DERIVACIÓN DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE Derivada de una función en un punto. Función derivada. Sea f () una función de una variable definida en un intervalo abierto (a, b) y sea (a, b). Se dice que f es derivable en si eiste f () f ( ) h f ( h) f ( h ) con h Si f es derivable en este límite se llama derivada de f en y se escribe de cualquiera de las siguientes formas: d f d f f ( ), ( ), d d Ejemplos:. y f() 4 f ( ) f () f ( ) 4 4 f (). y f() f ( ) f () f ( ) ( ) f ().- y f() f ( ) f () f ( ) ( )( ) f () ( ) La derivada mide la variación aproimada que se produce en la función ante un cambio pequeño en la variable independiente. Una función f() de una variable definida en un intervalo abierto (a, b) se dice que es derivable si lo es en todo punto (a, b), lo que quiere decir que (a, b) eiste f ( ). Se llama función derivada de f a la que asigna a cada (a, b) el valor f ().
Sea f() una función de una variable definida en un intervalo abierto (a, b) y sea (a, b). Se dice que f() es derivable en por la derecha si eiste f ( ) f () f ( ) h f ( h) f ( h ) y f () es derivable en por la izquierda si eiste f ( - ) f () f ( ) h f ( h) f ( h ) Estos límites laterales se llaman derivadas laterales. Una función f es derivable en si y sólo si eisten f ( ) y f ( - ) y ambos valores son iguales, en cuyo caso: f ( ) f ( ) f ( - ) Ejemplos:. f () si si > f ( ) f () f () f ( - ) f () f (). f() si si si > < f ( ) f () f () f ( - ) f () f () -. si < f () f ( ) si f () f ()
f ( - ) f () f () Observación importante: Si f() es derivable en el punto entonces f() es continua en dicho punto; de aquí se deduce que si una función f() no es continua en un punto entonces tampoco será derivable en dicho punto. Pero el recíproco no tiene por qué ser cierto, es decir, si una función f() es continua en un punto entonces podrá ser o no derivable en dicho punto. De los ejemplos anteriores, observamos en el nº que f() es derivable en el punto, por lo que también será continua en dicho punto. Ahora bien, en el ejemplo nº, la función f() no es derivable en aunque sí es continua en ese punto. Derivadas de las funciones más usuales (C representa una constante y f una función derivable) Función derivada Función derivada Función derivada Función derivada C tg tg f f ' cos cos f C C cotg cotg f f ' sen sen f n n n- f n n f n- f sec sen sec f f 'sen f cos cos f f ' f cosec cos cosec f f sen f 'cosf sen f n n n n n f n f ' n n f arc sen e e e f f e f arc cos a a ln a a f f a f ln a arc tg ln log a ln a ln f log a f f ' f f ' f ln a arc cotg arc sen f arc cos f arc tg f arc cotg f f ' f f ' f f ' f f ' f sen cos sen f f cos f cos - sen cos f - f sen f
Operaciones con derivadas ( k y a son constantes y f, g funciones derivables) suma (f ± g) f ± g producto por escalar (kf) kf producto (fg) f g fg (fgh) f gh fg h fgh (fghj) f ghj fg hj fgh j fghj y así sucesivamente f ' f g f g cociente g g eponencial (f g ) f g g ln f g f g- f En particular: (f n ) n f n- f (a f ) f a f ln a Ejemplos:. y 7 y. y 4 -sen sec y 4 sen - cos cos. y e Ln log tg cosec y e - Ln cos cos sen 4. y sen y (sen ) (cos ) 5. y 5 Ln y 5 Ln5 Ln 5 6. y arcsen sec y 9 arcsen sec sec arcsen sen cos 7. y y ( ) ( ) ( ) 8. y ( 7 ) 6 y 6 ( 7 ) 5 6 ( 7 ) 5 4
9. y ln( -) y. y sen( -59) y (6-5) cos( -59). y 4 ln y 4 ln 4 ln ln 4 ln4. y cos 5 (7 ) y - 5 cos 4 (7 ) 4 sen(7 ) -7 cos 4 (7 ) sen(7 ). y ( 7) cos y cos ( 7) cos- 7 ( 7) cos sen.ln(7) Interpretación gráfica de la derivada. Cálculo de rectas tangentes. El valor f ( ) representa la pendiente de la tangente geométrica trazada a la curva de ecuación y f() por el punto (, f( )) (Recuerda que la pendiente es la tangente trigonométrica del ángulo que forma dicha recta con la parte positiva del eje X). Por tanto, la ecuación de dicha recta tangente será: Ejemplos: y y m ( ) donde y f( ) y m f ( ).- Calcula la recta tangente a la parábola y en el punto de abscisas y y m ( ) donde y f( ) f() 9 y m f ( ) f () 6 la ecuación de la recta tangente pedida es y 9 6 ( ) ó lo que es equivalente y 6 9.- Calcula la recta tangente a la curva y e 5 en el punto de abscisas y y m ( ) donde y f( ) f() y m f ( ) f () 5 (observa que f () 5e 5 ) la ecuación de la recta tangente pedida es y 5 ( ) ó lo que es equivalente y 5 Diferencial de una función en un punto. Función diferencial. Dada la definición de derivada f ( ) que f () f ( ) f () f ( ) f ( ), de donde, despejando, llegamos a que: resulta que, cuando, se verifica 5
f() f( ) f ( ) ( ) Llamando diferencial de, d h se cumple que f() f( ) f ( ) d. Al término f ( ) d se le denomina diferencial de f() en y se designa por df (h) ó de forma más sencilla por df( ). De forma más general: df() f () d Observa que d pero df() f() Ejemplos:. f() 4 dy df() f () d d. f() dy d. f() df() d 4. f() sen df() cos d 5. Calcula la diferencial de la función f() e 7 en el punto y evalúala en d,. f () 7 e 7 f () 7 df() f () d 7d para d, se cumple que df() 7,,7 (Esto significa que f() f() f () ( ) para, es decir, e 7 7 ) 6.- Usando la diferencial, calcular el valor aproimado de f() en el punto, sabiendo que f() 8. f() f( ) f ( ) ( ) f(,) f() f () (, ) es decir, f(,) 8, de donde se concluye que f(,) 8, (Obsérvese que el verdadero valor, en este caso, de f(,) sería f(,), 8,6, muy próimo al obtenido por diferenciales) 7.- Usando la diferencial, calcular el valor aproimado de Ln(,5). Tomamos la función f() Ln (derivable en ) y punto f() f( ) f ( ) ( ) Ln(,5) Ln() (,5 ),5,5. Es decir, Ln(,5),5 (Obsérvese que el verdadero valor de Ln(,5) es,48886..) 6
Derivadas sucesivas. Sea f() una función de una variable definida en el intervalo abierto (a, b) para la cual eiste f () (a, b). Si la función f () es a su vez derivable, entonces su derivada (f ) f se llama derivada segunda de f(). Análogamente podemos definir la derivada tercera f, la derivada cuarta f iv), etc. derivando la función derivada de orden anterior. Ejemplos:. f() e 5 f () 5e 5 f () 5e 5 f () 5e 5 f iv) () 65e 5 y, de forma sucesiva, llegamos a que f n) 5 () 5 n e. f() f () ( ) f () ( ) 6 f () ( ) 4 4 f iv) () ( ) 5 y, de forma sucesiva, llegamos a que f n) () n ( ) n! n ( ) Crecimiento y Decrecimiento. Sea f() una función definida en un intervalo (a, b) y sea (a, b). a) Se dice que f es creciente en si eiste un intervalo ( h, h) contenido en (a, b) tal que f() f(y), y ( h, h) con < y. Si la desigualdad es estricta, entonces f es estrictamente creciente en. b) Se dice que f es decreciente en si eiste un intervalo ( h, h) contenido en (a, b) tal que f() f(y), y ( h, h) con < y. Si la desigualdad es estricta, entonces f es estrictamente decreciente en. Si eiste f () entonces: f() es creciente en f ( ) f ( ) > f() es estrictamente creciente en f() es decreciente en f ( ) f ( ) < f() es estrictamente decreciente en Si f ( ), no se puede afirmar nada sobre el crecimiento o decrecimiento de f() en el punto 7
Ejemplos:.- Hallar los puntos de crecimiento y de decrecimiento de la función y - y 6 que se anula en Si < Si > y < estrictamente decreciente en (-, y > estrictamente creciente en (, ) ).- Hallar los puntos de crecimiento y de decrecimiento de la función y L( -) y En (-, -) es y En (, ) es y Nota: y se anula en pero observa que Dom f (-, -) (, ) < estrictamente decreciente > estrictamente creciente 8
.- Hallar los puntos de crecimiento y de decrecimiento de la función y ( ).e y ( ) e que se anula en -. Si < - y < estrictamente decreciente Si > - y > estrictamente creciente Concavidad y conveidad. Una función f() es convea en un intervalo (a, b) si para cada par de valores, del intervalo (a, b), la recta que une los puntos (, f( )) y (, f( )) está por encima de la gráfica de f() en el intervalo (, ). Una función f() es cóncava en un intervalo (a, b) si para cada par de valores, del intervalo (a, b), la recta que une los puntos (, f( )) y (, f( )) está por debajo de la gráfica de f() en el intervalo (, ). función convea función cóncava Un punto de infleión es aquel en el que la función pasa de convea a cóncava o de cóncava a convea. Si eiste f ( ) entonces: 9
f ( ) > f es convea en f convea en f ( ) f ( ) < f es cóncava en f cóncava en f ( ) f ( ) y la primera derivada posterior que no se anula en es de orden impar es un punto de infleión Ejemplos:.- Hallar los intervalos en los que la función siguiente es cóncava o convea: f() 6. f () 6. Si >, entonces f () > f es convea en (, ) Si <, entonces f () < f es cóncava en (-, ).- Hallar los intervalos en los que la función siguiente es cóncava o convea: f(). f () 6 ( ). El denominador es siempre positivo por serlo, luego para estudiar el signo de f () basta ver el signo del numerador: 6 ( )( ). Tenemos los siguientes casos: (-, - ) f () < f es cóncava en ( -, - ) (-, ) f () > f es convea en (-, ) (, ) f () < f es cóncava en (, ) (, ) f () > f es convea en (, ).- Hallar los intervalos en los que la función siguiente es cóncava o convea: f() ln f () que es negativa para todo Dom f (, ). Por ello f es cóncava.
4.- Hallar los intervalos en los que la función siguiente es cóncava o convea: f() 7 - e f () - e, que se anula en ln. < ln f () > f es convea en (-, ln ) > ln f () < f es cóncava en (ln, ) Cálculo de puntos óptimos para funciones de una variable. Para buscar los puntos óptimos de una función f se calculan primero sus puntos estacionarios, críticos o singulares, es decir, los puntos que verifiquen la ecuación f () (condición necesaria) A continuación se calcula la segunda derivada, se evalúa en cada punto estacionario a obtenido y, teniendo en cuenta el signo de f (a), se tiene que: f (a) > el punto a es un mínimo local de f f (a) < el punto a es un máimo local de f Si f (a) entonces se sigue derivando hasta llegar al primer orden n (n ) para el que f n) (a). Si n es impar a es un punto de infleión. Si n es par: f n) (a) > el punto a es un mínimo local de f. f n) (a) < el punto a es un máimo local de f. Ejemplos:.- Hallar los máimos, mínimos y puntos de infleión de la función y - 45 y 4 45 que se anula en y 5. y 6 4 en es y -6 < es máimo de y ( que vale 84) en 5 es y 6 > 5 es mínimo de y (que vale 8) Para calcular los puntos de infleión observamos que y se anula en 4. Calculamos y 6 en 4 es y 6 4 es punto de infleión.
.- Hallar los máimos, mínimos y puntos de infleión de la función y - en el intervalo [-, 5] y que se anula en. Obsérvese que [-, 5] y. en particular en es y > es mínimo de y (que vale ) Por otra parte, como: y > si > y es creciente si >. y < si > y es decreciente si <. Por ello la función y alcanza valores máimos en - y en 5. Por otra parte, como y no hay puntos de infleión.
.- Hallar los máimos, mínimos y puntos de infleión de la función y ( ) y y ( ) ( ) 6 ( ) 4 que se anula en y en - en es y pero y 6( ) ( ) 5 por lo que y () 6 en - es y 9 8 es punto de infleión de y < - es máimo de y (que vale -6,75) Como y sólo se anula en, y ya hemos visto que es un punto de infleión, esta función no tendrá ya más puntos de infleión. Regla de L Hôpital para el cálculo de límites. Sean f() y g() dos funciones derivables en un intervalo (a h, ah) verificando que f '( ) f() y g(). Si eiste entonces a a a g'( ) f () a g() a f '() g' ()
± Esta regla sirve para resolver indeterminaciones de la forma,, y también ± indeterminaciones de los tipos restantes, sin más que hacer alguna modificación para transformarla ± en una indeterminación del tipo ó. ± Ejemplos: sen cos cos. 8 6 9 6 6 6. 4 5 8 5 8. e [ ] e e e 7 4. [ ] e α 7 con α eponente ( base ) 7 4 4 e 4 5 5. [ ] [ (- )] 5 e α donde α eponente Ln(base) 5 Ln() Ln() 5 5 5 5 e 6. Ln [ - ] Ln ( )Ln Ln ( ) Ln ( ) Ln ( ) Ln 4
Ejercicio.- Derivar las funciones: EJERCICIOS a) y (8 ) b) y ( ) cos c) y e) y ln d) y ln(9 -) f) y cos 5 (7 ) g) y e h) y arctg () i) y (sen ) cos j) y arctg( ) Ejercicio.- Estudiar la derivabilidad de las funciones: a) f ().e si si b) f () sen si si > Ejercicio.- Calcular utilizando la regla de L Hôpital: a) sen.cos cos b) sen tg c).ln e d) ( ) e) f) sen Ln Ejercicio 4.- De una hoja de cartón cuadrada de lado 9 cm. hay que hacer una caja abierta que tenga la mayor capacidad posible, recortando para ello cuadrados en los ángulos de la hoja y después doblando los salientes de la figura así obtenida. Determinar la longitud del lado de estos cuadrados recortados. Ejercicio 5.- La función de ingresos mensuales de una empresa es I(q) - q 9q, donde q es la cantidad producida cada mes. Calcular los ingresos máimos mensuales que puede obtener esta empresa. Ejercicio 6.- El número de suscriptores de una revista de economía ha ido variando desde su lanzamiento hace años según la ecuación f(t) t - 6t 6t, donde t es el número de 5
años transcurridos desde ese momento. Determinar cuándo se ha tenido un mayor y menor número de suscriptores y a cuánto ascendía dicha suscripción. Soluciones de los ejercicios Ejercicio.- a) y ( 8 ) 9 6 6 ( 8 ) 9 b) y ( ) cos ( ) cos(-sen) 6( )cos -cos sen( ) (ln )( ) ln c) y ( ) 8 d) y 9 e) y ( ) ( ) ( ) ( ) f) y -7 sen(7 ) cos 4 (7 ) g) y (e ) h) y ( ) (e ) e e cos cos i) y sen sen ln(sen ) sen j) y arctg ln(arctg ) 4 ( ) arctg (e e ) Ejercicio.- a) f ( ) e f ( - ) en porque f ( ) f ( - ). e Por tanto la función f() es derivable 6
b) f ( sen ) f ( ) f ( - ). f ( - ), luego f no es derivable en porque Ejercicio.- a) sen.cos cos. Aplicando L Hôpital: sen.cos cos cos cos sen sen sen sen b) sen tg. Aplicando L Hôpital: sen tg cos cos. Aplicando de nuevo L Hôpital: cos cos sen sen cos cos c) Ln Ln Ln Ln ( ). Aplicando L Hôpital: d) ( / ) e α ( e ) e α donde α lím eponente (base ) e. Aplicando L Hôpital: α e 7
En consecuencia: ( / ) e e e e) sen sen. Aplicando L Hôpital: sen sen cos sen. Aplicando nuevamente L Hôpital: sen cos f) cos sen sen cos cos cos sen Ln. Aplicando L Hôpital: L Ejercicio 4.- 9 cms 9- Sea el lado que se recorta en los ángulos. La caja es un paralelepípedo de base un cuadrado de lado 9 y altura. Su volumen será V() (9 ) 8 4 6 V () 7 8 que se anula en 45 y 5 V () 4 7 Como V (45) 6 > y V (5) -6 < el valor máimo vendrá dado cuando 5. Así pues habrá que recortar un cuadrado de lado 5 cms. y el volumen máimo conseguido será entonces de V(5) 54. cm Ejercicio 5.- I (q) - q 9 ; I (q) q 8 ó q - 8. 8
Puesto que se trata de una función donde la variable q epresa una cantidad, la solución negativa carece de sentido y por lo tanto sólo se considera la solución q 8. I (q) - 6q I (8) - 48 < el punto q 8 es máimo. Para obtener el ingreso máimo deberá producir 8 unidades al mes y el ingreso máimo es I (8).4 u.m. Ejercicio 6.- f (t) 6t - 7t 6 ; f (t) t 9 ó t, por lo que eisten dos puntos estacionarios. f (t) t - 7 f (9) 6 > en t 9 se alcanza un mínimo y f (9) f () - 6 < en t se alcanza un máimo y f ().6 Para saber si estos óptimos son únicos (obsérvese que estamos en un intervalo cerrado, el [, ] ), comparemos el valor de la función en dichos puntos con el valor de la función en los etremos del intervalo [, ] en el que varía t (aunque los etremos del intervalo no sean puntos estacionarios): f() f() Luego t es máimo y t 9 es mínimo, es decir, el número máimo de suscriptores fue de.6 al finalizar el tercer año de funcionamiento y el número mínimo se tuvo en el noveno año, momento en que no había ningún suscriptor (obsérvese que evidentemente en el momento, momento de lanzamiento de la revista, el número de suscriptores también era ). 9
.- Circunferencia ANEXO. Representación gráfica de las curvas más usuales Las dos formas más habituales de presentar su ecuación son: a) ( a) (y b) r que es la circunferencia de centro el punto C (a, b) y radio el valor positivo r. b) y A By C es circunferencia siempre que A B 4C > y tiene de A B centro el punto C (, ) y radio r A B 4 4C.- Elipse ( h) (y k) Su ecuación más genérica es a b elipse de centro C (h, k) y ejes a y b de abscisas y ordenadas, respectivamente..-hipérbola
Su ecuación más genérica es: ( h) a (y k) b y sus asíntotas son: b y k ( h) a b y k ( h) a En particular, la hipérbola cuyas asíntotas son los ejes de coordenadas tiene ecuación: k y ó lo que es igual y k con k. 4.- Parábola. y a b c con vértice b b 4ac, y las ramas hacia arriba si a > y hacia a 4a abajo si a <. ay by c con las ramas hacia la derecha si a > y hacia la izquierda si a <.
5.- Función eponencial. f() a con base a > Si a >, la recta y (eje ) es una asíntota horizontal y la función es creciente y convea. Si < a <, la recta y (eje ) es una asíntota horizontal y la función es decreciente y convea. Para a, la función es la recta horizontal y Propiedades de la función eponencial:
a a > R a a y a y a a a a y y a. y ( ) y a a 6.- Función logarítmica. Base a >, de tal forma que log a b a b Propiedades log a log a (.y) log a log a y con > e y > log a y log a log a y con > e y > log a y y log a con > En el caso particular de que la base a sea el número e de Euler (e.7888...) tenemos la función logaritmo neperiano que se suele denotar como ln ó Ln. En el caso particular de ser a es el logaritmo decimal que se escribe sin la base, o sea log quiere decir log. Si a > la recta es una asíntota vertical y la función es creciente y cóncava.
Si < a < la recta es una asíntota vertical y la función es decreciente y convea. 7.- Función seno. Es una aplicación f: R [-, ] Es una función periódica de periodo π cuya gráfica dentro del periodo [, π] es La función cosecante se define como sen cosec sen 8.- Función coseno. Es una aplicación f: R [-, ] cos 4
Es una función periódica de periodo π cuya gráfica dentro del periodo [, π] es La función secante se define como sec cos sen 9.- Función tangente. f() tg. Su dominio es cos Es una función periódica de periodo π, cuya gráfica es π D R / kπ, k Z La función cotangente se define como cotg tg Como valores más representativos de estas funciones trigonométricas estudiadas tenemos: º º 45º 6º 9º 8º 7º Seno - 5
Coseno Tangente - - nota: el equivalente de grados y radianes es: π,459 radianes equivalen a 8º ANEXO. Representación gráfica de funciones de una variable Para construir una gráfica es necesario, por lo general, combinar diversas técnicas. A continuación eponemos un plan que hay que entender como algo orientativo..- Dominio de definición de la función..- Si la función es par {f() f(-), simétrica respecto al eje de ordenadas} o impar {f() -f(-), simétrica respecto al origen} basta estudiarla para los valores de..- Si la función es periódica basta estudiarla en un periodo. 4.- Puntos de corte con los ejes. Con el eje OY solución de la ecuación y f() para. Con el eje OX solución de y f() para y. 5.- Cálculo de las asíntotas. Asíntotas horizontales: La recta y m es una asíntota horizontal si f( ) m o f( ) m. Asíntotas verticales. La recta a es una asíntota vertical si f( ) o f( ). a a Asíntotas oblicuas. Es la recta y m n siendo m f ( ) y n [ f( ) m] ± ± 6.- Máimos y mínimos. 7.- Intervalos de crecimiento y decrecimiento. 8.- Puntos de infleión e intervalos de concavidad y conveidad. 9.- Estudio de los puntos de discontinuidad y no derivabilidad y los puntos frontera del dominio de definición. Ejercicio.- Hallar las asíntotas de las funciones: a) y b) y c) 4 y 7 Soluciones a) f() y es asíntota horizontal. 6
± es asíntota vertical. ± - es asíntota vertical. m no tiene asíntota oblicua. b) f() 4 4 no tiene asíntota horizontal. 4 es asíntota vertical. 4 - es asíntota vertical. m 4 4 n 4 - Por consiguiente la recta y - es asíntota oblicua. c) f() 7 7 no tiene asíntota horizontal. 7
7 7 ± 7 es asíntota vertical. m 7 7 ; n 7 7 7 7 Por consiguiente la recta y 7 7 es asíntota oblicua. Ejercicio.- Hacer el estudio analítico completo y representar gráficamente las funciones: a) y b) y 4 c) y d) y Ln ( 4 ). 4 Soluciones a) y b) y 4 8
c) y 4 d) y Ln( 4 ) 9
ANEXO. Diferencial ª y sucesivas para funciones de una variable recordando que la diferencial primera de f() se define domo df f () d definimos: diferencial segunda de f() d f f () (d) diferencial tercera de f() d f f () (d) diferencial cuarta de f() d 4 f f iv) () (d) 4 y así sucesivamente, es decir, si f() es n veces derivable, se define la diferencial n-ésima de f() como d n f f n) () (d) n Así, por ejemplo, si f() e 5 f () 5e 5 df() 5e 5 f () 5e 5 d f 5e 5 (d) f () 5e 5 d f 5e 5 (d) f iv) () 65e 5 d 4 f 65e 5 (d) 4 y, de forma sucesiva, llegamos a que f n) () 5 n e 5 d n f 5 n e 5 (d) n BIBLIOGRAFÍA Además de los libros de Bachillerato, donde esta materia viene muy bien eplicada, y con abundantes problemas, recomendamos para hacer más ejercicios el libro siguiente: GALÁN, CASADO, FERNÁNDEZ y VIEJO (.): Matemáticas para la Economía y la Empresa. Ejercicios Resueltos. Editorial AC-THOMSON