3. Una partícula que se mueve en la dirección OX

Transcripción

1 Toía 1. Indiqu con una o una V i l ultado d la iguint xpion un cala o un vcto. ciba una X i mzclan d foma incocta xpion cala con xpion vctoial. a) a ( b + c) + ( c a) b a + a b + c undamnto íico d la Ingniía Ingnio d Tlcomunicación. TSIT. xamn pacial pllido: Nomb: T: TP: P: PP: : Nota: La pat d toía pnta un % d la calificación dl xamn y la pat d poblma un 7%. Toda la pgunta d la pat d toía tinn l mimo valo. Lo do poblma tinn l mimo valo. uación: hoa. + X 4 b) a b + a ( b c) c) ( ) V d) [( a b ) c + a] b V. (I) uál on la componnt intínca d la aclación a tavé d qué xpion podmo calculala y qué mid cada una d lla? (II) na patícula igu la tayctoia qu muta n la figua. nt y la tayctoia cta. ibuj l vcto vlocidad l vcto aclación y u componnt intínca n y i la apidz con la qu muv la patícula aumnta unifommnt. Solución: (I) La componnt intínca d la aclación on: - clación tangncial: mid lo cambio n l módulo d la vlocidad. Pud calcula a pati d la xpión: d at u t dt dond l módulo d la vlocidad y u t un vcto unitaio tangnt a la tayctoia n la mima dicción y l mimo ntido qu l vcto vlocidad. - clación nomal: mid lo cambio n dicción d la vlocidad. Pud calcula a pati d la xpión: a n u n ρ

2 undamnto íico d la Ingniía. TSIT. xamn pacial. 1 d icimb d 004. indo l módulo d la vlocidad ρ l adio d cuvatua y u n ppndicula a la tayctoia y diigido imp hacia l cnto d cuvatua. un vcto unitaio (II) a t a a a n a a t a t 0 a n a n 3. na patícula qu muv n la dicción OX tá omtida a la acción d una fuza convativa cuya función ngía potncial la qu indica n la gáfica. uál on la gion d moviminto poibl y n qué ntido actúa la fuza cuando la ngía total d la patícula vin dada po: a) 1 b)? Solución: a) 1 La gion d moviminto poibl on: xa x x b y xc x xd b) l moviminto poibl n: x x < Indpndint d la ngía total la fuza qu actúa ob la patícula va: ( x) ( x) 1 1 x - Hacia la dcha n: x < x m1 y x < x < M x m x x xa m1 xb x M xc x m xd x x < x < x - Hacia la izquida n: m M 1 y x > x m

3 undamnto íico d la Ingniía. TSIT. xamn pacial. 1 d icimb d 004. Poblma 1. n toita abandona una bomba ob la upfici d la cúpula miféica d una to tal y como indica n la figua. a) Si la bomba (tatada como una patícula) dliza ob la cúpula patindo dl poo dtmin l ángulo mdido dd l cnto d la cúpula y pcto al j OY paa l cual la bomba dja d ta n contacto con la cúpula. b) mut qu n t momnto la vlocidad d la patícula.39i 6.0 j (m/) y u Y vcto d poición 7.4i j (m) pcto al itma d fncia indicado n la figua. c) Juto n l momnto n qu la bomba abandona la cúpula (conidé t intant como l intant inicial) un automóvil qu cicula con vlocidad contant paa po l oign O. tmin la vlocidad con la qu ciculaba l automóvil tnindo n cunta qu la bomba ca ob él. ato: h 0 m 10 m g 9. 8 m/. Solución: a) Paa dtmina l ángulo paa l cual la bomba dja d ta n contacto con la cúpula analizamo la dinámica dl moviminto d la bomba (tatada como una patícula) dlizando ob la cúpula. La patícula pat dl poo n l punto y alcanza un punto abitaio ob la upfici d la cúpula. La fuza qu tán actuando ob la bomba on l po P y la nomal N. plicando la ª ly d Nwton al moviminto d la bomba tnmo: P + N ma (1.1) N dicción Si dcomponmo ta última cuación n la nomal diccion nomal y tangncial y paticulaizamo P co P in paa l punto obtin: P dicción tangncial - dicción tangncial: in ma t (1.) P - dicción nomal: co N ma n (1.3) P dond paa cibi la xpion cala antio hmo tnido n cunta qu la aclación nomal tá imp diigida hacia l cnto d cuvatua (l cnto d la upfici miféica) y qu tomamo t ntido como ntido poitivo. hoa bin i uponmo qu la bomba dja d ta n contacto con la upfici n l punto ntonc la fuza nomal (qu una fuza d contacto) á nula n l punto : 0 N (1.4) O h X

4 undamnto íico d la Ingniía. TSIT. xamn pacial. 1 d icimb d 004. y finalmnt: Po tanto la cuación d moviminto n la dicción nomal quda: P co man mg co m co (1.) g n la xpión antio no conocmo la vlocidad d la bomba n l punto po pud calcula fácilmnt aplicando l toma d convación d la ngía mcánica al tamo d moviminto. La fuza nomal n todo momnto ppndicula al dplazaminto y po tanto no aliza tabajo. No hay ozaminto nt la bomba y la cúpula; y l po una fuza convativa aí qu n l tamo conva la ngía mcánica. m m (1.6) c g c g + (1.7) La bomba pat dl poo o a c 0 0 (1.8) La cuación (1.7) quda ntonc: 1 mgh m + mgh (1.9) Podmo lgi l co d ngía potncial gavitatoia n la ba d la cúpula miféica. ta mana h y h co y la cuación (1.9) quda: 1 g + g co (1.10) inalmnt la vlocidad d la bomba n vin dada po: ( 1 ) g co (1.11) Nota: Si toma l co d ngía potncial n la ba d la to (n l ulo) ntonc: mgh mg( h) y g mgh mg( co + h) g +. l utitui to témino n la cuación (1.7) lo témino mgh canclan a ambo lado d la igualdad y obtin nuvamnt la cuación (1.10). Sutituyndo (1.11) n (1.) obtin: co 1 co (1.1) Opando: co co d ngía potncial gavitatoia ( ) co 3 (1.13) inalmnt l ángulo paa l cual la bomba dpga d la upfici : a co º 3 (1.14)

5 undamnto íico d la Ingniía. TSIT. xamn pacial. 1 d icimb d 004. b) Paa compoba qu l vcto d poición y la vlocidad d la bomba n l momnto d dpga on lo qu indican n l nunciado dbmo tn n cunta dónd itúa l oign d coodnada conoc l punto dond la bomba abandona la upfici y u vlocidad n momnto. omncmo con l vcto d poición: xi + y j (1.1) Y clao qu: x in y h + h h + co (1.16) h on lo dato qu uminita l nunciado y l ultado obtnido n (1.14) tnmo: h y j O x x i X Po tanto x 7.4 m y m (1.17) 7.4i j (m) (1.18) ontinumo con l vcto vlocidad. Sutituyndo l ultado (1.14) n la cuación (1.11) obtin qu l módulo d la vlocidad n l punto : 8.08 m/ (1.19) l vcto vlocidad imp tangnt a la tayctoia aí qu á un vcto tangnt a la upfici d la cúpula tal y como indica n la figua. onocido l ángulo fácil obtn Y x Y x y X la xpión vctoial d in má qu poycta ob lo j X Y: i + j (1.0) Obvando la figua tnmo: x y x co y in (1.1) h Sutituyndo n la xpion antio lo O X ultado (1.14) y (1.19) llga a:.39i 6.0 j (m/) (1.) c) Juto n l momnto n qu la bomba abandona la cúpula l coch paa po l oign d coodnada. Ét l intant inicial. La bomba dcib un moviminto paabólico indo u vcto d poición inicial y u vlocidad inicial lo qu dan n l apatado b). l coch dcib un M cuya vlocidad qumo conoc. cibimo la cuacion cinmática dl moviminto tanto paa la bomba como paa l coch djando indicada aqulla magnitud qu no conozcamo.

6 undamnto íico d la Ingniía. TSIT. xamn pacial. 1 d icimb d 004. omba och t + () t + a t ( ) t a g 9.8 j (m/ ) i (m/) 0.39i 6.0 j (m/) 0 0i + 0 j 0 7.4i j (m) ntonc: ntonc: ( t) ti () t.39i ( t )j (m/) t t i t 4.9t (m) () t + t + a t ( t) ct () ( ) ( )j (m) (m) Y Sa t l intant d timpo paa l cual la bomba ca ob l coch. n t intant ( t ) ( t ) (1.3) 0 La igualdad (1.3) da luga a do cuacion una al iguala la componnt hoizontal d lo vcto h 0 d poición y ota al iguala la componnt vtical: - hoizontal: t t (1.4) O X - vtical: t 4.9t 0 (1.) La cuación (1.) una cuación d gundo gado qu pmit calcula t. na d u t olucion da un < 0 lo qu cac d ntido fíico y la ota olución : t 1.80 (1.6) Sutituyndo (1.6) n (1.4) podmo dtmina la vlocidad dl coch qu ulta: 9.3 m/ (1.7)

7 undamnto íico d la Ingniía. TSIT. xamn pacial. 1 d icimb d na fa d maa M y adio pat dl poo y cominza a oda in dliza po un plano inclinado un ángulo pcto a la hoizontal. continuación poigu u moviminto po una upfici pfctamnt lia al final d la cual ncunta un ot d maa dpciabl y contant lática k. na vz qu la fa nta n contacto con l mull ét llga a compimi una cantidad x. onid qu nt l mull y la fa no xit ningún tipo d ozaminto. a) tmin la altua h dd la qu ca la fa mdida dd l ulo hata u M. b) uant l moviminto d la fa (dd qu dja ca hata qu l ot compim) conva u ngía mcánica n algún tamo dl moviminto? n cao afimativo n cuál? po qué azón? c) Sindo µ l coficint d ozaminto tático nt la ampa y la fa calcul la inclinación ima Nota: pcto a un j qu paa po l cnto d qu podía tn l plano paa qu la fa ud in dliza. M la fa M I. µ k Solución: a) Podmo calcula la altua h dd la cual ca la fa llvando a cabo un análii ngético dl moviminto d la fa. Vamo po tanto a analiza l moviminto d la fa dd qu ca hata qu compim l ot dividiéndolo n difnt tamo. Tamo : d l punto inicial hata l final dl plano inclinado. co d ngía potncial gavitatoia h M µ P N n l tamo podmo aplica l pincipio d convación d la ngía mcánica poqu la fuza nomal ppndicula al dplazaminto y po tanto no aliza tabajo; la fa uda in dliza y n concuncia la fuza d ozaminto d tipo tático y tampoco aliza tabajo; y la ota fuza qu actúa ob la fa l po qu una fuza convativa. Po tanto m m (.1) k

8 undamnto íico d la Ingniía. TSIT. xamn pacial. 1 d icimb d 004. c ta c ot g c ta + c ot g + (.) Tnindo n cunta qu la fa pat dl poo ntonc: y la cuación (.) pud cibi como: 0 (.3) c ta c ot g c ta + c ot g (.4) 1 1 Mgh M M + I Mω + Mgh (.) Si lgimo l co d ngía potncial gavitatoia al nivl dl ulo ntonc altua qu ptndmo calcula) y h h (la h qu la ditancia dl M al ulo. Lugo 1 Mgh M 1 + I M Mω + Mg (.6) imimo abmo qu la fa dcib un moviminto d odadua y qu po tanto M ω. dmá laciona M con la altua h : M I M. ta mana pud cibi una cuación qu Mgh La cuación paa la vlocidad angula : 1 1 M M + MM + Mg (.7) M 10 g 7 ( h ) (.8) 10 g 7 M ( h ) ω (.9) Tamo : Tamo ob la upfici lia ant d nta n contacto con l ot. co d ngía potncial gavitatoia n t tamo no hay ninguna fuza qu alic tabajo ya qu toda on ppndicula al dplazaminto. Po oto lado no actúa ninguna fuza d ozaminto ya qu la upfici pfctamnt lia. n concuncia no xit ninguna fuza ni momnto d fuza ( M α 0 α 0 ω ω ω ct ) qu induzca un cambio n l tado xt I M µ N k d moviminto con l qu la fa llga a. Po tanto l tado d moviminto pmanc invaiabl hata : M M P 10 g 7 ( h ) (.10)

9 undamnto íico d la Ingniía. TSIT. xamn pacial. 1 d icimb d g ω M ωm ( h ) (.11) 7 Tamo : La fa nta n contacto con l ot y lo compim. co d ngía potncial gavitatoia P n t tamo cominza a actua ob la fa la fuza lática qu una fuza convativa. Po tanto la ngía mcánica conva n l tamo. Sin mbago hay qu hac nota qu ob la fa no xit ningún momnto d fuza qu alt l moviminto d otación: M α 0 α 0 ω ω ω ct (.1) y po tanto xt I M c ot c ot l pincipio d convación d la ngía mcánica no da: (.13) m m (.14) c ta c ot g c ta + c ot g l + (.1) tilizando la cuación (.13) tnindo n cunta qu n l punto 0 : M N x µ k c ta l g g y qu 0 c ta ya qu (.16) 1 1 M M k x (.17) Sutituyndo la cuación (.10) n (.17) obtin: 1 Mg( h ) k x (.18) 7 inalmnt la altua dd la qu ca la fa vin dada po: 7 k x h + (.19) 10 Mg Nota: Ta olv l poblma dividindo l moviminto n difnt tamo ha qudado clao qu la ngía mcánica conva n toda la tayctoia. Podíamo po tanto hab aplicado l pincipio d convación d la ngía mcánica dictamnt ob lo punto y. b) La ngía mcánica conva n todo l moviminto dd hata aunqu po difnt motivo:

10 undamnto íico d la Ingniía. TSIT. xamn pacial. 1 d icimb d 004. Tamo : Sob la fa actúa una fuza convativa qu l po P y la fuza no convativa N y. La pima d lla no aliza tabajo po ppndicula al dplazaminto y la gunda a pa d actua n la mima dicción qu l dplazaminto tampoco aliza tabajo poqu una fuza d tipo tática (la fa uda in dliza). Po tanto W N 0 m m (.0) Tamo : La única fuza qu actúan ob la fa on ppndicula al dplazaminto po tanto no alizan tabajo y la ngía mcánica conva. Tamo : pcto al tamo antio ahoa ob la fa también actúa la fuza lática qu una fuza convativa. Po tanto la ngía mcánica también conva. c) umindo qu la fa uda in dliza vamo a calcula l valo d la fuza d ozaminto tática n función dl ángulo. omo la fa uda in dliza la fuza d ozaminto tática tin qu mno qu la fuza d ozaminto tática ima <. Imponindo ta última condición podmo dtmina cuál pud la ima inclinación dl plano paa gaantiza qu la fa ud in dliza. M N N dicción nomal µ P k P co P P in dicción tangncial plicando la gunda ly d Nwton tnmo: N P + Ma + (.1) componindo n la diccion tangncial y nomal al moviminto: - nomal: N P co 0 (.) M P Ma - tangncial: in M (.3) plicando la cuación d otación tnmo M I M α (.4) qu cita n foma cala ulta I Mα (.) Tnindo n cunta qu M a M α la cuación (.) quda: I M qu la fa uda in dliza y qu po tanto

11 undamnto íico d la Ingniía. TSIT. xamn pacial. 1 d icimb d 004. Ma M (.6) La cuacion (.3) y (.6) foman un itma linal d do cuacion con do incógnita qu on a M y : l olv (.7) obtin: Pin Ma M Ma M (.7) Si la fa uda in dliza am g in (.8) 7 Mg in (.9) 7 <. Paa l calcula la ima inclinación qu podía tn l plano no pondmo n la ituación límit (.30) Sabmo qu µ N. ando la cuación (.) µ Mg co (.31) Lugo a pati d (.9) (.30) y (.31) in µ co (.3) 7 Po tanto 7 atan µ (.33) to paa gaantiza qu la fa ud in dliza db ocui 7 atan µ < (.34)