Transformaciones Lineales

Trasformacioes Lieales 1 Trasformacioes Lieales Las trasformacioes lieales iterviee e muchas situacioes e Matemáticas y so alguas de las fucioes más importates. E Geometría modela las simetrías de u objeto, e Algebra se puede usar para represetar ecuacioes, e Aálisis sirve para aproximar localmete fucioes, por ejemplo. Sea, W espacios vectoriales sobre u mismo cuerpo K Ua fució trasforma vectores de e vectores de Impodremos codicioes para que T preserve las operacioes de suma de vectores y multiplicació por escalar, esto es, que sea equivalete sumar y multiplicar por escalar las preimágees e como las imágees e W.. T de e W W. 2 1

Trasformacioes Lieales u v u+v au T W T(u) T(v) T(u) + T(v) T(u+v) T(au) at(u) 3 Trasformacioes Lieales Defiició: Sea, W dos espacios vectoriales sobre u cuerpo K es ua trasformació lieal de e si: T : W W 1) u, v, T ( u+ v) = T ( u) + T ( v) 2) a K, v, T ( av) = at( v) Observacioes: 1) Es usual deotar co los mismos símbolos + y (símbolo que se omite) la suma y el producto por escalar defiidos sobre los espacios vectoriales y W como se hizo e la defiició, que puede ser diferetes. 2) T tambié se llama aplicació lieal. 4 2

Trasformacioes Lieales 3) T es trasformació lieal a, b K, u, v, T( au + bv) = at( u) + bt( v) 4) Trasformacioes lieales preserva combiacioes lieales. Esto es: Sea T : W trasformació lieal. Etoces, para i i = T ( a1v1+ a2v2+... + av ) = a1t ( v1 ) + a2t ( v2 ) +... + at ( v ) Se cumple que: Si, W so espacios vectoriales sobre u cuerpo K y T : W ua trasformació lieal. Etoces: 1) T ( 0 ) = 0 a K, v, i 1,2,..., W ( ) ( ) 2) T v = T v, v ( ) ( ) ( ) 3) T v w = T v T w,, v w 5 Trasformacioes Lieales Alguas trasformacioes lieales: 1) 2) ( ) T : W, T v = 0, v W ( ) co fijo T :, T v = cv, v, c K, c. Trasformació lieal Nula. E particular, si c =1: :, ( ), I I v = v v Trasformació lieal Idetidad. 3) Sea A M m ( R) Etoces : m T R R, T ( v) = Av es trasformació lieal. Trasformació determiada por la matriz A (El producto matricial Av coloca como vectores columas). está defiido si los vectores se 6 3

Trasformacioes Lieales No so trasformacioes lieales: 1) 2) La fució determiate ( ) det : M K K ( A+ B) A+ B ( ) det det det, ya que: det ka = k det A k det A, para > 1 Si es u espacio vectorial sobre K y v0 v0 la fució traslació por el vector defiida por T ( v) = v+ v0 v ya que T ( ) v0 v 0 0 = 0, 0, 7 Trasformacioes Lieales KERNEL E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACION LINEAL Defiició: Sea, W espacios vectoriales sobre u cuerpo K, co T : W ua trasformació lieal 1) El kerel de T deotado KerT es el cojuto { v / T( v) = } KerT = 0 (Tambié se le llama úcleo y se aota Nu T ) 2) La image de deotada Im T, es el cojuto: { ( ) para algu } Im T = w W/ w= T v, v W 8 4

Trasformacioes Lieales Ker T T 0 W ImT 0 9 Trasformacioes Lieales Se cumple: 1) 2) es u subespacio vectorial de La ulidad de, es la dimesió del kerel de T. Se aota: KerT. T ( T ) Im T es u subespacio vectorial de W. El rago de T es la dimesió de la image de. Se aota: T r ( T ) 3) Sea W espacios vectoriales sobre u cuerpo co, K dim <. Sea T : W ua trasformació lieal. Etoces: dim( KerT ) + dim( ImT ) = dim 10 5

Trasformacioes Lieales TRANSFORMACIONES LINEALES INYECTIAS, SOBREYECTIAS Y BIYECTIAS. Sea y Etoces: espacios vectoriales sobre u cuerpo T : W ua trasformació lieal., W K, 1) T es iyectiva KerT = { } 2) T es sobreyectiva ImT = W 3) T es biyectiva KerT= { 0 }, ImT= W 0 11 Trasformacioes Lieales Sea, W espacios vectoriales sobre u cuerpo K, co dim =, dimw= m Sea T : W ua trasformació lieal. Etoces: 1) T es iyectiva r ( T ) 2) T es sobreyectiva r ( T ) Sea, W espacios vectoriales sobre u cuerpo K, y T : W ua trasformació lieal. Etoces: v 1, v2,..., v geera a { T ( v1 ), T ( v2 ),..., T ( v )} geera a Im T. { } O sea: { } = = m { } Si v 1, v2,..., v es ua base de, etoces Im T= T ( v1 ), T ( v2 ),..., T ( v ) 12 6

Trasformacioes Lieales Sea Sea espacios vectoriales sobre u cuerpo K, W. { v v,..., } 1, 2 v ua base de u cojuto de vectores arbitrarios y { w w w } W 1, 2,..., Etoces existe ua úica trasformació lieal T : W tal que T ( v ) = w, i= 1,2 i i,..., O sea: ua trasformació lieal queda completamete determiada por sus imágees e ua base del domiio. 13 Trasformacioes Lieales La composició de trasformacioes lieales es trasformació lieal. Esto es: Si T : U, S : W so dos trasformacioes lieales etoces S T : U W es trasformació lieal. Sea T : W ua trasformació lieal, co, W espacios vectoriales sobre K 1) T es ivertible existe T : W /, Si T es ivertible se dice que es u isomorfismo T T= I T T = I 1 1 W 2) T : 1 ( ) 1 W 3) T = T trasformació lieal ivertible T W es trasformació lieal. 1 : 14 7

Trasformacioes Lieales Si T : W es u isomorfismo, se dice que los dos espacios vectoriales y W so isomorfos o que es isomorfo a W y se aota Si dos espacios vectoriales so isomorfos o sigifica que sea iguales, pero toda propiedad relacioada co la estructura de espacio vectorial que posea uo de ellos se trasfiere al otro a través del isomorfismo. Se cumple que: W. Dos espacios vectoriales fiito dimesioales so isomorfos si y solo si tiee la misma dimesió. Esto es,, W espacios vectoriales de dimesió fiita: W dim = dimw 15 Trasformacioes Lieales ALORES PROPIOS Y ECTORES PROPIOS INTRODUCCIÓN Los coceptos de valores propios y de vectores propios de trasformacioes lieales o de matrices que estudiaremos so de importacia e: aplicacioes de matemáticas, como : diagoalizació de matrices rotació de ejes coordeados solucioes de sistemas de ecuacioes difereciales lieales 16 8

Trasformacioes Lieales otras disciplias, como: ecoomía biología física mecáica E esta parte, las matrices será cuadradas y las fucioes será operadores lieales, esto es, trasformacioes lieales de u espacio vectorial e si mismo 17 Trasformacioes Lieales Defiició: 1) Sea A M ( K), K = R o C λ R o C se llama valor propio de A, si: v R o C, v 0, tal que Av=λv. Cada vector v, v 0, que satisface Av=λv, se llama vector propio de A, asociado al valor propio λ. 2) Sea espacio vectorial sobre u cuerpo K y T : ua trasformació lieal. λ K se llama valor propio de T, si: v, v 0, tal que T ( v) =λv. Cada vector v, v 0 que satisface T ( v) =λv, se llama vector propio de T, asociado al valor propio λ. 18 9

Trasformacioes Lieales Los valores propios tambié se deomia valores característicos, autovalores o eigevalores Los vectores propios tambié se deomia vectores característicos, autovectores o eigevectores. Siλ es valor propio de ua matriz A, el cojuto W { λ = v K / Av = λv} es subespacio vectorial de K llamado espacio propio de A asociado al valor propio λ. (Observar que 0 W λ, pero 0 o es vector propio de A) Siλ es valor propio de ua trasformació lieal T, el cojuto Wλ = { v / T( v) = λv} es subespacio vectorial de llamado espacio propio de T asociado al valor propio λ. (Observar que 0 W λ, pero 0 o es vector propio de T) 19 Trasformacioes Lieales Sea A M ( K ). Etoces: λ es valor propio de A Av= λv, co v 0 Av= ( λi ) v, co v 0 ( I idetidad de orde ) ( A λi ) v 0, = v 0 K ( λ ) det A I = 0 a λ a a 11 12 1 a a λ a 21 22 2 a a a 1 2 λ K K K = 0, co A= ( a ij ) Los valores λ que satisface esta ecuació, so los valores propios de A. 20 10

Trasformacioes Lieales Sea T : trasformació lieal. Etoces: λ K es valor propio de T v, v 0, T ( v) =λv v, v 0, T I v = 0 ( λ )( ) I idetidad e v Ker ( T λi ), v 0 ( λ ) { 0 } Ker T I Así, los vectores propios de T asociados al valor propio λ, so los vectores o ulos del kerel de la trasformació lieal T -λi. 21 Trasformacioes Lieales Defiició: Sea A M ( K ) POLINOMIO CARACTERISTICO. ECUACION CARACTERISTICA DE UNA MATRIZ La matriz característica de A es la matriz A λi. El poliomio característico A de es el poliomio pa ( λ) = det ( A λi ) La ecuació característica de A es la ecuació p ( λ) ( A λi ) A = det = 0 22 11

Trasformacioes Lieales Sea A ( a ) M ( K ) de A. Etoces: = y p ( λ ) = det ( A λi ) el poliomio característico ij 1) p ( λ ) = det ( A λi ) es u poliomio de grado. A 2 1 ( )... p λ = c+ cλ+ cλ + + c λ + cλ A 0 1 2 1 A 2) Los valores propios de la matriz A so las raíces de la ecuació característica de A, esto es: λ K es u valor propio de A si y sólo si p ( λ) = det ( A λi ) = 0 A 23 Trasformacioes Lieales 3) Para determiar los valores propios de A, debemos ecotrar las raíces de su ecuació característica p ( λ ) = 0, ecuació de grado que tiee raíces reales y/o complejas, de maera que A valores propios. A tiee a lo más Dada A M ( C), etoces A tiee exactamete valores propios, o ecesariamete distitos etre sí. Ua matriz real, esto es, todos sus elemetos so reales, es tal que su ecuació característica podría o teer raíces reales sio complejas. 24 12

Trasformacioes Lieales 4) Sea λ 1, λ 2,..., λ todos los valores propios de la matriz A. Etoces: La suma de los valores propios de la matriz A es igual a su traza: λ1+ λ2 +... + λ = tra, co tra= a11+ a22 +... + a El producto de los valores propios de la matriz A es igual al determiate de A : λ1 λ2... λ = det A 5) A es matriz o ivertible (sigular) λ= 0 es valor propio de A Basta cosiderar: λ= 0 es valor propio de A det A = 0 A es o ivertible o sigular 25 Trasformacioes Lieales 6) Alguos autores defie el poliomio característico de A e la forma: A ( λ) = det ( λ ) p I A Ambas defiicioes difiere a lo más e el sigo, pues ( A λi ) = ( ) ( λi A) det 1 det La ecuació característica queda igual. 26 13

Trasformacioes Lieales POLINOMIO CARACTERISTICO. ECUACION CARACTERISTICA DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL Sea espacio vectorial de dimesió y T : ua trasformació lieal. Sea A= [ T], A' = [ T] B B ' las matrices asociadas a T respecto de dos bases ordeadas distitas B, B ' de. Etoces: det ( A λi ) = det ( A' λi ) ( ) Así, el poliomio det ( A λi ) = det [ T] λi B depede sólo del operador lieal T y o depede de la base ordeada B. El hecho de que u cambio de base o afecta a este poliomio os permite defiir el poliomio característico de ua trasformació lieal. 27 Trasformacioes Lieales Sea u espacio vectorial de dimesió, B ua base ordeada de y T : ua trasformació lieal. Se llama poliomio característico del operador lieal T, Se tiee que: grado T ( ) λ K es valor propio de T T ( λ) det [ ] ( λ ) p = T I p λ = = dim λ B es cero del poliomio característico de T. al poliomio: Los valores propios de la trasformació lieal T depede de T y o depede de la base escogida para represetarla. 28 14

Trasformacioes Lieales Sea: espacio vectorial sobre u cuerpo T : A trasformació lieal y = [ T], la matriz represetativa de T B K, dim =, relativa a algua base B de. Etoces: λ K, λ es valor propio de T λ es valor propio de A. Se cumple que. 1) Si A es matriz cuadrada, etoces pa ( A) = O 2 2 dode pa ( A) = a0i+ a1 A+ a2 A +... + a A si A ( ) 2) Si T : p x = a + a x+ a x + + a x 0 1 2... es trasformació lieal, etoces p ( T ) = 0 2 dode pt ( T ) = a0i+ a1t+ a2 T +... + at si T ( ) T 2 0 1 2... p x = a + a x+ a x + + a x 29 Trasformacioes Lieales MATRICES SIMILARES Defiició: Sea A, B matrices de orde. B se dice similar ( o semejate ) a A si existe matriz P de orde, 1 ivertible, tal que: B= P AP 1) La similaridad es ua relació de equivalecia, e el cojuto M ( K ), esto es: A es similar a A. Si B es similar a A, etoces A es similar a B. Si A es similar a B y B es similar a C, etoces A es similar a C ( Por el segudo puto, podemos decir que A y B so similares ). 30 15

Trasformacioes Lieales 1 2) Como: B= P AP PB AP, = 1)etoces: A y B so semejates existe P matriz ivertible de orde tal que: PB= AP. La vetaja de esta equivalecia es que sólo se requiere coocer que P es ivertible y o calcularla. 3) Sea A, B matrices de orde, 1)similares etoces: A y B tiee el mismo poliomio característico y los mismos valores propios. 4) Sea u espacio vectorial sobre u cuerpo K, de dimesió fiita, y sea A, A' dos matrices sobre K. Etoces: A, A' so similares si y solo si A, A' represeta a la misma trasformació lieal T : relativo a bases diferetes de. 31 Trasformacioes Lieales DIAGONALIZACION Para A matriz cuadrada, os iteresa saber si existe ua matriz similar a A, que sea diagoal. Si T : es ua trasformació lieal, co espacio vectorial, os iteresa saber si existe ua base de de modo que la matriz asociada a T e esa base sea matriz diagoal. Mostraremos que esto o siempre es posible y determiaremos codicioes para que lo sea. 32 16

Trasformacioes Lieales Pero, por qué iteresa que estas matrices sea diagoales? Recordemos que ua matriz diagoal D= ( d ij ) de orde es tal que todos los elemetos de D fuera de la diagoal pricipal so ceros: d11 0 0 0 d22 0 D = 0 0 d Se puede aotar: D= diag ( d d d ) Cumple co lo siguiete:,,..., 11 22 1) Si D ' = diag ( d ' 11, d ' 22,..., d ' ) es otra matriz diagoal etoces DD ' tambié es matriz diagoal de orde, y el producto es: DD ' = diag ( d d ', d d ',..., d d ' ) 11 11 22 22 33 Trasformacioes Lieales 2) det D= d11d22... d k k k k = dode D = diag ( d11, d22,..., d ) det..., k k k k D d11d 22 d 3) D es ivertible si y solo si dii 0, para todo i = 1,2,..., Más aú, e este caso: ( ) 1 D = diag d11 d22 d 1/,1/,...,1/ 4) Los valores propios de la matriz diagoal D so los elemetos de la diagoal pricipal. 34 17

Trasformacioes Lieales MATRIZ DIAGONALIZABLE Defiició: Sea A matriz de orde. Se dice que A diagoalizable si es similar a ua matriz diagoal. 1) Diagoalizar ua matriz A cosiste e ecotrar ua matriz diagoal similar a la matriz A. E tal caso, tambié se dice que A se puede diagoalizar. 2) Si A es diagoalizable, etoces existe D matriz diagoal de orde tal que A y D so similares. 1 Esto es: existe matriz P de orde ivertible tal que Se dice que P diagoaliza a la matriz A. P AP= D 35 Trasformacioes Lieales 3) Si A es diagoalizable, etoces A es similar a ua matriz diagoal cuyos elemetos e la diagoal pricipal, so los valores propios de A. Esto es cosecuecia de que si A y D so similares, etoces tiee los mismos valores propios, y si D es matriz diagoal, etoces sus valores propios so sus elemetos e la diagoal pricipal. 4) La mayoría de las matrices o so matrices diagoales, pero muchas de ellas se puede diagoalizar. No toda matriz es diagoalizable, esto es, puede o existir ua matriz 1 P tal que P AP sea matriz diagoal. 36 18

Trasformacioes Lieales La siguiete es ua codició ecesaria y suficiete para que ua matriz sea diagoalizable. Sea A M ( K ) A es diagoalizable A tiee vectores propios liealmete idepedietes. E este caso: 1 A es similar a ua matriz diagoal D, D= P AP dode D tiee e la diagoal pricipal los valores propios de A, y P es ua matriz cuyas columas so respectivamete vectores propios L. I. de A. Esto es, la columa j de P es u vector propio de A, asociado al valor propio λ j, j= 1,2,..., 37 Trasformacioes Lieales ectores propios asociados a valores propios distitos, so L.I. Si A tiee valores propios distitos, etoces A es diagoalizable. El recíproco de lo aterior o es cierto. Ua matriz puede ser diagoalizable y teer valores propios repetidos. 38 19

Trasformacioes Lieales TRANFORMACIÓN LINEAL DIAGONALIZABLE Sea: u espacio vectorial de dimesió fiita T : ua trasformació lieal. Sabemos que: T se puede represetar mediate muchas matrices diferetes de orde, ua por cada base ordeada e. E particular, si A1 y A2 so las represetacioes matriciales de T respecto a bases B1 y B2 de, respectivamete, etoces sabemos 1 que A2= P A1 P co P matriz ivertible, esto es, A1 y A2 so similares, y por tato, tiee los mismos valores propios. Usamos esto para la defiició siguiete. 39 Trasformacioes Lieales Defiició: Sea T : ua trasformació lieal, co espacio vectorial de dimesió. T se dice diagoalizable si existe algua base B de, de modo que la represetació matricial de T es ua matriz diagoal. Se dice que la base B diagoaliza al operador T. Sea T : e dicha base, ua trasformació lieal tal que dim= Etoces: T es diagoalizable si y solo si existe ua base B de de vectores propios de T. Además, si D es la matriz diagoal, etoces los elemetos de la diagoal pricipal de D so los valores propios de T. 40 20