTODOS ITERATIVOS DE SOLUCIÓN Método de Guss-Seidel Si sustituimos estos vlores en ls ecuciones originles pr verificr los resultdos se obtiene: 7 *(,99) *(8,85869) *(,609) = 98,998-5 *(,99) + *(8,85869) *(,609) = 99,660-5 *(,99) 5 *(8,85869) + *(,609) = 0,00000 Al clculr los porcentjes de error de estos resultdos se obtiene: Error Error Error EC EC EC ,998 00% 0,0% ,660 00% 0,7% % 0,00% 0 Los resultdos obtenidos son un proimción muy buen de los vlores verdderos. 5

46 Método de Guss Seidel 6 MÉTODOS ITERATIVOS DE SOLUCIÓN R R R R R R R R R R R R b b b

47 Determinción del 7 MÉTODOS ITERATIVOS DE SOLUCIÓN ) ( R R R b 56 89, 6 5, 5, /) 0 0 ( 6 5 (5 /6)) ) (/ ( 6 5 (0)) ) (/ ( 0) (0) (

48 MÉTODOS ITERATIVOS DE SOLUCIÓN Observción: L sucesión de vectores lej del vector solución,,,..., ( ) () () ( R),,...,, T n,... converge o se Cundo se detendrá el proceso itertivo Rpt: Si l sucesión converge l solución cso esperdo que los componentes de (R) converjn sus elementos 8

49 Ejemplo: Resolver el siguiente sistem con el método de Guss Seidel con E = 0 - plicndo K+ K 9 MÉTODOS ITERATIVOS DE SOLUCIÓN

50 Resolviendo: de () de () de () y de () 50 MÉTODOS ITERATIVOS DE SOLUCIÓN

51 MÉTODOS ITERATIVOS DE SOLUCIÓN Si 0 = (0, 0, 0, 0) T : determinmos: K 0 K 0 K 0 K 0 K 0 K K

52 El proceso diverge: Luego podemos rreglr ls ecuciones pr despejr los diferentes y, que despejds sen distints, pr plicr el teorem se debe tener solo en cuent un proimción pues cso contrrio son rros en donde se encontrrí tles sistems 5 MÉTODOS ITERATIVOS DE SOLUCIÓN n K n K K Cso contrrio se lejn

53 MÉTODOS ITERATIVOS DE SOLUCIÓN Los vlores bsolutos que sen todos menores de número pequeño E cuyo vlor será ddo Sielnúmerodeitercioneshecedidoun máimo ddo Detener el proceso un vez que K K, K K,..., K K K n E K n 5

54 MÉTODOS ITERATIVOS DE SOLUCIÓN Cómo segurr l convergenci si eiste? El proceso de Jcobi y Guss Seidel convergerán si en l mtriz de coeficiente cd elemento de l digonl principl es myor que l sum de los vlores bsolutos de todos los demás elementos de l mism fil o column (mtriz digonl dominnte) y ii ii n j j j i i j ij ij i j n n 5

55 Métodos de Reljción 55

56 Método de SOR MÉTODO DE RELAJACIÓN DE SOR Este método es muy similr l método de Jcobi y Guss-Seidel se diferenci por usr un escl pr reducir el error de proimción, es un metodologí ms reciente, pr determinr X (k) lo reliz con el modelo: 0bsevemos que cunto w=, tenemos de Guss-Seidel, cunto 0<w< el procedimiento se llm método de subreljción y se us pr obtener convergenci cundo el método de Guss-Seidel no converge. 56

57 Método de SOR Cundo <w se le llm método de sobrerreljción, generlmente se le conoce como el metodo de SOR crónimo del ingles Successive Over Reltion (Sobre reljción sucesiv) se utilizn pr resolver sistems lineles que precen en l resolución de cierts ecuciones en derivds prciles. Pr determinr l form mtricil del método de SOR rescribimos l relción nterior de l siguiente mner: 57

58 Método de SOR Ejemplo L solución del sistem ddo es (,,-5) t,usremosw=.5prel método de SOR con un vlor inicil de (,,) t,prk= Tenemos 58

59 Método de SOR Cudro en 7 iterciones k

60 MÉTODOS ITERATIVOS DE SOLUCIÓN Método Guss-Seidel con reljción El método de Guss-Seidel con Reljción es muy similr l método de Guss-Seidel,ldiferenciesqueusunfctordeesclprreducirel error de proimción. ( k ) ( k ) ( k ) ( k ) i i i i ( ) Este método obtiene un nuevo vlor estimdo hciendo un ponderción entre el vlor previo y el clculdo utilizndo un fctor de ponderción nuevo i nuevo i ( ) 0 nterior i 60

61 MÉTODOS ITERATIVOS DE SOLUCIÓN Método Guss-Seidel con reljción = El resultdo no se modific Se convierte en l ecución de Guss-Siedel < Se conoce como subreljción Pr hcer que un sistem no convergente converj o presure l convergenci l mortigur ls oscilciones. > Se conoce como sobrereljción Se us cundo l convergenci v en l dirección correct hci l solución verdder, pero con un velocidd demsido lent. Pr llevrl más cerc de l verdder. L elección de es empíric, se utiliz pr l solución de un sistem que se debe resolver de mner repetitiv. 6

62 MÉTODOS ITERATIVOS DE SOLUCIÓN Método Guss-Seidel con reljción Y despejndo pr, y, y dicionndo los vlores y obtenidos, est se puede epresr como: ( k ) b ( k ) ( k ) ( k ) b ( k ) ( k ) ( k ) b ( k ) ( k ) El vlor de se clcul con los vlores sumidos de y. Posteriormente el vlor de obtenido y sumido, se usn pr clculr. Y finlmente el nuevo vlor de sle de los vlores clculdos y. 6

63 MÉTODOS ITERATIVOS DE SOLUCIÓN Método Guss-Seidel con reljción Ejemplo : Emplee el método de Guss-Seidel con reljción pr resolver (=0.90 y =5%): -5 X +X =80 X X X =- 6X + 8X = 5 Si es necesrio reordene ls ecuciones pr que el sistem converj

64 MÉTODOS ITERATIVOS DE SOLUCIÓN Método Guss-Seidel con reljción Verificndo el criterio de convergenci: n i, i j ji i, j Pr un sistem de obtenemos: 6

65 65 Método Guss-Seidel con reljción Esto quiere decir que el elemento digonl debe ser myor l elemento fuerdeldigonlprcdfil. Portntoreorgnizmoselsistem de l siguiente form: Por lo tnto se puede segurr l convergenci con este rreglo MÉTODOS ITERATIVOS DE SOLUCIÓN

66 MÉTODOS ITERATIVOS DE SOLUCIÓN Método Guss-Seidel con reljción Pr clculr el primer vlor de X, se sumirán X y X con vlores cero. Entonces pr X, b 0, Pr clculr el vlor de X, se utilizrá solmente el vlor encontrdo de X,ddo que es cero. b 6 5 ( 0,50000) 8 6,00000 Pr clculr el vlor de X, se utilizrá solmente el vlor encontrdo de X,ddo que es cero. b ,58 ( 0,50000) 66

67 67 Método Guss-Seidel con reljción Segund iterción:,658 6,58 6,0000 b,0 0,50000) ( 0,9) (,658 0,9 ) ( nuevo nuevo nterior nuevo nuevo, (,0) 6 5 b,0789 (6,00000) 0,9) (, ,9 nuevo nuevo 7,660 (,0) 5 80 b 7,5095 (6,58) 0,9) ( 7,660 0,9 nuevo nuevo MÉTODOS ITERATIVOS DE SOLUCIÓN

68 MÉTODOS ITERATIVOS DE SOLUCIÓN Método Guss-Seidel con reljción Se debe relizr el cálculo de los errores y se debe continur iterndo hst que se cumpl l premis inicil ( =5%). Iterción 0 0, , , , , ,58,0,0789 7,5095,7% 6,06%,00%,9,8579 7,6879,8% 6,50%,8%,787,889 7,6567 0,67% 0,7% 0,0% Se resltn los dtos donde los errores obtenidos son menores que 5%, se logr un error proimdo porcentul menor en ls tres incógnits en l curt iterción 68

69 MÉTODOS ITERATIVOS DE SOLUCIÓN Método Guss-Seidel con reljción Si sustituimos estos vlores en ls ecuciones originles pr verificr los resultdos se obtiene: *(,787) *(,889) *(7,6567) = -, *(,787) + 8 *(,889) + 0 *(7,6567) = 5,07-5 *(,787) + 0 *(,889) + *(7,6567) = 79,989 Al clculr los porcentjes de error de estos resultdos se obtiene: Error Error Error EC EC EC - - (-,98655) 00% 0,67% - 5-5,07 00% 0,0% ,989 00% 0,0% 80 69

70 Comprción de Métodos 70

71 7 Ejercicio Resolver el siguiente sistem de ecuciones, pr un error 5 %, con los tres métodos nlizdos. MÉTODOS ITERATIVOS DE SOLUCIÓN

72 MÉTODOS ITERATIVOS DE SOLUCIÓN b b Jcobi b nuevo nterior r r nuevo r 00% Iterción X 0 0, , , ,00000, , , , ,00000,587% 9,5%,500% 80,5000 7, ,5000,95%,667% 68,7% 80, , , ,69%,507%,9% 5 89, ,5000,7500 9,650% 0,905% 5,09% 6 89,6500 6,87500,6500 0,79%,50% 0,7% 7 9,9750 6,500 8,9750,59% 0,90%,075% 8 9, ,750 9,0650 0,% 6,0% 0,0% 9 96,875 68,5650,875,% 0,8% 5,% 0 96,85 70,7875,85 0,065%,09% 0,5% 7

73 MÉTODOS ITERATIVOS DE SOLUCIÓN Guss-Seidel b b b nuevo nterior r r nuevo r 00% Iterción 0 0, ,00000,00000, , ,00000,50000,09% 7,76% 9,85% 88, , ,50000,99% 5,87%,987% 9, ,00000, ,8% 7,5% 6,098% 5 96, ,50000,5000,60%,56%,959% 7

74 MÉTODOS ITERATIVOS DE SOLUCIÓN b Guss-Seidel con Reljción b b nuevo i nuevo i ( ) nterior i =,0 nuevo nterior r r nuevo r 00% Iterción 0 0, , , ,00000,00000, , , ,08800,05%,09% 9,879% 9,800 70,60,65056,6% 5,879% 8,5% 97,7856 7,675,58,5%,7%,85% 7

75 MÉTODOS ITERATIVOS DE SOLUCIÓN Comprción de Métodos Hciendo un resumen de los resultdos obtenidos en l siguiente tbl: Incógnit Vlores verdderos Iterciones Vlores proimdos Errores verdderos Jcobi Seidel C/Relj Jcobi Seidel C/Relj X 98,5 0 96,8 96,000 97,78,5%,5% 0,7% X 7,0 5 70,79 70,500 7,67,%,% 0,50% X,5,8,50,5 5,0%,87% 0,% El método de Jcobi es el que utiliz un myor cntidd de iterciones y que demás tiene errores myores con respecto l vlor verddero. Guss-Seidel los errores son medinos, pero l cntidd de ls iterciones en mucho menor que en el cso de Jcobi. Guss-Seidel con reljción se obtienen vlores más cercnos los verdderos con un cntidd de iterciones menor. Sin embrgo el inconveniente rdic en l elección del vlor de. 75

76 MÉTODOS ITERATIVOS DE SOLUCIÓN Comprción de Métodos 76

77 MÉTODOS ITERATIVOS DE SOLUCIÓN Comprción de Métodos Se observ que pr ls tres incógnits con método de Jcobi los resultdos son más oscilntes y convergen de form más lent. Por el Método de Guss-Seidel se d un convergenci reltivmente rápid. Si l Método de Guss-Seidel le plicmos reljción l convergenci es mucho más rápid hci los vlores verdderos. 77

78 Algoritmos 78

79 MÉTODOS ITERATIVOS DE SOLUCIÓN Algoritmos En l práctic, normlmente utilizmos computdors pr relizr ls iterciones, es por est rzón que necesitmos implementr lgoritmos pr encontrr soluciones de sistems n n medinte los métodos nteriormente descritos. 79

80 MÉTODOS ITERATIVOS DE SOLUCIÓN ALGORITMO DE LOS MÉTODOS DE JACOBI GAUSS SEIDEL Pr solucionr el sistem de A = b Dtos: Número de ecuciones N L mtriz de coeficientes A El vector de términos independientes b El vector inicil º El número de iterción MATIZ El vlor de Eps. y M = 0 pr usr Jcobi y M 0 pr usr Guss Seidel obtenemos l solución proimd y el número de iterciones K o el mensje No se lcnzó l convergenci 80

81 MÉTODOS ITERATIVOS DE SOLUCIÓN Pso: Arreglr l mtriz umentd de mner que l mtriz coeficiente quede lo más cercno posible l digonl dominnte Pso: Hce K = Pso: Mientrs K Mit repetir los psos 8 Pso: Si M = 0 ir l pso 5 de otro modo hcer = º Pso5: Hcer I = Pso6: Mientrs I N repetir los psos 7 l Pso7: Hcer sum = 0 Pso8: Hcer J = Pso9: Mientrs J N, repetir los psos 0 Pso0: Si J = I ir l pso 8

82 MÉTODOS ITERATIVOS DE SOLUCIÓN Pso: Hcer sum = sum + A(IJ) * º(J) Pso: Hcer J = J + Pso: Si M = 0 hcer (J) = -(b(j) - sum)/a(jj) de otro modo hcer º(I) = (b(j) sum)/a(jj) Pso: Hcer I = J + 8

83 MÉTODOS ITERATIVOS DE SOLUCIÓN Pso5: Si º Eps. Ir l pso 9 de otro modo hcer Pso6: Si M = 0, hcer º = Pso7: Hcer K = K + Pso8: Imprimir mensje No se lcnzó l convergenci, el vector, MAXIT Pso9: Imprimir el mensje Vector Solución,, K y el mensje iterciones termind 8

84 MÉTODOS ITERATIVOS DE SOLUCIÓN Algoritmo Jcobi For k=,, For i=,,, n i=0 For j=,,,i-,i+,,n End i i ij X k j End ( b ) / i i i ii End k (k) i b n ( ) i -, k i j j ii ji 8

85 MÉTODOS ITERATIVOS DE SOLUCIÓN Algoritmo Guss-Seidel For k=,, For i=,,, n sum=0 For j=,,,i-, k End sum sum ij X j For j=i+,,n End sum k sum ij X j End End k ( b sum) / i i ii k i b i i n k ij j j ji ii ij k j 85

86 MÉTODOS ITERATIVOS DE SOLUCIÓN Algoritmo Guss-Seidel con reljción For k=,, For i=,,, n sum=0 For j=,,,i-, End sum sum X k ij j For j=i+,,n End sum sum k X ij j End k End ( b sum) / i k i i k k k ( i i i ii ) k i b ii i i j ij k j n ji ij k j X i 86

87 MÉTODOS ITERATIVOS DE SOLUCIÓN Resumen de los psos de los métodos itertivos Jcobi, Guss-Seidel sin y con reljción Desplzmiento succesivo Primer iterción Desplzmiento simultáneo Segund iterción Guss-Seidel Itertivo de Jcobi Guss-Seidel con reljción ( ) nuevo i nuevo i nterior i 87

88 MÉTODOS ITERATIVOS DE SOLUCIÓN Síntesis Los métodos itertivos son óptimos pr grndes sistems y son mejor provechdos cundo se tienen mtrices esprcids. Estos métodos itertivos están bsdos en el concepto de punto fijo, es decir ( i =g i (), i =.. n), pr resolver sistems de ecuciones lineles. Pr grntizr l convergenci se debe de cumplir que el sistem teng un digonl dominnte, es decir que se cumpl l desiguldd siguiente, si se cmbio el orden de ls ecuciones est puede divergir ii n i ij j i 88

89 MÉTODOS ITERATIVOS DE SOLUCIÓN Síntesis Pr mejorr l convergenci, se usn técnics como: Utilizción de los cálculos previos sumiendo que un mejor proimción que el vector de condiciones iniciles. (Guss-Siedel ) Un fctor de ponderción pr reducir el error residul ( Reljción ) L selección de un vector de condiciones iniciles propido yud reducir el número de iterciones. L selección de es de crácter práctico y de su elección se pueden logrr tmbién que el número totl de iterciones se reduzcn. L finlizción del cálculo de iterciones se logr cundo todos los elementos de vector de residul están debjo de l tolernci requerid. El método de Jcobi present ms oscilciones que los métodos de Guss-Siedel y reljción. 89

90 Métodos de Grdiente 90

91 MÉTODOS DEL DESCENSO MÁS RÁPIDO DEL GRADIENTE CONJUGADO En est oportunidd refleionremos sobre lgunos métodos especiles pr resolver sistems de ecuciones lineles. En donde l mtriz A es de orden nn simétric y definid positiv, en otrs plbrs,,y debemos recordr que el producto esclr de dos vectores X,Y de componentes reles es: 9

92 MÉTODOS DEL DESCENSO MÁS RÁPIDO DEL GRADIENTE CONJUGADO Propieddes.... Observemos que l propiedd se refiere l orden de los elementos,, y indicn que se pueden invertir. 9

93 MÉTODOS DEL DESCENSO MÁS RÁPIDO DEL GRADIENTE CONJUGADO Recordemos que si A es simétric y definid positiv, entonces el problem de resolver A=b es equivlente l problem: Vemos por que est firmción es ciert; primero vemos como se comport q() lo lrgo de un ryo unidimensionl. Pr lo cul consideremos +tv en donde y v son vectores y t un esclr gráficmente tenemos tv + tv 9

94 MÉTODOS DEL DESCENSO MÁS RÁPIDO DEL GRADIENTE CONJUGADO Medinte un clculo directo tenemos que pr todo esclr t : (*) 9

95 MÉTODOS DEL DESCENSO MÁS RÁPIDO DEL GRADIENTE CONJUGADO Como A es simétric es decir A T =A, entonces en l ecución (*) el coeficiente de t, es positivo, de est mner l función cudrátic sobre el ryo unidimensionl tiene un mínimo y no un máimo. Clculndo l derivd de l ecución (*) con respecto t. 95

96 MÉTODOS DEL DESCENSO MÁS RÁPIDO DEL GRADIENTE CONJUGADO Cundo l derivd es cero, eiste un mínimo de q lo lrgo del ryo unidimensionl en este cso el vlor de t es:, en consecuenci usndo este vlor podemos determinr el mínimo de q sobre el ryo unidimensionl (**) 96

97 MÉTODOS DEL DESCENSO MÁS RÁPIDO DEL GRADIENTE CONJUGADO Lo que quiere decir esto es que l psr q() de, siempre hy un reducción en el vlor de q(), menos que v se ortogonl l residuo es decir Si no es un solución del sistem A=b entonces eisten un diversidd de vectores que stisfcen Por lo tnto entonces no minimiz q() y por lo contrrio si A=b no eiste ningún ryo unidimensionl que slg de sobre el cul q() tome un vlor menor q(), en consecuenci un con ls crcterístics es un mínimo pr q(). 97

98 MÉTODOS DEL DESCENSO MÁS RÁPIDO DEL GRADIENTE CONJUGADO Debemos mnifestr que l refleión nterior sugiere l eistenci de los métodos itertivos pr resolver A=b, luego entonces procedemos de mner nturl por minimizr q() lo lrgo de un sucesión de ryos. Es decir el lgoritmo dispondrá de un proceso de: En seguid nos preocup determinr l dirección de búsqued decud Nuestro lgoritmo será 98

99 MÉTODOS DEL DESCENSO MÁS RÁPIDO DEL GRADIENTE CONJUGADO En donde Debemos decir que un diversidd de métodos itertivos tienen l form generl: 99

100 MÉTODOS DEL DESCENSO MÁS RÁPIDO DEL GRADIENTE CONJUGADO Pr vlores prticulres del esclr t K, y los vlores de v K, si, entonces t k, mide l distnci que nos movemos de K, pr hst l obtención de k+,verl siguiente figur. 00

101 MÉTODOS DEL DESCENSO MÁS RÁPIDO DEL GRADIENTE CONJUGADO MÉTODO DEL DESCENSO MÁS RÁPIDO Este método se le consider dentro del grupo de métodos itertivos que usn el lgoritmo nterior, consider que v K, deberí ser el grdiente negtivo de q() en (k), resultndo que este grdiente punt en l dirección del residuo Es decir tenemos: 0

102 MÉTODOS DEL DESCENSO MÁS RÁPIDO DEL GRADIENTE CONJUGADO Es decir tenemos: input (0),A,b,M output 0, (0) for k=0,,,, M- do. output k+, (k+) end 0

103 MÉTODOS DEL DESCENSO MÁS RÁPIDO DEL GRADIENTE CONJUGADO Debemos destcr l progrmr este lgoritmo no es necesrio conservr los vectores de l sucesión, lo mismo ocurre con, de mner el lgoritmo seri: input, A, b, M output 0, ) for k=0,,,, M- do,. output k, ) end Debemos destcr que este método generlmente no se plic este tipo de problems como consecuenci de su lentitud 0

104 MÉTODOS DEL DESCENSO MÁS RÁPIDO DEL GRADIENTE CONJUGADO MÉTODO DEL GRADIENTE CONJUGADO Otro método considerdo dentro del lgoritmo nlizdo nterior es el método del grdiente conjugdo de Hestenes y Stiefel, el cul es plicdo sistems de l form A=b, en donde A es considerd simétric y definid positiv. En este método ls direcciones v K, son elegids de un en un en el proceso itertivo y formn un sistem A-ortogonl, los residuos formn un sistem ortogonl es decir, 0

105 MÉTODOS DEL DESCENSO MÁS RÁPIDO DEL GRADIENTE CONJUGADO MÉTODO DEL GRADIENTE CONJUGADO Debemos decir que este método es preferible que el método de eliminción Gussin simple cundo l mtriz A es muy grnde y rl. Este método en su inicio fue muy sorprendente e importnte pero después de dos décds ls coss y no fue sí como consecuenci que se descubrió que l terminción finit no er sequible en l práctic. 05

106 MÉTODOS DEL DESCENSO MÁS RÁPIDO DEL GRADIENTE CONJUGADO MÉTODO DEL GRADIENTE CONJUGADO Pues l terminción finit er indeseble pr un método directo, sin embrgo posteriormente cundo se le considero como un método itertivo ls coss fue diferente, pues en estos métodos no es necesrio obtener un solución bsolut después de n psos lo que se esper es obtener un respuest stisfctori. 06

107 MÉTODOS DEL DESCENSO MÁS RÁPIDO DEL GRADIENTE CONJUGADO L ejecución del lgoritmo en un computdor precis de un lugr de lmcenmiento pr cutro vectores 07

108 Convergenci 08

109 CONVERGENCIA, CONVERGENCIA LONGITUD DE UN VECTOR Supongmos un vector en R, su longitud denotdo por es definido como un número positivo o cero. En términos de producto punto 09

110 CONVERGENCIA Ejemplo: se determinr su norm Debemos tener en considerción que el cmpo de los números reles R tiene el defecto de que un polinomio de grdo n con coeficientes reles no necesrimente tiene n ceros reles ejemplo 0

111 CONVERGENCIA,, Su conjugdo, norm, o modulo, se le define: El cmpo de los complejos y no tiene l nomlí de los reles, es ms tenemos el teorem fundmentl del lgebr, que estblece que todo polinomio no constnte con coeficientes complejos tiene l menos un cero en el plno complejo. L firmción nterior permite firmr que todo polinomio de grdo n se puede descomponer como un producto de n fctores lineles.

112 CONVERGENCIA,, ESPACIO VECTORIAL C n El espcio vectoril C n, est compuesto de todos los vectores en donde los Si l vector complejo es multiplicdo por tmbién complejo el resultdo es otro vector complejo. En consecuenci C n, es un espcio vectoril sobre el cmbo de esclres C. En consecuenci en este espcio C n. El producto interno se define

113 CONVERGENCIA. NORMA DE VECTORES Un norm en R n es un función de de R n en R que verific ls propieddes

114 CONVERGENCIA L norm Euclidin se define: Podemos observr que, Consideremos A un mtriz con elementos complejos, y A * denot su conjugd trnspuest es decir en prticulr, si es un mtriz de n (o vector column), entonces, es un mtriz de n o vector fil,

115 CONVERGENCIA En generl podemos definir norm de un vector Como csos prticulres tenemos l norm Euclidin cundo p= 5

116 CONVERGENCIA Máimo vlor bsoluto Ests propieddes son fmilires en relción l norm Euclidin o longitud de un vector. L norm de un mtriz cudrd, A, puede ser definid en form consistente con l definición de norm de un vector: 6

117 CONVERGENCIA L norm llmdo generlmente norm infinito Ejemplo: Ddo el vector determinr sus norms Euclidin e Infinito 7

118 CONVERGENCIA DISTANCIA EN ENTRE VECTORES Ddo dos vectores en R n,,, l distnci I y, entre e y se definen : 8

119 CONVERGENCIA Ejemplo: Ddo el sistem: = = =8.5 Consideremos l solución inicil,, usmos eliminción de Guss con Pivoteo prcil usndo ritmétic de cinco cifrs con redondeo, obtenemos l siguiente solución: 9

120 CONVERGENCIA Ls dos medids de l ectitud de proimción de son: 0

121 CONVERGENCIA Observmos que ls componentes y son buens proimciones y, y l primer componente es un proimción muy pobre en términos de distncis de mbs norms. Pues el término de distnci en R n, es utilizd pr definir el limite de un sucesión de vectores. Diremos que un sucesión de vectores con respecto l norm * si ddo eiste un entero tl que: converge culquier

122 CONVERGENCIA Ejemplo. Dd l sucesión definid: Tenemos que, Es sí que podemos encontrr un numero entero de tl mner que pr todos los números

123 CONVERGENCIA son menores que lo que nos firm esto es que l sucesión converge con respecto l norm. Los siguientes términos son equivlentes: L sucesión de vectores, converge con respecto lgun norm. L sucesión de vectores, converge con respecto tods ls norms. El, l componente i-ésim de, pr cd i =,,..,n sucesión de vectores, converge con respecto lgun norm.

124 CONVERGENCIA NORMAS MATRICIALES Un norm mtricil en el espcio de mtricil nn es un función de vrible rel que verific ls siguientes condiciones pr tods ls mtrices A y B de dimensión nn y todos los números reles

125 CONVERGENCIA NORMA MATRICIAL MÁXIMO O SUBORDINADA Es l norm, vectoril en R n,lculseledefine sobre el conjunto de tods ls mtrices de orden nn sí Consecuentemente ls norms que considermos son: 5

126 CONVERGENCIA Cundo n= su interpretción gráfic es: A

127 CONVERGENCIA Norm de un mtriz AX - 7

128 CONVERGENCIA Ejemplo: dd l mtriz Determinr Solución 8

129 Muchs Grcis 9