MatemáticasI. b) La expresión es una identidad que se verifica para cualquier valor de x.
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- José Miguel Parra Flores
- hace 5 años
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1 MemáicsI UNIDAD : Álge I: Polinomios, ecuciones sisems ACTIVIDADES-PÁG.. Los esuldos son: Cociene: + + eso: - Cociene: + eso:. Opendo oenemos: : :. Los esuldos son: L epesión es un ecución con solución =. L epesión es un idenidd que se veific p culquie vlo de.. Si llmmos l númeo de pies que ení l pincipio e l vlo inicil de cd pie, podemos fomul el sisem: L solución del sisem es = e = 7. Po no, el lfeo ení pies l pincipio. ACTIVIDADES-PÁG.. Sí puede se cieo; se de dos pdes que se hn csdo cd uno con l hij del oo.. Diemos que: = 7 = n = 7 + n = n + Además semos que n + n =. Susiuendo opendo, oenemos n = dms. Con el vlo neio, enemos n = = clleos. Hí dms clleos.
2 MemáicsI. Luís d minuos en lleg l sie. L pe, po lo no, h esdo moviéndose dune minuos. Po no h ecoido: km : h kilómeos h. Llmndo e ls incógnis podemos fomul l iguldd : = + + Desollndo los númeos según l epesión deciml: = + + Opendo, oenemos l ecución + =, cu solución con senido es = 7, = 7. Es deci, Aséi nció en el ño 77 en el ño ení ños. ACTIVIDADES-PÁG.. L fcoición del polinomio es P = = + + sus íces son. L fcoición del polinomio es P = + = sus íces son ; - /. En el gáfico pueden vese l esolución de l cividd con Wiis.. Los esuldos son: : :
3 MemáicsI En el gáfico pueden vese l esolución de l cividd con Wiis.. Ls soluciones son: Psmos el pénesis l segundo miemo elevmos l cuddo opemos: Ls soluciones de l ecución cudáic son = = -, que ms son soluciones de l ecución inicil. Despejmos de l pime ecución, = +. Susiuimos en l segund ecución oenemos l ecución cudáic + + =, que no iene soluciones eles. Po no, el sisem cece de soluciones. En el gáfico pueden vese l esolución de l cividd con Wiis.
4 MemáicsI En los diujos puede vese como l ec l hipéol no se con. ACTIVIDADES-PÁG.. Opendo uilindo l idenidd de polinomios, se oiene = = -.. En cd uno de los csos descomponemos los polinomios en fcoes clculmos el MCD el mcm.,, B A mcm B A MCD B A,, D C mcm D C MCD D C c,, F E mcm F E MCD D E. Ls soluciones de cd pdo son: El eso de dividi P po - dee se ceo. Reso =. 7 k k P H de se divisile po po +. Po no: A A
5 MemáicsI c Qued: Reso =. m m d Ls condiciones del enuncido dn lug : - P que se divisile po, enonces B =. - P que se divisile po +, enonces B - =. - P que dé eso l dividilo po, enonces B =. Oenemos el sisem de es ecuciones con es incógnis su solución: c c c c. Los esuldos de ls opeciones que siguen son: c d e : f : g h : :
6 MemáicsI. Ls descomposiciones en sum de fcciones simples son: c d e f. Se el polinomio P = + + c. Imponiendo ls condiciones del enuncido, oenemos: P = -, enonces c = - Tiene como í = -, es deci, P - = se iene que + c = D eso l dividilo po, enonces, P = + + c = Oenemos el sisem: c c c c L solución es =, = c = - el polinomio uscdo es P = +. ACTIVIDADES-PÁG Ls soluciones de ls ecuciones son: = c = = d =. Ls soluciones de ls ecuciones son: = - = e = - ; = - ; = = No iene soluciones eles f = - =
7 MemáicsI c = = g = = d = = h = = -. Ls soluciones quedn: Si un de ls soluciones es /, és veificá l ecución, es deci: k k k Si ls soluciones de l ecución son, éss deen veific l ecución, po no: c c c c c c Ls dos soluciones son igules si el vlo del disciminne es nulo, es deci: c = c = c = c = d Sen ls soluciones de l ecución. Se cumple: m ; ; m m. Ls soluciones son: Fcoimos el polinomio + oenemos +. Ls soluciones de l ecución son = - ; = =. Opendo + =, oenemos + =, que fcoid qued + + =. Ls soluciones son = - ; = - =. c Opemos en l ecución = - ; = ; = =. oenemos + = cus soluciones son d Ls soluciones de l ecución + = son = - ; = - /; = =/. e Ls soluciones eles de l ecución + = son = - ; =. f Opendo se oiene + =.
8 MemáicsI Fcoindo l ecución oenemos = ; cus soluciones son: = ; = ; = =.. Ls soluciones son: Elevndo l cuddo mos miemos opendo, oenemos: El vlo = no es solución, que se cumple:. El vlo = es solución, que se cumple:. Pocediendo como en el cso neio l ecución iene dos soluciones: = - =. c L ecución iene dos soluciones: = - =. d L solución de l ecución es. e L ecución no iene soluciones. f Elevndo l cuddo opendo en l ecución oenemos como solución los vloes = - = ; unque sólo ese úlimo es l solución de l ecución dd,. Llmndo l cociene, el eso seá el diviso. L elción ene los elemenos de l división pemie escii = +. Ls soluciones de l ecución + = son = 7 = El diviso de es división es se cumple = El iángulo iene po ceos po hipoenus 7. El eoem de Piágos nos pemie escii: Ls soluciones de l ecución son = 7 = -. + = 7 = L segund solución cece de senido uno de los ceos mide 7 cm el oo cm. 7
9 MemáicsI. Llmndo l númeo e imponiendo ls condiciones del enuncido, oenemos: Ls soluciones son Sen, + los es númeos consecuivos. Podemos fomul l ecución: = Ls soluciones de l ecución son = - =. L pime cece de senido los númeos son,. Los númeos consecuivos ésos son, se cumple mién que + =. ACTIVIDADES-PÁG.. Llmmos l númeo de esudines del cuso e l cnidd de dineo que pg cd uno. Imponiendo ls condiciones del enuncid, oenemos el sisem: Resolviendo el sisem po susiución, oenemos = e = 7. Po no, en el cuso hí esudines cd uno deí pg, en pincipio, 7 euos. 7. Los sisems esuelos quedn: Resolvemos el sisem 7 po educción oenemos Resolvemos el sisem po susiución oenemos ; ; c Resolvemos el sisem po susiución oenemos ; 7 ; d Resolvemos el sisem po susiución oenemos ; ;
10 MemáicsI ; ; e Resolvemos el sisem po susiución oenemos ; ; ; f Resolvemos el sisem po susiución oenemos ; g En el sisem 7 summos ms ecuciones esmos ms ecuciones, oeniendo el sisem equivlene. Resolviendo ese úlimo po susiución 7 7; 7; oenemos ls soluciones ; 7 ; 7 ; h Resolviendo el sisem po susiución oenemos. 7; De ls dos soluciones neioes sólo es válid = 7 e =.. Sen + l medid de sus ldos. Se cumpliá + =. Opendo esolviendo, oenemos: Ls medids de l finc son meos. 7. Llmndo l longiud de l se e l lu e imponiendo ls condiciones del enuncido, oenemos: ; ; Los oos deen se de dm dm.. Llmndo l áe de un cuddo e l áe de oo, podemos fomul el sisem: 7 cm cm El ldo de un cuddo mide 7 cm cm el del oo cm cm.
11 MemáicsI. Llmmos l iempo que d el segundo lñil solo en hce l epción. De l cnidd de jo que hcen los lñiles po sepdo junos podemos fomul l ecución: El segundo lñil dí en hce sólo l epción hos.. Ls soluciones son: Aplicmos el méodo de Guss con ls nsfomciones que siguen esolvemos: E E ; E E E E E El sisem es compile deemindo su solución es = ; = ; =. Aplicmos el méodo de Guss con ls nsfomciones que siguen esolvemos: E E ; E E E E E E E E ; E E E E E El sisem es compile deemindo su solución es = ; = ; =. c Aplicmos el méodo de Guss con ls nsfomciones que siguen esolvemos: E E ; E E E E E E E E ; E E E E + E / 7 / El sisem es compile deemindo sus soluciones son = 7/, = - /, = -, con R.
12 MemáicsI d Aplicmos el méodo de Guss con ls nsfomciones que siguen esolvemos: E E ; E E E E E E E E ; E E E E E El sisem es compile deemindo su solución es = - ; = ; = -. e Aplicmos el méodo de Guss con ls nsfomciones que siguen esolvemos: E E ; E E E E E E E E ; E E E E E El sisem es incompile cece de solución. f Aplicmos el méodo de Guss con ls nsfomciones que siguen esolvemos: E E ; E E E E E E E E ; E E E E E 7 El sisem es compile deemindo su solución es = - ; = ; = -. g Aplicmos el méodo de Guss con ls nsfomciones que siguen esolvemos: E E ; E E ; E E E E + E E E ; E E ; E E E E + E E E ; E E ; E E E E + E m m m m El sisem es compile indeemindo sus soluciones son = + m, = + m, = + m; = m, con m R.
13 MemáicsI h Aplicmos el méodo de Guss con ls nsfomciones que siguen esolvemos: E E ; E E E ; E E E E E E E ; E E ; E E E E E + E E E ; E E ; E E E E - E El sisem es compile deemindo su solución es = ; = - ; = ; = -. i Aplicmos el méodo de Guss con ls nsfomciones que siguen esolvemos: E E ; E E E ; E E E E E E E ; E E ; E E E E E - E El sisem es compile deemindo su solución es = ; = ; =.. Se el númeo el númeo uscdo. De ls condiciones del enuncido oenemos el sisem: 7 Opendo esolviendo, oenemos: 7 El númeo uscdo es.
14 MemáicsI ACTIVIDADES-PÁG.. Llmndo l edd del pde e l edd del hijo oenemos: El pde iene ños el hijo ños.. Se el númeo el númeo uscdo. De ls condiciones del enuncido oenemos el sisem: Opendo esolviendo, oenemos: El númeo uscdo es.. Llmmos l edd del pde, l edd de l mde l edd de l hij. Oenemos:,, 7, El pde iene 7, ños, l mde, ños l hij, ños. 7. Llmmos : l númeo de icks de leche ene : l númeo de icks de leche semidesnd : l númeo de icks de leche desnd Imponemos ls condiciones del enuncido oenemos:, 7,,,
15 MemáicsI L cenl leche envs: icks de leche ene icks de leche semidesnd de icks de leche desnd.. En el equipo A h fuoliss en el equipo B h fuoliss. Oenemos el sisem: 7 7 H fuoliss en el equipo A fuoliss en el equipo B.. En cd uno de los pdos qued: Resolviendo l ecución oenemos: m Imponiendo l condición del enuncido: m m m m m m m m m m m m 7 m ó m Llmmos, ls soluciones de l ecución. Oenemos: m m m c Si un solución es L o solución es = -., és veific l ecución, po no: m m d Resolviendo l ecución m + = oenemos: m m Ls soluciones son igules si m =, lo que implic que m =. 7
16 MemáicsI. Ls soluciones son: + = = = Elevndo l cuddo mos miemos opendo oenemos: = nuevo oendímos: + = = ms soluciones son válids., elevndo de c Fcoindo oenemos + + = sus soluciones seín ls siguienes: = dole; = - ; =. d Opendo oenemos = cus soluciones son:. e - = = 7. f - = + = ; o ien = + = -. Ls soluciones son: = e = ó = - e = -. =, =, = c Sumndo ms ecuciones oenemos: + = + = o + = - l solución povendá de los dos sisems siguienes:. Llmndo e ls dimensiones del jdín e imponiendo ls condiciones del polem oenemos el siguiene sisem: Ese sisem iene infinis soluciones, odos los vloes de e que veifiquen l siguiene epesión: + = con, e,.
17 MemáicsI. Llmmos l númeo de kilómeos hci i l id, l númeo de kilómeos hechos en llno l númeo de kilómeos hci jo. Imponiendo ls condiciones del enuncido oenemos: km km km ACTIVIDADES-PÁG.. Sen,, el númeo de picipciones de, euos, especivmene. Ls condiciones del enuncido nos pemien plne el sisem que sigue. En l pime ecución se descie el númeo ol de picipciones, en l segund el impoe ol en l ece l elción ene picipciones de euos de euos. El sisem es compile deemindo, es deci, iene un solución únic que el deeminne de l mi de los coeficienes vle:. Aplicndo el méodo de Guss, oenemos: Se hn vendido picipciones de euos, picipciones de euos picipciones de euos. Puede compose, con fcilidd, que l solución oenid es l coec:
18 MemáicsI. El áe de l sección es el áe de un pecio de ses de lu ; po no, su áe, A, seá: A A 7 A El volumen, V, del cnl seá el áe de l sección po su longiud: V = = P deemin el áe ol del cnl enemos que conoce l medid de los ldos inclindos de l sección. Llmndo L l ldo inclindo, clculmos su medid plicndo el eoem de Piágos en el iángulo ecángulo del diujo cuos ceos miden. L L L El áe ol del cnl es: A T = + + = c Si l longiud el del cnl es, m, enonces:, =,, El vlo del volumen del cnl es V =, = 7, m. El áe ol del cnl es A T =, = 7, m.. Aplicmos los psos descios l polinomio P = +, Pso º. Osevmos que P = > P = + = - <, po no, h un í ene. Pso º. En el inevlo, su puno medio es P = -. Ese vlo es de signo opueso l de P, enonces l í esá ene. Pso º. En el inevlo, su puno medio es, P, =,. Ese vlo es de signo opueso l de P, luego l í esá ene,. Pso º. En el inevlo,; su puno medio es,7 P,7 =,. Ese vlo es de signo opueso l de P, luego l í esá ene,7. Pso º. En el inevlo,7; su puno medio es,7 P,7 = -,. Ese vlo es de signo opueso l de P,7, luego l í esá ene,7,7. 7
19 MemáicsI,7,7 Un esimción onle seí el puno medio de ese inevlo, es deci:,. En l imgen puede vese l í encond. Si elimos l gáfic de l función polinómic f = + osevmos que iene es íces en los inevlos -,,, 7,. Pocediendo como en el pdo neio, enconmos ls íces del polinomio Q = + en los inevlos -, -; -,,,,. Pueden vese en l gáfic.
20 MemáicsI c Ls íces del polinomio R = + esán en los inevlos -, - ;,,. Pueden vese en l gáfic. 7. Llmndo l númeo de coches lncos, el númeo de coches ojos g l númeo de coches gises podemos fomul el siguiene sisem con ls dos condiciones del enuncido: g g g g Con ess ecuciones no podemos se el númeo de coches lncos que h en el pcmieno que si esolvemos el sisem neio es compile indeemindo, oenemos ls soluciones: g Si ñdimos l ecución + g =, el sisem neio qued: g g g Eliminmos l incógni g en l úlim ecución hciendo l cominción E E E esolviendo el sisem esulne, oenemos: g g g Osevmos que en el pcmieno h coches lncos, gises ojos.
21 MemáicsI. Llmmos ls pesons que pgn l end euos, los juildos los niños.,, pgnl end euos son juildos son niños ACTIVIDADES-PÁG. En l mes de mño l ol se mee en l esquin B, como puede vese en el diujo. L ol h cudo cuddos. c L ol h eodo veces en los ldos de l mes. Los mismo ocuií en ls mess de medids semejnes:,, ec. En picul en l mes. d Los esuldos p ls mess pedids pecen coninución: En un mes, l ol se mee en l esquin C opues A, cu cuddos eo veces en los ldos de l mes. Lo mismo ocue en un mes. En un mes, l ol se mee en l esquin B, cu cuddos eo un ve en los ldos de l mes. Lo mismo ocue en un mes. En un mes, l ol se mee en l esquin C, cu cuddos eo veces en los ldos de l mes. Lo mismo ocue en un mes. e En genel, p un mes de mño m n, m n númeos nules, se usc l mes semejne de dimensiones, siendo pimos ene sí oenemos: Si es p, l ol se mee en l esquin B, conigu l de pid A. Si es imp, l ol se mee en l esquin C, opues l de pid A, si es p; si es p, l ol se mee en l esquin D. Deeminmos el númeo de eoes en ls nds de l mes de ill p ello clculmos los eoes que d l ol en ls mess de ls dimensiones picules que pecen en el enuncido, oenemos: - En l mes, o en su semejne, d + = eoes. - En l mes, o en su semejne, d + = eoes. - En l mes, o en su semejne, d + = eoe. - En l mes, o en su semejne, d + = eoes.
22 MemáicsI En genel, en l mes, d + - eoes; siendo, los pimos ene sí deemindos pi de m m n n, es deci, en un mes de mño m n, l ol d eoes. m. c. d. m, n Hciendo los mismo p deemin los cudos que cu l ol, se lleg que en un mes de mño m m n n, l ol cu cudos. m. c. d. m, n
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