Matemátcas Aplcadas. SS. I -- I. E. S. Saba MATEMÁTIAS INANIERAS EN 1º BTO.. SS. 1. PORENTAJES 1.1 Aumetos y dsmucoes pocetuales. Ídce de vaacó 1.2 Aumetos y dsmucoes pocetuales ecadeados. Ídce de vaacó total 2. INTERÉS SIMPLE E INTERÉS OMPUESTO 2.1 ómulas paa el teés smple 2.2 ómulas paa el teés compuesto 2.3 Tasa Aual Equvalete (TAE) 3. PROGRESIONES GEOMÉTRIAS. ANUALIDADES DE APITALIZAIÓN 5. ANUALIDADES DE AMORTIZAIÓN DE DEUDAS 1. PORENTAJES 1.1 Aumetos o dsmucoes pocetuales. Ídce de vaacó El aumeto o dsmucó pocetual es lo que aumeta o dsmuye ua catdad segú u pocetaje. Aumetemos o dsmuyamos ua catdad cal, I, u pocetaje, %: I. I I. 1 I. 1 dode es la catdad fal y el coefcete po el que se multplca se deoma ídce de vaacó, I v 1. Es dec: I. I v Ejecco esuelto: Qué pagaíamos po ua caldea que cuesta 3.000, s el peco es s IVA? Llamaemos al peco que pagaemos po la caldea al aumeta su coste e u 21 % po el IVA, su ídce de vaacó seía 1 = 1,21 y su peco fal = 3.000. 1,21 = 3.630 Actvdades popuestas 1. Qué ídces de vaacó coespode a aumetos pocetuales de 18 % y 8 % espectvamete? Y a dsmucoes pocetuales de 25 % y 5 % espectvamete? 2. Uas accoes que valía a pcpo de año 13,70 ha subdo u 35%. uáto vale ahoa? 3. Qué ebaja obteemos s pagamos 372 po ua evea que estaba valoada e 620?. El peco co u IVA del 21 % de ua camsa es de 70,12, cuál ea su peco s IVA? 1.2 Aumetos y dsmucoes pocetuales ecadeados Paa calcula el ídce de vaacó total, I v total, multplcamos los espectvos ídces de vaacó de cada uo de los aumetos y dsmucoes pocetuales que se aplca. Ejecco esuelto: Al compa ua lavadoa, que cuesta 50, po se de clase eegétca A os subvecoa co u 5% y po paga al cotado os ebaja u 10%, peo po etegala e uesto domclo y etaos la atgua os coba u 3%. uáto os cuesta falmete la lavadoa y qué pocetaje de ebaja eal hemos obtedo? El ídce de vaacó total seía I v total = 0,95. 0,9. 1,03 = 0,88065 1 0,88065, sedo la ebaja fal obteda obteédose que 11,9 % y = I v total. I = 50. 0,88065 = 396,29 Pága 1 de 6
Matemátcas Aplcadas. SS. I -- I. E. S. Saba Actvdades popuestas 5. S uas accoes aumeta el 0 % y después el 25 %, qué pocetaje aumeta falmete? 6. U comecate aumeta el peco de sus poductos u 30 % y después, petedédolos dejalos gual, los ebaja u 30 %. uáto costaá u odeado que calmete estaba macado e 1.000? Qué vaacó pocetual sufe falmete los atículos? 2. INTERÉS SIMPLE E INTERÉS OMPUESTO 2.1 Iteés smple El édto bacao,, es el pocetaje de aumeto aual de u captal depostado e ua etdad bacaa y el teés smple, I, es la catdad de deo que poduce u captal depostado e ella I..t sedo el édto aual y t el tempo e años que está depostado el captal; se caacteza poque los teeses geeados a lo lago del peodo o se agega al captal paa el cálculo de los teeses del sguete peodo, po lo que los teeses so los msmos e cada peodo. Po ello, el captal fal obtedo seá.t I..t. 1 S los peodos de tempo o so auales, bastaá co que tegamos pesete el úmeo de peodos de captalzacó que hacemos e u año: Mesual, : 12.m.m.m I..m. 1.200 I.. 1, co m el úmeo de meses 1.200 1.200 Daa, : 360.d.d.d I..d. 36.000 I.. 1, co d el úmeo de días 36.000 36.000 Ejecco esuelto: S depostas.500 a u édto del 5,% duate 3 meses. A cuáto ascede el teés que obtedás? uál seá tu captal al coclu los 3 meses?.m 5,. 3 I..500. 60,75 = +I =.500 + 60,75 =.560,75 1.200 1.200 Actvdades popuestas 7. Idca las fómulas del teés y el captal que tedemos co peodcdad tmestal o semestal. 8. S depostamos u captal de 10.000 al 5 % de teés smple aual. E qué captal se habá covetdo al cabo de 7 años? 9. A qué teés smple se deposta u captal de 5.000 que e 10 años se ha covetdo e 7.000? 2.2. Iteés compuesto E el teés compuesto el beefco geeado se acumulaá al captal cal depostado e la etdad facea paa posteoes cálculos de teeses, po lo que se poduce aumetos pocetuales ecadeados co ídce de vaacó fjo 1. 1 sedo el úmeo de años. El peodo de captalzacó es la peodcdad co que se acumula los teeses al captal paa geea uevos teeses. De o se aualmete, bastaá co que tegamos pesete el úmeo de veces que se hace e u año paa modfca el aumeto pocetual y el úmeo de aumetos ecadeados: Pága 2 de 6
o peodcdad mesual Matemátcas Aplcadas. SS. I -- I. E. S. Saba m. 1, sedo m el úmeo de meses tascudos 1.200 o peodcdad daa d. 1, sedo d el úmeo de días tascudos 36.000 Ejecco esuelto: Depostados 3.000 a u teés del 6% aual duate cuato años, a cuáto ascede uesto captal s Haceda os etee u 21% tascudos los cuato años? Tedíamos u captal bacao. 1 3.000. 1,06 3.787,3, ates de la etecó fscal, y efectuaía la etecó sobe el beefco obtedo: ( -). 0,21 = 787,3.0,21 = 165,36 po lo que uesto captal falmete seía de 3.787,3-165,36 = 3.622,07 Actvdades popuestas 10. ostuye la fómula del captal que tedemos paa peodos tmestales o semestales. 11. E cuáto se tasfoma u captal de 20.000 depostado a teés compuesto al 3,6 % aual duate 5 años? Y s los teeses se aboa co peodcdad mesual? 12. uál seía el captal fal obtedo s se deposta 5.000 a u teés compuesto del 7,5% aual duate 3 años co peodos de captalzacó aual, mesual o tmestal espectvamete? Obseva que el captal fal vaía segú el peodo de captalzacó. o captalzacó aual, cuáto tempo debeá tascu paa que uesto captal se duplque? 2.3 Tasa aual equvalete (TAE) Habás obsevado que los teeses auales poducdos po u captal so supeoes al édto aual declaado cuado los peodos de captalzacó so feoes a u año; se llama Tasa Aual Equvalete (TAE) al pocetaje de cecmeto eal obtedo e el captal e u año e tales casos. E los péstamos bacaos la TAE es gualmete supeo al édto o teés declaado y paa su cálculo se cluye todos los gastos que la etdad facea coba paa cocedelo (comsoes y gastos bacaos). Ejecco esuelto, 1: Detema el ídce de vaacó de u captal co captalzacó mesual paa u año coespodete a u édto aual del 8% e dca la TAE obteda. o u édto aual del 8 % y peodos de captalzacó mesuales el ídce de vaacó paa uesto 12 8 captal seía 1 1,083 po lo que uesto captal aumetó u 8,3 % TAE = 8,3 % 1.200 Ejecco esuelto, 2: Al cocedeos u péstamo bacao, co captalzacó mesual al 8 % aual de 10.000, os etee 500 po gastos de gestó. Qué TAE aboaemos s debemos salda la deuda de foma ítega e u solo pago a los dos años? 2 8 A los dos años el baco os eclamaá = 10.000. 1 11.728,88 po los 9.500 que pestó 1.200 calmete co captalzacó aual: 11.728,88 = 9.500. 2 2 TAE TAE 11.728,88 1 1 = 9.500 TAE 1 = 11.728,88 9.500 TAE 11.728,88 = 9.500 11.728,88-1 TAE = 1. 11,11 % 9.500 Pága 3 de 6
Matemátcas Aplcadas. SS. I -- I. E. S. Saba Actvdades popuestas 13. alcula e cuáto se tasfoma 5.000 e u año al 10 % aual s los peodos de captalzacó so tmestales y d cuál es la TAE coespodete. 1. Qué TAE obteemos s al deposta 10.000 co peodo de captalzacó semestal al cabo de dos años uesto captal ascede a 10.800? 3. PROGRESIONES GEOMÉTRIAS Ua de las aplcacoes más mpotates de las pogesoes geométcas estudadas e secudaa es el estudo de la captalzacó y el aboo de deudas bacaas. Recodemos: Pogesó geométca, es ua sucesó de úmeos o témos (a 1, a 2, a 3,...) e la que cada uo se obtee multplcado el ateo po u úmeo costate o azó, : a 2 = a 1., a 3 = a 2. = a 1. 2,... Témo geeal, pemte detema cualque témo coocedo el pmeo, la azó y el luga que ocupa e la pogesó: a = a 1. -1 Suma de témos cosecutvos: Llamemos S = a 1 +a 2 + +a -1 + a. S =. a 1 +. a 2 + +. a -1 +. a = a 2 +a 3 + +a +. a S estamos ambas expesoes y sacamos facto comú, podemos detema S :.S S =. a a 1 S ( 1) =. a a 1 a a. a. a 1 1 1 1 S = a 1-1 1. S -1 = 1 a1. -1 Actvdad 15: S al tema cada año depósto 2.000 e ua etdad bacaa al 5% aual, cuáto deo ecogeemos al falza el décmo año? Realzaemos 10 depóstos que, eodeados del últmo al pmeo, se compota como sgue: - El últmo depósto o geeaa teeses, a 1 = 2.000 - El peúltmo depósto geea teeses duate 1 año, a 2 = 2.000. 1,05 - El atepeúltmo depósto geea teeses duate dos años, a 3 = 2.000. 1,05 2 - - - El pme depósto geeaa teeses duate 9 años, a 10 = 2.000. 1,05 9 Estas catdades está e pogesó geométca de azó = 1,05 po lo que uesto captal al falza el décmo año seía S 10 = 10 1 1,05 1 a1. 2.000. = 25.155,79 1 1,05 1 10 Pága de 6
Matemátcas Aplcadas. SS. I -- I. E. S. Saba. ANUALIDADES DE APITALIZAIÓN Las aualdades de captalzacó so catdades fjas que se deposta e ua etdad facea al co de cada año paa foma, juto co los teeses, u captal al cabo de ceto úmeo de años. Supogamos que gesamos ua catdad fja aual A al pcpo de cada año. Qué captal tedemos al cabo de años sabedo que el édto que se os gaatza es del % aual o teés =? - La 1ª aualdad A al captalzase duate años tedá u valo de A. 1-1 - La 2ª aualdad A al captalzase duate -1 años tedá u valo de A. 1 - - = A. - La peúltma aualdad A al captalzase duate 2 años tedá u valo de A. 1 2 - La últma aualdad A al captalzase duate 1 año tedá u valo de A. 1 1 atdades que, eodeadas como e el ejecco ateo, costtuye ua pogesó geométca de pme témo a 1 = A. 1 y azó 1, po lo que el captal acumulado seía =S. ocluyédose: = A. 1 1 1 1 1. A. 1. 1 1 A. 1 1. 1 De modfca la peodcdad co que se ealza los gesos, tedemos pesete el úmeo de gesos que ealzaíamos e u año y el teés coespodete al peodo. Po ejemplo, co gesos tmestales, el teés tmestal es, el úmeo de gesos ealzados seía. y el captal que obtedemos 00 seá = A tmestal. 1 1. 1. Actvdades popuestas 16. Ua pesoa plaea deja de tabaja deto de 10 años. uál debe se el mpote de la aualdad que debe gesa al pcpo de cada año paa que al 6 % aual acumule u captal de 70.000? 17. U jove decde hacese u pla de pesoes; paa ello pesa apota, el día que cumpla 27 años, 180 al pla, y así todos los años e el día de su cumpleaños. S la etdad facea le ofece u teés compuesto del 3 % aual, cuáto deo habá acumulado a los 65 años? Pága 5 de 6
Matemátcas Aplcadas. SS. I -- I. E. S. Saba 5. AMORTIZAIÓN DE DEUDAS Las aualdades de amotzacó so catdades guales que se aboa al falza cada año a ua etdad bacaa co el f de aboa ua deuda D a u édto % aual o teés de aualdades de gual mpote A. El valo que tedá la deuda D al cabo de años seá D. 1 Las aualdades gesadas se captalzaá hasta coclu la amotzacó como sgue: - La 1ª aualdad al captalzase duate -1 años tedá u valo de A. (1+) -1 - La 2ª aualdad al captalzase duate -2 años tedá u valo de A. (1+) -2 - - - La peúltma aualdad al captalzase duate 1 año tedá u valo de A. (1+) medate el pago - La últma aualdad aboada tedá u valo A al cocd co el mometo de salda la deuda. Los valoes de las aualdades, eodeadas coveetemete, es ua pogesó geométca co a 1 = A y azó 1. El valo total de lo aboado co su coespodete captalzacó S co el valo de la deuda que se salda al cacela el péstamo bacao: D. 1 1 1 A. 1. A D. 1 1 1 1 A. cocdá De modfca la peodcdad de las cuotas paa el aboo de la deuda, tedemos pesete el úmeo de pagos que ealzaíamos e u año y el teés coespodete a ese peodo. Po ejemplo, co cuotas tmestales el teés tmestal es 00, el úmeo de pagos a ealza seía. y la cuota tmestal fja que se aboaía A tmestal 1 D. 1... 1 Actvdades popuestas 18. Paa la compa de u coche de 19.000 pedmos u péstamo al 7% de teés aual que pagaemos e cuotas mesuales duate 6 años. uál seá la cuota mesual? 19. Qué deuda se habá amotzado medate el pago de ses aualdades de 5.000 al 7 % aual? Pága 6 de 6