UNIDAD 0 APUNTES DE TEORÍA Y GUÍA TRABAJOS PRÁCTICOS

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN LUIS FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS JURÍDICAS Y SOCIALES DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS (FICA AREA DE MATEMATICA UNIDAD 0 APUNTES DE TEORÍA Y GUÍA TRABAJOS PRÁCTICOS EQUIPO DE CATEDRA Prof Responsle Ing JUAN ANTONIO RENAUDO JTP LÉPORE ÁLVARO JTP ESPINOSA ANALÍA AUXº MARSÓ LEANDRO Año 08

2 UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN LUIS FACULTAD DE Cs ECONÓMICAS JURÍDICAS Y SOCIALES DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS (FICA AREA DE MATEMATICA INGRESO 08 MATEMATICA DESTINADO A LAS CARRERAS DE: CONTADOR PÚBLICO NACIONAL- LICENCIATURA EN ADMINISTRACIÓN CONTENIDOS MÍNIMOS UNIDAD 0 NUMEROS: Clsificción Operciones con números rcionles Operciones con números reles: sum, diferenci, producto, cociente, potencición, rdicción Ejercicios comindos Logritmos, propieddes uso de l clculdor Conjunto: operciones Pr Ordendo Producto crtesino Relciones inris EXPRESIONES ALGEBRAICAS: Operciones con epresiones lgerics enters Polinomios Operciones con Polinomios Fctoreo, distintos csos Operciones con epresiones lgerics frccionris ECUACIONES: Ecución de primer grdo Inecuciones de primer grdo Sistems de ecuciones lineles, distintos métodos de solución, uso de l clculdor Ecución de segundo grdo Discriminnte Fctoreo del trinomio de segundo grdo BIBLIOGRAFÍA Mtemátic I, II, III Polimodl Editorl Sntilln Mtemátics Bchillerto I, II, III Miguel de Guzmán- Editoril An Mtemátic,,, Editoril AZ Álger Trigonometrí Stnle A Smith- Rndll I Chrles- John A Dosse-Mervin L Keed- Mrvin L Bittinger Ed Addison Wesle Longmn

3 FEBRERO MARZO 08 CPN Lic en Administrción MATEMÁTICA I - ANÁLISIS MATEMÁTICO I LUNES :00 :00 AULAS - MARTES :00 :00 AULAS - UNIDAD 0 MIERCOLES :00 0:00 AULAS - CRONOGRAMA UNIDAD 0 JUEVES :00 :00 AULAS - NUMEROS REALES:,,, 0 de Ferero EXPRESIONES ALGEBRAICAS:,, 8 de Ferero Mrzo ECUACIONES:, 8 de Mrzo EVALUACIÓN UNIDAD 0 º INSTANCIA Sádo 0 de Mrzo 0:00 hs AULA Nº º RECUPERACIÓN Miércoles de Mrzo :00 hs AULA Nº º RECUPERACIÓN Viernes de Mrzo 0:00 hs AULA Nº

4 NÚMEROS REALES El ojetivo en est unidd es que conozcmos mnejemos con sencillez ls operciones entre números reles sus propieddes Por ejemplo, si queremos medir el perímetro de un terreno pr lmrr, o el gsto mensul en trnsporte, indicr l velocidd de nuestr coneión Internet, necesitmos números Quizá h sido est, l necesidd de contr, l que h desrrolldo l primer mtemátic, l del homre prehistórico, l de los egipcios (que conocín el concepto de frcciónentonces podemos decir que l noción de números nció con el homre El homre primitivo teni l ide de número prtir de llí, lo lrgo de todo el tiempo, se h llegdo l desrrollo que ctulmente posee el concepto de número Números Nturles (N Los Números Nturles fueron los primeros que utilizó el ser humno pr contr ojetos de l nturlez:,,,, 00, n, etc Se denot con N Es posile representrlos en un rect, que poseen ntecesor (ecepto el sucesor El número cero se puede incluir en este conjunto de números Nturles constituendo sí el conjunto de números nturles incluido el cero N 0 Con los cules contmos, ordenmos relizmos operciones de sum multiplicción, siendo el resultdo de ests operciones tmién un número nturl, sin emrgo no ocurre lo mismo con l rest división Crcterístics de los números nturles: Es un conjunto infinito, totlmente ordendo por l relción Tiene primer elemento, no tiene último elemento Todo número nturl tiene un sucesor, es decir, cd número nturl, tiene un consecutivo Todo número nturl, slvo el uno, tiene ntecesor Entre dos números nturles consecutivos, no eiste otro número nturl, por eso se dice que el conjunto es discreto o ien entre dos nturles eiste un número finito de números nturles TEORÍA-UNIDAD 0 Págin

5 Cundo decimos que los números nturles pueden sumrse multiplicrse, el resultdo es nuevmente un número nturl, es por que ests operciones se sn en propieddes, como ser: Donde, c son números nturles Propieddes ásics L relción de orden entre números nturles son: Propieddes de orden Ddos Si Si, es o necesrimente c entonces c Y ls propieddes de vínculo con ls operciones: Si Si Conmuttivs Asocitivs: Distriutividd entonces c c entonces c c c ( c ( c ( c ( c c c Necesidd de su creción Números Enteros (Z Y ls ntigus civilizciones hindú áre oservron que lgunos prolems numéricos no tenín solución entre los números conocidos (nturlesesto ocurrí por ejemplo con ls deuds monetris ls cules representn con el signo (- delnte del número, por ejemplo -00, indic un deud de 00 moneds Antes l necesidd de poder resolver situción prolemátics donde el minuendo es menor que el sustrendo, fue necesrio mplir el cmpo de los números nturles, creándose sí los números negtivos Por lo tnto, medid que ps el tiempo, estos números continuron preciendo en innumerles situciones dndo pso sí l formción de un conjunto numérico, conocido como los números enteros, se simoliz con Z TEORÍA-UNIDAD 0 Págin

6 0 (Nturles positivos (cero (Números negtivos Crcterístics del conjunto de números enteros Es un conjunto infinito El conjunto Z no tiene ni primer ni último elemento En efecto todo número entero tiene un ntecesor un sucesor El conjunto Z es un conjunto ordendo, se puede definir un relción de mor, menor o igul El conjunto Z es un conjunto discreto Entre dos enteros no siempre eiste otro número entero Opuesto de un número Cd número entero tiene un opuesto, que se encuentr igul distnci del origen, de modo que + (-=0Los números opuestos tienen el mismo módulo Números Rcionles (Q Nº Nturles (N Cero Nº Negtivos Enteros (Z Rcionles (Q Frcciones /o Decimles El conjunto Q de los números rcionles está formdo por todos los números que pueden epresrse como frcción Todos los números Enteros, por lo tnto los Nturles, pueden escriirse como frcciones Crcterístics Los números rcionles son infinitos El conjunto de los rcionles no tiene primer ni ultimo elemento El conjunto del cmpo de los rcionles es denso, porque siempre puedo encontrr entre dos números otro numero rcionl TEORÍA-UNIDAD 0 Págin

7 Tod epresión del tipo, en l cul son números enteros 0, se llm frcción o epresión frccionri Se puede considerr un frcción un prte de un todo Numerdor: indic el número de prtes que se tomn Denomindor: indic en cuánts prtes igules se divide el todo Cundo en un frcción, el numerdor el denomindor son números primos entre si, decimos que l frcción es irreducile Qué signific ser denso? Ddos dos números rcionles, siempre es posile encontrr otro entre ellos Un mner sencill de determinrlo es l semisum: En este conjunto, ls cutros operciones son cerrds, es decir, el resultdo otenido es siempre un número rcionl Frcciones equivlentes Dos frcciones son equivlentes o igules si representn l mism cntidd Ejemplo,,, Ests epresiones son Equivlentes entre sí, puedes otener epresiones equivlentes si un número lo multiplics divides por l mism cntidd Dos frcciones Ejemplo: verifiquemos que c d 0 son equivlentes si solo si d c son equivlentes, pues =0 Comprción de frcciones Definición: Dds dos frcciones siguiente orden en el conjunto de los números rcionles: c, tl que 0 d 0, se define el d c d Si solo si, d c En form nálog se definen los símolos >, TEORÍA-UNIDAD 0 Págin

8 Operciones con frcciones Sum /o rest de frcciones c d d cd d Multiplicción de frcciones: c c d d División de frcciones: Dos frcciones c d, son reciprocs o inverss si su producto es igul c d Es decir: De l definición otenemos el siguiente resultdo Un frcción tiene invers si solo si 0 L frcción invers de es l frcción En generl: c d d c Epresión deciml de los números frccionrios Epresr un número frccionrio en deciml, es dividir numerdor por denomindor, se otiene epresiones decimles ects periódics EXPRESIONES DECIMALES PURAS EXACTAS PERIÓDICAS MIXTAS Ejemplos: 0, 0 deciml ecto, que su resto es cero, el denomindor es un 000 potenci de 0, en este cso es 0 deciml ecto, puesto que el resto de l división es cero 80 TEORÍA-UNIDAD 0 Págin

9 c,, ˆ deciml periódico puro 8 d 88, 8 deciml periódico mito 8 Números Irrcionles (I Un número se llm irrcionl si no es posile escriirlo como un frcción L epresión deciml de un número irrcionl es infinit no es periódic Un ejemplo de irrcionl es ; oserv sus primers cifrs:,0088, otro numero irrcionl es el número que se us en geometrí, el numero que se us pr clculr longitudes de circunferencis áres de círculos, pr el cul l proimción más usul es L representción deciml de este número continú interminlemente sin repetición Grcis l tecnologí que hor tenemos, un computdor clculó como deciml hst cien cifrs, he quí lguns: =, Con el siguiente Digrm podemos representr los conjuntos de números vistos N Z Q I R Números Reles ( R Los Números Reles se pueden representr sore un rect numéric, que es un líne mrcd intervlos igules Un de ls mrcs se llm origen, indicd con el 0, ls mrcs l derech del origen representn los enteros positivos ls mrcs l izquierd del origen representn los enteros negtivos, entre los números enteros se uicn los otros conjuntos numéricos En síntesis: Los números irrcionles son quellos que no pueden ser epresdos por medio de un frcción, o se que sus epresiones decimles tienen infinits cifrs no TEORÍA-UNIDAD 0 Págin

10 periódics Son ejemplos de números irrcionles el número, ls ríces de orden pr de números nturles que no sen números nturles (ejemplo, ls ríces de índice impres de números enteros pres tnto positivo como negtivo (Ejemplo 8 Con los números irrcionles se complet l rect numéric Al operr con números reles dees tener en cuent lguns Lees Básics: Le Conmuttiv Se plic ls operciones sum multiplicción, estlece que no import el orden en que se sumen o multipliquen dos números Est le grntiz que: Le socitiv Se plic ls operciones sum multiplicción, estlece que no import el orden en que se sumen o multipliquen tres números Es decir que: ( c ( c ( c ( c Le distriutiv Asoci ls operciones de sum producto de l siguiente mner ( c c Orden de ls operciones Pr resolver prolems de cálculo eiste un orden que deemos seguir pr llegr l resultdo: Operciones dentro de préntesis (llves o corchetes deen relizrse siempre comenzndo desde el préntesis más interno trjr hci fuer Elevción un potenci Multiplicción o división en el orden en que prezcn de izquierd derech Sums rests en el orden que prezcn de izquierd derech TEORÍA-UNIDAD 0 Págin

11 Elementos identidd Eisten elementos identidd pr l sum pr el producto 0, el 0 es el elemento identidd pr l sum, el es el elemento identidd pr el producto Elemento inverso Pr l sum: es quel número tl que sumdo otro número d como resultdo el elemento identidd del producto +(- = 0, el elemento inverso pr l sum es - Pr el producto: es quel número tl que multiplicdo otro numero d como resultdo el elemento identidd de l sum El elemento inverso pr el producto es / Potencición Multiplicr un número por sí mismo vris veces, puede indicrse como n, que es lo mismo que multiplicr, n veces: n = El número se llm se el n se llm eponente decimos que n es l n-esim potenci de Regls de los eponentes Producto de potencis de igul se Pr multiplicr dos o más potencis que tienen l mism se st con sumr los eponentes plicrlo l se; m n (n + m = Producto de cocientes de igul se Pr dividir dos o más potencis que tienen l mism se st con restr los eponentes plicrlo l se; m / n = n-m si es distinto de cero Potenci de Potenci Pr resolver l potenci de un potenci se multiplicn los eponentes se plicn l se ( n m = nm n n ٠ Le distriutiv respecto del producto n ٠ Le distriutiv respecto del cociente n de cero ٠ Potenci cero: Por convención 0 = A qué será igul 0 0? Eiste? n / ٠ Eponente Negtivo: n n / / si es distinto TEORÍA-UNIDAD 0 Págin 8

12 Lees de los signos Si l se es positiv el resultdo es positivo culquier se el eponente Si l se es negtiv, el resultdo es negtivo si el eponente es impr ( ( ( ( Si l se es negtiv, el resultdo es positivo si el eponente es pr ( ( ( ( ( Rdicción L operción de rdicción es l invers de l potencición, si n = entonces diremos que de n, donde es el rdicndo, n es el índice de l ríz es ríz ٠ l ríz es positiv si es positivo ٠ es negtiv si es negtivo n es impr Lees de l rdicción ٠ Distriutiv respecto del producto respecto del cociente n n n ٠ Potenci de un ríz n n n : : m n / ( m n Esto implic que todo índice de un rdicción puede escriirse como un potenci de eponente frccionrio Rdicles Los rdicles son los números irrcionles como por ejemplos: ; ; ; El índice de l ríz indic el grdo de un rdicl Así grdo es un rdicl de grdo tres es un rdicl de segundo TEORÍA-UNIDAD 0 Págin

13 Rdicles semejnte: Dos rdicles son semejntes cundo tiene el mismo rdicndo el mismo grdo Ejemplos ; 0 En cmio no son semejntes Alguns propieddes de rdicción n n Si eisten en el cmpo de los números Reles, entonces se cumplen ls siguientes propieddes: Distriutividd respecto l multiplicción Ejemplo: 8 8 Distriutividd respecto l división: n Ejemplo: n n n n n, siempre que 0 c Simplificción de índices: siempre que l potenci el índice sen múltiplos Ejemplo: Simplificr rdicles Pr simplificr rdicles su más simple epresión se descompone en sus fctores primos Ejemplo Descomponer luego 8 Entonces: = Etrcción de fctores fuer del rdicl Pr l etrcción de fctores fuer del rdicl h que tener en cuent l propiedd de distriutividd con respecto l multiplicción división TEORÍA-UNIDAD 0 Págin 0

14 Ejemplo: Siempre pr etrer fctores fuer del rdicl l potenci dee ser igul o mor l índice Siempre los vlores numéricos se deen descomponer Operciones con rdicles Sums rests con rdicles Pr sumr restr rdicles, h que simplificr los rdícles ddos, (si esto es posile, efectur ls operciones indicds Ejemplo Efectur 80 Primero se descomponen en fctores primos Luego se escrie: 80 c Etrcción de fctores 80 Ejemplo Relizr l siguiente sum 8 0 TEORÍA-UNIDAD 0 Págin

15 Descomponer 8, Escrio: Etrcción 8 0 c = Multiplicción División De Rdicles I En el producto en el cociente de rdicles con el mismo índice, se tiene en cuents l propiedd distriutiv Ejemplo II Pr poder efectur l multiplicción l división de rdicles con distinto índice, primero se dee trnsformr en rdicles equivlentes (del mismo índice Pr ello se utiliz el múltiplo común menor entre los índices se plicn, convenientemente, ls propieddes Ejemplo el m c m es L división se reliz en form similr TEORÍA-UNIDAD 0 Págin

16 Rcionlizción L Rcionlizción consiste en eliminr l ríz de denomindor (en lgunos csos del numerdoren ese cso se relizn ls trnsformciones necesris de mner de otener epresiones equivlentes con denomindor (numerdor rcionl I Si el denomindor tiene un solo término con un rdicl de índice, se multiplic tnto ese numerdor como el denomindor por ese rdicl, se relizn tods ls operciones simplificciones necesris pr otener un denomindor rcionl Ejemplo II Pero si se tiene un rdicl con índice mor que de l form n m ( n m, se multiplic numerdor denomindor por un rdicl de l form n n m denomindor rcionl, pr seguir operndo simplificndo hst otener un Ejemplo III Si el denomindor tiene dos términos l menos uno es rdicl, se multiplicn numerdor denomindor por su conjugdo, se reliz ls operciones simplificciones necesris Siempre tiene que quedr en el denomindor (numerdor un epresión sin rdicles Ejemplo ( ( ( TEORÍA-UNIDAD 0 Págin

17 Logritmo En ciencis como Economí, Biologí Químic se estudin mgnitudes que tienen un porcentje fijo de crecimiento o decrecimiento cd cierto periodo Ests situciones se modelizn trvés de funciones eponenciles o logrítmics Logritmo: Definición El Logritmo en se de un numero es el numero c, sí solo sí elevdo l eponente c d como resultdo En símolos log c c Se lee: logritmo en se de es l se del logritmo dee ser un numero rel positivo es el rgumento del logritmo dee ser un numero rel positivo Ejemplo log 8 8 log Cmio de se: El cmio de se se us pr clculr el vlor del logritmo Cundo no se especific el, se entiende que se est trjndo con se 0, nuestrs clculdor trjn en es se Como se reliz el cmio de se: Ejemplo log log log, log log log Propieddes de los logritmos El logritmo de, en culquier se es 0 Ejemplo 0 log En símolos log 0 TEORÍA-UNIDAD 0 Págin

18 El logritmo de un número de igul se, d por resultdo Ejemplo log En símolos log El logritmo de un producto es igul l sum de los logritmos de los fctores Ejemplo: log log log En símolos: log ( c log log c El logritmo de un cociente, es igul l rest entre los logritmos Ejemplo: log log log En símolos log ( c log log c El logritmo epresdo como potenci de un número es igul l potenci por el logritmo de ese número Ejemplo: log log En símolos log n n log Ejemplo: Aplicr ls propieddes del logritmo pr clculr, si Solución: log log, (,8, nt log(,, Logritmos decimles logritmos nturles Cundo l se es 0, los logritmos se llmn decimles, e ello no es necesrio indicr l se, es decir que: log log0 Otros logritmos que se utilizn con frecuenci son los logritmos nturles (ln Este numero tiene como se especil, el numero e en símolos ln log e TEORÍA-UNIDAD 0 Págin

19 Alguns propieddes e ln ln 0 clne d lne El número e, es un número irrcionl equivle,8888 Ecuciones eponenciles: Ls ecuciones eponenciles son quells en ls que l incógnit prece en un eponente o en más de uno Pr resolverls, h que tener presente que Siempre que se posile, es conveniente epresr mos miemros como potencis de un mism se Pr despejr ls incógnits que precen en el eponente, es posile usr el logritmo Ejemplo: ( plico 8 ( resulevo el 8 8 log log8 plico log8 log 8 pso plico 8 fctor dividiendo log ritmo prentesis propieddes comun de potencis Ecuciones logrítmics Ls ecuciones logrítmics son ls que tienen l incógnit de lgún logritmo Tener en cuent: Se plic l definición de logritmo Siempre que se posile grupr los logritmos, plicr lgun propiedd Verificr TEORÍA-UNIDAD 0 Págin

20 Ejemplo: log log log ( log plico resuelvo plico l propiedd dentro deficion del de de multiplic prentesis log cion 0 descrtmo s resuelvo Conjuntos Conjuntos es un concepto primitivo que no definimos Pero convencionlmente podemos decir que un conjunto es un grupción o colección de ojetos perfectmente distinguidos determindos A continución se dn lgunos ejemplos de conjuntos: - conjunto de ls vocles V = {, e, i, o, u} - conjunto de los números reles R - conjunto de lgunos triángulos ( no es conjunto Los conjuntos se denominn con letr múscul de imprent Los ojetos que componen un conjunto ddo se colocn entre llves seprds por com, cd uno de estos ojetos se denominn elementos se dice que pertenecen l conjunto por medio del signo Los conjuntos se pueden definir de dos forms: Por Etensión: Cundo se dn conocer eplícitmente todos cd uno de los elementos que lo componen Ejemplo: A = {,,, } Por comprensión: cundo se indic l propiedd que cumplen todos los elementos del conjunto solo ellos Ejemplo: A = N / Conjunto universl o de referenci Es el conjunto formdo por todos los elementos del tem trtr, o se con el universo que trjmos Lo indicmos con U TEORÍA-UNIDAD 0 Págin

21 Iguldd de conjuntos Dos conjuntos son igules si tienen los mismos elementos sin importr el orden A = {,,, } B = {,,, } A = B Conjunto vcío Se denomin sí l conjunto que no posee elementos Se indic de l siguiente mner: 0= { } Conjunto unitrio Es el conjunto formdo por un único elemento A = { } Representción gráfic de conjuntos Los conjuntos se representn gráficmente por medio de un líne curv cerrd que determin un zon pln denomind digrm de Venn El conjunto universl se represent medinte un digrm de rectngulr Ejemplo: U = {,,,,,,, 8,, 0} A ={,, } B = {,, } A B 0 8 U Inclusión de conjuntos Un conjunto B está incluido o lo sumo es igul l conjunto A sii pr todo elemento, si ese elemento pertenece l conjunto pertenece l conjunto A B entonces tmién Todo conjunto está incluido o es igul si mismo por lo tnto todo conjunto es suconjunto de si mismo TEORÍA-UNIDAD 0 Págin 8

22 Por definición el conjunto vcío es suconjunto de todo conjunto A,,c,d,e B,c,d B A B A B c d e A Fmili de prtes de un conjunto: El conjunto de prtes de un conjunto está formdo por todos los suconjuntos que se otienen prtir del conjunto ddo A,, P A =,, ;, ;, ;, ; ; ; ; 0 El número de suconjuntos de un conjunto es igul : elementos del conjunto En el ejemplo nterior tenemos: n con n =Nº de 8, = Nº de elementos del conjunto A Crdinlidd: A, es el número de elementos de un conjunto ddo Operciones con Conjuntos: Unión: Ddos dos conjuntos A B, definimos unión entre mos conjuntos un tercer conjunto C formdo por los elementos de A /o de B A B / A B ( =/o Ejemplo: A,,c B, p,q A B,,c, p,q A c p q B Intersección: Ddos dos conjuntos A B se define como intersección entre mos un tercer conjunto C formdo por los elementos comunes mos conjuntos A B / A B TEORÍA-UNIDAD 0 Págin

23 Ejemplo: A,, B,,, A B, A B A Diferenci: Ddos dos conjuntos A B se llm diferenci A-B l conjunto formdo por los elementos que pertenecen A no pertenecen B A B / A B B A / B A A B,,c,,c,d,e B d,e, f B A f A A d d f B f B e e c c A-B B-A Complementción: El conjunto complementrio de un conjunto culquier A est formdo por todos los elementos del referencil que no pertenecen A U,e,i,o,u i u U A,e A U A i,o,u o e A Pr ordendo: Es un conjunto de dos elementos no necesrimente distintos considerdos en un cierto orden,, primer componente del pr segund componente del pr, c,d c d Producto Crtesino: Ddos dos conjuntos A B, se denomin producto crtesino de AXB un nuevo conjunto cuos elementos son pres TEORÍA-UNIDAD 0 Págin 0

24 ordendos tles que l primer componente de cd pr pertenece l conjunto l segund componente pertenece l conjunto B,, B AXB,;, ;,;,;,;, A, Simólicmente: AXB, / A B El producto crtesino NO es conmuttivo: AXB BXA Gráficmente: A B Relción Binri: Ddos dos conjuntos A B se define como relción inri entre los elementos del conjunto A B un suconjunto del producto crtesino AXB tl que eist un propiedd que vincule los elementos del conjunto A con los elementos del conjunto B R, /, AXB : R Ejemplo: A,, B,, AXB, ;, ;, ;, ;, ;, ;, ;, ;, R, /, AXB :, ;, Dominio de un Relción: es el conjunto formdo por ls primers componentes de los pres de l relción D R / A B : R En el ejemplo nterior tenemos: D R, Recorrido de l Relción: es el conjunto formdo por ls segunds componentes de los pres de l relción R R / B A : R En el ejemplo nterior tenemos: R R, TEORÍA-UNIDAD 0 Págin

25 Representción Gráfic en el sistem de coordends crtesins El sistem de coordends crtesins ortogonles, está formdo por dos ejes que intersecn perpendiculrmente en un punto denomindo origen de coordends El eje horizontl llmdo eje o eje de ls sciss, en el se representn ls sciss de un punto (primer componente del pr El eje verticl llmdo eje o eje de ls ordends, en el se representn ls ordends de un punto (segund componente del pr Ejemplo: Representr los pres ordendos, ;,, En mtemátic, de tods ls relciones inris ls más importntes son quells en ls que cd elemento del dominio le corresponde de lgún modo un solo un elemento del recorrido, ésts relciones se ls denomin relciones funcionles TEORÍA-UNIDAD 0 Págin

26 EXPRESIONES ALGEBRAICAS En el lenguje mtemático es frecuente representr trvés de letrs, números operciones lguns epresiones de l vid cotidin o generlizciones Dichs epresiones son llmds epresiones lgerics Ls letrs pueden representr cntiddes conocids constntes o desconocids vriles Ls constntes se representn con ls primers letrs del lfeto (,, c, d, e, f ls vriles se representn con ls últims letrs del lfeto (s, t, u, v, w,,, z Entonces ls epresiones lgerics son un cominción de letrs números, ligdos entre si con ls operciones mtemátic (sum, rest, multiplicción división Ejemplo: Ls epresiones lgerics pueden escriirse en lenguje simólico o lgerico, o en lenguje coloquil En form simólic signific escriirlo medinte símolos signos En form coloquil es escriirlo en form de orción Ejemplo: Lenguje coloquil L sum de los cudrdos de dos números Lenguje Simólico: + Ls epresiones lgerics se pueden clsificr en: Epresiones lgerics enters: no tienen vriles en el denomindor o jo el signo rdicl Ej: Epresiones lgerics frccionris: cundo tiene vriles en el denomindor Ej: Epresiones lgerics irrcionles: cundo tiene vriles jo el signo rdicl o como potenci de eponente frccionrio Ej: Términos Algericos Cd un de ls prtes de un sum lgeric, junto con el signo que l precede, se le llm término lgerico Ejemplo: Los términos lgericos de l sum lgeric z z son: ; ; TEORÍA-UNIDAD 0 Págin

27 Prtes de un Término Algerico Cd término const de dos prtes Un de ells es el coeficiente l otr contiene ls vriles El coeficiente es el producto de ls constntes(son los números que compñn los términos Un vrile sin coeficiente visile, se entiende que posee coeficiente uno Ejemplo: El coeficiente del término es El coeficiente del término es El coeficiente del término z es Términos Semejntes Los términos en que intervienen elevds ectmente l mism potenci se llmn Ejemplo: z es semejnte z ectmente ls misms vriles términos semejntes Ls epresiones lgerics entern se denominn Polinomios (poli: muchos, monios: términos Se clsificn en: Monomios Un epresión lgeric con un solo término es un monomio Ejemplos: ; 8 z, Grdo del monomio: L sum de los eponentes de l prte literl se llm grdo del monomio Ejemplos: tiene grdo -8 z tiene grdo 0 tiene grdo POLINOMIOS Un polinomio es un epresión de l form n n P( n n 0 n 0 Donde,,, son números reles que se llmn coeficientes del polinomio es 0 n indetermind TEORÍA-UNIDAD 0 Págin

28 Ls potencis de l indetermind son nturles Entonces, llmremos polinomios l sum de monomios en los que, ls vriles estén elevds potencis nturles o cero Ejemplos:, se lo escrie P(, ( vriles:, se lo escrie P(, z ( vriles,, z se lo denot P(,, z z Un polinomio con ectmente dos términos se lo denomin inomio Ejemplos: P(, ; P( Un polinomio con ectmente tres términos es un trinomio Ejemplos: P ( ; P(,, z, w 8z w Grdo del polinomio: es el mor de los grdos de los monomios que lo formn Ejemplos: P( tiene grdo cutro P (, tiene grdo tres P(,, z z tiene grdo uno Coeficiente principl: El coeficiente que multiplic l vrile de mor eponente en un polinomio Ejemplo: P( coeficiente principl es Polinomio ordendo: Un polinomio está ordendo si sus términos están ordendos en form creciente o decreciente respecto de los eponentes de ls vriles Ejemplo: M ( Polinomio Completo: Un polinomio está completo si tiene tods ls potencis decrecientes del grdo Pr completr un polinomio se gregn los términos que fltn con coeficientes cero Ejemplo: Polinomio completo: P( N( Completo N( 0 0 TEORÍA-UNIDAD 0 Págin

29 OPERACIONES ENTRE POLINOMIOS Sum Rest Pr sum o restr dos polinomios, se sumn o se restn los coeficientes de términos semejntes Ejemplo : m 0m 0m m m 8m = m m 8m Ejemplo : Ddos P( ; Q( Tener en cuent que: En cso que, se sumn dos polinomios de distinto grdo, l sum es un polinomio que tiene el grdo del mor grdo de los polinomios sumdos En cso que, se sumn dos polinomios de igul grdo, l sum es un polinomio que tiene el grdo menor o igul l grdo de los polinomios sumdos Multiplicción Pr multiplicr un polinomio por otro, cd término de un polinomio se multiplic por cd término del otro polinomio Es decir se us l propiedd distriutiv Ejemplo: ( + = ( ( + ( ( = + 8 ( + ( + c = ( + c + ( + c = + c + + c División de Polinomios L división de polinomios se reliz de cuerdo con ls regls propieddes de l división de números de vris cifrs, unque en polinomios tenemos vriles Cómo se reliz l división de polinomios? Se disponen como en l división de números nturles se ordenn por sus potencis de mor menor Los términos del cociente se otienen en vrios psos, precidos l división numéric Pr comprender cómo se hce, vemos el siguiente ejemplo: Divide 8 por ( TEORÍA-UNIDAD 0 Págin

30 Escriimos el dividendo el divisor ordendos en potencis decrecientes: Dividendo: 8 divisor: ( Luego oservemos Fltn lgunos términos en el dividendo? En ese cso, completemos con coeficientes de cero En nuestro prolem, el dividendo no tiene coeficiente en en, en consecuenci el dividendo nos qued de l siguiente mner: Ahor estmos en condiciones de relizr l división! Dividmos el primer término del dividendo por el primer término del divisor: 8 : = El término del cociente se multiplic por el divisor El producto se le rest l dividendo (o se le cmi el signo se sum Con como nuevo dividendo se repiten los psos Así, se otiene otro término del cociente de menor grdo: : = El proceso continú hst que no se pueden otener más términos del cociente Resto: Cociente: + + Grdo(resto < Grdo(divisor IMPORTANTE! L división está ien hech si se cumple que: Dividendo = divisor cociente + resto Grdo (resto < Grdo (divisor TEORÍA-UNIDAD 0 Págin

31 División Ect de polinomios Múltiplos divisores L división entre polinomios es ect si el resto es cero L división ( Se otiene: = : ( es ect es divisile por ( por son divisores de ( es múltiplo de de Regl de Ruffini: Cundo el divisor es un polinomio de l form, se puede plicr el método prendido o l regl de Ruffini, que prescinde de ls vriles por ( Ejemplo: Pr dividir Los psos son los siguientes: En l primer fil del cudro nterior se colocn los coeficientes del polinomio completo ordendo según ls potencis decrecientes de En l segund fil, l izquierd se escrie, en este cso, En l tercer fil, se j el coeficiente del término de mor grdo: (éste será el coeficiente del º término del cociente Los otros números de l º º fil se vn oteniendo de l siguiente mner: multiplicmos = que v dejo del coeficiente del º término en l º fil luego se sumn, es decir, ( + = Así otenemos el º coeficiente del cociente, uicdo en l º fil Coeficientes del cociente Resto Vlor Numérico de un polinomio El vlor numérico de un polinomio en = es el vlor que se otiene de sustituir l vrile por el número efectur ls operciones indicds TEORÍA-UNIDAD 0 Págin 8

32 Se otiene un número l que denominremos como P( Ejemplo: El vlor numérico de en El vlor numérico del polinomio en = ( un número rel, es: P(- = ( - ( - + (- - P(- = - Teorem del Resto El resto de dividir un polinomio p ( de grdo mor o igul uno, por otro de l form es el vlor numérico del polinomio p ( pr cmido de signo Potenci de un inomio: Cudrdo del inomio Cuo del inomio FACTOREO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Definición: Fctorer un polinomio es trnsformrlo en un producto de epresiones lgerics CASOS DE FACTOREO Primer cso: Fctor común Si en todo los términos de un polinomio figur un fctor común (se letr o número, dicho polinomio es igul l producto de ese fctor por el polinomio que result l dividir cd termino por ese fctor Ejemplo: ٠ c ( c TEORÍA-UNIDAD 0 Págin

33 ٠ mn m n ( mn m n Segundo Cso: Fctor por grupo Si los términos de un polinomio pueden gruprse o dividirse en sugrupo, en el cul en esos sugrupos tienen l mism cntidd de términos demás en esos sugrupos deen tener lgo en común, entonces si qued l mism epresión en cd uno de los sugrupos, entonces se lo puede escriir como producto del fctor común por lo que qued dentro del préntesis Ejemplo: ٠ n n Puedo hcer sugrupos con Puedo hcer sugrupos con términos cd uno términos cd uno ( n ( n ( n ( n ( ( n ( ( n n ( ( n( ( ( n ( Luego n n ( ( n Tercer cso: Trinomio Cudrdo perfecto Se llm trinomio cudrdo perfecto l trinomio tl que dos de sus términos son cudrdos perfectos el otro término es el dole producto de ls ses es esos cudrdos Ejemplo Ejemplo 0 ( ( 0 (( (( Curto cso: Cutrinomio cuo perfecto Todo cutrinomio en el cul dos de los términos son cuo perfecto ( (, un tercer término es el triplo del cudrdo de l se del primer cuo por l se del TEORÍA-UNIDAD 0 Págin 0

34 segundo(, el curto término es el triplo de l pse del primer cuo por el cudrdo de l se del segundo( Ejemplo: 8 ( 8 ( ( ( ( ( 8 8 ( ( (( Quinto cso: Diferenci de cudrdo L diferenci de cudrdo es igul l producto de l sum por l diferenci de ls ses de dichos cudrdos Ejemplo: ( (00 ( ( (0 (0 Seto cso: Sum o Diferenci de potencis de igul grdo A Sum de potencis de igul grdo con eponente impr L sum de dos potencis de igul grdo, de eponente impr, es igul l producto de l sum de ls ses por el cociente que result de dividir l primer sum por l segund Ejemplo: ( 8 ( Vo hllr el cociente de ( 8 lo divido por (, plico Ruffini Cociente Luego: ( 8 ( ( TEORÍA-UNIDAD 0 Págin

35 B Sum de potenci de igul grdo con eponente pr L sum de potenci de igul grdo de eponente pr, no es divisile ni por l sum ni por l diferenci de sus ses, dich sum no se puede fctorer Ejemplo: ( No se puede Fctorer C Diferenci de potenci de igul grdo con eponente pr L diferenci de dos potencis de igul grdo, de eponente pr, es igul l producto de l sum o de l diferenci de sus ses por el respectivo cociente que result de l primer diferenci dividid por l sum o diferenci de ls ses Ejemplo: ( ( Aplico Ruffini pr hllr el cociente entre ( ( Cociente Luego: ( ( ( 8 D Diferenci de potenci de igul grdo con eponente impr L diferenci de potenci de igul grdo con eponente impr, es únicmente divisile por l diferenci de ls ses Ejemplo: ( 8 ( ( TEORÍA-UNIDAD 0 Págin

36 SIMPLIFICACION DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Pr simplificr un frcción lgeric, se fctoren el denomindor se suprimen todos los fctores comunes mos numerdor el Ejemplo :Simplificr l siguiente frcción Se fctoriz el numerdor el denomindor ( ( Luego: ( ( SUMAS Y RESTAS DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS CON IGUAL DENOMINADOR Pr operr con igul denomindor, se reliz lo mismo que con ls operciones con frcciones con igul denomindor, se escrie el mismo denomindor se sum o rest los numerdores Ejemplo: ( ( m m ( m m SUMAS Y RESTAS DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS CON DISTINTO DENOMINADOR Cundo los denomindores son distintos Ls frcciones se reducen previmente mínimo común denomindor se procede como en el cso nterior TEORÍA-UNIDAD 0 Págin

37 Ejemplo: ( Se fctoriz los denomindores: ( ( ( Común denomindor ( ( ( ( Luego, se escrie con los denomindores fctorizdos se resuelve igul que ls operciones con frcciones con distintos denomindor ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS El producto de vris epresiones lgerics es otr frcción lgeric, se fctore previmente los numerdores denomindores con el fin de simplificr ls epresiones, l simplificción del producto de frcciones lgerics se reliz igul que l simplificción del producto de frcciones numérics El cociente entre dos frcciones lgerics es l frccion que result l multiplicr el dividendo por l frcción reciproc del divisor Se fctore previmente cd epresión pr luego simplificr L simplificción de cociente de frcciones lgerics se reliz igul que l simplificción de cociente entre frcciones numérics TEORÍA-UNIDAD 0 Págin

38 Ejemplo: m ( m Se fctoriz tods ls epresiones m ( m ( ( ( ( ( ( m ( m Luego se escrie tods ls epresiones fctor izds ( m ( ( ( ( ( m Luego se simplific ( m ( ( ( ( ( m Ejemplo de división: 8 : Se fctoriz tods ls epresiones 8 ( 8 ( ( ( ( Se escrie tods ls epresiones fctorizd, pero l frcción divisor se invierte 8 : ( ( ( ( Luego se simplific ( ( ( ( TEORÍA-UNIDAD 0 Págin

39 ECUACIONES Un ecución es un iguldd en l que precen números letrs ligds medinte operciones lgerics Ls letrs, cuos vlores son desconocidos se llmn incógnits Identidd e iguldd: es lo mismo? Si un iguldd se stisfce pr culquier vlor signdo sus letrs, se llm identidd, si sólo se stisfce pr lgún vlor signdo sus letrs (, se llm ecución Ejemplos: Identidd: (m + n = m + mn + n (culquier vlor de m n Ecución: m = m (sólo pr cundo m = ECUACIÓN LINEAL Un ecución es linel o de Primer Grdo si tiene un incógnit está elevd l primer potenci Ejemplo: RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO Un solución de l ecución es un vlor de l incógnit pr el que l iguldd es ciert Resolver un ecución es encontrr su solución(o soluciones, o llegr l conclusión de que no tiene L ecución más sencill es de l form, su únic solución es Cundo nos enfrentmos un ecución más complicd, h que empezr por trnsformrl en otrs que sen más simples, que sen equivlentes (tienen l mism solución o soluciones Pr otener ecuciones equivlentes, tendremos presente que ls ecuciones son igules, por lo tnto, cumplen ls siguientes regls de trnsformción: TEORÍA-UNIDAD 0 Págin

40 Si los miemros de un ecución se le sum(o rest un mism cntidd, se otiene un ecución equivlente l nterior Si multiplicmos(o dividimos los dos miemros por un mismo número distinto de cero, tmién se otiene un ecución equivlente Consideremos l ecución: = + Sumemos mos miemros de l ecución, + = + + = + Como consecuenci el número que est en el miemro con signo (, h psdo l miemro con signo (+ Ahor sumemos mos miemros + = + + El término que est en el segundo miemro con signo (, ps l miemro con signo (+ Dividmos por mos miemro de l iguldd, pr dejr l sol en el miemro (El que est multiplicnd o, h psdo l segundo miemro dividiendo Solución: = Hemos resuelto l ecución siguiendo un proceso que se llm despejr l incógnit, el cul const de tres etps Agrupr en un miemro todos los términos con, en el otro todos los números, usndo pr ello l regl de trnsposición + = + Reducir los términos semejntes, llegndo un ecución del tipo = Coeficiente de Finlmente, dividir los dos miemros por el coeficiente de, pr otener l solución = TEORÍA-UNIDAD 0 Págin

41 Comproción: Si se hn hecho ien ls operciones, el vlor encontrdo pr es l solución No ostnte, lo sustituimos en l ecución pr confirmrlo: ( = ( + Efectivmente =, es solución Ecuciones sin solución Por ejemplo, l ecución no tiene solución que no eiste ningún número que l restrle nos dé el mismo Si intentmos resolverl llegremos un ecución equivlente que no tiene solución: 0 Ecuciones con préntesis denomindores Resolver lo que tenemos dentro del préntesis o distriuir Luego despejr l incógnit Pr suprimir los denomindores de un ecución, se multiplicn los dos miemros por lgún múltiplo de todos los denomindores, que de est mner serán cnceldos Es preferile el mínimo común múltiplo, pr que los coeficientes se mntengn pequeños INECUACIONES Ls desigulddes que contienen vris vriles se llmn inecuciones Trjremos con inecuciones de primer grdo con un incógnit Resolver un inecución es encontrr todos los vlores de l incógnit que l verificn, el conjunto solución es un intervlo rel o vcío Un inecución se resuelve como un ecución, slvo en el cso en que se divid o multiplique mos miemros por un número negtivo, lo que invierte el sentido de l desiguldd Ejemplo < >- l solución es (-, + > 8 < - l solución es ( - ; - TEORÍA-UNIDAD 0 Págin 8

42 TEORÍA-UNIDAD 0 Págin SISTEMA DE ECUACIONES Un sistem de ecuciones, es un conjunto de un o más ecuciones con un ciert cntidd de incógnits Ejemplos: c 0 8 z ecuciones incógnits ecuciones incógnits c ecuciones incógnits Estudiremos los distintos métodos pr resolver sistems de ecuciones con dos incógnits dos ecuciones Puedes decir cuánts ecuciones cuánts incógnits h en los siguientes sistems? z z 0 c 0 z z z z Método de Sustitución: Se resume en los siguientes psos Se despej un de ls incógnits en un de ls ecuciones del sistem Se sustitue en l otr ecución dich incógnit por l epresión otenid Se resuelve l ecución otenid Se reemplz el vlor otenido en l ecución originl pr otener el otro vlor de l incógnit Ejemplo: Resuelve el siguiente sistem de ecución por el método de sustitución

43 Despejr un incógnit en un ecución, por ejemplo de l primer ecución despejmos (puede ser o Luego, l despejd Sustituir: Sustituo en l otr ecución, en donde dice, l reemplzo por lo despejd en l prte Resolver l ecución Reemplzr pr otener el otro vlor de l incógnit Se puede reemplzr en culquier de ls dos ecuciones Solución del sistem TEORÍA-UNIDAD 0 Págin 0

44 Método de Igulción Se resume en los siguientes psos: Se despej l mism incógnit de ls dos ecuciones ( o Se iguln ls dos epresiones otenids en el pso Se resuelve l ecución Se reemplz el vlor otenido en el pso, en culquier de ls dos epresiones otenids en el primer pso Ejemplo: Resuelve el siguiente sistem de ecución por el método de igulción De l primer ecución despejo De l segund ecución despejo Igulmos ms epresiones Resuelve l ecución: : Luego TEORÍA-UNIDAD 0 Págin

45 Se reemplz en culquier de ls dos epresiones despejds Solución del sistem Método de sums rests Método de Reducción Se resume en los siguientes psos: Se multiplicn ls ecuciones con los coeficientes opuestos de l incógnit despejr Se rest o se sum ls ecuciones, con lo que se consigue eliminr dich incógnit Se resuelve l ecución Se reemplz el vlor otenido en l otr o se plic el mismo método de nuevo Ejemplo: Resuelve el siguiente sistem de ecución por el método de reducción: Si quiero eliminr, despejr, multiplico l ecución con el coeficiente de l vrile de l ecución, multiplico l ecución por el coeficiente de l vrile de l ecución = 8 Resto l ecución con l TEORÍA-UNIDAD 0 Págin

46 Resuelvo 8 0 Aplico el mismo método pr hllr Multiplico cruzdo los coeficiente de l vrile Solución del sistem Método de Determinnte Se resume en los siguientes psos: Hllr el vlor del discriminnte Hllr el vlor de de (dividiendo lo por el vlor del discriminnte TEORÍA-UNIDAD 0 Págin

47 TEORÍA-UNIDAD 0 Págin Ddo el sistem en form generl: c c Donde,, son los coeficientes de ls incógnits c c es el resultdo de ls ecuciones Pr clculr : c c c c Pr clculr : c c c c Ejemplo: Aplic el método de Determinnte 8 8 ( ( ( ( Solución del sistem

48 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Pr otener ls soluciones de l ecución c 0, donde 0 pr que se de segundo grdo Pero puede fltr el término en, o el independiente (ello d lugr ecuciones incomplets de fácil solución Ecuciones sin término en : c 0 Ls resolvemos despejndo directmente Ejemplos: - = 0 = = + = 0 = - No tiene solución en el cmpo Rel Ecuciones sin término independiente: 0 Comenzmos scndo fctor común Ejemplo: + =0 ( + = 0 el producto de dos números reles igules cero, implic que uno de ello es cero = 0 o + = 0 Soluciones: = 0 ; = -/ Ecuciones fctorizds Si l ecución prece descompuest en fctores e iguld cero plicmos el principio nterior Ejemplos: Resuelve: ( + ( - = 0 Solución: L iguldd ( + ( - = 0, dice que uno de los fctores es cero + =0 o - = 0 Resuelve: - ( + ( - = 0 Ls soluciones: = - ; = / De los tres fctores, sólo pueden hcerse cero el segundo o el tercero, luego: +=0 o - = 0 Luego, plicndo el primer cso, se otiene: = - ; = Soluciones: = - ; = ; = - TEORÍA-UNIDAD 0 Págin

49 Soluciones de l ecución complet: c 0 Pr resolver ls soluciones de l ecución c 0 plicmos l fórmul: c El dole signo proporcion-cundo eisten en el cmpo de los números reles-ls dos soluciones de l ecución Ejemplos: Resuelve - - = 0, Solución: Aplicndo l fórmul, donde =, = - ; c= -, se otiene: ( ( ( Esto nos dice que h dos vlores de = En consecuenci, ls soluciones son: = ; = -/ Resuelve: + + = 0 ; = Solución: Simplificndo previmente dividiendo por Aplicndo l fórmul con =, = ; c= + + = 0, ( ( ( Como l rdicción es nul, l solución es = -/ Resuelve: - + = 0 Solución: Aplicndo nuevmente l fórmul, con =, = -, c= 8 ( ( ( 8 No h solución porque l ríz de un número negtivo no eiste en el cmpo de los números reles TEORÍA-UNIDAD 0 Págin

50 Al rdicndo Discriminnte c, se lo denomin discriminnte, que el vlor del mismo sirve pr determinn l nturlez de ls ríces se lo simoliz con l letr grieg delt = c De cuerdo l vlor que tome podemos decir como son ls ríces Si > 0 entonces ls ríces son reles distints Si = 0 entonces ls ríces son reles e igules Si < 0 entonces ls ríces son complejs conjugds TEORÍA-UNIDAD 0 Págin

51 Unidd 0 Actividd Nº : Mrcr con un cruz ( l cmpo numérico que pertenece cd número Número N Z Q I R -8-0,ˆ (, 8 Actividd Nº : Completr el cudro escriiendo los inversos ditivos los multiplictivos de los siguientes números rcionles Inverso Aditivo Inverso Multiplictivo - - / -/ -/ / -/ Actividd Nº : Unn con flech cd número rel con el intervlo l que pertenece 0; ; c ; d 0 00 e ; GUIA PRÁCTICA-UNIDAD 0 Págin 8

52 Actividd Nº : Escrin V (Verddero o F (flso según correspond en cd cso - es un numero nturl Todo número nturl es entero Todo número entero es nturl Los múltiplos de son números enteros El inverso multiplictivo de todo número entero, distinto de cero, es un número entero Los números pres son rcionles Los números impres son irrcionles 8 L ríz cudrd de cinco es rcionl Actividd Nº : Completr el siguiente cudro Relice ls operciones - : - ( Actividd Nº : En cd un de ls figurs pinten l prte correspondientes l frcción indicd 8 c d Actividd Nº : Dd l siguiente frcción 8 escrie: Un frcción equivlente con denomindor 8: Un frcción equivlente con numerdor : GUIA PRÁCTICA-UNIDAD 0 Págin

53 c Un frcción equivlente con numerdor : d Un frcción equivlente con denomindor 0: Actividd Nº 8 Completr pr que resulten frcciones equivlentes: c d 0 00 e 8 f 8 Actividd Nº : Completen con <, > o =, según correspond c d 8 e f g h 8 i j 8 8 k l 8 Actividd Nº 0 : Escrin en form deciml cd un de ls siguientes frcciones Actividd Nº : Escrin como frcción irreducile cd un de ls siguientes epresiones decimles 0, 8ˆ =,,ˆ,ˆ 0,8,ˆ POTENCIACION Y RADICACION Actividd Nº: Resolver plicndo propieddes c GUIA PRÁCTICA-UNIDAD 0 Págin 0

54 GUIA PRÁCTICA-UNIDAD 0 Págin d e f g 0 h 8 i j k l m n ñ Actividd Nº Completr con = o según correspond, eplic el cso en que se distinto 8 8 c d : 00 : 00 e ( f g h( Actividd Nº : Simplificr plicndo propieddes de l potencición, con distinto de cero : : c 0 8 : : : : 8 0 : c Actividd Nº : Resolver utilizndo ls propieddes de l potencición cundo se posile 8 0

55 GUIA PRÁCTICA-UNIDAD 0 Págin c ( d ( e 0 f 0 0,ˆ g 0, 0,ˆ h Actividd Nº : Ejercicios comindos Seprr en términos, plicr propieddes cundo se conveniente, simplificr resultdo: Respuest: 0 0,, Respuest: 0 0,ˆ c Respuest: 0 0,ˆ 0,8ˆ,ˆ d Respuest: 8 0 0,0 e Respuest: 0 0,8ˆ (0,ˆ f Respuest:, ( g Respuest: 0 0, 0, h Respuest:

56 Actividd Nº : resolver Puedes usr clculdor Reemplzr cd epresión deciml por su frcción equivlente 0,8ˆ 0, c 0,ˆ 0, 0, 0, 0, d 0, Actividd Nº 8: Descomponer etrer fctores, luego simplificr si es posile 0 80 c 00 d 0 e f 8 c g 0 c 8 d 0 h 00 d Actividd Nº : Efectur ls siguientes sums rests lgerics 00 c d e 80 f 0 g 0 h 0 0 i ( 0 j 8 0 k 0 8 m n ñ 8 0 Actividd Nº 0: Relizr ls siguientes multiplicciones divisiones con rdicles = 8 c c 00 c d 8 8 c d e 0 0 f 0 g 8 h 0 GUIA PRÁCTICA-UNIDAD 0 Págin

57 Actividd Nº : Rcionlizr ls siguientes epresiones c d = e f g h i j k Actividd Nº : Hllen verifiquen los siguientes logritmos plicndo l definición log log clog d log e log0 0, 00 f log 8 8 g log h log i log Actividd Nº : Dds ls siguientes potencis, escriir los logritmos que se derivn de ells como operción invers 0 = = c = d 0 = e = f - = Actividd Nº: Resolver ls siguientes operciones plicndo l definición de logritmo: log log Rt=0 (log log Rt= 0 log000 log log Rt= log 8 log log log 8 Rt=- log log 8 log 8 Rt= Rt= GUIA PRÁCTICA-UNIDAD 0 Págin

58 Actividd Nº : Resuelvo ls siguientes ecuciones log log 8 c, e,0 d 0,88 0,0 0,8 f 8 g ( log log ( h 8 i j k l 0 ll m log log 0 n log log( o 0 8 p q r s 0 Actividd Nº: Definir por etensión, los siguientes conjuntos formdos por: los colores del rco iris Los meses del ño c Los números impres comprendidos entre d Los múltiplos de mores que menores que e Los múltiplos de mores que menores que 8 f / signos del zodico g Los números primos menores de GUIA PRÁCTICA-UNIDAD 0 Págin

59 Actividd Nº: Definir por comprensión, cd uno de los siguientes conjuntos A 0,,,,,,,,8, B,,,, c C zul, rojo, mrillo d D pulgr, indice, mor, nulr, meñique e E MercurioVenus,, Tierr, Mrte, Jupiter, Sturno, Urno, Neptuno, Plutón Actividd Nº8: Ddos los siguientes conjuntos A,,,, B, C,,,, Decir cuáles de ls siguientes relciones son verdders o flss porque B A B C c C A Actividd Nº:Colocr V o F,,,,,8 r o, p, r, s, t c Brsil pises de Afric d Prná rios de Americ Actividd Nº 0: Cuáles de los siguientes conjuntos son vcíos, unitrios, finitos, infinitos? A meses del ño B vocles de l plr tz c C los numeros pres d D N / 8 e E / es presidente del océno Atlántico F N / f Actividd N º :Decir cuál es el conjunto complementrio de:,, B, u c C / color primrio A con respecto l conjunto de todos los números de un cifr con respecto l conjunto de ls vocles con respecto l conjunto de los colores del rco iris Actividd N º: Ddos los conjuntos A,,,8 B,,,, C,, Hllr: AUB AUC c BUC d AB e CB GUIA PRÁCTICA-UNIDAD 0 Págin

60 Actividd N º : Ddos los conjuntos: M 0,,,,8 N,,, P 0,,,,,8 Hllr por medio del digrm de Venn epresrlo en form de etensión: M N M N P c M N P d M N e M P N Actividd N º: Plnter resolver ls siguientes situciones utilizndo los conjuntos A Un encuest de 0 lumnos sore idioms etrnjeros, rrojó el siguiente resultdo: pueden leer inglés, pueden leer frncés, 8 pueden leer lemán, pueden leer Inglés Frncés, pueden leer frncés lemán 8 pueden leer los idioms Cuántos pueden leer solmente inglés?, Cuántos no pueden leer ninguno de los idioms? Cuántos pueden leer sólo un idiom? B El equipo de fútol EL PICHI está formdo por Pedro, Diego, Hugo, Crlos, Roerto, Rolndo Edgr El equipo de Olimpids de Mtemátics de dich clse está formdo por Andre, Diego, Cristin, José Rolndo Edgr Quiénes están en mos equipos? Quiénes están en l menos uno de los dos equipos? Quiénes están en el equipo de fútol pero no en el de ls olimpids? Quiénes están únicmente en el equipo de ls olimpids? Quiénes están sólo en uno de esos dos equipos? C Lur tiene discos de diferentes géneros musicles: pop, rock, punk, gothic, clásic jzz Su mig Din tiene discos de sls, gothic, hip-hop, pop, metl e industril Luis, un migo común, querí escuchr l músic que le gust cd un de ells, sí que le prestron un disco de cd uno de los géneros De qué géneros le hn prestdo los discos? Si Luis se decide oír primero los discos que le gustn ms, qué discos escuch? DSe preguntó 0 pdres de lumnos sore los deportes que prcticn, oteniéndose los siguientes resultdos: 0 prcticn sólo fútol, prcticn fútol ntción 0 no prcticn ninguno de estos deportes Con estos dtos verigu el número de pdres que prcticn ntción, el número de ellos que sólo prcticn ntción el de los que prcticn lguno de dichos deportes E A un prue de ingreso l Universidd se presentron 00 lumnos, de los cules proron el emen de Mtemátics, el de Mtemátics Físic proron sólo el de Físic Cuántos no proron ninguno de los eámenes menciondos? GUIA PRÁCTICA-UNIDAD 0 Págin

61 Actividd N º: Dds ls siguientes relciones inris, indicr dominio recorrido de ls misms: R = M = c P = d S = e Q =,,,,,,, c, c, d,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, / N N EXPRESIONES ALGEBRAICAS Actividd Nº Escriir en lenguje lgerico cd uno de los siguientes enuncidos El dole de un número C El triple de un número A c L mitd de un número P d L curt prte de un número Q e El siguiente de un número entero X f Un número pr g L set prte de un número D ms ls quint prte de un número E h El cudrdo de un número X i El cudrdo del siguiente de un número Y jl diferenci entre un número entero A su consecutivo k El producto entre un número A B Actividd Nº: Unir con flech El cudrdo de l diferenci entre dos números A B A B El dole del siguiente de un número A ( A c Al cuo de un número A se lo ument en B uniddes A d L diferenci entre los cudrdos de dos números A B A B e L sum entre el dole de A A B f El cuo de l sum entre A B A B GUIA PRÁCTICA-UNIDAD 0 Págin 8

62 Actividd Nº8:Trduce ests epresiones l lenguje coloquil : c ( d ( Actividd Nº: Completr los siguientes polinomios en form descendente c R( T ( M ( Actividd Nº0 Indicr el grdo, nomre, coeficiente principl coeficiente independiente de los siguientes polinomios Polinomio Grdo nomre Coef principl P( Coef independiente Q( R( S( 8 T ( 8 Actividd Nº: Mrquen con un X el polinomio que cumple con ls siguientes condiciones Binomio de tercer gdo c d GUIA PRÁCTICA-UNIDAD 0 Págin

63 Trinomio de segundo grdo c d Cutrinomio de tercer grdo c Actividd Nº: Relcionen con un flech cd polinomio con los dtos que le correspondn - Cutrinomio de quinto grdo coeficiente principl igul 8 8 -Binomio de tercer grdo coeficientes c-binomio de segundo grdo coeficiente principl igul - d-trinomio de segundo grdo coeficiente principl igul e-binomio de curto grdo coeficientes - f-cutrinomio de quinto grdo coeficiente principl igul Actividd Nº: Ddos los siguientes polinomios C( 8 D( R( 8 Hcer: C( D( R( D( C ( R( c R( C( d R( D( C( Actividd Nº: Resolver ls siguientes sums lgerics ( ( ( 8 GUIA PRÁCTICA-UNIDAD 0 Págin 0

64 GUIA PRÁCTICA-UNIDAD 0 Págin Actividd Nº: Resolver los siguientes productos ( ( ( ( c ( ( d e ( ( f Actividd Nº: Clculr el cociente determinr el resto en ls siguientes divisiones ( 0 (8 ( 0 ( = c d e f Actividd Nº: Aplicr l regl de Ruffini en ls siguientes divisiones: Indicr cociente resto ( 0 ( ( c ( d 0 e : Actividd Nº8: Desrrollr ls potencis de los siguientes inomios ( ( c c ( d Actividd Nº: Ddos los polinomios ( P ( Q R ( ( T Hllr: ( ( ( ( R Q P ( ( ( R P Q ( ( ( ( T Q P c

65 FACTOREO Actividd Nº0: Scr fctor común en ls epresiones siguientes: 0 c mn mp m q c d 0 e m m m 8 f c c c 8 c g z z z 0 0 Actividd Nº: Fctore los siguientes polinomios por grupo m n n cn m cm c c d m m e f g m m m z z Actividd Nº: Indic cuáles de los siguientes trinomios son cudrdos perfectos, en tl cso, fctorerlos como tles c d e 8 GUIA PRÁCTICA-UNIDAD 0 Págin

66 f m m g m n mn Fctore, de ser posile, los siguientes trinomios utilizndo ls ríces de l ecución cudrátic correspondiente: 0 8 c d 0 e f Actividd Nº: Fctore usndo el curto cso = = c 08 d e Actividd Nº: Fctore ls siguientes diferencis de cudrdos m n c d m d e c z f 0,m 0,0 Actividd Nº: Fctore ls siguientes sums diferencis de potenci de igul grdo ( ( c ( 8 d ( e (8 GUIA PRÁCTICA-UNIDAD 0 Págin

67 Actividd Nº: Fctore ls siguientes epresiones, cominndo los distintos csos de fctoreo 0 Rt: ( c m m n n d Rt: ( Rt: ( ( ( m n Rt: ( ( ( e z z Rt: ( z( f 8 0 Rt: ( ( Rt: ( ( g Actividd Nº: Simplific ls siguientes epresiones 8 8 c e ( ( 8 m m d m m m f 8 Actividd Nº8: Efectú ls siguientes sums rests con igul denomindor c e ( d 8 8 f 0 0 Actividd Nº: Resuelve ls siguientes operciones lgerics con distintos denomindores 8 ( c d GUIA PRÁCTICA-UNIDAD 0 Págin

68 GUIA PRÁCTICA-UNIDAD 0 Págin e f g ( h i j Actividd Nº0: Resuelve ls siguientes multiplicciones divisiones lgerics 8 c d e 8 f g h Actividd Nº: Resuelve plicndo operciones cominds c d : e f ECUACIONES-SISTEMA DE ECUACIONES Actividd N : Resuelve ls siguientes ecuciones ( m m ( ( c z z d

69 e f 8 g 0 h,ˆ i j ( ( k ( l Actividd N : Plnter resolver ls siguientes situciones prolemátics Un cuerd de m de longitud se cort en dos trozos de modo que uno de ellos corresponde ls tres quints prtes del otro Clculen l longitud de cd trozo Un ángulo de un triángulo es el duplo de otro El tercer ángulo mide más que el mor de dos primeros; hllen cd ángulo c Reprtir 0$ entre cutros persons de mner que l primer reci tres quinto de lo que recie l segund, l tercer un seto de lo que recie l primer, l curt dos tercio de lo que recie l tercer d Un person gst un tercio de su dinero luego dos quintos de lo que le qued, tiene un $0 Cuánto teni l principio? e Un tringulo ABC de cm de perímetro, el ldo es los dos tercio del ldo, el ldo c es cm más lrgo que Clculr l longitud de cd ldo f Tres persons heredn 0 cciones, según el testmento, l primer recie l mitd de lo que recie l segund, l tercer, seis cciones menos que el triplo de l primer Cuánts cciones le corresponde cd un? g Siendo 0 metros el perímetro de un rectángulo 8,0 metros uno de sus ldos, Cuál es l longitud del otro? h Un utomóvil consume el comustile en un vije, luego del resto en otro vije un le quedn litros en el tnque Cuál es l cpcidd totl del tnque de comustile? Actividd Nº: Mrc cd intervlo sore l rect rel ; ; c ; d ; GUIA PRÁCTICA-UNIDAD 0 Págin

70 Actividd Nº Escrií el intervlo que puede socirse con cd desiguldd 0 < < - c < d 8 e - f 0 Actividd Nº : Coloc verddero (v o flso (f ;, 0; 0, e ; d ; 0 c 0 ; Actividd Nº : Resolver l inecución, hllr el intervlo solución representr su solución en rect numéric 0 c( d 0 0 e f 8 g z z 8 h n n i Actividd Nº8: Resuelve los siguientes sistems por sustitución: 0 Rt Rt: 0 c Rt: Actividd Nº: Resuelve los siguientes sistems por igulción Rt: Rt GUIA PRÁCTICA-UNIDAD 0 Págin

71 c Rt: 8 Actividd Nº0: Resuelve plicndo el método de reducción 0 Rt: 0 Rt: Actividd Nº: Resuelve por el método de determinnte grfic: 8 Rt: Rt c 0 Rt Actividd Nº: Plnte los siguientes prolems resolverlos grficr por culquier método, sin L sum de un número más el triple de otro es igul, si el triple del primero se rest el dole del segundo se otiene Cuáles son los números? Rt: Dos números son tles que el primero es igul l mitd del segundo disminuido en segundo es igul l cuádruplo del primero Cuáles son dichos números? Rt:, el c En un colegio mito h 00 lumnos, sise huiern inscripto 0 niñs ms el numero de niñs, huier duplicdo el de vrones Cuánts niñs cuntos vrones h? Rt Niñs 80 0 vrones d Un pdre tiene el dole de l edd de su hijo, el dole de l sum de ls dos eddes es 0 Qué edd tiene el pdre el hijo? Rt:0 0 respectivmente Actividd N Hllr ls ríces de ls siguientes ecuciones de segundo grdo fctorizr: 0 0 c 0 d 0 GUIA PRÁCTICA-UNIDAD 0 Págin 8

72 e 0,0 0 f g h i j k 0 l 0 m n Actividd N º: Clculr el discriminnte en ls siguientes ecuciones de segundo grdo decir qué tipo de soluciones tiene c 0 d 0 e 0 f 8 0 Actividd N º 8: Hllr el vlor de k pr que ls siguientes ecuciones cudrátics tengn: Dos soluciones reles e igules Dos soluciones reles distints csoluciones complejs conjugds K 8 0 K 0 ( K 0 K 0 Actividd N º: Hllr l ecución cudrátic ddos los siguientes dtos: Ls ríces son = = - el coeficientes cudrático es - El coeficientes cudrático es tiene un ríz dole = c Ls ríces son = - = - el coeficientes cudrático es d Ls ríces son = -/ = el coeficientes cudrático es impr GUIA PRÁCTICA-UNIDAD 0 Págin

73 Resultdos Unidd 0 Año 08 Actividd F V F V F V F 8 F Actividd Actividd c d 0 Actividd 8 = 8 = 0 0 = 0 = 8 c = 8 08 = d = 0 00 = 0 e = 8 = f = = 8 : -( Actividd > > c 8 < d < e > f < g < h > 8 i = j 8 < k 8 > l = 8 Actividd 0 =, = 0 c = 0,0 d = 0, e 0 0 = 0,0 Actividd 08 = 8 = = 0 08 =, = 0, = 0

74 Actividd 0 ( 8 8 c d e f Actividd c d e f g h i 8 j k 8 l m n ñ Actividd, l ríz no distriue sore l sum = c = d, l potenci no distriue sore l sum e = f = g, l potenci distriue sore el producto h, l potenci distriue sore el producto Actividd c d e f g h Actividd c 0 d e 0 f g 0 h Actividd 0 c d Actividd 8 0 c 0 d e f c c g d c h 0 d

75 Actividd c d e f g h i j 8 k l m n + ñ Actividd 0 80 c 0 c 0 c d c 0 d e f 0 ( g 0 h Actividd c + d π π e 0 f g h i j + k Actividd c d e f g h i 0 Actividd log = 0 log = c log = d log = 0 e log = f log = Actividd, 8 00 c d 0, 0000 e, 0 f, g h i j k l 0 m, 00 n ñ o 0, 0088 p q ±, 88 r, 00 s

76 Actividd A = {rojo, nrnj, mrillo, verde, zul, índigo, violet} B = {Enero, Ferero, Mrzo, Aril, Mo, Junio, Julio, Agosto,Septiemre, Octure, Noviemre, Diciemre} c C = {,,,, } d D = {,,, } e E = {, 0, } f F = {Acurio, Leo, Sgitrio, Virgo, Cncer, Cpricornio, Turo, Géminis, Aries, Escorpio, Lir, Piscis} g G = {,,,,, } Actividd A = { Z/ } B = { N/ es impr } c C = {/ es color primrio} d C = {/ es dedo de l mno} Actividd A B = {,,,,,, 8} A C = {,,,, 8, } c B C = {,,,,,,, } d A B = {(, ; (, ; (, ; (, ; (, ; (, ; (, ; (, ; (, ; (, ; (, ; (, ; (, ; (, ; (, ; (8, ; (8,; (8, ; (8, ; (8, } e C B = {(, ; (, ; (, ; (, ; (, ; (, ; (, ; (, ; (, ; (, ; (, ; (, ; (, ; (, ; (, } Actividd M N = {, } M 8 0 M N P = {} N e C = {/ es plnet del sistem solr} Actividd 8 V F P 8 0 N c F Actividd M V c F d M N = {} c F P M d F Actividd 0 Finito 0 8 Unitrio c Infinito d Unitrio e Vcío f Vcío Actividd A = {0,,,,, 8, } B = {e, i, o} c C = {nrnj, verde, índigo, violet} e M (P N = {0,, 8} P 8 0 M N

77 Actividd U Hcemos un digrm de Venn de todos los elementos Ntción Futol Frncés U Inglés Alemán Leen sólo inglés: Lee un sólo idiom: Ningún idiom: Sólo frncés: Sólo lemán: Relizmos un digrm pr visulizr los elementos: El Pichi Olimpids Mtemátics Pedro Roerto Hugo Edgr Cristin Rolndo Diego José Andre Mtemátic Físic U 0 Están en mos equipos: Edgr, Rolndo, Cristin Diego Están en el equipo de futol solmente: Pedro, Hugo, Roerto Están sólo en uno de los dos equipos: Pedro, Hugo, Roerto, Andre José e 0 c Luego de relizr el digrm de Venn, etremos ls siguientes conclusiones: Todos los géneros prestdos: Pop, Rock, Punk, Gothic, Clsic, Jzz, Sls, Hip hop, Metl, Industril Géneros oir primero: Pop, Gothic Lur Din Rock Jzz Clsic Punk Pop Gothic Metl Hip hop Industril Sls d Prcticn ntción: 0 Sólo ntción: 8 Algún deporte: 0

78 Actividd Actividd c + + d + + e f + Actividd q( = +, r( = 0 q( = 0, r( = 0 c q( = +, r( = d q( = + 8 Actividd q( =, r( = 0 q( = +, r( = 0 c q( =, r( = d q( = + +, r( = 0 e q( = + + 0, r( = 0 Actividd c + 8, resto = Actividd 0 ( c + + m(n + p + 8mq c ( + d ( + e m( m + m f c ( c c + + c g z( z z, r( = 8 8 Actividd ( + ( + ( + c(m n + c ( ( + d ( + m( e (m ( + f ( ( + g ( ( + z Actividd ( + ( + 0 c ( + d ( + e ( f No es trinomio cudrdo perfecto g (mn ( 0( + ( ( c No tiene rices en los reles d ( ( + e ( + f No tiene rices en los reles Actividd ( + ( + c ( + d ( + e ( Actividd ( + ( (m + n c ( + ( d ( + m d( m d e (c + z (c z f (0, m + 0, (0, m 0, Actividd ( + ( + ( + ( c ( ( + + d ( ( e ( + (

79 Actividd (+ c d + e f Actividd 8 + c + d e f + + Actividd + (+ + + c ( + d ++ e (+( f + (+ ( g ( h + ( (+ i ( (+ j + ( ( Actividd 0 c + d ( = ( e + f ( g h, (pr, (pr 0 Actividd (+ ( ++ c, (pr d e + (+( f, (pr ( ( Actividd m = = 0 c = d z = 0 e = f = g = h = i = j = k = l = Actividd 0m m, 0 c 00, 00, 0 00 d 0 e, f, 8 g, h 0 Actividd (0, [, c (, d (, 8] e [, ] f (, 0]

80 Actividd F V c V d V e V Descrgr en formto digitl 8