Capítulo 5 ESTIMACIÓN POR INTERVALOS DE CONFIANZA PARA MEDIAS POBLACIONALES EN UNA Y DOS POBLACIONES

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1 UNLP-Facultad de Igeiería Carreras: Ig Electróica y Electricista Capítulo 5 ETIMACIÓN POR INTERVALO DE CONFIANZA PARA MEDIA POBLACIONALE EN UNA Y DO POBLACIONE 5 CONCEPTO GENERALE 5 Itroducció 5 Defiició de itervalo de cofiaza 53 Iterpretació de u itervalo de cofiaza 5 CONTRUCCIÓN DE UN INTERVALO DE CONFIANZA PARA UN PARÁMETRO MEDIANTE EL MÉTODO DEL PIVOTE O CANTIDAD PIVOTAL 5 Método 5 Ejeplo 53 Cuestioes que surge al costruir u itervalo de cofiaza 53 INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA DE UNA POBLACIÓN 53 Estiació para la edia de ua població oral co coocida I Error e la estiació II Deteriació del taaño uestral III Ejeplos 53 Estiació para la edia de ua població oral co descoocida I Cálculo del itervalo II Observacioes iportates III Ejeplos 54 INTERVALO DE CONFIANZA PARA MEDIA CONIDERANDO DOPOBLACIONE 54 Itroducció 54 Itervalos de cofiaza para la diferecia de edias de dos poblacioes orales idepedietes I Itervalo de cofiaza para la diferecia de edias de dos poblacioes orales idepedietes, co variazas coocidas II Itervalo de cofiaza para la diferecia de edias de dos poblacioes orales idepedietes, co variazas descoocidas pero supuestas iguales III Itervalo de cofiaza para la diferecia de edias de dos poblacioes orales idepedietes, co variazas descoocidas pero que o puede supoerse iguales IV Deteriació del taaño uestral 543 Itervalos de cofiaza para la diferecia de edias co datos apareados Págia de 8

2 UNLP-Facultad de Igeiería Carreras: Ig Electróica y Electricista 5 Coceptos geerales 5 Itroducció Mediate los procediietos usados e el capítulo 4 es posible costruir u bue estiador putual de u paráetro θ, que verifique, icluso, todas las propiedades exigidas al respecto i ebargo, e uchos casos, ua estiació putual o es suficiete, e el setido de que dar u úero coo estiació de u paráetro o os idica el error que coeteos e la estiació; esto es cosecuecia de la aleatoriedad del uestreo E este capítulo estudiareos el problea de obteer ua estiació de u paráetro ediate cierto itervalo uérico 5 Defiició de itervalo de cofiaza Dada ua uestra aleatoria siple (,,, ) de ua variable aleatoria se llaa itervalo de cofiaza para u paráetro θ, co ivel o coeficiete de cofiaza -, 0< <, a u itervalo aleatorio (dado que sus extreos depede de las uestras elegidas): [ θˆ (,,, ); θˆ (,,, )] () tal que para cada perteeciete al espacio paraétrico Θ : P[ θˆ (,,, ) θ θˆ (,,, )] = - α () Observar que los extreos del itervalo () so estadísticos, es decir fució de las variables aleatorias que copoe la uestra y e cosecuecia ellos isos so variables aleatorias 53 Iterpretació de u itervalo de cofiaza Veaos la iterpretació cocreta de () Para ua realizació de la uestra, digaos (x, x,, x ) obtedreos u itervalo uérico: [ θˆ ( x, x,,x ); θˆ ( x, x,, x )] que llaareos tabié haciedo abuso del leguaje: itervalo de cofiaza Observar que e este caso o tiee setido hablar de probabilidad, dado que seleccioada ua uestra (,,, ) la probabilidad de que el paráetro θ esté icluido e el itervalo () es ó 0, depediedo de que el paráetro θ esté o o esté etre los dos úeros e que se covierte θˆ (,,, ) y θˆ (,,, ) al particularizarlos para ua uestra cocreta (,,, ) i ebargo direos que teeos ua cofiaza del (-) 00% e el setido de que si toáseos ifiitas uestras y co cada ua de ellas costruyéseos el itervalo uérico correspodiete [ θˆ ( x, x,,x ); θˆ ( x, x,, x )] el (-) 00% de los isos cotedría el valor del verdadero paráetro, ietras que los restates 00 %, o upogaos que se desea calcular u itervalo de cofiaza para la edia poblacioal co coeficiete de cofiaza 0,95 = - Cóo se iterpreta los líites de cofiaza? esperaos que por lo eos 95 de cada 00 itervalos que se calcula co otras tatas uestras cotega el valor descoocido ATENCIÓN! Notar que e igú oeto decios que está detro del itervalo, sio que es el itervalo el que cotiee a Págia de 8

3 UNLP-Facultad de Igeiería Carreras: Ig Electróica y Electricista Para iterpretar geoétricaete el sigificado de itervalo de cofiaza, supogaos que quereos estiar la edia poblacioal de ua distribució N (, ) Extraeos 0 uestras de taaño 4 de la distribució N (, ) y hallaos los 0 itervalos de cofiaza correspodietes, co u ivel de cofiaza del 95% E la Fig se represeta e el eje horizotal el úero de uestra y e el vertical el itervalo de cofiaza asociado Adeás ua líea horizotal represeta el valor de que se pretede estiar (e este caso =, descoocido, se le dio u valor deteriado solo por razoes didácticas) La gra ayoría de los itervalos cotiee el valor correcto de, pero hay u itervalo el correspodiete a la uestra úero 3, que o lo cotiee La uestra co que se costruyó este itervalo fora parte del 5% de las uestras alas, es decir las que proporcioa itervalos equivocados Fig E la práctica solaete se seleccioa ua uestra y e cosecuecia se calcula u úico itervalo de cofiaza, la coclusió será: el itervalo cotiee al paráetro co ua cofiaza del 0,95 5 Costrucció de u itervalo de cofiaza para u paráetro θ ediate el Método del Pivote o Catidad Pivotal 5 Método ea (,,, ) ua uestra aleatoria siple de ua variable aleatoria, cuya fució de distribució depede de u paráetro descoocido θ, a la cual idicareos f(x; θ) Los itervalos de cofiaza para θ se costruye e base a u estadístico: P=P(,,, ; θ) que llaareos pivote y debe teer las siguietes características: a) Coo se ve, P depede de la uestra aleatoria y del paráetro descoocido θ; siedo θ la úica catidad descoocida b) La distribució de probabilidad de P es coocida y o depede de θ Para aplicar el étodo del pivote debeos seguir los siguietes pasos: Págia 3 de 8

4 UNLP-Facultad de Igeiería Carreras: Ig Electróica y Electricista Establecer el pivote Fijado u ivel de cofiaza -, deteriar costates a y b tales que: Pa P,,, ; θ b - α i es posible despejar e la expresió aterior, obtedreos dos variables aleatorias: - - θˆ,,, y θˆ,,, tales que: - - Pθˆ,,, θ θˆ,,, - α para cualquier del espacio paraétrico Co lo cual, - θˆ,, ; θˆ,,, es u itervalo de cofiaza para, co ivel de cofiaza - 5 Ejeplo ea (,,, ) ua uestra aleatoria siple de ua variable aleatoria co distribució teórica N (, ) tal que la variaza es coocida Veaos coo se obtiee u itervalo de cofiaza para olució a) es estiador putual de µ - µ b) abeos que tiee distribució N(, ) Z tiee distribució N(0, ) c) Toaos coo pivote: P=P(,,, ;) = Z su distribució es N (0,) d) Fijaos u ivel de cofiaza - y seleccioaos dos putos, por ejeplo los putos siétricos -z / y z / tales que µ α P z α/ Z z α/ P z z α/ α/ P z α/ µ z α/ así el itervalo de cofiaza correspodiete viee dado por: zα/, z α/ z siedo z / tal que (z / ) = -(/) Gráficaete: / Págia 4 de 8

5 UNLP-Facultad de Igeiería Carreras: Ig Electróica y Electricista 53 Cuestioes que surge al costruir u itervalo de cofiaza Al costruir u itervalo de cofiaza surge alguas cuestioes que ecioareos a) Cóo elegir el estadístico pivote? Recordeos que P debe ser ua fució de la uestra y del paráetro a estiar, cuya distribució uestral es idepediete del paráetro Coo pudo verse e el ejeplo aterior, el pivote surge de u odo bastate atural E los casos e que esto o ocurra se aplica otros étodos para costruir los itervalos de cofiaza que o será estudiados e este curso b) Cóo deteriar las costates a y b? E el ejeplo aterior se cosideró: a = -z / y b = z / e podría haber elegido otras costates de aera que la probabilidad de que P esté copredido etre ellas sea - Nos iteresará elegir a y b de fora tal que el itervalo de cofiaza sea de logitud íia, de esta fora será ayor la precisió (Puede probarse que e el ejeplo aterior la elecció efectuada cuple este requisito) c) Cóo elegir? se elegirá segú la cofiaza deseada, teiedo e cueta que e geeral, a eor, el itervalo será ás largo Del ejeplo aterior se deduce que ua fora de auetar la precisió, fijado u ivel de cofiaza, es auetar el taaño uestral La relació que existe e ese caso, etre la logitud del itervalo (L),, y es: L = zα/ Noralete se suele toar coo uo de los valores: 0,; 0,05 ó 0,0 53 Itervalos de cofiaza para la edia de ua població Costruireos aquí itervalos de cofiaza para ua edia poblacioal, segú sea coocida o descoocida 53 Estiació para la edia de ua població oral co coocida E el ejeplo aterior se vio que e este caso el itervalo es de la fora: - z / z/ I Error e la estiació Págia 5 de 8

6 UNLP-Facultad de Igeiería Carreras: Ig Electróica y Electricista El itervalo de cofiaza de (-) 00% proporcioa ua precisió de la exactitud de la estiació putual i es realete el valor cetral del itervalo, etoces estia a si error La ayor parte de las veces, si ebargo, o será exactaete igual a y la estiació putual o es exacta El taaño de este error será: µ - y se puede teer ua cofiaza del (-) 00% de que esta diferecia o excederá el valor zα / Esto se puede ver co facilidad si se dibuja el diagraa de u itervalo de cofiaza hipotético coo el de la figura siguiete: - z α / zα / ERROR Teiedo e cueta lo dicho podeos euciar el siguiete teorea, Teorea i es u estiador de, etoces se puede teer ua cofiaza del (-) 00% de que el error o excederá ua catidad específica E = zα / () II Deteriació del taaño uestral Ua cuestió iteresate a la que os referios iplícitaete al tratar la elecció de, es cuál debe ser el taaño uestral ecesario para que, fijado u ivel de cofiaza, se alcace ua precisió (o logitud) deseada e el itervalo? La logitud del itervalo es: L = zα / Despejado de la ecuació aterior se obtiee: 4z α / = L Tabié podeos despejar de (), de aera que os quede expresada e fució del error, así, z α / = E Debeos hacer aquí dos observacioes, a saber, a) i para se obtiee u valor fraccioario, se redodea al úero etero siguiete b) E setido estricto podeos deteriar, solo si se cooce la variaza poblacioal, de la cual se está seleccioado la uestra i os falta esta iforació se puede toar ua uestra preliiar de taaño 30 para obteer ua estiació de E este caso al usar coo aproxiació de, se puede deteriar aproxiadaete cuatas observacioes se ecesita para el grado deseado de exactitud Págia 6 de 8

7 UNLP-Facultad de Igeiería Carreras: Ig Electróica y Electricista III Ejeplos Ejeplo Coo cosecuecia de la falta de gas registrada e la ciudad de La Plata, e los eses de iviero, la Epresa Cauzzi - Gas Papeaa decide hacer u estudio para deteriar la catidad gastada e este cobustible para calefacció casera e u año e particular Co tal otivo se seleccioa ua uestra de = 64 hogares de la ciudad La edia uestral del gasto e gas para calefacció resultó de $83,6 e sabe por experiecia que la desviació estádar de la població es $7,8 a) Halle u itervalo de cofiaza del 95% para el gasto proedio aual e este tipo de cobustible e las viviedas de la ciudad de La Plata b) Calcule u itervalo de cofiaza del 99% para ese gasto proedio aual c) Qué coclusioes puede sacar de a) y b)? olució a) La estiació putual de es = 83, 6 0,05 El valor de z, a la derecha del cual se tiee u área de = 0, 05 y por lo tato de 0,975 a la izquierda es, z 0, 05 =,96 De aquí que el itervalo de cofiaza del 95% es: 79,4 87,95 b) Para hallar el itervalo de cofiaza del 99%, se ecuetra el valor de z, a la derecha del 0,0 cual existe u área de = 0, 005 y por lo tato, de 0,995 a la izquierda Usado la tabla de la N (0, ) resulta: z 0, 005 =, 575 y el itervalo de cofiaza del 99% es: 7,8 7,8 83,6 -,575 µ 83,6, o sipleete, 77,8 89,33 c) e observa que: la logitud del itervalo del 95% de cofiaza es: L = 8,7 la logitud del itervalo del 99% de cofiaza es: L =,53 El ivel de cofiaza establece e algua edida la logitud del correspodiete itervalo de cofiaza Auetado el ivel de cofiaza (ayor certeza), aueta la logitud (eor precisió) Podeos decir que el itervalo co 95% de cofiaza, que tiee eor logitud estia a co ayor precisió Ejeplo e quiere estiar la facturació esual proedio por luz eléctrica e el es de julio e casas de failia de la ciudad de La Plata e sabe que la desviació estádar es de $0 e quiere estiar la facturació proedio de julio co aproxiació 5$ del proedio real, co 99% de cofiaza Qué taaño de uestra se ecesita? olució = 0 Págia 7 de 8

8 UNLP-Facultad de Igeiería Carreras: Ig Electróica y Electricista, Estiació para la edia de ua població oral co descoocida I Cálculo del itervalo upogaos que dispoeos de: Ua uestra aleatoria de taaño, (,, ) extraída de ua població oral N (, ) co descoocida U estiador putual θˆ del paráetro, que e este caso es la edia uestral El estadístico pivote que usareos e este caso, que será: - P T dode es la desviació estádar uestral Recordareos que T tiee distribució t de tudet co = - grados de libertad El ivel de cofiaza (-) establecido a priori por el experietador (los usuales so 0,95; 0,90; 0,99) Dada la distribució del estadístico y el ivel de cofiaza, se tiee la siguiete igualdad probabilística: - P ( - t/ / ) - t dode α / ( ) P T t α / t es el valor característico de la variable T de tudet verificado que = α La expresió aterior es equivalete a: Págia 8 de 8

9 UNLP-Facultad de Igeiería Carreras: Ig Electróica y Electricista P ( - t / t / ) - que hace referecia a que co ua probabilidad (-) el itervalo: [ - t/ ; t/ ] cotedrá el valor edio Ejeplo El coteido de 7 recipietes siilares de vio es: 9,8; 0,; 0,4; 9,8; 0,3; 0, y 9,6 litros Ecotrar u itervalo de cofiaza del 95% para la edia de todos los recipietes, supoiedo ua distribució aproxiadaete oral olució Para los datos que se da: 0 y 0,83 Usado la tabla de la distribució t, ecotraos: t0, 05 =,447 co ν = 6 grados de libertad Por tato el itervalo de cofiaza para será: 0,83 0,83 0 -,447 0, Operado, 9,74 0,6 II Observacioes iportates a) Para estiar la edia de la població, se distiguió etre dos casos: coocida descoocida Para coocida se usó el Teorea Cetral del Líite (Distribució Noral) Para descoocida se utilizó la distribució uestral de la va T, basádose e la preisa de que la uestra se toó de ua distribució oral b) e recoieda: cuado o se puede supoer oralidad co descoocida y 30, reeplazar a por y usar el itervalo de cofiaza ± zα / dado que para ua uestra grade ( 30) se acercará ucho al verdadero valor de la desviació estádar, etoces sigue siedo aplicable el Teorea Cetral del Líite III Ejeplos Ejeplo Los siguietes datos so los pesos e graos de 6 bolsas de cierto aterial plástico que se seleccioa e u depósito co el propósito de verificar el peso proedio: 506, 508,499, 503, 504, 50, 497, 5, 54, 505, 493, 496, 506, 50, 509, 496 a) i el peso de cada bolsa es ua va oral co desviació típica de 5 graos, obteer los itervalos de cofiaza al 90, 95 y 99% para la edia del peso de las bolsas b) Deteriar el taaño uestral,, ecesario para que la logitud del itervalo, co = 0,05, sea eor o igual a ua uidad olució ea la va = peso e graos, tiee distribució N(, 5 ) Págia 9 de 8

10 UNLP-Facultad de Igeiería Carreras: Ig Electróica y Electricista a) Teiedo e cueta que: = 6, = 503,76 y = 5 sustituyedo estos valores e la expresió del itervalo para la edia de ua població oral, co coocida, obteeos: - z / Itervalo 0,90,64 [50,7; 505,8] 0,95,96 [50,3; 506,] 0,99,58 [500,5; 506,9] b) El taaño uestral ecesario para que la logitud del itervalo (L) sea eor o igual a la uidad, co u ivel = 0,05, es: 4z / 4, ,6 L Es decir, 385 Ejeplo i, para los datos del ejeplo aterior, fuese descoocida: a) Obteer los itervalos de cofiaza al 90, 95 y 99% para la edia del peso de las bolsas (upoer que la població es oral) b) Deteriar el taaño uestral,, ecesario para que la logitud del itervalo, co = 0,05, sea eor o igual a ua uidad olució a) Dado que es descoocida, reeplazado su valor por = 6,0 y utilizádola distribució t co 5 grados de libertad e vez de la distribució oral estádar, se obtiee los uevos itervalos presetados e la siguiete tabla: - t / Itervalo 0,90,753 [50,03; 506,47] 0,95,3 [500,45; 507,05] 0,99,947 [499,8; 508,3] b) El taaño uestral resultate e este caso, toado coo estiació de el valor calculado co la uestra dada y reeplazado t 5,/ por z /, es: 4z ( ) 4,96 ( 6,0) α / = = 59,03 L Por tato, 59 Observar que e este caso se ecesita u taaño uestral bastate ayor que el obteido e el ejeplo IV Resue e resue e u cuadro los itervalos de cofiaza para ua uestra, de la edia de ua població oral Itervalos para la edia co coocida [ - z /, z/ ] co descoocida [ - t -, /, t -, / ] co descoocida y 30 [ - zα /, zα/ 54 Itervalos de cofiaza para edias cosiderado dos poblacioes ] Págia 0 de 8

11 UNLP-Facultad de Igeiería Carreras: Ig Electróica y Electricista 54 Itroducció Todo proceso de experietació o de observació de u feóeo aleatorio está sujeto a la existecia de errores experietales que suele coplicar otableete la iducció de la realidad Cuado decios error experietal eglobaos la aportació a los resultados observados de todos aquellos efectos (iportates o o) que escapa al objetivo iicial de uestro estudio Cuado este error o es cotrolado por el experietador y se aifiesta co gra variabilidad e las diferetes uidades uestrales, la priera cosecuecia suele ser que los aspectos relevates y de iterés se diluye, pues aparece ocultas tras esa fuerte dispersió de los resultados Otras veces, icluso, la presecia del error experietal puede geerar iterpretacioes cotrarias a la real Por tato, u prier paso para evitar coclusioes erróeas es tratar de eliiar al áxio el error experietal La fora de realizar esto es diseñar el uestreo, cotrolado e la ayor edida posible todos esos factores que egrosa el error experietal U bue diseño y técicas eleetales de iferecia puede ser ua cobiació ucho ás eficiete que u uestreo al plaificado y u refiado y potete proceso de iferecia upogaos que se pretede coparar el tiepo edio diario que los adolescetes dedica a chatear co el que ivierte e la lectura; para ellos defiios las dos variables aleatorias siguietes: : tiepo diario dedicado a chatear Y: tiepo diario dedicado a la lectura Podeos costruir u itervalo de cofiaza para la diferecia de edias poblacioales, - Y Las dos uestras aleatorias ecesarias puede obteerse ediate los procediietos siguietes: a) eleccioar adolescetes al azar, de fora idepediete hasta forar dos grupos de taaño de igual o distito taaño, y evaluar e u grupo e Y e el otro b) eleccioar al azar u úico grupo co jóvees y evaluar cojutaete e Y e el iso grupo El uestreo propuesto e a) proporcioa dos uestras idepedietes, ya que los resultados obteidos e ua o codicioa los resultados de la otra E el uestreo propuesto e b) las dos uestras procede de uidades experietales exactaete iguales; las observacioes se recoge a pares por cada uidad uestral y se habla etoces de uestras apareadas Observar que e este caso las uestras so claraete depedietes ya que esperaos que observacioes bajas de se aparee co observacioes altas de Y y viceversa 54 Itervalos de cofiaza para la diferecia de edias de dos poblacioes orales idepedietes ea (,,, ) y (Y, Y,, Y ) uestras aleatorias siples idepedietes (,,, ) es uestra aleatoria de ua va, que supodreos N[, ( ) ] (Y, Y,, Y ) es uestra aleatoria de ua va Y, que supodreos N[ Y, ( Y ) ] Co ellas quereos costruir itervalos de cofiaza para la diferecia de edias, - Y I Itervalo de cofiaza para la diferecia de edias de dos poblacioes orales idepedietes, co variazas coocidas Bajo los supuestos de idepedecia de las uestras y oralidad de e Y, Págia de 8

12 UNLP-Facultad de Igeiería Carreras: Ig Electróica y Electricista N(µ Y N(µ Por tato, el estadístico: Y, ) Y, ) - Y N(µ - µ Y, Y ) ( - Y) - (µ - µ Y ) P = Y tiee distribució N(0, ) y puede ser usado coo estadístico pivote Podeos escribir la siguiete proposició probabilística: P[ - zα / P z α / ] = - α Reeplazado P, se obtiee, ( - Y) - (µ - µ Y ) P( - zα / z α / Y ) = - α Operado se llega a que u itervalo co (-) 00% de cofiaza para - Y es: - Y - z α / Y µ - µ Y - Y z α/ Y co z / puto crítico de la distribució oral estádar i = Y = escribios el itervalo aterior coo sigue: - Y - zα / µ - µ Y - Y zα/ Ejeplo e lleva a cabo pruebas de resistecia a la tesió sobre dos diferetes clases de largueros de aluiio utilizados e la fabricació de alas de aeroplaos coerciales De la experiecia pasada co el proceso de fabricació de largueros y del procediieto de prueba, se supoe que las desviacioes estádar de las resistecias a la tesió so coocidas Los datos obteidos se preseta e la siguiete tabla: Clase del larguero Taaño de la uestra Media uestral de la resistecia a la tesió Desviació estádar = 0 x = 87, 6 = = x = 74, 5 =,5 i y idica los verdaderos proedios de las resistecias a la tesió para las dos clases de largueros, hallar u itervalo del 90% de cofiaza para la diferecia de las edias - Págia de 8

13 UNLP-Facultad de Igeiería Carreras: Ig Electróica y Electricista olució Líite iferior del itervalo: x - x - z α/ = 3,- 0,88 =, kg/ Líite superior del itervalo: x - x z α/ = 3, 0,88 = 3,98 kg/ = 87,6-74,5 -,645 = 87,6-74,5, (,5) (,5) = = Luego el itervalo del 90% de cofiaza para la diferecia e la resistecia a la tesió proedio es:, µ - µ 3,98 Observar que: a) El itervalo de cofiaza hallado o icluye al cero, etoces la resistecia proedio del aluiio de clase ( ) es ayor que la del aluiio de clase ( ) b) Puede afirarse que se tiee ua cofiaza del 90% de que la resistecia proedio a la tesió del aluiio de clase es ayor que la del aluiio de clase e ua catidad que oscila etre, y 3,98 kg/ II Itervalo de cofiaza para la diferecia de edias de dos poblacioes orales idepedietes, co variazas descoocidas pero supuestas iguales Recordeos que si y Y so coocidas y = Y = el pivote usado para hallar u itervalo de cofiaza de - Y es: ( - Y) - (µ - µ Y ) Z = Z tiee distribució N (0, ) abeos que y Y estia a y Y respectivaete Tabié sabeos que las dos variables aleatorias, ( -) ( -)Y y tiee distribució Chi Cuadrado co (-) y (-) grados de libertad respectivaete Adeás so variables aleatorias idepedietes puesto que las uestras aleatorias se seleccioaro de fora idepediete Por tato su sua: ( -) ( -)Y V = tiee distribució Chi-Cuadrado co = (-) (-) = grados de libertad Págia 3 de 8

14 UNLP-Facultad de Igeiería Carreras: Ig Electróica y Electricista Puede ostrarse que las expresioes para Z y V so idepedietes y tabié que siedo Z va N(0,) y V co distribució Chi-cuadrado co grados de libertad, la va Z T = V ν tiee distribució t de tudet co grados de libertad Puesto que y Y so estiadores de la variaza coú, puede obteerse u estiador cobiado de ejor que y Y por separado Este estiador, que idicareos p, es u estiador isesgado y ás eficiete que y Y ( -) ( -)Y p = - Al sustituir p e el estadístico T se obtiee, Usareos a T coo pivote Tedreos, T = ( - Y) - (µ p P - µ [-tα/ T t α / ] = - α () Y ) dode t / es el valor t co - grados de libertad, por arriba del cual ecotraos u área de / ustituyedo T e (): ( - Y) - (µ - µ Y ) P[-t α / t α / ] = - α p Operado adecuadaete se obtiee el itervalo de (-) 00%, ( x - y) - t α /s p µ - µ Y (x - y) tα/s p Naturalete, la costrucció de este itervalo requiere supoer que las variazas so iguales, auque descoocidas Para ello habrá que realizar previaete u test de hipótesis (procediieto que se verá e u capítulo posterior) para deteriar si dicha suposició es razoable Ejeplo U artículo publicado dio a coocer los resultados de u aálisis del peso de calcio e ceeto estádar y e ceeto cotaiado co ploo Los iveles bajos de calcio idica que el ecaiso de hidratació del ceeto queda bloqueado y esto perite que el agua ataque varias partes de ua estructura de ceeto Al toar diez uestras de ceeto estádar, se ecotró que el peso proedio de calcio es de 90 co ua desviació estádar de 5; los resultados obteidos co 5 uestras de ceeto cotaiado co ploo fuero de 87 e proedio co ua desviació estádar de 4 Págia 4 de 8

15 UNLP-Facultad de Igeiería Carreras: Ig Electróica y Electricista upógase que el porcetaje de peso de calcio está distribuido de aera oral y que las dos poblacioes orales tiee la isa desviació estádar a) Ecuetre u itervalo de cofiaza del 95% para la diferecia etre edias de los dos tipos de ceeto b) Es posible afirar que la presecia que la presecia del ploo afecte este aspecto del ecaiso de hidratació, a partir de a)? Justifique la respuesta olució a) El estiador cobiado de la desviació estádar es: ( -) ( -) Y 5 (0 -) 4 (5 -) p = = = 9,5 p = 4, Al hacer las cuetas correspodietes se obtiee el itervalo: -0,7 - Y 6,7 b) Observar que el itervalo de cofiaza del 95% icluye al cero, etoces para este ivel de cofiaza o puede cocluirse la existecia de ua diferecia etre las edias Podeos decir lo iso expresado que o hay evidecia de que la cotaiació del ceeto por ploo tega efecto sobre el peso proedio del calcio, por tato co u ivel de cofiaza del 95% o podeos afirar que la presecia del ploo afecte este aspecto del ecaiso de hidratació III Itervalo de cofiaza para la diferecia de edias de dos poblacioes orales idepedietes, co variazas descoocidas y que o puede supoerse iguales i las variazas o puede supoerse iguales, o podreos usar el pivote del caso aterior, puesto que eplea a p coo estiador de la variaza coú de abas poblacioes El estadístico pivote que usareos e este caso es: ( - Y) - (µ - µ Y ) W = Y i los taaños uestrales so grades ( 30 y 30), W tiee distribució aproxiadaete N(0, ) y el itervalo (-)00% de cofiaza para - Y, es [ - Y - z / Y ; - Y z / Y ] i los taaños uestrales so pequeños puede ostrarse que el estadístico pivote W sigue ua distribució t de tudet co = - grados de libertad, siedo u úero que cuple co, (0 áx, -) y es el etero ás próxio a, Págia 5 de 8

16 UNLP-Facultad de Igeiería Carreras: Ig Electróica y Electricista Y [( -) - ( -) ] Y ( -)[ ] ( -)[ ] Por tato u itervalo del (-) 00%, para - Y, es, Y Y [ - Y - t, / ; - Y t, / Ejeplo E u estudio realizado sobre el tipo de sedietos hallados e dos lugares de perforació distitos, se ha aotado los siguietes datos acerca del porcetaje e volue de arcilla presete e las uestras de sodeo: : Y: siedo = % de arcilla e el lugar A e Y = % de arcilla e el lugar B Calcular u itervalo del 95% de cofiaza para la diferecia de los valores edios de e Y olució A partir de los datos uestrales se obtiee: = 5 = 3,933 = 0,559 = Y = 8,667 Y = 4,355 upuesto que e Y so variables aleatorias orales co variazas descoocidas y distitas, ecesitaos deteriar el úero de grados de libertad de la t de tudet, para poder obteer el itervalo pedido Co los datos ateriores, = 9,378; etoces, = - 9 = 6 t,99 t, / 6; 0,05 ustituyedo los valores calculados e el itervalo, Y [ - Y - t, / ; - Y t, / el itervalo del 95% de cofiaza para - Y es [-,099;,63] Y ] IV Deteriació del taaño uestral upoiedo que elegios uestras del iso taaño e abas poblacioes ( = ), cuál es el taaño uestral ecesario para que la logitud del itervalo para la diferecia de edias, co u ivel de cofiaza prefijado (-), sea igual a ua catidad predeteriada? a) i las variazas poblacioales so coocidas, despejado e la logitud del itervalo, Y L z / se obtiee, 4 z / ( Y ) b) i las variazas so descoocidas pero puede supoerse iguales, dada ua estiació preliiar de la variaza coú p y supuesto que es suficieteete grade para L Págia 6 de 8

17 UNLP-Facultad de Igeiería Carreras: Ig Electróica y Electricista aproxiar la distribució t por la oral estádar, despejado de la logitud del itervalo, L = z α / p, el taaño uestral es 8z = α L/ p c) i las variazas so descoocidas y o puede supoerse iguales, supuesto que es suficieteete grade para aproxiar la distribució t por la oral estádar, el valor de que se obtiee al despejar e la logitud del itervalo, L = z es, 4z α / ( Y ) = L dode y Y so estiacioes preliiares de las variazas poblacioales α / Y 543 Itervalos de cofiaza para la diferecia de edias co datos apareados E la secció 54 trataos el problea de las uestras idepedietes y las apareadas, haciedo la observació que la pricipal característica del uestreo apareado es que abas uestras so depedietes Esta depedecia hace que los estadísticos pivote usados e el caso de idepedecia o se debe eplear cuado el uestreo se haya hecho de fora apareada, puesto que los itervalos de cofiaza hallados puede resultar deasiado grades o excesivaete pequeños El otivo de esta posible distorsió es que si las variables e Y so depedietes la Var ( - Y) Var( ) Var(Y) - Cov(, co lo que, si cosideraos las variables idepedietes y os olvidaos del tério de la covariaza, el deoiador de los estadísticos pivote puede ser equivocadaete grade o pequeño, segú coo sea la covariaza etre e Y Para evitar este problea cosideraos la ueva variable aleatoria D = Y y estiaos directaete Var (-Y) upuesto que D es oral co edia µ D = µ - µ Y y variaza D es equivalete costruir u itervalo de cofiaza para - Y que costruirlo para D De esta aera dada las diferecias D i = i Y i, obteidas a partir de las uestras apareadas y utilizado el procediieto ya descripto para la costrucció de itervalos de cofiaza para la edia de ua població oral, co variaza descoocida podeos hallar u itervalo del (- ) 00% de cofiaza para D = - Y El itervalo obteido será, D D [ D - t -, / ; D t -, / ] Ejeplo Ua cadea de egocios de electrodoésticos quiere estudiar la efectividad de ua ueva capaña televisiva sobre la veta de ua cierta arca de heladeras Para ello se recoge el úero de uidades vedidas durate u es ates y u es después de la capaña, e de Y) Págia 7 de 8

18 UNLP-Facultad de Igeiería Carreras: Ig Electróica y Electricista los egocios que copoe la cadea Los resultados obteidos está dados e la siguiete tabla, Ates Después a) Co u error del 5% hallar u itervalo de cofiaza para la diferecia de edias de uidades vedidas durate u es ates y u después Idicar las hipótesis realizadas b) e puede cosiderar efectiva la capaña publicitaria? olució a) e trata de uestras apareadas, los valores que toa la vad so:, -, -, -, -,, -4, -4, -4, -7, -, - e supoe oralidad e la diferecia e obtiee: D = D k = k 7 = - = -,5 D = 4,6875 t -; α/ = t; 0,05 =,0 4,6875 e obtiee el itervalo: (-,5 ±,0 ) = (-3,686;- 0,84) - b) Existe diferecias sigificativas, puesto que el itervalo o cotiee al cero REUMEN: INTERVALO DE CONFIANZA PARA DO MUETRA Itervalos para la diferecia de edias ( - Y ) Co y Y coocidas Y [ - Y ± zα / ] Co = Y descoocidas [ - Y ± t -; α/ p ] Co Y descoocidas y, 30 Y [ - Y ± zα / ] Co Y descoocidas y 30 ó 30 Y [ - Y ± t ν ; α/ ] Co datos apareados D [D ± t -, α/ ] Págia 8 de 8