BLOQUE 5: FUNCIONES. Funciones elementales. Límites de funciones

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1 BLOQUE : FUNCIONES Funciones elementales Límites de unciones 9

2 .FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.. INTRODUCCIÓN En todas las ciencias se conocen leyes que relacionan dos magnitudes, de tal orma que, conociendo el valor de alguna de ellas podemos obtener, inequívocamente, el valor de la otra. Este tipo de relaciones rvieron de origen al concepto de unción. Una unción es una relación entre dos variables:, llamada variable independiente e y, llamada variable dependiente. A cada valor de la variable, la unción le asocia un valor único de la variable y. Nosotros trabajaremos con unciones reales de variable real, es decir, unciones en las que las variables toman valores en los números reales. Una unción puede presentarse bajo varios aspectos, gráica, ecuación o órmula, tabla o teto. Nosotros nos centraremos en los aspectos ecuación-gráica-teto. Es importante comprender que estas tres ormas de hablar de una unción son en realidad una sola, pues la relación que indican entre las variables es la misma y podemos pasar de una a otra. Las unciones que vienen descritas por una sola órmula reciben el nombre de unciones elementales.. CONCEPTO DE FUNCIÓN Llamamos unción real de variable real a una correspondencia entre un conjunto D R tal que a cada elemento D se le hace corresponder un único elemento y R. La representamos por: : D R R y A se le llama variable independiente mientras a y se le llama variable dependiente. La epreón algebraica que me permite calcular el valor de y correspondiente a un, recibe el nombre de epreón analítica de la unción. Llamamos dominio de deinición o campo de eistencia de una unción y se representa por Dom, al conjunto de números reales tales que eiste, es decir, y es un valor real. Dom R / R El dominio de deinición de una unción real puede verse restringido por la impobilidad de realizar alguna operación con ciertos valores de por ejemplo, anula un denominador o hace negativo un radicando o también por el conteto real del que se etrae la unción. Si en los ejes de coordenadas representamos todos los puntos de la orma, obtenemos la gráica de. Del estudio de la gráica podremos conocer muchas propiedades de la unción, de la misma orma que del estudio de la epreón analítica de la unción podremos conjeturar como será su gráica. Se deine recorrido o rango de una unción y se representa por Im al conjunto de números reales y R tales que eiste Dom cumpliendo que y. Im y R / R: y

3 . Ejercicio. Indica cuál es el dominio y el recorrido de las guientes unciones: a b c d e. Ejercicio: Calcula el dominio de deinición de las guientes unciones b c ln z e k 6 r 9 h g j ln s p t u v w 6

4 . ALGUNAS PROPIEDADES LOCALES DE LAS FUNCIONES SIMETRÍAS Una unción es métrica respecto del eje de ordenadas veriica: -, Dom Las unciones métricas respecto del eje de ordenadas se llaman unciones pares. Una unción es métrica respecto del origen de coordenadas veriica: - -, Dom Las unciones métricas respecto del origen de coordenadas se llaman unciones impares. Función par Función impar ACOTACIÓN. MONOTONÍA Y EXTREMOS. Una unción está acotada superiormente por un número real k todos los valores que toma la unción son menores o iguales que k. k, Dom El valor k recibe el nombre de cota superior de la unción. Una unción está acotada ineriormente por un número real p todos los valores que toma la unción son mayores o iguales que p. p, Dom A p se le llama cota inerior de la unción. Una unción se dice acotada lo está superior e ineriormente. p k, Dom Se dice que una unción es creciente en un punto eiste un intervalo abierto I que contiene a en el que se cumple: < I > Se dice que una unción es estrictamente creciente en un punto eiste un intervalo abierto I que contiene a en el que se cumple: < I > < >

5 Se dice que una unción es decreciente en un punto eiste un intervalo abierto I que contiene a en el que se cumple: > < I Se dice que una unción es estrictamente decreciente en un punto eiste un intervalo abierto I que contiene a en el que se cumple: < > > < I Se dice que una unción es creciente en un intervalo a,b, es creciente en todos los puntos de ese intervalo, o intuitivamente, se cumple: y /,, y y b a y < y Análogamente, una unción es estrictamente creciente en un intervalo a,b, es estrictamente creciente en todos los puntos de ese intervalo, o se cumple: /,, y y b a y < < Una unción es decreciente en un intervalo a,b, es decreciente en todos los puntos de ese intervalo, o también : /,, y y b a y < y y Una unción será estrictamente decreciente en un intervalo a,b, es estrictamente decreciente en todos los puntos de ese intervalo, o : /,, y y b a y > < Se dice que un punto es un máimo relativo de la unción eiste un intervalo abierto I que contiene a tal que I. Se dice que un punto es un mínimo relativo de la unción eiste un intervalo abierto I que contiene a tal que I. Se dice que un punto es un máimo absoluto de la unción D. Se dice que un punto es un mínimo absoluto de la unción D.

6 CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD Se dice que una unción es convea en un punto de su dominio de deinición, en un entorno de ese punto, la gráica de la unción se mantiene por encima de la tangente a la curva en ese punto. En caso contrario se dice que es cóncava. Convea Cóncava Los puntos donde la unción pasa de cóncava a convea o viceversa se llaman puntos de inleión.. Ejercicio: Encuentra los intervalos de crecimiento y decrecimiento, concavidad y los máimos y mínimos de las unciones del ejercicio de la página. FUNCIÓNES PERIÓDICAS r πr πr πr Una unción es periódica, de período T T>, veriica: FkT, k Ζ y Dom A T se le llama período principal de la unción, pues cualquier otro múltiplo de éste también es período.

7 . TIPOS DE FUNCIONES Funciones polinómicas. Son las que tienen por epreón analítica un polinomio: : R R a n n a n- n-... a a Para todas las unciones polinómicas Dom R. Las unciones polinómicas de primer grado se llaman unciones lineales o rectas y son del tipo ab. El coeiciente a, se llama pendiente de la recta. Si a> la recta es creciente y a< la recta es decreciente. Las unciones polinómicas de segundo grado son de la orma a bc, su representación gráica es b una parábola que tiene como coordenada de su vértice a. Si a<o la parábola presenta un máimo en a su vértice y a>o presenta un mínimo. Funciones de proporcionalidad inversa. : R R k El dominio de estas unciones es Dom R-{}. Su representación gráica es una hipérbole. Funciones raíz: Las unciones y k se representan mediante medias parábolas con el eje paralelo al eje X. Funciones racionales. Son las que tienen por epreón analítica una racción algebraica. g: R R P g endo P y Q polinomios. Q En este caso Domg R / Q. Entre las unciones racionales las de epreón también tienen por gráica una hipérbole. a c b d Funciones eponenciales. Son aquellas en las que la variable aparece en el eponente. La base es empre un nº real potivo, distinto de. e: R R e k a Dome R a, a> a, a<

8 Características de la unción eponencial a Su dominio es R. b Su recorrido es,. c Es continua en su dominio. d Es creciente la base es mayor que y decreciente la base es menor que. e Tiene una asíntota horizontal y. Funciones logarítmicas log a : R R log a endo a>, a Domlog a R / > Propiedades de estas unciones: a Pasan por los puntos, y a,. b Su dominio se reduce a los números potivos. c Es creciente a> y decreciente <a<. d Tiene por asíntota vertical el eje Y. e Las más importantes son ln y log. ln log Función valor absoluto de otra unción: Recordemos que el valor absoluto de un número se deinía como: a a a - a a < La unción valor absoluto se deine de orma análoga: - < 6

9 En general, el valor absoluto de una unción se deinee como: - < Función parte entera: Se llama parte entera de un número al mayor número entero menor o igual que. A partir de esto, deinimos la unción parte entera de, Ent, que hace corresponder a cada número su parte entera: Funciones deinidas a intervalos: Cuando la epreón analíticaa de una unción no es única no que varía de un intervalo a otro decimos que la unción está deinida a intervalos o a trozos. Para representarlas gráicamente tenemos que estudiar cada tramo, y prestar atención a los puntos donde la unción cambia la epreón. Ejemplo: < < - 7

10 Funciones trigonométricas t: R R tsenα o cosα, t α,... sen cos t 8

11 . COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Y FUNCIÓN INVERSA Dadas dos unciones, y g, se llama unción compuesta de y g, y se denota por unción que transorma en [ ] g : g, a la g [ ] g g La epreón g se lee compuesta con g. Además, en general g g. Se llama unción inversa o recíproca de a otra unción, condición: a b, entonces, b a. Como consecuencia se dan las guientes relaciones: ; ; es decir, es decir,, que cumple la guiente [ ] [ ] La unción inversa de inversas o recíprocas. es. Por eso se dice, mplemente, que las unciones y son Las gráicas de estas unciones son métricas respecto de la recta y. 9

12 . Halla el dominio de las guientes unciones : EJERCICIOS Y PROBLEMAS a - b y c e y g y 6 i y j k y m y p y ln t ytg n y ñ y ln q y 6 r y d y h l y o y ln s y ln. Representa gráicamente las guientes unciones y, utilizando la gráica, indica: dominio, recorrido o imagen, puntos de corte con los ejes de coordenadas, intervalos de gno potivo y gno negativo e intervalos de crecimiento y decrecimiento. a b - c y d y e y - g y - h y i y 6 j y k y l y m y n y 6 ñ y 9 o y p y q y r y s y t y u y log v y log w y sen cos y tg. Observando la gráica de estas unciones indica su dominio de deinición y su recorrido:. De un cuadrado de cm de lado, se cortan en las esquinas triángulos rectángulos isósceles cuyos lados iguales miden. a. Escribe el área del octógono que resulta en unción de. b. Cuál es el dominio de esa unción? Y su recorrido?. Representa gráicamente las guientes unciones a trozos : a > b c >

13 d e < > g < < 6. Representa y deine como unciones a trozos: a b y c 7. Sin representarlas gráicamente, halla los puntos de corte con los ejes de coordenadas e intervalos de gno, de las guientes unciones : a y - b y 6 c y d y e y y 6 8. Asocia a cada una de las gráicas su epreón analítica:,, 9. Dadas las unciones y g, calcula su suma, dierencia, g producto y cociente. Cuál es el dominio de. Dadas las unciones y a g y su dominio b g c g y su dominio d g. Asocia a cada gráica la epreón analítica que le corresponda entre las guientes:? g se pide calcular : y su dominio : y su dominio,7 log

14 . Esta es la gráica de la unción y.representa a partir de ella las unciones: a y - b y c y - d e y -. La epreón analítica de esta unción es del tipo y b. a Observa la gráica y di los valores de a y de b.. Estudia las metrías de las guientes unciones:. g h. Sean las unciones: y g. Calcular : a g y g b g y g g, g y sus dominios. Se puede deducir de este ejercicio que la compoción de 6. Dadas las unciones y g, deinidas ambas en,, hallar: unciones es conmutativa? Por qué? 7. Halla la unción inversa de 6 y comprueba que se veriica: 8. Halla la unción inversa de y y comprueba que. 9. Busca la epreón analítica de estas unciones:. Una pelota es lanzada verticalmente hacia arriba desde lo alto de un ediicio. La altura que alcanza viene dada por la órmula h 8 6t 6t t en segundos y h en metros. a. Dibuja la gráica en el intervalo [,]. b. Calcula la altura del ediicio. c. En qué instante alcanza la altura máima?

15 . Un abricante vende mensualmente electrodomésticos a cada uno y sabe que por cada de subida venderá dos electrodomésticos menos. a. Cuáles serán los ingresos sube los precios? b. Escribe la unción que relaciona la subida de precios con los ingresos mensuales. c. Cuál debe ser la subida para que los ingresos sean máimos?. Helena va a vitar a su amiga Ana y tarda minutos en llegar a su casa, que está a km de distancia. Está allí media hora y en el camino de vuelta emplea el mismo tiempo que en el de ida. Representa la unción tiempo-distancia y busca su epreón analítica.. Un negocio en el que invertimos, pierde un % mensual. Escribe la unción que nos da el capital que tenemos según los mese transcurridos y represéntala. Cuánto tiempo tardará el capital inicial en reducirse a la mitad?. Un cultivo de bacterias comienza con células. Media hora después hay. Si ese cultivo gue un crecimiento eponencial del tipo y k.a t t en minutos, calcula k, a y representa también la unción. Cuánto tardará en llegar a bacterias?. Una parábola corta al eje de abscisas en y en. La ordenada del vértice es y -. Cuál es la ecuación de esa parábola? 6. Indica el dominio de deinición de: y ln y de y 7. Representa y epresa en intervalos las unciones: 9 a. y b. y AUTOEVALUACIÓN. Determina el dominio de deinición de las guientes unciones: a y b y. Representa gráicamente las guientes unciones: a y b y. Representa y. A partir de ella dibuja la gráica de < y. Ponemos al uego un cazo con agua a C. En minutos alcanza C y se mantiene así durante media hora, hasta que el agua se evapora totalmente. a. Representa la unción que describe este enómeno e indica su epreón analítica. b. Di cual es su dominio y su recorrido.

16 . El precio de venta de un artículo viene dado por la epreón p. donde es el número de artículos abricados y p su precio en cientos de euros. a. Si se abrican y se venden artículos, cuáles serán los ingresos obtenidos? b. Representa la unción nº de artículos-ingresos. c. Cuántos artículos se deben abricar para que los ingresos sean máimos? 6. Depotamos en un banco al 6% anual. a. Escribe la unción que nos dice cómo evoluciona el capital a lo largo del tiempo. Qué tipo de unción es? b. En cuánto tiempo se duplicará el capital? 7. Dadas y g, indica: a. [ g ] b. g [ ] c. g d. g e.. g g. h. g g AUTOEVALUACIÓN. Se condera un cuadrado cuyo lado mide cm. Con centro en cada vértice, y radio, la mitad de la longitud del lado, se construyen sectores circulares. Encontrar la epreón del área de la igura que se orma dentro del cuadrado en unción de su lado. Hallar el valor del área en el caso de que el lado mida cm. π. π Sol: a b cm. Dibujar la gráica de una unción con las guientes características; Su dominio es toda la recta real y su recorrido es el intervalo [-,]. Es métrica respecto del origen de coordenadas es decir, es impar. Es creciente en -, y decreciente en,,.. Se conderan las unciones: y g. Calcular: a. y su dominio. b. g y su dominio. c. y su dominio. g a ; Dom R { } Sol : b g ; Dom R { } c ; Dom R, g

17 . Dada la unción representada, indicar: a. Dominio y recorrido. b. Simetría y monotonía. c. Puntos de corte y asíntotas. AUTOEVALUACIÓN. a Se condera un círculo cuyo radio mide cm y se inscribe un cuadrado en él. Encontrar la epreón del área de la igura que orman los cuatro segmentos circulares. b Hallar el valor del área en el caso de que el radio mida 8 cm.. Dibujar la gráica de una unción con las guientes características: Su recorrido es toda la recta real. Es métrica respecto del eje de ordenadas. Tiene un máimo relativo en el punto,. Tiene dos asíntotas verticales.. Se conderan las unciones: a. y su dominio. b. g y su dominio. c. y su dominio. g. Dada la unción representada, indicar: y g. Calcular: a π. Sol: b 8 8. π cm a ; Dom R { } Sol : b g ; Dom,, c ; Dom, g a Dominio y recorrido. b Simetría y monotonía. c Puntos de corte. d Asíntotas.

18 AUTOEVALUACIÓN. Encontrar una unción polinómica de tercer grado que pase por los puntos A,7, B,6, C-, y D,7. { Sol : 7}. Representar gráicamente la unción ln >. El número de platos que un cocinero prepara viene dado en unción de los días que lleva realizando este trabajo mediante la epreón a. Representar gráicamente la unción, e indicar la parte gráica que tiene sentido en el conteto del problema. b. Cuántos platos prepara al empezar a trabajar? Y al cabo de un día de trabajo? c. Al cabo de cuántos días prepara platos? Cuál es el número máimo de platos que puede preparar?. Representar la unción y cos en el intervalo [ π, π ] A partir de la gráica anterior dibujar en el mismo intervalo las gráicas de las unciones: a y cos b y cos AUTOEVALUACIÓN. Hallar la unción polinómica de tercer grado a la que pertenecen los puntos A,8, B,8, C-,6 y D-,-. { Sol : 8}. Representar gráicamente la unción: <. El número de células de un cultivo de laboratorio viene dado por la epreón: e Donde indica el tiempo en días. a Calcular el valor de a el estudio del cultivo se inicia con cuatro células. Cuántas células habrá al día guiente? b Representar gráicamente la unción, e indicar la parte gráica que tiene sentido en el conteto del problema. c Cuántos días han de pasar para que haya células en el cultivo? Y para que se duplique esta cantidad?. Representar la unción sen y en el intervalo [ π, π ] A partir de la gráica anterior dibujar en el mismo intervalo las gráicas de las unciones: a a y sen b y sen 6

19 .6 LÍMITES DE FUNCIONES Idea intuitiva de ite. El ite de una unción en un punto nos inorma sobre el comportamiento de la unción cuando nos aproimamos a ese punto. Sea la unción a Cuando se aproima a por la izquierda, a qué número se aproima? ? b Cuando se aproima a por la derecha, a qué número se aproima?...? c Cuando se aproima a, a qué número se aproima? 99...??. Ejercicio: Haz lo mismo para en el punto. Límite de una unción en un punto. El concepto de ite de una unción en un punto de abscisa a inorma sobre el comportamiento de la unción en un entorno a-δ,aδ de a. Si cuando nos aproimamos a a las imágenes de la unción se aproiman a un punto l, se dice entonces que l es el ite de la unción en el punto a. Simbólicamente: l a l [ ε >, δ> / -a <δ -l <ε ] a Análogamente, en vez de conderar entornos tomamos entornos laterales, entornos a la derecha a, aδ o a la izquierda a-δ,a, tenemos el ite de cuando tiende a a por la derecha o el ite de cuando tiende a a por la izquierda. Simbólicamente: o a a l a l a [ ε >, δ> / -a <δ, <a -l <ε ] [ ε >, δ> / -a <δ, >a -l <ε ] Necesariamente, según la deinición, para que eista el ite de una unción en un punto deben eistir los ites laterales y además ser iguales. 7

20 Ejemplo: - < > Como puede observarse, cuando los valores de se aproiman a por la izquierda, los valores correspondientes de se aproiman a mientras que los valores de se aproiman a por la derecha, los de la unción se acercan a. Por lo tanto el ite de la unción en no eiste. Además, también podemos deinir los ites de una unción cuando tiende al o cuando tiende al -. Límites ininitos y ites en el ininito DEF: Decimos que a o a imágenes se hacen tan grandes o tan pequeñas como queramos. a cuando nos aproimamos a a, las Decimos que dado K> K<, encontramos δ > tal que a a-δ< < aδ, entonces >K <K Análogamente se deinen los ites laterales ininitos. DEF: Decimos que l cuando al hacer tan grande como queramos las imágenes se aproiman a l. Análogamente también imágenes se aproiman a l. l cuando al hacer tan pequeña como queramos las Decimos que l y sólo dado ε>, arbitrariamente pequeño, podemos encontrar un h, tan grande como sea necesario, tal que >h entonces -l <ε.. Ejercicio: Calcula los guientes ites: a b c d 6. Ejercicio: Calcula los guientes ites: a b c d e e e g h i e 8

21 Operaciones con ites Sean las unciones reales de variable real y g y sea a R tales que: α y g β a Entonces: ± g ± g a a a g g a a a a Se a β, a g g a α β Se α, a a α a g β a α g a g g g g α a a a 7. Ejercicio: Calcula los guientes ites: a d b e c Operaciones con epreones ininitas En las operaciones con ites tanto α como β pueden ser ininito. Así, podemos usar estas propiedades teniendo en cuenta las guientes epreones: Sumas a a Productos Se a > Se a < a a a a 9

22 Cocientes a ± a ± ± ± hay que hallar los ites laterales ± a > a a < a > a a < Potencias Se a >, a Se a <, a Se a, a Se a > Se <a< a a a a Resolución de indeterminaciones. Hay algunas operaciones que no se pueden realizar con epreones ininitas. Estas son: ; ; ; ; ; ;. Estas epreones se llaman indeterminaciones. Indeterminación de tipo : Este tipo de indeterminaciones se resuelven conderando los términos de mayor grado de cada una de las unciones implicadas. EJEMPLOS: a. Resolvemos dividiendo por la mayor potencia / / / / / b Resolvemos : / / / / / / Indeterminación de tipo - : Estas indeterminaciones aparecen al calcular ites de dierencias de unciones racionales o irracionales. En el primer caso se resuelven operando convenientemente, y en el segundo caso multiplicamos numerador y denominador por la epreón radical conjugada.

23 EJEMPLOS: a Resolvemos: b. Resolvemos: Indeterminación del tipo : Aparecen al calcular ites de cocientes de unciones polinómicas o de unciones racionales. En el primer caso se resuelven actorizando el numerador y el denominador por la regla de Ruini, y en el segundo caso se resuelve multiplicando numerador y denominador por la epreón radical conjugada de la unción que lleve raíz. EJEMPLOS: 8 a. Resolvemos: 8 8 b. Resolvemos: Resolvemos actorizando:

24 Indeterminación de tipo : Este tipo de indeterminaciones se resuelven haciendo el producto. EJEMPLO: / / 9 / / : Re 9 6 : Re solvemos solvemos Indeterminación de tipo Se deine el número e como endo una unción real de variable real tal que. Veamos cómo resolvemos este tipo de indeterminaciones mediante un ejemplo: Resolvemos: Sumamos y restamos a la base de la potencia: Si llamamos, tenemos que conseguir que aparezca en el eponente y para eso hacemos:

25 Utilizando que en la potencia de una potencia se multiplican los eponentes y la propiedad e de las operaciones con ites, tenemos que: También se puede aplicar la guiente órmula para resolver este tipo de ites. Nosotros sólo la usaremos para comprobar resultados: e h h g g e Hay determinadas unciones en las que las operaciones son demaado complejas y podemos resolver la indeterminación estudiando el orden de los ininitos. Si ± y g ± g : g ±, o lo que es igual,. g Sólo con ijarnos en las gráicas podemos concluir que:, se dice que es un ininito de orden superior a a Dadas dos potencias de, la de mayor eponente es un ininito de orden superior. 6 b Dadas dos unciones eponenciales de bases mayores que, la de mayor base es un ininito de orden superior ' c Cualquier unción eponencial de base mayor que es un ininito de orden superior a cualquier potencia. 7 d Tanto las unciones eponenciales de base mayor que como las potencias de son ininitos de orden superior a cualquier unción logarítmica. log Ejemplos: a, porque el minuendo es de grado / y el sustraendo es de grado.

26 ' b es un ininito de orden superior a una potencia., porque una unción eponencial con base mayor que.7 CONTINUIDAD Intuitivamente, una unción se dice que es continua en su dominio cuando su gráica se puede dibujar n levantar el lápiz del papel. DEF: Una unción se dice continua en un punto a cuando el ite de la unción en el punto coincide con la imagen de la unción en el punto a. Es decir: continua en a a a a a Esto implica las guientes condiciones: º Eiste a. º Eiste a º El ite coincide con el valor de la unción en a. TIPOS DE DISCONTINUIDADES: EvitablesEisteelitedela unciónen peronocoincidecon onoeiste De salto initoeistenlosites lateralesdelaunciónenperono coinciden De primera especie Discontinuidades Noevitables Cuando no eiste el ite De salto ininitoalguno delosites, olos dos, vale ± De segunda especie Algunodelositeslaterales, olos dos,noeiste

27 DEF: Se dice que una unción es continua cuando es continua en todos los puntos de su dominio. DEF: Continuidad en un intervalo: una unción se dice que es continua en un intervalo a,b es continua en todo los puntos de ese intervalo. En el caso de que el intervalo sea cerrado [a,b], la continuidad de la unción en el eigirá también la continuidad por la derecha en a y por la izquierda en b, es decir: a a b b Continuidad de las unciones más usuales. a Sean y g unciones continuas en a. Se cumple que: ± g es continua en a. g es continua en a. es continua en a. Si ga, entonces g es continua en a. b Las unciones polinómicas son continuas en todos los puntos. c Las unciones racionales son continuas en todo su dominio. d La unción eponencial e es continua en todos los puntos donde es continua la unción.

28 e La unción logarítmica y log es continua en todo donde > y sea continua. Las unciones deinidas a trozos serán continuas lo son en sus intervalos respectivos y en los puntos de unión. 8. Ejercicio: Estudia la continuidad de las guientes unciones: a b g e ch log d < > h e.8 ASÍNTOTAS Llamamos asíntotas de una unción a las rectas a las cuales se aproima la unción ininitamente. Estas pueden ser horizontales, verticales u oblicuas. Asíntotas horizontales. Se dice que yl es una asíntota horizontal de la unción y cuando: L ± Para conocer la poción de la unción con respecto a la asíntota, le damos valores grandes a para comprobar su imagen está por encima o por debajo de L, pudiendo saber así como se aproima la curva a la asíntota. Asíntotas verticales. Se dice que la recta a es una asíntota vertical de la unción y cuando: a ± o / y ± a 6

29 Para conocer la poción de la curva con respecto a la asíntota hay que estudiar los ites laterales en a Asíntotas oblicuas. La recta ymn es una asíntota oblicua de la unción y y sólo : Eiste m endo m distinto de y de. ± En este caso: m n ± La gráica de la unción puede cortar a las asíntotas horizontales u oblicuas, pero nunca a las verticales. EJERCICIOS Y PROBLEMAS. Sobre la gráica de la unción completa los guientes ites: - 7

30 8. Sobre la gráica de la unción completa:. Sobre la gráica de la unción completa:. Sobre la gráica de la unción completa:

31 . En los dibujos se muestran las gráicas de las unciones y Identiica cual es cada una de ellas e indica cual es su ite cuando 6. Dibuja una unción que veriique las guientes características: a.,, b.,,, c.,,,, d.,, 7. Haz la gráica aproimada de una unción que cumpla las guientes condiciones: a b c 8. Calcula los guientes ites: a. b. c. 9. Dada la unción d. cos a. g g g g < <, calcula: > c. e.. g. log h. e h h h h e. b. d.. 9

32 . Calcula los guientes ites: a. b.. Resuelve los guientes ites: a. b. c. d. e.. Calcula: a. b. a a c. a a b 7b d. b b. g. h. i. c. d.. Calcula el ite de la unción en,, y -.. Calcula en las guientes unciones los ites cuando, cuando y cuando. a. 7 c. b. d.. Calcula los guientes ites en el ininito: a. 7 g. b. c. 7 d. 7 e.. h. i. j. 7 k.

33 l. 7 m. 7 n. o. 6. Calcula los guientes ites de unciones racionales: a. b. c. d. 7. Resuelve los guientes ites: a. b. c. d. e.. g. h. i. [ ] j. k. l. p. q. r. 6 8 e.. g. h. m. n. o. p. q. r. s. t. u. v. w.. [ ]

34 y. z. aa. bb. cc. dd. 8. Calcula los guientes ites de unciones irracionales: a. b. 6 9 c. d. e.. g.. h. a. 9. Calcula los guientes ites: d c b a g e j i h m l k o ñ n q p u log log t e s r e z w v

35 . Determinar a para que se veriique: a. Justiicar eiste el guiente ite: Representar la unción y justiicar gráicamente el resultado analítico anterior.. Calcula los guientes ites: a. b.. Observa las guientes gráicas: c. d. Señala cual de las gráicas corresponde a una unción continua; en las que no lo sean describe sus discontinuidades.. Indica para que valores de! son continuas las guientes unciones: a. y 6 d. y b. y e. y c. y ln. y. Representa gráicamente las guientes unciones y di son continuas en en caso de que no lo sean indica el tipo de discontinuidad que poseen. a > < b > c Determina en cada una de ellas el ite cuando y cuando.

36 6. Calcula en cada caso el valor de k para que la unción sea continua en todo!. a. > k b. < 6 k c. k d. < k 7. Estudia la continuidad de las unciones: > a < < b 8. Hallar y claicar los puntos de discontinuidad de la unción: a > 9 p b g c Ln y d < 9. Estudia la continuidad de esta unción: > < 6. Qué valor debe tomar a para que las unciones sean continuas? a > < 7 a c > 7 log a t π b > a

37 . Hallar los parámetros para que sean continuas las guientes unciones: a b, < a b, < sen h b π > π c g a d a e r p L a b < <. Estudia la continuidad de la guiente unción: < < >. Es continua la unción y π en el intervalo [,]? Está acotada en dicho intervalo? Tiene máimo? Tiene mínimo?. Calcula el valor de a para que las guientes unciones sean continuas en : a. a > b. a. Calcula a y b para que la unción sea continua en toda la recta real: a b < < 6. En una empresa se hacen montajes en cadena. El número de montajes realizado por un trabajador n eperiencia depende de los días de entrenamiento según la unción t t t en días. Contesta: t a. Cuántos montajes realiza el primer día? Y el décimo? b. Representa la unción sabiendo que el periodo de entrenamiento es de un mes. c. Qué ocurriría con el número de montajes el entrenamiento uera mucho más largo? 7. Determina las asíntotas de las guientes unciones y túa la curva respecto a cada una de ellas: a. y c. y b. y d. y

38 e.. y y g. y h. y j. y k. y l. m. y y i. y n. y 8. Calcula los ites de las guientes unciones en los puntos en los que se anula el denominador: a. c. b. t t d. t t 9. Determina las asíntotas de las guientes unciones y túa la curva respecto a cada una de ellas: a. b. c. y y 7 y d. e.. y y y. Determina las ramas ininitas de estas unciones. Cuando tengan asíntotas, túa la curva: a. y b. y c. y 9 d. e.. y y y. Prueba que la unción sólo tiene una asíntota horizontal y otra vertical.. Calcula los guientes ites: a. b. 6 c. d. 6

39 e.. 8. Determina las asíntotas de estas unciones: a. y b. y c. y d. e.. y y y. Representa las guientes unciones y eplica son discontinuas en alguno de sus puntos: a. < b. c. > < > Calcula los ites de las unciones anteriores en - y en. Determina también, en cada una de ellas, el ite cuando y cuando.. Calcula los ites cuando y cuando de las guientes unciones: a. b. c.. 7 e h. d. e e 6. Representa una unción que veriique estas condiciones:,, y e... g. e La unción que representante, es discontinua en algún punto? En caso airmativo, indica en cual e indica que tipo de discontinuidad posee. 7. Se puede calcular el ite de una unción en un punto en el que no está deinida? Puede la unción ser continua en dicho punto? 8. Puede una unción tener más de dos asíntotas verticales? Y más de dos asíntotas horizontales? Pon ejemplos es poble. 7

40 AUTOEVALUACIÓN 6. Calcula el ite de en los puntos de abscisa, y. 7 > Di la unción es continua en dichos puntos.. Determina los guientes ites: a b c. Sobre la gráica de las unciones determina los ites que se indican: ; ; ; Estudia además la continuidad de las unciones indicando los puntos y tipos de discontinuidad. Indica las asíntotas de la unción respecto a ellas. y estudia la poción de la curva. Justiica que valor debe tomar a para que la unción sea continua en!: a a > 6. Determina el ite de cuando ; ; ; 6 y representa la inormación que obtengas. 7. Representa una unción que veriique las guientes condiciones: 8

41 8. Estudia las ramas ininitas de y túa la curva respecto a su asíntota.. Calcular los guientes ites: a. AUTOEVALUACIÓN 7 { Sol : } b. { Sol :} m. Dada la unción determinar el valor de m para que la ln > unción sea continua en toda la recta real. { Sol : m }. Sea la unción a. Encontrar los puntos de discontinuidad de. { Sol :, } b. Determinar razonadamente alguna de las discontinuidades es evitable. { Sol : } c. Estudiar tiene alguna asíntota vertical. { Sol : }. Se condera la unción < a. Estudiar el dominio y la continuidad de. { Sol : R { } b. Hallar las asíntotas de la gráica de. { Sol :, y, y }. Dibujar la gráica de una unción real que cumpla lo guiente: i. Sea continua en todos los puntos. ii. Sea lineal <. iii. Sea cuadrática en el intervalo [-,]. iv. Tienda a cero cuando 9

42 AUTOEVALUACIÓN 8. Calcula los guientes ites: a. Sol : 8 b. Sol :. Dada la unción < a determinar los valores de a y b para b > que sea continua en toda la recta real. { Sol : a, b }. Se condera la unción 6 8 a. Encontrar los puntos de discontinuidad de. { Sol :, } b. Determinar razonadamente alguna de las discontinuidades es evitable. { Sol : } c. Estudiar tiene alguna asíntota vertical. { Sol : }. Sea la unción ; se pide: a. Especiicar su dominio. Sol : R{, } b. Estudiar su continuidad. { } c. Calcular las asíntotas las hubiera. { Sol :,, y / }. Dibuja la gráica de una unción que veriique: i. ii. iii. iv. v. vi. vii. viii. 6