ECUALIADOES Federco Myara. Introduccón Un ecualzador permte aumentar o reducr la gananca selectamente en tres o más frecuencas para corregr defcencas en la respuesta frecuencal de un sstema (generalmente electroacústco) o el balance tonal de una fuente. Es posble, así, resaltar frecuencas orgnalmente débles, o atenuar otras de nel exceso. El ecualzador más sencllo es el clásco control de tono, que permte controlar, según conenga, tres grandes bandas fjas de frecuenca, denomnadas genércamente graes, medos y agudos. Exsten dos tpos de ecualzadores: los ecualzadores gráfcos o de bandas (por ejemplo los ecualzadores de octaa, o de terco de octaa), que poseen aras bandas fjas (normalmente entre 5 y bandas), y los ecualzadores paramétrcos, en los que se puede ajustar la frecuenca central de una o más bandas, así como su extensón (controlada medante el factor de caldad Q). En ambos casos se dspone de un ajuste para la gananca o atenuacón. Los más dfunddos son los ecualzadores gráfcos, aunque en general las consolas de mezcla suelen nclur en cada canal de entrada un sencllo ecualzador paramétrco o semparamétrco (Myara, 004).. Ecualzadores gráfcos. Dstrbucón de bandas Analcemos prmero los ecualzadores gráfcos. Como ya se señaló, están dddos en bandas de frecuenca. Cada banda está centrada en una frecuenca determnada, pertenecente a una lsta estándar de frecuencas que han sdo selecconadas para que la relacón entre dos frecuencas consecutas sea aproxmadamente constante. Este tpo de dstrbucón de las bandas está relaconada con la percepcón logarítmca de la escala de frecuencas por el oído. En general se descrbe el ancho de banda relato expresándolo en fraccones de octaa, como por ejemplo ecualzadores de octaa, de terco de octaa, etc. S llamamos α a la fraccón de octaa correspondente a una banda, entonces para cualquer banda k se debe cumplr que (Myara, 000) f s, k α f, k, () donde f s,k y f,k son las frecuencas superor e nferor de la banda k (defndas por medo de algún crtero conenente). La frecuenca central f o,k de la banda se defne como la meda geométrca entre los extremos, La palabra ecualzador es traduccón del nglés equalzer. Quzás sería más correcto denomnarlo gualador, pero se ha mpuesto ecualzador. En realdad la percepcón es logarítmca sólo por arrba de 500 Hz aproxmadamente. Podría proponerse, de acuerdo con la escala de alturas basada en las bandas crítcas, que un ecualzador tuera menos bandas en baja frecuenca. Sn embargo, el uso de mayor cantdad de bandas permte un control más detallado del espectro, partcularmente en baja frecuenca donde son comunes los fenómenos de resonancas y antrresonancas acústcas.
f s, k f, k fo, k. () esulta, así, f, k α / fo, k () fs, k α / fo, k de donde el ancho de banda relato de cada banda está dado por fs, k f, k α / α / B. (4) fo, k Por otra parte, la condcón de adyacenca entre las bandas contguas mplca que f, k fs, k (5) α f o, k fo, k, (6) es decr, la relacón entre frecuencas centrales sucesas es la msma que entre las frecuencas superor e nferor de cada banda. En la tabla se dan los alores de f s /f, y B para aras fraccones de octaa α que aparecen habtualmente en los ecualzadores comercales. Los más comunes son los de octaa, en los que cada frecuenca es el doble de la anteror (ya que subr una octaa equale a multplcar por ), y los de terco de octaa, en los que cada frecuenca es aproxmadamente un 5 % mayor que la anteror. Tabla. Parámetros característcos de las bandas de ecualzacón para dersas fraccones de octaa. α f s / f B 4,5 0,707 /,587 0,466 /,44 0,48 /,60 0, / 6, 0,6 /,059 0,0578 Los ecualzadores de doble octaa (α ) son en realdad controles de tono de 5 bandas y se utlzan para correccones gruesas del balance tonal (como en los canales de entrada de las consolas de mezcla) y no para solucón de problemas seeros de orgen electroacústco. Los ecualzadores de /6 y / de octaa son muy raros y, de hecho, muy costosos, pues requeren dseños extremadamente ajustados y una electrónca superor en cuanto a establdad térmca y en el tempo.
Es nteresante obserar que para un ecualzador de resolucón dada, por ejemplo de bandas de octaa, el ancho de banda absoluto es mayor para las bandas de mayor frecuenca central, de modo que en un gráfco con escala lneal de frecuenca las prmeras bandas están muy comprmdas (fgura ). Tambén se obsera la asmetría de las bandas con respecto a la frecuenca central (ya que ésta es un promedo geométrco, no artmétco). db k k 4 k 8 k 6 k f [Hz] Fgura. Frecuencas centrales de las bandas de octaa representadas en un dagrama con eje de frecuencas lneal. Las frecuencas menores de khz no han sdo rotuladas y las nferores a 5 Hz drectamente se han omtdo. En un gráfco con escala de frecuenca logarítmca (el típco gráfco que se utlza en la especfcacón de las respuestas en frecuenca), en cambo, el espacado es unforme, debdo a que en una escala logarítmca guales proporcones quedan representadas por guales dstancas. Las bandas son, además, smétrcas con respecto a las frecuencas centrales respectas (fgura ). db,5 6 5 50 500 k k 4 k 8 k 6 k f [Hz] Fgura. Frecuencas centrales de las bandas de octaa representadas en un dagrama con eje de frecuencas logarítmco. Las frecuencas centrales para fltros de banda de octaa y terco de octaa tales como los que consttuyen los ecualzadores están normalzadas naconal e nternaconalmente (por ejemplo, a traés de las normas IEC 5:966, IEC 660:995 e IAM 408:977). Para ello se ha tomado el alor de 000 Hz como punto de partda, y se han modfcado lgeramente los alores de manera de lograr a la ez una escala por décadas, por octaas, y por tercos de octaa. Una escala es por décadas cuando dado cualquer alor de dcha escala, tambén aparece la década superor y la década nferor. Así, dado que partmos de 000 Hz, tambén deberían aparecer 0 Hz, 00 Hz y 0000 Hz. Ello es posble dado que un ncremento de 0 octaas equale a una relacón de frecuencas de 04, que es cas exactamente décadas: 0 04 000 0.
En la tabla se resumen las frecuencas normalzadas correspondentes a las tres décadas del rango audble para ecualzadores de dstntas resolucones. Podemos aprecar que las décadas son exactas, así como la mayoría de las octaas. Algunas octaas son sólo aproxmadas. Por ejemplo, 5 no es exactamente el doble de 60, n 5 el doble de 6, aunque el error es en todos los casos menor de un %. Es costumbre dseñar los ecualzadores de bandas según la sere de frecuencas teórcas para cada fraccón, aunque se las rotula con las desgnacones normalzadas. Tabla. Frecuencas estándar utlzadas en los ecualzadores de bandas de octaa, / de octaa, / octaa y / de octaa. f [Hz] / / / f [Hz] / / / f [Hz] / / / 0 00.000,4 4.40 5 50.500 8 80.800,5 5.50 5,5 55.550 40 400 4.000 45 450 4.500 50 500 5.000 56 560 5.600 6 60 6.00 7 70 7.00 80 800 * 8.000 90 900 9.000 00.000 0.000.0.00 5.50.500 40.400 4.000 60.600 6.000 80.800 8.000 0.000.. Ajustes de gananca Para el ajuste de la gananca o atenuacón, los ecualzadores gráfcos cuentan en cada banda con un potencómetro deslzante ertcal graduado en db, cuya poscón central o neutra corresponde a 0 db, es decr, una gananca (salda gual a la entrada). En la poscón más alta se tene una gananca máxma típcamente de db, es decr, una gananca 4 (aunque en algunos equpos puede conmutarse entre 6 db y db, y en otros se llega hasta 8 db), y en la poscón más baja una atenuacón de db (ó 6 db, ó 8 db), correspondente a una reduccón de la señal en un factor 4. En algunos casos se reemplaza,5 por y análogamente para sus múltplos por potencas de 0. En algunos ecualzadores antguos puede aparecer la desgnacón de las octaas con alores tomados de la sere de potencas de :, 64, 8, 56,... 4
En la fgura a se muestra el aspecto que presentan los controles de un ecualzador de bandas de octaa cuando están todos en la poscón central. La respuesta en frecuenca resulta en ese caso plana en toda la banda de audofrecuencas, como se ndca en la fgura b. Las caídas a uno y otro lado de dcha banda son las normales en todo equpo de audo, colocadas ex profeso para reducr el rudo fuera de la banda de nterés (ya que s ben se trata de un rudo naudble, consume potenca y resta rango dnámco a la señal útl). 9 6 0 6 9,5 6 5 50 500 k k 4 k 8 k 6 k db (a) 0 Hz 0 khz f (b) Fgura. (a) Ecualzador de bandas de octaa con todos los controles en su poscón central (neutra). (b) La respuesta en frecuenca resulta plana en toda la banda de audofrecuenca. S se elea una de las bandas hasta el alor máxmo de db (fgura 4a), el punto central de dcha banda se enfatzará en db, pero el resto de la banda lo hará en menor cuantía. Debdo a que los fltros no son deales, fuera de la banda habrá certa gananca resdual que se atenúa rápdamente al alejarse de la banda (fgura 4b). S, en cambo, se llea una banda al alor mínmo de db (fgura 5a), el punto central de dcha banda quedará atenuado en db. El resto de la banda se atenuará menos, y debdo a la no dealdad habrá certa atenuacón resdual aún fuera de la banda (fgura 5b). En la fgura 6a se muestra una ecualzacón más general, y en la fgura 6b la correspondente respuesta en frecuenca. Se obsera que la dsposcón de los potencómetros deslzantes es una analogía gráfca bastante representata de dcha respuesta en frecuenca (salo las frecuencas muy altas y muy bajas, en donde actúan los fltros pasabajos y pasaaltos ncludos dentro del ecualzador). Ésa es la razón por la que estos ecualzadores se denomnan ecualzadores gráfcos. En algunos ecualzadores de bajo costo los potencómetros son rotatos, perdéndose esta característca. 5
9 6 0 6 9,5 6 5 50 500 k k 4 k 8 k 6 k (a) db db khz 0 khz f (b) Fgura 4. (a) Poscón de los controles después de acentuar al máxmo la frecuenca de khz. (b) espuesta en frecuenca correspondente. 9 6 0 6 9,5 6 5 50 500 k k 4 k 8 k 6 k (a) db 0 Hz khz 0 khz f db (b) Fgura 5. (a) Poscón de los controles después de atenuar al máxmo la frecuenca de khz. (b) espuesta en frecuenca correspondente 6
9 6 0 6 9 db,5 6 5 50 500 k k 4 k 8 k 6 k (a) 0 Hz 0 khz f (b) Fgura 6. (a) Poscón de los controles para una ecualzacón determnada. (b) espuesta en frecuenca correspondente. Se apreca la smltud entre la respuesta frecuencal y la dsposcón de los potencómetros deslzantes... Crcuto del ecualzador gráfco Los ecualzadores gráfcos responden en general a una estructura crcutal característca, cuya base es el crcuto de la fgura 7 (Gles, 980). Dcho crcuto permte un ajuste contnuo entre un alor máxmo de gananca y un alor máxmo de atenuacón. ' α (α) ' " ' Fgura 7. Estructura básca de un ecualzador: amplfcador-atenuador ajustable. En un análss prelmnar consderaremos sólo tres stuacones: el cursor del potencómetro en cada uno de los extremos (α 0 y α ) y el cursor al medo (α /). Supongamos prmero que α 0 (fgura 8a). Tengamos en cuenta que debdo a la realmentacón, el potencal en ambos termnales de entrada es el msmo. La caída de tensón 7
' " ' ' ' ' (a) (b) Fgura 8. (a) Amplfcador-atenuador ajustable con el potencómetro en (a) α 0; (b) α. en el potencómetro será, entonces, nula, por lo tanto su corrente " tambén lo será. Como " 0, la corrente por la resstenca de realmentacón ' será 0 por lo cual será. El amplfcador operaconal se comporta entonces como un segudor que reproduce a la salda el potencal. Éste puede calcularse por medo del dsor formado por la resstenca de entrada ' y. esulta, entonces, una transferenca. (7) Como se apreca, se comporta como atenuador. S ahora α (fgura 8b), nueamente la corrente por el potencómetro (ahora, ') será nula, por lo que la corrente por la resstenca de entrada será nula y entonces. Dado que no conduce corrente, el amplfcador operaconal se comporta como un amplfcador no nersor, de donde. (8) Se obtene, ahora, una gananca nersa a la atenuacón anteror. Por últmo, s α /, por smetría será ' ". Estas correntes crculan por las resstencas ' de entrada y de realmentacón proocando, por ser éstas guales, la msma caída de tensón, por lo que "' '', de donde, (9) por lo cual el crcuto se comporta como segudor. Este crcuto se puede transformar en una seccón ecualzadora s la mpedanca es un crcuto LC sere, ya que en ese caso habrá una frecuenca de resonanca ω o en la que presenta un mínmo ressto gual a la resstenca en sere s. S se elge ' >> s, 8
en esa frecuenca el crcuto permtrá ajustar la funcón de transferenca en forma contnua desde un alor >> hasta uno <<. Para frecuencas lejanas a la de resonanca (tanto superores como nferores), la mpedanca será alta y por lo tanto será '/ 0. En consecuenca, tanto la ecuacón (7) como la (8) arrojan una gananca muy próxma a la undad. El comportamento es smlar al ndcado en las fguras 4 y 5, consguéndose pasar en forma contnua de una gananca consderable a una atenuacón exactamente nersa en un rango de frecuencas localzado alrededor de ω o, sn alterar sgnfcatamente el resto. Antes de estudar la forma de nclur otras bandas ndependentes, eamos la mplementacón del crcuto LC resonante. Debdo a la necesdad de etar el uso de nductores, que en la regón más baja del espectro audble podrían ser de gran tamaño y tener capacdades parástas entre espras nadmsbles, se los reemplaza por alguna forma de grador basado en amplfcadores operaconales. El mejor grador dsponble, el grador de Antonou, requere dos amplfcadores operaconales y 5 componentes pasos. Como se requerrá un crcuto resonante para cada banda, el grador de Antonou es una solucón demasado costosa y por lo tanto no se utlza. Exsten gradores más smples, mplementados con un solo amplfcador operaconal. En la fgura 9a se muestra el más frecuentemente utlzado. Permte smular un nductor real con una resstenca en sere y otra en paralelo, como el ndcado en la fgura 9b. C s L p (a) (b) Fgura 9. (a) Crcuto grador con un amplfcador operaconal para smular un nductor real. (b) Inductor real equalente. La mpedanca sta a la entrada del grador se calcula planteando la corrente total de entrada cuando se aplca una tensón. esulta La mpedanca del crcuto L es, por otra parte, C s G. (0) Cs L s pls p Ls s s p s p L s p Ls. () 9
Comparando térmnos resultan las ecuacones de dseño sguentes: s, s p, C L / p s, (a) (b) (c) o ben s, p, L ( ) C. (e) (d) (f) Cuando se agrega un capactor C en sere, la mpedanca resultante resulta ser ( C C ) s C s ( C s) CC s G. () Cs En la fgura 0 se grafca el módulo de la mpedanca en funcón de la frecuenca. s p Q s s f o f Fgura 0. Dagrama logarítmco del módulo de la mpedanca equalente del grador en sere con un capactor en sere C. Las líneas de trazos representan las asíntotas. La asíntota horzontal se debe a la resstenca en paralelo con la nductanca. Examnando el crcuto L de la fgura 9b se erfca que la resstenca p es un elemento extraño al crcuto resonante deal, por lo que conene tomarla mucho mayor que s. Esto mplca adoptar >>. (4) 0
En ese caso, para frecuencas no muy altas (ω << /( C )) se tene por lo que La frecuenca de resonanca es y el factor de caldad G C s, (5) C s Cs. (6) ω o, (7) CC C ωo C Q. (8) C Para el dseño del grador conene expresar los alores de los componentes en térmnos de los parámetros de dseño s, Q, ω o y κ /. esulta κ s, s, (9a) (9b) C, (9c) Q s ωo Q C. (9d) κ s ωo El parámetro κ determna la magntud de la resstenca resdual en alta frecuenca (debda a la resstenca en paralelo) con respecto a s y por lo tanto se lo adopta >>. NOTA : S tenemos en cuenta la expresón completa de la mpedanca, la frecuenca de resonanca será aquella para la que el módulo de la mpedanca es mínmo. Para calcularlo conene trabajar con el cuadrado del módulo: Llamando ( CCω ) ( C C ) ( C ) ω ( ( C ) ω ) ( ) ω. (0) x C C ω, (a) ( C ) C a, (b) CC C
b ( C C ), (c) CC la ecuacón (0) puede reescrbrse en la forma abreada ( x) bx. () ax x El alor de x que mnmza a esta funcón permte calcular la frecuenca de resonanca. Tras algunos cálculos se concluye que el mínmo corresponde a De (a) se obtene, fnalmente, ( a b ) a x. () a b x ω o. (4) CC Dado que >> y que, según eremos, C >> C, resulta a >>. Por otra parte, b C /( C ) << C /( C ) a, por lo cual ntroducendo estas desgualdades en () resulta que x. La ecuacón (4) se reduce, así, a la aproxmacón (7). Un segundo crcuto grador, mostrado en la fgura, tene la entaja frente al anteror de que no presenta una resstenca en paralelo en el crcuto equalente. s L C (a) (b) Fgura. (a) Crcuto grador con un amplfcador operaconal alternato. (b) Inductor real equalente. La mpedanca de entrada de este crcuto es G ( C s). (5) La mpedanca del crcuto L equalente es, en este caso, smplemente L s Ls, (6)
por lo que las ecuacones de dseño resultan ser s /, C 4L / s, (7a) (7b) o ben s, L C. (7c) (7d) Al agregar un capactor C en sere, la mpedanca resultante resulta ser La frecuenca de resonanca es y el factor de caldad G Cs. (8) Cs Cs ω o, (9) CC Cωo C Q. (0) C El módulo de esta mpedanca se ha grafcado en la fgura, donde se apreca que la establzacón en alta frecuenca ha desaparecdo, debdo a la ausenca de la resstenca en paralelo con la nductanca. Q s s f o f Fgura. Dagrama logarítmco del módulo de la mpedanca equalente del grador alternato en sere con un capactor en sere C.
Las ecuacones de dseño a partr de los parámetros s, Q y ω o son s /, (a) C, (b) Q s ωo 4Q C. (c) s ωo NOTA : Ambos gradores analzados presentan una caída en la mpedanca a partr de certa frecuenca debdo a la respuesta en frecuenca del amplfcador operaconal, que no fue consderada en el análss deal. S aproxmamos la gananca del amplfcador por a GB/s, () donde GB es el producto gananca por ancho de banda en rad/s, entonces la mpedanca del prmer grador es G C s, () C s C s GB / s es decr, s ( C s) GB G. (4) ( ) C C s s GB GB Análogamente, la mpedanca del segundo grador es es decr, G Cs, (5) C s GB / s s ( Cs) GB G. (6) s C s GB GB En la fgura se han grafcado ambas mpedancas. El comportamento del prmer grador en muy alta frecuenca es un poco mejor, pero en el rango útl el segundo modelo es lgeramente superor. El pco de resonanca de G no tene mportanca, ya que sólo nfluye muy leemente en la respuesta del ecualzador. En cualquer caso, el uso de amplfcadores operaconales específcos para audo con producto gananca por ancho 4
de banda de 5 MHz ubca estas frecuencas en el extremo superor del rango audble o ncluse fuera de la banda de audo. G G s f o f Fgura. Comportamento de la mpedanca de los gradores de las fguras 9 ( G ) y ( G ). El crcuto de la fgura 7 se puede generalzar para nclur más bandas. Ello se logra por medo de la estructura mostrada en la fgura 4. ' α (α ) ' " '... α n (α n ) n ' n " n n Fgura 4. Estructura de un ecualzador de n bandas. Las mpedancas k son crcutos LC smulados. 5
Analzaremos ahora el caso general en el que se presenta una combnacón arbtrara de poscones de los cursores {α k }. Por la resstenca ' de entrada crcula la suma de todas las correntes k ' y por la resstenca ' de realmentacón, la suma de todas las correntes k ", por lo cual k, (7a) k. (7b) A su ez, debdo al equpotencal rtual entre ambos termnales de cada potencómetro, podemos calcular k suponendo que los dos tramos del potencómetro están en paralelo. esulta k. (8) k αk ( αk ) Las correntes k ' e k " pueden calcularse a partr de las k consderando los dsores de corrente formados por ambas ramas del potencómetro correspondente: k ' ( α k ) k, k " α k k. (9a) (9b) eemplazando las (9) y (8) en las (7) se tene ( α k ), k αk ( α k ) (40a) α k. k αk ( αk ) (40b) Ddendo la (40b) por la (40a) resulta, fnalmente, k k αk αk ( α k ). (4) ( αk ) αk ( α k ) Podemos analzar dersos casos partculares. Así, s α k 0 para k,..., n, resulta k. (4) S α k para k,..., n, 6
k, (4) alor recíproco del anteror. Por últmo, s α k / para k,..., n,. (44) pues el numerador y el denomnador se gualan. Estas ecuacones son generalzacones de las ecuacones (7), (8) y (9). Una forma alternata para el análss de este crcuto consste en aplcar una transformacón estrella-trángulo a cada potencómetro y su correspondente, como se muestra en la fgura 5, ya que ello permte analzar el crcuto completo smplemente α (α) (a) (b) Fgura 5. Conersón estrella-trángulo para el análss del ecualzador. ponendo en paralelo las mpedancas resultantes para cada banda, que enen dadas por 4 α, (45a) α ( α ), (45b) α α ( α ). (45c) En la fgura 6 se muestra el modelo correspondente. Para el cálculo basta tener en cuenta que dado que los potencales ' y " de los termnales () y () concden, la corrente que crcula por es nula, por lo que dcha mpedanca puede elmnarse 4 S llamamos Yk a las mpedancas de una conexón estrella, se puede demostrar que las mpedancas k que unen los nudos contraros al nudo k en el modelo en trángulo equalente están dadas por k Y Yj. Yk < j 7
' ' ' " Fgura 6. Método alternato de cálculo de la gananca del ecualzador por conersón estrella-trángulo. sn alterar el régmen del crcuto. La tensón de salda es, entonces, el resultado de aplcar una confguracón no nersora a la salda del dsor de tensón formado por ' y. esulta:. (46) Luego de reemplazar las relacones (45) en esta ecuacón se obtene nueamente la (4). Este enfoque es útl porque facltará tambén el análss de rudo En la fgura 7 se muestra esquemátcamente el crcuto de un ecualzador de n bandas. Sólo se han explctado la prmera y la últma seccón, sendo las restantes smlares..4. Análss de rudo del ecualzador Uno de los problemas más mportantes que puede presentar un crcuto como el ecualzador es el del rudo, debdo a la gran cantdad de componentes El análss puede ddrse en tres partes: el cálculo del rudo de los gradores, el cálculo del rudo atrbuble al amplfcador prncpal y, por últmo, el cálculo del rudo del crcuto completo..4.. udo del grador Consderemos el caso del grador de la fgura 9. El modelo de rudo, en el que se ncluyen las fuentes de rudo de las resstencas, t y t, y la del propo amplfcador operaconal, e n, se muestra en la fgura 8. Las fuentes asocadas a las resstencas corresponden al rudo térmco y poseen una densdad espectral constante con la frecuenca dada por tk 4kT k (47) donde k,8 0 J/K es la constante de Boltzmann y T, la temperatura absoluta. 8
' ' C C...... n C n C n n Fgura 7. Crcuto de un ecualzador gráfco de n bandas que utlza el grador de la fgura 9a formando parte de un crcuto resonante. Se muestran sólo la prmera y la últma seccón. Las restantes bandas utlzan un crcuto smlar. 4 t C t e n Fgura 8. Modelo de rudo del grador ncluyendo la fuente de rudo del amplfcador y las fuentes de rudo térmco de los resstores. El análss por superposcón conduce a un rudo sto a la entrada dado por ( ) Cs en t t. (48) Cs 9
En baja frecuenca las tres fuentes de rudo aparecen como s estueran drectamente en sere. En alta frecuenca, dado que >>, el rudo tende a acentuarse consderablemente. Análogamente, el análss del grador de la fgura ndca una tensón de rudo dada por C s e n ( C s) t. (49) Tenendo en cuenta las ecuacones de dseño (), en la frecuenca de resonanca ω o se tene C ω o Q..4.. udo del amplfcador prncpal Para el análss de rudo del ecualzador conene aplcar el método de la transformacón trángulo-estrella menconado anterormente. La topología resultante se ndca en el crcuto de la fgura 9, donde k k // k // // kn, k,,. (50) ' e n ' ' " Fgura 9. Seccón ecualzadora en la que se han reemplazado los potencómetros y sus mpedancas según la conersón de la fgura 6 para el cálculo del rudo. Un análss crcutal drecto de dcho crcuto permte obtener // e n, (5) o ben, reemplazando en ésta los alores de la ecuacón (44),. (5) en 0
.4.. udo del ecualzador Para calcular el rudo del ecualzador completo resulta conenente extender la conersón estrella-trángulo de manera de nclur fuentes de tensón. El proceso, basado en el teorema crcutal de corrmento de fuentes, se muestra en la fgura 0. La entaja α (α) (a) (b) (c) Fgura 0. Conersón estrella-trángulo del modelo equalente de rudo. Véanse las ecuacones (54) y (55). de este enfoque consste en que una ez hecha la transformacón en cada seccón del ecualzador se obtenen tres paralelos de n ramas cada uno, como el que se muestra en la fgura. k k... kn k k k kn k (a) (b) Fgura. Conersón estrella-trángulo del modelo equalente de rudo, según las ecuacones (5).
Los alores de los parámetros correspondentes son, para k,,, k k k k k k, (5a), (5b) donde,,. (54a) (54b) (54c) Además, las densdades espectrales de potenca meda de las fuentes del segundo membro de las ecuacones (5b) son, suponendo el prmer modelo de grador, ( α ) 4kT, (55a) α 4kT, (55b) ( Cω) ( C ω) en 4 kt 4kT. (55c) Dado que cada uno de estos parámetros aparece aras eces, debe tenerse cudado de no reemplazarlos por sus densdades espectrales antes de operar algebracamente hasta extraerlos como factores comunes de todos los térmnos que los contengan. De esta manera se etará superponer potencas de fuentes correlaconadas. Con las transformacones de las ecuacones (0) y () el modelo de rudo del ecualzador se reduce al ndcado en la fgura a. Algunas de las fuentes que allí aparecen se superponen a la salda con transferencas que ya hemos calculado. Son ellas t, y e n. t expermenta la msma gananca que la señal de entrada, y e n la gananca de la ecuacón (5). Es fácl er que t, por su parte, se aplca con gananca a la salda. El aporte de las restantes fuentes puede referrse a estas ganancas conocdas medante sucesos y apropados corrmentos de fuentes de tensón. Para ello, prmero se desplazan las fuentes y, obtenéndose el crcuto de la fgura b. Luego se refere la fuente D a la rama de entrada, obtenéndose el crcuto de la fgura c, en el que
A t ( ), (56a) B en, (56b) C t. (56c) ' t e n ' t (a) ' B e n A ' t ' D C t (b) ' A B ' C (c) Fgura. (a) Modelo de rudo completo del ecualzador. (b)modelo de rudo del ecualzador obtendo medante corrmentos de fuentes para elmnar las fuentes en sere con y. (c) Modelo en el que la fuente D fue referda a la rama de entrada.
4 Llamando G A a la gananca de tensón respecto a A y G B a la respecto a B, es decr, de (46), (5) y (5a), A G, (57) B G, (58) la tensón de rudo total a la salda ale ( ) B B A A A G e G G G G t n t (59) eordenando, n B t t e G G G G G G B A A A A (60) Susttuyendo a contnuacón las tensones k por las expresones dadas por la ecuacón (5b) y, en ellas, los k por las expresones (54) y, fnalmente, reordenando de manera de que cada k aparezca una sola ez (para etar superponer potencas de fuentes correlaconadas), resulta n t t K K K e G G B A, (6) donde ( ) G K A, (6a) G K A, (6b) G K A, (6c)
La densdad espectral de potenca meda será, entonces, GA 4kT K K GB en K (6) Las ecuacones (6) y (6), junto con (45), (5a), (55), (57) y (58) proporconan una expresón cerrada para el rudo total en funcón de los parámetros crcutales y las poscones α de los potencómetros. S ben dcha expresón es muy complcada para su cálculo manual, puede ser calculada y grafcada por medo de software matemátco matrcal como Matlab o Sclab. En el apéndce se ha ncludo un scrpt para efectuar este cálculo..5. Consderacones para el dseño En el dseño de un ecualzador gráfco es necesaro tomar aras decsones. En prmer lugar están las nherentes a las especfcacones báscas, como el número de bandas y los rangos de gananca y atenuacón requerdos. Las msmas normalmente están mpuestas como requstos a pror. Una ez establecdo el número de bandas queda uníocamente determnada la sere de frecuencas centrales normalzadas, que corresponderán a las frecuencas de resonanca de las mpedancas k. Para comenzar a proponer alores para los parámetros de dseño es precso determnar el factor de caldad Q requerdo por cada seccón. En una prmera aproxmacón se puede adoptar un msmo alor de Q para todas las bandas. Dcho alor tene ncdenca drecta en tres aspectos: el alor de la gananca central máxma de cada banda cuando las restantes bandas se encuentran en la poscón neutra (α /), el alor de la gananca global cuando se aplca la máxma gananca a todas las bandas, y la ampltud en db del rpple (ondulacón) en la respuesta cuando se aplca la máxma gananca en todas las bandas. Sería deal que la gananca global cuando todos los controles están al máxmo fuera, por un lado, constante, y por otro lado, concdera aproxmadamente con la máxma gananca de cada banda cuando actúa nddualmente. Lamentablemente ello no sucede y se mpone buscar una solucón de compromso que depende del Q adoptado. Así, s Q es muy alto las bandas se uelen más selectas a costa de un mayor rpple cuando todas actúan smultáneamente. Por otra parte, un Q bajo reduce el rpple a costa de una menor selectdad. En la práctca esto sgnfca que el ajuste de una banda afecta consderablemente a las bandas ecnas. Como en este caso la gananca resdual o parásta que resulta de los aportes a una banda dada de las restantes bandas es mayor, resulta que s se ajustan todas las bandas a su gananca máxma la gananca global será bastante mayor que la de cada banda actuando nddualmente. En la fgura se lustra este comportamento para Q, Q,7 y Q,4. Se obsera que con Q,7 la ondulacón se mantene dentro de un rango de db. Además de la ondulacón de la respuesta en frecuenca aparece otro problema como consecuenca de llear al máxmo la gananca de todas las bandas: la presenca de transtoros osclantes en torno a las frecuencas centrales de las dersas bandas. Estos transtoros se presentan como senodes moduladas por exponencales decrecentes tanto más lentamente cuanto más alto sea el alor de Q. El efecto más notoro de dcha respuesta transtora es la presenca de sondos sblantes de frecuencas cercanas a las fre- 5
cuencas centrales de las bandas, que se superponen creando un rudo audble, especalmente en los sondos cortos de tpo percuso o en los rápdamente arables como la palabra hablada. Desde el punto de sta del dseño es recomendable no elear excesamente el alor de Q para mnmzar este efecto. G [db] 0 Q,4 5 0 Q,7 Q Q,4 5 Q,7 Q 0 0 00 000 0000 00000 f [Hz] Fgura. espuesta en frecuenca de un ecualzador de bandas de octaa con todas las bandas al máxmo y con una banda al máxmo y las otras en neutro, para tres alores de Q. (a) Q (bajo rpple y selectdad pobre); (b) Q,7 (rpple y selectdad medanas); (c) Q,4. (selectdad eleada, rpple tambén eleado). Para la seleccón de la resstenca del potencómetro se debe tener en cuenta que cuando ésta es grande frente a s la accón del potencómetro tende a concentrarse en los extremos (α 0 y α ). En efecto, s en la ecuacón (64) tomamos, para smplfcar, una sola banda, resulta s s α α( α) ( α) α( α) s s α( α) α( α) α. (64) ( α) Para que α' o (α)' tengan nfluenca sgnfcata a partr de α /, /4 no debe ser demasado grande frente a s. En la fgura 4 se lustra la gananca para aras relacones / s. Para alores muy bajos se obtene una sensbldad bastante pareja para todos los alores de α. Para >> s, en cambo, el potencómetro sólo produce cambos sgnfcatos cerca de los extremos. Una solucón práctca puede ser utlzar potencómetros con cura S (logarítmcos en ambos extremos). 6
0 5 0 / [db] 5 0 5 0 40 0 5 0 5 / s << 0 0 0, 0, 0, 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 α Fgura 4. Gananca de una seccón aslada del ecualzador en funcón de la poscón α del potencómetro para aras relacones / s. Cuanto mayor sea / s, mayor será la sensbldad en los extremos del potencómetro. Desde el punto de sta del uso del ecualzador, es conenente no trabajar con los potencómetros alejados de la zona neutra. Una buena polítca es lograr que la suma algebraca de las ganancas en db (consderando negatas las atenuacones) sea lo más cercana a 0 posble. En otras palabras, no es recomendable asgnar al ecualzador una funcón que no le es propa como es contrbur a dar gananca a la señal. Es preferble encomendar esa funcón a alguno o algunos de los aros controles dspuestos para ajuste de nel tanto en las consolas como en los procesadores. En realdad algunos ecualzadores de hecho poseen controles a tal fn, y es preferble utlzarlos en lugar de dar gananca subendo todas las bandas. Los msmos comentaros son áldos para la atenuacón..6. Aplcacones Exsten aras aplcacones de los ecualzadores gráfcos, entre las cuales pueden ctarse el retoque tonal de dersos nstrumentos muscales, la utlzacón como complemento de dersos efectos y procesadores, y la compensacón de defcencas en un sstema de audo. De todas ellas, la últma es la aplcacón más representata. Para comprender la naturaleza del problema, debe obserarse prmero que un sstema de audo comprende no sólo los dersos mcrófonos, altaoces y equpos electróncos utlzados, sno tambén el ambente acústco en el cual los msmos habrán de funconar. Cualquera de las partes nolucradas puede contrbur con defectos en cuanto a la respuesta en frecuenca. Así, un amplfcador puede tener algunas rregulardades lees en la respuesta en frecuenca; un mcrófono tene rregulardades mportantes por encma 7
de los 8 ó 0 khz; una caja acústca presenta no sólo rregulardades en el patrón drecconal, sno que además exhbe altbajos en su respuesta en frecuenca debdo entre otras cosas a sus propas resonancas, a la mperfeccón de las redes dsoras de frecuenca para las dstntas ías, etc. Por últmo, el ambente donde se nstala el equpo puede tener absorcones a dersas frecuencas que atenúan algunas frecuencas más que otras, o puede contener resonancas a determnadas frecuencas (orgnadas en ondas estaconaras), que podrían acentuar las señales de dchas frecuencas. Los ecualzadores proporconan una solucón a este género de problemas, permtendo atenuar las frecuencas que resuenan o resaltar aquellas que son absorbdas. Para ello se ntercala antes del amplfcador de potenca (o de la red crossoer en caso de multamplfcacón) el ecualzador, que luego debe quedar nstalado como parte ntegral del sstema..7. Ecualzacón La correcta ecualzacón de un sstema es un proceso de calbracón muy mportante porque de él depende que la respuesta obtenda sea espectralmente plana. Por esa razón no es posble n recomendable realzarla subjetamente, ya que la percepcón humana dsta de ser plana y, lo que es peor, es muy arable de ndduo a ndduo. Para realzar un ajuste objeto del sstema es necesaro utlzar un analzador de espectro en tempo real (real-tme analyzer, TA), nstrumento de medcón que muestra en forma gráfca (por pantalla) el espectro de bandas de un sondo en cada nstante. Más precsamente, proporcona en forma de un gráfco de barras el nel de presón sonora en cada banda de octaa o en cada banda de terco de octaa, según el tpo de analzador. En la fgura 5 se muestra la pantalla de un analzador de bandas de octaa. El nel 0 es relato a la escala selecconada, cuyo alor no es esencal en el proceso de ecualzacón en tanto se esté trabajando dentro del rango lneal de todos los 0 5 7 0 0,5 6 5 50 500 k k 4 k 8 k 6 k Fgura 5. Pantalla de un analzador de espectro en tempo real por bandas de octaa. El alor 0 db es relato a la escala selecconada medante un selector. componentes. Generalmente se toma un nel sufcentemente alto como para que el rudo ambente no afecte la medcón, y sufcentemente bajo como para etar dstorsones. Tambén es posble utlzar analzadores por software, basados en general en 8
técncas de transformada rápda de Fourer (FFT). En estos casos es necesaro tener en cuenta que la placa adqusdora de señal, habtualmente una placa de sondo, formará parte de la cadena de medcón, por lo cual su respuesta en frecuenca debe ser apropada. Esta obseracón no es tral, ya que las placas de sondo más económcas (entre las que se encuentran las que están ntegradas en la propa placa madre (motherboard)) tenen fltros antalas cuya respuesta frecuencal puede tener ondulacones. El ajuste se llea a cabo según el dagrama de bloques de la fgura 6. Se conecta a una entrada de la consola un generador de rudo rosa, defndo como un rudo aleatoro cuya densdad espectral de potenca meda aría nersamente con la frecuenca: fo K e ( f ) e ( fo ). (65) f f Se utlza este tpo de señal porque contene la msma cantdad de energía en cada banda fracconal de octaa, lo cual puede comprobarse calculando el alor cuadrátco medo en una banda cualquera de fraccón α de octaa: E [ ] α α f, f f f K f df K α f ln Kα ln, (66) f alor ndependente de la frecuenca nferor de la banda fracconal. Por esta razón, s se conectara dcha señal drectamente a un analzador de espectro se obtendría la msma ndcacón en todas las bandas. Las rregulardades espectrales en la respuesta del sstema se traducrán, por lo tanto, en una ndcacón no unforme en el analzador. Altaoz udo rosa Consola Ambente acústco Ecualzador Amplfcador Analzador de espectro Fgura 6. Dsposcón para llear a cabo la ecualzacón de un sstema de sondo, ncludo el ambente acústco. S ben los componentes semconductores contenen rudo /f, el msmo a sempre acompañado por certa cantdad de rudo blanco, por lo que no se puede utlzar smplemente este rudo amplfcado como fuente para la ecualzacón. En cambo es posble lograr un rudo blanco bastante puro medante un dodo zener en la regón de ruptura, o ben la juntura base-emsor de un transstor polarzada nersamente. Tambén exsten ntegrados que producen rudo blanco espectralmente muy unforme, como el MM587. El rudo blanco puede conertrse fáclmente en rudo rosa medante un fltro con pendente de db/oct como el ndcado en la fgura 7 (basado en Gles, 9
980). Los alores de los componentes han sdo selecconados para mantener dcha pendente constante en todo el rango audble (0 Hz a 0 khz) con una toleranca mejor que ±0,5 db. El fltro debe completarse con un segudor u otro amplfcador de alta mpedanca de entrada para etar que la carga de la mpedanca de entrada de la consola afecte la respuesta, sobre todo en baja frecuenca. kω, kω kω 0,75 µf 0,7 µf 00 Ω 0,5 µf 8 nf Fgura 7. Fltro C con una respuesta en frecuenca con pendente db/oct, apto para conertr rudo blanco en rudo rosa. La fuente de señal debe ser de baja mpedanca y la carga de alta mpedanca Antes de comenzar con el proceso de ecualzacón se deben llear todos los controles de la consola a su poscón central o neutra. Así, los controles de gananca o atenuacón deben estar en la poscón de gananca untara y los controles de tono o ecualzadores de cada canal en poscón plana. Esto últmo es muy mportante, ya que la ecualzacón del sstema debe consderarse como un ajuste de referenca, lo cual sgnfca que se establece un punto de operacón en el cual se sabe que la respuesta del sstema es plana. S posterormente, por necesdad, gusto, estétca o cualquer otra razón se requere modfcar la respuesta en frecuenca parcal de uno o más canales, desde luego podrán efectuarse los cambos deseados. El mcrófono del analzador de espectro debe ubcarse en la poscón en la que se quere lograr la ecualzacón. Esto es mportante porque la ecualzacón puede no ser la msma en todos los puntos de una sala, especalmente s ésta tene defectos acústcos notoros. Cuando el ambente está dedcado a actdades muy sensbles a la unformdad de la respuesta como una sala de control, de mezcla o de masterzado, la ecualzacón debe realzarse en el punto de escucha del operador, preferentemente con éste presente a fn de asegurar que las condcones de ajuste sean smlares a las condcones de operacón reales del sstema. S, en cambo, se a a ecualzar una sala de concerto, deberán selecconarse aras ubcacones representatas, y realzar un ajuste del ecualzador que sea aproxmadamente el promedo de los ajustes en dchas ubcacones. Para llear a cabo la ecualzacón se ajustan los controles del ecualzador de manera de alcanzar una ndcacón unforme en todas las bandas del analzador de espectro. Esta comprobacón puede ofrecer algunas dfcultades, dado que al ser el rudo rosa un rudo aleatoro, las ampltudes de sus componentes espectrales arían dnámcamente. Esto mplca que la magen obtenda en la pantalla del analzador no es en realdad estátca. En general los analzadores proeen aras elocdades de respuesta. En las elocdades más lentas la magen es más estable. De todas maneras, será necesaro efectuar una promedacón sual, procurando obserar alrededor de qué nel oscla la ndcacón en determnada banda. En algunos casos, especalmente en los analzadores de espectro dgtales o en los basados en software, exste una funcón de promedacón de espectros que proee una magen lentamente arable. La promedacón de gran cantdad de espectros tambén ntroduce un retardo ante cambos en la ecualzacón, por lo 0
que la comoddad de un espectro estable se contrapone a la excesa demora en lograr una magen que responda al cambo efectuado. Otra dfcultad consste en la nteraccón mutua entre las bandas, sobre todo las adyacentes. Esta nteraccón puede ocasonar un desajuste de una banda ajustada preamente al ntentar ajustar una nuea banda. Por esa razón en muchos casos la correcta ecualzacón del sstema requere un proceso terato. Una ez ajustado satsfactoramente el ecualzador, es recomendable anotar la poscón de los controles para referenca futura y para deoler el sstema a su stuacón orgnal en caso de que accdental o ntenconalmente se modfcara la respuesta del ecualzador. Fnalmente, hay que adertr que el método de ecualzacón propuesto es un método objeto, ale decr que su resultado es una respuesta en frecuenca general plana para el sstema. Aun cuando esto sería aparentemente lo deseable en todos los casos, ya que proee un estado de referenca conocdo, muchas personas pueden no conformarse con dchos ajustes. Ello puede deberse a dersos factores: el gusto personal, la postura estétca, la costumbre de haber operado durante mucho tempo con un sstema mal ajustado, y las aradas defcencas audtas que sufren las personas que ntegran una socedad rudosa. Estos motos pueden llear a que dstntas personas exjan más graes, más medos o más agudos de un sstema de sondo, según el caso. Por ejemplo, podría suceder que un músco afamado requera sempre de sus sondstas, tanto para sus grabacones como para sus espectáculos en o, una ecualzacón con predomnanca de agudos. Sus segudores, aun cuando sus preferencas ndduales espontáneas puderan ser dferentes, estarán acostumbrados a ese sondo, y no aceptarán de buen grado ecualzacones que lo alteren, a pesar de que objetamente proporconen una respuesta más plana y natural. Este ejemplo muestra el tpo de dfcultades que se encuentran al ntentar defnr el sondo perfecto, dfcultades nherentes a cualquer defncón que nolucra drecta o ndrectamente el arte y la estétca.
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