3 Cómo resolver ecuciones de primer y segundo grdo en el conjunto de los números reles? Prof. Jen-Pierre Mrcillou OBJETIVOS: L clculdor CASIO ClssPd 33 dispone del comndo [solve] de los sumenús desplegles Avnzdo y Ecución/Desiguldd del menú Acción pr resolver ecuciones en el conjunto de los números reles y en el conjunto de los números complejos. CONCEPTOS, SIMBOLOGÍA Y FÓRMULAS: Ecución: Es un relción de iguldd que se present jo l form de dos expresiones lgerics seprds por el signo =. Vrile o incógnit: Es un símolo destindo ser sustituido en l ecución por un elemento del conjunto donde se uscn ls soluciones. Resolver un ecución: Signific encontrr tods los vlores de sus vriles pr los cules l ecución se trnsform en un iguldd numéric verdder. Solución de un ecución: Es el vlor (ríz o cero) de l vrile que stisfce l ecución, es decir, trnsform l ecución en un iguldd numéric verdder. Conjunto solución de un ecución: Es el conjunto formdo por tods ls soluciones de l ecución. Ecuciones equivlentes: Son ecuciones que tienen el mismo conjunto solución. Proceso de resolución de un ecución: Consiste en sustituir l ecución originl por otr equivlente que teng el mismo conjunto de soluciones, y que se más fácil de resolver. Verificción de un solución: Pr verificr si un solución es correct, hy que sustituir l vrile (o ls vriles) por est solución en mos miemros de l ecución, clculrlos y corroorr que son igules numéricmente. Operciones permitids en l resolución de ecuciones: Reducir correctmente un ecución ecuciones más sencills signific no perder soluciones ni dquirir soluciones extrñs. Ls tres operciones permitids que grntizn l equivlenci son: 1. Se puede sumr (o restr) el mismo polinomio (de) mos miemros de un ecución, cundo este tiene l mism vrile de l ecución originl, y l nuev ecución que result es equivlente l originl.. Se puede multiplicr o dividir mos miemros de un ecución por l mism cntidd diferente de cero, y l nuev ecución que result es equivlente l originl. 3. Se puede reemplzr culquier de los dos miemros de un ecución por un expresión igul (equivlente), y l nuev ecución que result es equivlente l originl. Operciones riesgoss en l resolución de ecuciones: Se presentn continución lguns operciones peligross en l resolución de ecuciones: 1. Multiplicr mos miemros de un ecución por un expresión que contiene l vrile.. Dividir mos miemros de un ecución por un expresión que contiene l vrile. 3. Elevr mos miemros de un ecución potenci de igul exponente. Al plicr ls operciones 1 y 3 se ensnch el conjunto solución, y por lo tnto precen soluciones extrñs; l plicr l operción, se estrech el conjunto solución, y por lo tnto desprecen soluciones. Ecución de primer grdo: Un ecución de primer grdo en l vrile x (ecución linel), es un ecución que se x + = con R, R. puede escriir jo l siguiente form { } 1
Proceso de resolución de un ecución de primer grdo: Pso 1: Clcul el Conjunto de Vlores Admisiles (CVA) pr los cules tienen sentido mos miemros de l ecución. Pso : Suprime denomindores (si los hy) multiplicndo mos miemros de l ecución por el Mínimo Común Múltiplo de los denomindores. Pso 3: Reduce los dos miemros de l ecución resultnte. Pso 4: Agrup en el miemro izquierdo de l ecución los términos que contienen l incógnit, y en el otro miemro los que no l contienen. Pso 5: Reduce mos miemros de l ecución derivd. Pso 6: Divide mos miemros por el coeficiente de l incógnit pr otener l solución. Pso 7: Verific que l solución otenid pertenece l CVA. Resolución de un ecución de primer grdo con un incógnit en el conjunto de los números reles R x R / x + = x + = = S = S = { } = S = S = R Ecuciones que se reducen l resolución de ecuciones de primer grdo: A(x) = Ecución de l form A(x)B(x)C(x) = B(x) =. Si S A, S B, S C representn los conjuntos solución de C(x) = cd un de ls tres ecuciones, se tiene entonces que el conjunto solución S de l ecución originl es S = S U S U S. A B C Ecución de l form A(x) = A(x) = B(x) con B(x) Ecución de segundo grdo: Un ecución de segundo grdo en l vrile x es un ecución que se puede x + x + c = con R, R, c R. escriir jo l siguiente form { } Proceso de resolución de un ecución de segundo grdo: Pso 1: Identific los vlores de, y c. Pso : Clcul el Discriminnte = 4c. Pso 3: Determin el Conjunto Solución S de l ecución como sigue: Si <, entonces l ecución no tiene soluciones en el conjunto de los números reles, y se tiene que el conjunto solución es S =. Si =, entonces l ecución tiene un ríz rel dole, es decir que x1 = x =, y se tiene que el conjunto solución es S =. + Si >, entonces l ecución tiene dos ríces reles distints x1 = y x1 =, y se + tiene que el conjunto solución es S =,.
Es importnte recordr que cundo el Discriminnte es positivo o nulo, se tiene que: c El producto P de ls ríces es P = x1x =. L sum S de ls ríces es S = x1 + x =. Uno de los errores más comunes en l resolución de ecuciones de segundo grdo, es olvidr que en l solución el vlor de está precedido del signo negtivo. Si l resolver un ecución de segundo grdo los vlores de y c tienen signos opuestos, entonces se se que l ecución tiene dos ríces reles distints, en vist de que = 4c >. Resolución de un ecución de segundo grdo con un incógnit en el conjunto de los números reles R { } x R / x x c ( R, R, R) + + = = 4c < = > S = Proceso de fctorizción de un trinomio de segundo grdo: Pso 1: Resuelve P(x) =. Pso : Fctoriz P(x) = x + x + c como sigue: Signo de Escritur de P(x) = x + x + c < = x + x + c = x + + x + x + c = x + = (x x 1) +, + > x + x + c = x x = (x x 1) (x x ) x si x < Vlor soluto: Si x R, el vlor soluto de x, designdo por x, se define como sigue x = si x =. Propieddes del vlor soluto: x si x > 1. =. = 3. 4. 5. 6. = 7. + + 8. + 9. = 1. (, ) = 11. x = ( ) x = ± 1. (,/ ) = 13. (, / ) = x x 14. x ( ) x 15. x ( ) x ó x x x 3
Resolución de ecuciones con vlor soluto: P(x) = Q(x) con P(x) S1 P(x) = Q(x) S = S1 U S P(x) = Q(x) con P(x) < S [ ][ ] P(x) = Q(x) P(x) = Q(x) P (x) = Q (x) P (x) Q (x) = P(x) Q(x) P(x) + Q(x) = Oservciones: P(x) Q(x) = P(x) = Q(x) S1 S = S S P(x) + Q(x) = P(x) = Q(x) S 1 U Siempre que se utiliz el símolo {, se trt de l resolución de un sistem, y el conjunto solución S de dicho sistem es l intersección de los conjuntos solución de cd un de ls expresiones que hcen prte del sistem, es decir, los elementos comunes todos ellos. Siempre que se utiliz el símolo [, no se trt de l resolución de un sistem, y el conjunto solución S es l unión de los conjuntos solución de cd un de ls expresiones. OPREACIÓN CON LA CALCULADORA: Cundo se ctiv el menú secundrio Avnzdo del menú desplegle Acción, prece el comndo [solve] relciondo con l resolución de ecuciones. El primer comndo [solve], como lo indic l pntll djunt, permite resolver ecuciones (Ecu) en el conjunto de los números reles y en el conjunto de los números complejos. Sintxis del comndo [solve]: solve(ecución,vrile) Si se omite el nomre de l vrile de resolución después de Ecución, es implícito que es l vrile x. Cundo se ctiv el menú secundrio Ecución/Desiguldd del menú desplegle Acción, prece el comndo [solve] relciondo con l resolución de ecuciones. El primer comndo [solve], como lo indic l pntll djunt, permite resolver ecuciones (Ecu) en el conjunto de los números reles y en el conjunto de los números complejos. Sintxis del comndo [solve]: solve(ecución,vrile) Si se omite el nomre de l vrile de resolución después de Ecución, es implícito que es l vrile x. cc Como se puede oservr el menú secundrio Ecución/Desiguldd permite tener cceso diferentes comndos: [rewrite], [exchnge], [eliminte], [sexpnd], [ndconnect], [getright], [getleft], [nd], [or], [xor], y [not] como lo muestr l figur nterior, los cules serán muy útiles en el proceso de resolución de sistems de ecuciones. 4
Oservciones: El comndo [solve] de los sumenús Avnzdo y Ecución/Desiguldd es tmién disponile en el tecldo de ctálogo [ct] del tecldo virtul. Presione l tecl [Keyord] pr ctivr el tecldo virtul, seguidmente toque l lengüet [ct] pr ctivr el tecldo de ctálogo y medinte los otones de desplzmiento y seleccione l letr S y deslice el cursor medinte ls flechs de desplzmiento y hst identificr el comndo indicdo [solve] (somredo) y presione seguidmente l tecl [INTRO] pr introducirlo en l pntll. El comndo [rewrite] hce psr todos los elementos del ldo derecho de l ecución l ldo izquierdo, y en consecuenci trnsform el ldo derecho en cero. Sintxis del comndo [rewrite]: rewrite(ecución) El comndo [exchnge] intercmi los elementos del ldo derecho de l ecución con los elementos del ldo izquierdo. 5 = + = Sintxis del comndo [exchnge]: exchnge(ecución) = = El comndo [eliminte] despej un vrile de un ecución (Ecu ), y sustituye el resultdo en otr ecución (Ecu 1). Sintxis del comndo [eliminte]: exchnge(ecu 1,vrile,Ecu ) El comndo [sexpnd] elimin el vlor soluto de un ecución. Sintxis del comndo [sexpnd]: sexpnd(ecución) El comndo [ndconnect] comin dos expresiones en un sol expresión. Sintxis del comndo [ndconnect]: ndconnect(ecu 1,Ecu ) El comndo [getright] extre el ldo derecho de un ecución. Sintxis del comndo [getright]: getright(ecución) El comndo [getleft] extre el ldo izquierdo de un ecución. Sintxis del comndo [getleft]: getleft(ecución) El comndo [nd] devuelve el resultdo del operdor lógico nd ( ) de dos expresiones. Sintxis del comndo [nd]: Expresión1 nd Expresión El comndo [or] devuelve el resultdo del operdor lógico or inclusivo ( ) de dos expresiones. Sintxis del comndo [or]: Expresión1 or Expresión f(x) = f(x) = f(x) =
El comndo [xor] devuelve el resultdo del operdor lógico or exclusivo ( ) de dos expresiones. Sintxis del comndo [xor]: Expresión1 xor Expresión El comndo [not] devuelve el resultdo del operdor lógico not ( ) de un expresión. Sintxis del comndo [not]: not(expresión) Oservción: Si l ecución resolver depende de un sol vrile diferente de l vrile x, y se omite el nomre de l vrile después de Ecución, entonces prece en l líne de slid el mensje No Solution. Cómo resolver un ecución de primer grdo con un incógnit? 1. Resuelve en el conjunto de los números reles l siguiente ecución 1 1 =. x 7 3x + 8 (1) Presione l tecl [ON/OFF] y ctive l Aplicción Principl tocndo el icono del pnel de iconos. () Toque [Edit] / [Borrr todo] / [Acep.] pr limpir el áre de trjo. (3) Presione l tecl [Keyord] pr ctivr el tecldo virtul y toque l lengüet [D] pr cceder l tecldo mtemático nturl. (4) Toque [Acción] / [Avnzdo] / [solve] y seguidmente [ ] / [1] / [ ] / [x] / [ ] / [7] / [ ] / [ ] / [ ] / [1] / [ ] / [3] / [x] / [+] / [8] / [Ejec] pr introducir l expresión lgeric rcionl del primer miemro de l ecución, y prece en l líne de 15 slid el conjunto solución S de l ecución:. El comndo [solve] resuelve exp resión = por defecto con respecto l vrile x y present el conjunto solución S jo l form nlític.. Resuelve en el conjunto de los números reles l siguiente ecución x 5x = x. 3 1 7 (5) Toque [Edit] / [Borrr todo] / [Acep.] pr limpir el áre de trjo. (6) Toque [Acción] / [Avnzdo] / [solve] y seguidmente [ ] / [x] / [ ] / [3] / [ ] / [ ] / [ ] / [5] / [x] / [ ] / [] / [1] / [ ] / [=] / [] / [ ] / [ ] / [x] / [ ] / [7] / [Ejec] pr introducir l ecución resolver en el conjunto de los números reles, y prece en 4 l líne de slid el conjunto solución S de l ecución:. El comndo 5 [solve] resuelve l ecución por defecto con respecto l vrile x y present el conjunto solución S jo l form nlític. 6
3. Resuelve en el conjunto de los números reles l siguiente ecución 3x 5 = (x 1) + x. (7) Toque [Edit] / [Borrr todo] / [Acep.] pr limpir el áre de trjo. (8) Toque [Acción] / [Avnzdo] / [solve] y seguidmente [3] / [x] / [ ] / [5] / [=] / [] / [(] / [x] / [ ] / [1] / [)] / [+] / [x] / [Ejec] pr introducir l ecución resolver en el conjunto de los números reles, y prece en l líne de slid el conjunto solución S de l ecución:. 4. Resuelve en el conjunto de los números reles l siguiente ecución x + 5 x + 1 = 3 x 15 x. (9) Toque [Edit] / [Borrr todo] / [Acep.] pr limpir el áre de trjo. (1) Toque [Acción] / [Avnzdo] / [solve] y seguidmente [ ] / [x] / [ ] / [] / [ ] / [+] / [5] / [ ] / [] / [x] / [+] / [1] / [] / [=] / [3] / [] / [ ] / [x] / [ ] / [1] / [5] / [ ] / [ ] / [x] / [ ] / [] / [Ejec] pr introducir l ecución resolver en el conjunto de los números reles, y prece en l líne de slid el conjunto solución S de l ecución: R. 6 3y 5. Resuelve en el conjunto de los números reles l siguiente ecución 1+ = y y. (11) Toque [Edit] / [Borrr todo] / [Acep.] pr limpir el áre de trjo. (1) Toque [Acción] / [Avnzdo] / [solve] y seguidmente [1] / [+] / [ ] / [6] / [ ] / [y] / [ ] / [] / [ ] / [=] / [ ] / [3] / [y] / [ ] / [y] / [ ] / [] / [Ejec] pr introducir l ecución rcionl resolver en el conjunto de los números reles, y prece en l líne de slid el conjunto solución S de l ecución:. Cómo resolver un ecución que se reduce un ecución de primer grdo con un incógnit? 6. Resuelve en el conjunto de los números reles l siguiente ecución (x 1)(3x + 1)(x ) =. (13) Toque [Edit] / [Borrr todo] / [Acep.] pr limpir el áre de trjo. (14) Toque [Acción] / [Avnzdo] / [solve] y seguidmente [(] / [x] / [ ] / [1] / [)] / [(] / [3] / [x] / [+] / [1] / [)] / [(] / [x] / [ ] / [] / [)] / [=] / [] / [Ejec] pr introducir l ecución resolver en el conjunto de los números reles, y prece en l líne de slid el 1 conjunto solución S de l ecución: 1,, 3. 7. Resuelve en el conjunto de los números reles l siguiente ecución (15) Toque [Edit] / [Borrr todo] / [Acep.] pr limpir el áre de trjo. x 9 =. x x 6 (16) Toque [Acción] / [Avnzdo] / [solve] y seguidmente [ ] / [x] / [^] / [] / [ ] / [9] / [ ] / [x] / [^] / [] / [ ] / [x] / [ ] / [6] / [ ] / [=] / [] / [Ejec] pr introducir l ecución resolver en el conjunto de los números reles, y prece en l líne de slid el 3. conjunto solución S de l ecución: { } 7
Cómo resolver un ecución de segundo grdo con un incógnit? 8. Resuelve en el conjunto de los números reles l siguiente ecución (17) Toque [Edit] / [Borrr todo] / [Acep.] pr limpir el áre de trjo. x 1x 14 =. (18) Toque [Acción] / [Avnzdo] / [solve] y seguidmente [x] / [^] / [] / [ ] / [1] / [] / [x] / [ ] / [1] / [4] / [=] / [] / [Ejec] pr introducir l ecución resolver en el conjunto de los números reles, y prece en l líne de slid el conjunto solución S de l 1,7. ecución: { } 9. Resuelve en el conjunto de los números reles l siguiente ecución (19) Toque [Edit] / [Borrr todo] / [Acep.] pr limpir el áre de trjo. x 9 + = x. 16 () Toque [Acción] / [Avnzdo] / [solve] y seguidmente [] / [x] / [^] / [] / [+] / [ ] / [9] / [ ] / [1] / [6] / [ ] / [=] / [x] / [Ejec] pr introducir l ecución resolver en el conjunto de los números reles, y prece en l líne de slid el conjunto solución S de l ecución:. (1) Toque [Edit] / [Borrr todo] / [Acep.] pr limpir el áre de trjo. () Toque [Acción] / [Avnzdo] / [solve] y seguidmente [] / [x] / [^] / [] / [+] / [ ] / [9] / [ ] / [1] / [6] / [ ] / [=] / [x] / [Ejec] pr introducir l ecución resolver en el conjunto de los números complejos, y prece en l líne de slid el conjunto 14i 1 14i solución S de l ecución: +, +. 8 4 8 4 1. Resuelve en el conjunto de los números reles l siguiente ecución (3) Toque [Edit] / [Borrr todo] / [Acep.] pr limpir el áre de trjo. 9x 6x + 1 =. (4) Toque [Acción] / [Avnzdo] / [solve] y seguidmente [9] / [x] / [^] / [] / [ ] / [6] / [x] / [+] / [1] / [=] / [] / [Ejec] pr introducir l ecución resolver en el conjunto de los números reles, y prece en l líne de slid el conjunto solución S de l 1 ecución: 3. El estudio del proceso de resolución de ecuciones irrcionles, exponenciles, logrítmics y trigonométrics se desrrollrá en los próximos Cómo...?. 11. Determin en el conjunto de los números reles el conjunto solución S de cd un de ls siguientes ecuciones: 1) (3 x) 9 3x x + 7x + + 5 5x 4(x 1) 5 = + ) x + 1 x 1 3x 1 x 1 = 14 4 1 3 x 1 x 1 x 1 + + 8
3) x + 4 x + 3 = x 3 x + 4 4) (x 1)(x + ) x + 3 (3x + 1)(x 3) = 3 7 1 1. Determin según los vlores del prámetro rel m el conjunto solución S de cd un de ls siguientes ecuciones: 1) (m 1)x m(x 1) = m + 3 ) (m + )x (m 1)x + 4 = 3) 3 1 4 + = x + m m x + m 13. Determin según los vlores de los prámetros reles y el conjunto solución S de cd un de ls siguientes ecuciones: 1) 4x + x + 5(x 1) = ) 3 6 3 (x + ) = (x + ) 3) x + (3 )x 6 = 9