Introducción al Álgebra

8 _ 001-01.qd 1//07 09: Págin 01 Introducción l Álgebr INTRODUCCIÓN Aunque los lumnos y hn estudido el lenguje numérico y lgebrico, se presentn por primer vez en est unidd situciones en ls que se plicn de form direct este tipo de epresiones. Este hecho v suponer un esfuerzo significtivo en el rzonmiento bstrcto de los lumnos, por lo que hy que introducir grdulmente el uso de letrs por números, proimándose estos conceptos con ejemplos sencillos y de l vid cotidin hst que se generlice el procedimiento. Relizr con gilidd ls operciones ritmétics con números nturles y enteros servirá de poyo pr sumr, restr, multiplicr y dividir monomios. Métodos tles como los de ensyo-error y el cálculo mentl reforzrán ls operciones con monomios. L resolución de ecuciones de primer grdo es uno de los objetivos de l unidd. Primero se resolverán ecuciones sencills por tnteo y, posteriormente, se utilizrán ls regls básics pr resolver ecuciones más complejs. RESUMEN DE LA UNIDAD El lenguje numérico epres l informción mtemátic solo con números. El lenguje lgebrico epres l informción mtemátic medinte números y letrs. Un epresión lgebric es un conjunto de números y letrs unidos por los signos de ls operciones ritmétics. El vlor numérico de un epresión lgebric es el número que se obtiene l sustituir ls letrs por números y operr. Los monomios son epresiones lgebrics formds por productos de letrs y números. El grdo de un monomio es l sum de los eponentes de ls letrs que lo formn. Unpolinomio es l sum lgebric de monomios. Un ecución es un iguldd lgebric que solo se verific pr lgún vlor de ls letrs. Un ecución de primer grdo con un incógnit es un ecución que tiene un sol incógnit y su grdo es 1. OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS 1. Diferencir entre lenguje numérico y lgebrico. Lenguje numérico y lgebrico. Sustitución de letrs por números. Epresión de situciones de l vid cotidin medinte el lenguje lgebrico.. Utilizr y comprender ls epresiones lgebrics. Obtener el vlor numérico de un epresión lgebric. Epresiones lgebrics. Vlor numérico de un epresión lgebric. Lectur y comprensión de epresiones lgebrics. Obtención del vlor numérico de epresiones lgebrics.. Identificr monomios. Distinguir entre monomios y polinomios. Relizr operciones con monomios.. Comprender el significdo de iguldd, identidd y ecución. Monomios. Nomencltur. Monomios semejntes. Polinomios. Operciones con monomios: sum, rest, multiplicción y división. Concepto de iguldd, identidd y ecución. Términos y nomencltur. Identificción y reconocimiento de monomios y polinomios. Relizción de operciones ritmétics con monomios. Identificción y diferencición de igulddes, identiddes y ecuciones. ADAPTACIÓN CURRICULAR. Resolver ecuciones sencills de primer grdo. Ls ecuciones y su estructur. Nomencltur. Resolución de ecuciones por tnteo y regls práctics. Determinción de los miembros, incógnit y solución de un ecución. Uso de regls práctics pr resolver ecuciones. 01

8 _ 001-01.qd 1//07 09: Págin 0 OBJETIVO 1 DIFERENCIAR ENTRE LENGUAJE NUMÉRICO Y ALGEBRAICO NOMBRE: CURSO: FECHA: Potenci es l form brevid de escribir un multiplicción de fctores igules. n = (n veces) = Perímetro de un polígono es l medid de su contorno, es decir, l sum de sus ldos. Rectángulo: P = + b + + b Cudrdo: P = + + + b b Áre de un polígono es l medid de su superficie. Rectángulo: A = b Cudrdo: A = = Triángulo: A = b h b El lenguje que utilizmos hbitulmente se llm lenguje usul, y es con el que escribimos y/o hblmos. Tmbién usmos el lenguje numérico, en el que emplemos números y signos ritméticos. h b Lenguje usul Lenguje numérico L sum de dos más cutro es seis. + = Diez menos tres es siete. 10 = 7 Ocho dividido entre dos es cutro. 8 : = El cudrdo de tres es nueve. = 9 L mitd de doce es seis. 1 = 1 Epres ls siguientes frses con lenguje numérico. ) El triple de dos es seis. b) Veinte dividido entre cinco es cutro. c) Quince menos ocho es siete. d) El cubo de dos es ocho. e) L curt prte de doce es tres. f) L sum de once más nueve es veinte. g) Ctorce entre dos es siete. Además del lenguje escrito y el lenguje numérico, se utilizn letrs, normlmente minúsculs, pr designr un número culquier y pr sustituir números. El lenguje que utiliz letrs en combinción con números y signos se llm lenguje lgebrico. L prte de ls Mtemátics que estudi l relción entre números, letrs y signos se denomin Álgebr. Ls letrs más usules son:, y, z,, b, c, m, n, t, r, s, y representn culquier número. 0

8 _ 001-01.qd 1//07 09: Págin 0 Lenguje usul Lenguje numérico L sum de dos números. + b Un número umentdo en cutro uniddes. + El triple de un número. m Complet l siguiente tbl. LENGUAJE USUAL El doble de un número Un número disminuido en uniddes L mitd de un número El cudrdo de un número El triple de un número Un número umentdo en uniddes LENGUAJE ALGEBRAICO Escribe con lenguje numérico o lgebrico, según correspond. EXPRESIÓN LENG. NUMÉRICO LENG. ALGEBRAICO SE EXPRESA L sum de 1 y 0 Sí No 1 + 0 L diferenci entre y b El cudrdo de c L diferenci entre 1 y 9 El doble de El triple de y El doble de más dos uniddes Escribe ls frses en lenguje numérico o lgebrico, según correspond. EXPRESIÓN LENG. NUMÉRICO LENG. ALGEBRAICO SE EXPRESA L diferenci entre y b es igul 10 No Sí b = 10 Tres elevdo l cudrdo es igul 9 L curt prte de es L sum de diez y nueve es diecinueve El triple de diez veces y es igul doce El doble de nueve es 18 Tu edd hce cutro ños Tu edd dentro de cutro ños ADAPTACIÓN CURRICULAR 0

8 _ 001-01.qd 1//07 09: Págin 0 OBJETIVO OBTENER EL VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA NOMBRE: CURSO: FECHA: Un epresión lgebric es el conjunto de números y letrs combindos con los signos de ls operciones ritmétics: sum, rest, multiplicción, división y potencición. El áre de un cudrdo se obtiene multiplicndo l medid de sus ldos: A = l l = l El perímetro de un cmpo de fútbol es l sum de sus ldos (bnds): P = + y + + y + b + 1 + 1 ( + b) + y 1 Utiliz epresiones lgebrics pr epresr ls siguientes informciones. EXPRESIÓN ESCRITA El doble de l sum de dos números El áre de un cudrdo de ldo El cudrdo de un número más uniddes El perímetro de un cmpo de bloncesto (lrgo b y ncho ) El producto de tres números culesquier L mitd de un número El doble de un número más uniddes EXPRESIÓN ALGEBRAICA ( + y) Invent frses pr ests epresiones lgebrics. EXPRESIÓN ESCRITA EXPRESIÓN ALGEBRAICA + b m + ( b) + ( y) 0

8 _ 001-01.qd 1//07 09: Págin 0 El vlor numérico de un epresión lgebric es el número que result de sustituir ls letrs por números y relizr ls operciones que se indicn. Hll el vlor numérico de l epresión + 1, pr = 1. Primero hbrá que sustituir l de l epresión por el vlor que se indic: 1. 1 + 1 Relizmos l operción y obtenemos el resultdo, el vlor numérico: 1 + 1 = + 1 = Hll el vlor numérico de l epresión cundo tom los vlores. ) = 0 c) = 1 e) = 1 0 = 0 = b) = d) = f) = Clcul el vlor de ls epresiones pr estos vlores. Vlor de + 1 = 1 1 = = = 1 1 + 1 = = 1 + 1 = = = 1 = 0 = Vlor de y b b ( + b) = 0 b = 1 = 1 b = = 1 b = 0 1 = = 0 = (0 + 1) = = 1 = 1 ADAPTACIÓN CURRICULAR = b = = b = 0

8 _ 001-01.qd 9//07 1:9 Págin 0 OBJETIVO IDENTIFICAR MONOMIOS. REALIZAR OPERACIONES CON MONOMIOS NOMBRE: CURSO: FECHA: MONOMIOS Un monomio es l epresión lgebric más simple y está formd por productos de letrs y números. Los números se denominn coeficientes. Ls letrs se denominn prte literl. Ejemplos de monomios: ; ; ; ; y ; b MONOMIO COEFICIENTE PARTE LITERAL MONOMIO COEFICIENTE PARTE LITERAL b b REGLAS PARA ESCRIBIR MONOMIOS 1. El fctor 1 no se pone: 1 y es igul que y.. El eponente 1 no se indic: 1 y es igul que y.. El signo de multiplicción no se pone ni entre los números ni entre ls letrs: b es igul que b. 1 Complet ls siguientes tbls. MONOMIO COEFICIENTE PARTE LITERAL MONOMIO COEFICIENTE PARTE LITERAL b yz b c GRADO DE UN MONOMIO Los monomios se clsificn por grdos. El grdo de un monomio es el número que result de sumr todos los eponentes de l prte literl del monomio. MONOMIO GRADO EXPLICACIÓN 1 El eponente de es 1. y L sum de los eponentes de y 1 es. b L sum de los eponentes de 1 b 1 es. Complet l siguiente tbl. VALOR DE COEFICIENTE PARTE LITERAL GRADO EXPLICACIÓN DEL GRADO 1 bc 0 MATEMÁTICAS 1. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.

8 _ 001-01.qd 1//07 09: Págin 07 MONOMIOS SEMEJANTES Dos o más monomios son semejntes cundo tienen l mism prte literl. MONOMIOS PARTE LITERAL SON SEMEJANTES? Sí y y y y No Pr cd monomio escribe dos que sen semejntes y sus prtes literles. MONOMIO SEMEJANTE SEMEJANTE PARTE LITERAL b y z POLINOMIOS Un polinomio es un epresión lgebric formd por sums y/o rests de dos o más monomios no semejntes. Cd uno de los sumndos se denomin término. Un término puede tener coeficiente y prte literl, o solo coeficiente y/o prte literl. Eisten términos que solo tienen números, son los términos independientes. Los polinomios tmbién se pueden clsificr por grdos. El término de myor grdo determin el grdo del polinomio sumndo los eponentes de su prte literl. POLINOMIO TÉRMINOS T. INDEPENDIENTE GRADO DEL POLINOMIO + El grdo de es b + b b b No tiene El grdo de 1 b 1 es Complet l siguiente tbl. POLINOMIO TÉRMINOS T. INDEPENDIENTE GRADO DEL POLINOMIO ADAPTACIÓN CURRICULAR + 1 b b + 7y + y 07

8 _ 001-01.qd 1//07 09: Págin 08 Escribe un polinomio de grdo que teng dos términos y otro con tres términos. Indic el grdo de los siguientes monomios y polinomios. ) + + 1 c) 1 b) y d) + 8 SUMA Y RESTA DE MONOMIOS L sum o rest de monomios se puede relizr si son semejntes, es decir, si tienen l mism prte literl. El resultdo es otro monomio que tiene por coeficiente l sum o rest de los coeficientes y l mism prte literl. + = Son monomios semejntes. p + p = p L prte literl es p. = Son monomios semejntes. p p = p L prte literl es p. + = Son monomios no semejntes. p + g = p + g L sum se dej indicd. 7 Reliz ls siguientes operciones. ) + + + + + = d) = b) + = e) = c) b + b b = f) p + p + p = 8 Escribe dos monomios semejntes y súmlos. ) +... +... = c)... + +... = b)... +... + = d)... +... + y = 9 Escribe otro monomio semejnte y réstlos. )... = c) 8b... = b)... = d)... y = 10 Reduce ls siguientes epresiones. ) + + + = + b) 7 + = c) + + = d) 7b + b b + b b = e) y y + y + y + y + = f) + + 10 = 08

8 _ 001-01.qd 1//07 10:8 Págin 09 MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS L multiplicción entre monomios es otro monomio que tiene: Por coeficiente, el producto de los coeficientes (números). Por prte literl, el producto de ls prtes literles (letrs). Recuerd el producto de potencis de l mism bse, l multiplicción de números enteros y l regl de los signos. + +=+ + = = + = =+ += = = = 0 = = 0 = 11 Reliz ls siguientes operciones. ) = c) = e) = b) ( ) = d) ( ) ( ) = f) ( ) ( ) = 1 Oper y reduce, eliminndo los préntesis. Fíjte en el ejemplo. Ejemplo: ( ) = = F F ) ( + 1) = c) ( ) = b) ( + ) + = d) ( ) = DIVISIÓN DE MONOMIOS L división de dos monomios es otro monomio que tiene: Por coeficiente, el cociente de los coeficientes. Por prte literl, el cociente de ls prtes literles. Recuerd l división de potencis de l mism bse, l división de números enteros y l regl de los signos. + : + =+ +: = : = = : =+ : + = 8 8 1 1 = = = = 1 = 8 : = ; : = 1 = 1 : = ; : = = 0 = 1 ADAPTACIÓN CURRICULAR 1 Oper. ) b) c) d) 1 = = = y = 09

8 _ 001-01.qd 1//07 09: Págin 10 OBJETIVO COMPRENDER EL SIGNIFICADO DE IGUALDAD, IDENTIDAD Y ECUACIÓN NOMBRE: CURSO: FECHA: IGUALDAD Un iguldd es un epresión mtemátic seprd por un signo igul (=). Ls igulddes pueden ser: Numérics, si solo precen números: + = 7 o verdder + = 8 o fls Algebrics, si precen números y letrs: 10 + = 1 1 Escribe tres igulddes numérics y otrs tres lgebrics. Numérics Algebrics Indic si ls siguientes igulddes son verdders o flss. Rzon tus respuests. ) ( 7) + 1 = 1 + 10 b) 10 = 8 c) ( ) = (7 ) + 7 d) : = (10 ) (9 ) IDENTIDAD Un identidd es un iguldd lgebric (números y letrs) que se cumple pr culquier vlor de ls letrs. + = + b = b + Si = 1: 1 + 1 = 1; = Si = 1, b = : 1 + = + 1; = Comprueb que ls identiddes se cumplen; d vlores y verific l iguldd. ) + = b) b = b Di si son verdders o flss ls siguientes identiddes. ) + b = b + c) b = b e) + = b) + = d) = f) = 10

8 _ 001-01.qd 1//07 09: Págin 11 ECUACIÓN Un ecución es un iguldd lgebric que solo se cumple pr determindos vlores de ls letrs. + = 8 F Solo se cumple cundo tom el vlor : + = 8. Indic cuáles de ls epresiones son igulddes, identiddes o ecuciones. EXPRESIÓN TIPO + = 11 + = 1 + b = b + 7 + = 10 0 = + + = Hll mentlmente el vlor en ls siguientes ecuciones. EXPRESIÓN VALOR DE RAZONAMIENTO + = 7 = + = 7 11 = 9 = 1 10 = + 1 = 1 7 10 = Complet los huecos pr verificr ls ecuciones. )... + = 1 c)... = 11 e)... + 8 = 1 ADAPTACIÓN CURRICULAR b)... = d) 17 +... = 0 f)... = 1 11

8 _ 001-01.qd 1//07 09: Págin 1 OBJETIVO RESOLVER ECUACIONES SENCILLAS DE PRIMER GRADO NOMBRE: CURSO: FECHA: LAS ECUACIONES Y SU ESTRUCTURA Miembros Un ecución es un iguldd lgebric que está seprd por un signo igul (=). Este signo diferenci dos prtes en l ecución, llmds miembros, que contienen términos formdos por números y/o letrs. Primer miembro = Segundo miembro + = 1 Términos:, Término: 1 Incógnits L incógnit es el vlor que desconocemos y queremos hllr. Es un vlor numérico y se represent hbitulmente por ls letrs, y, z,, b. En l ecución + = 1, es l incógnit, el vlor que desconocemos. El término tiene grdo 1, = 1, por lo que ests ecuciones se denominn ecuciones de primer grdo con un incógnit. Solución L solución es el vlor numérico que debemos hllr pr que se verifique un ecución. En l ecución + = 1, = 7 es l solución de l ecución. Si sustituimos l incógnit por su vlor se verific l ecución: + 7 = 1. 1 Complet l siguiente tbl. ECUACIÓN PRIMER MIEMBRO SEGUNDO MIEMBRO TÉRMINOS INCÓGNITA GRADO 7 + = 0 18 = = 1 + 1 = 8 + Indic l solución de ls ecuciones. ) 7 + = 0 c) = b) 1 = 1 d) 18 = RESOLUCIÓN DE ECUACIONES Resolución por tnteo Este método utiliz el rzonmiento y l intuición pr probr vlores numéricos en enuncidos sencillos y obtener su solución. En l ecución: + = 1, l pregunt serí: Qué número sumdo d 1? Solución: = 7, y que 7 + = 1. 1

8 _ 001-01.qd 1//07 09: Págin 1 Complet l tbl. ECUACIÓN PREGUNTA SOLUCIÓN COMPROBACIÓN + 8 = 11 Qué número sumdo 8 d 11? = + 8 = 11 = 9 18 = = Clcul l solución por tnteo. ECUACIÓN SOLUCIÓN + 1 = 7 1 = = = 9 REGLAS PRÁCTICAS PARA RESOLVER ECUACIONES El objetivo de resolver ecuciones es encontrr y hllr l incógnit. Pr ello, debemos conseguir «dejrl sol», despejrl y encontrr el vlor numérico que verific l iguldd. 1.º Observmos l ecución. Detectmos en qué miembro/s está/n l/s incógnits/s..º Si los hubier, reducimos términos que sen semejntes (números y/o letrs)..º Pr despejr l incógnit debemos trnsponer los términos que compñn ls incógnits medinte operciones ritmétics. Si en los dos términos de un ecución se efectú l mism operción: sum, rest, multiplicción o división, l iguldd no vrí, y se obtiene otr equivlente..º Reducimos términos semejntes (números y/o letrs)..º Despejmos l incógnit y hllmos su vlor numérico. Resuelve l ecución + = 1. 1.º + = 1. Observmos que l incógnit está en el primer miembro..º No hy términos semejntes pr reducir..º + ( ) + = 1 + ( ). Despejmos. Trnsponemos, sumndo su opuesto ( ) en mbos miembros..º 0 + = 1. Reducimos términos semejntes..º = 7. Despejmos y hllmos el vlor numérico de l incógnit. ADAPTACIÓN CURRICULAR Resuelve ls siguientes ecuciones. ) + 10 = 1 b) 1 = + c) 7 = + 10 = 1 + 10 + ( 10) = 1 + ( 10) + 0 = 1 10 = 1

8 _ 001-01.qd 1//07 09: Págin 1 Hll l solución de ls ecuciones. ) 7 = 7 + (+7) + = + (+7) 7 + 7 = + 7 = 10 + (+) = 10 + (+) + = 10 = 10 10 = = Ls incógnits están en el primer y segundo miembro. No hy términos semejntes pr reducir. Agrupmos ls incógnits y los números por seprdo. Trnsponemos 7 sumndo su opuesto (+7) en mbos miembros. Reducimos términos semejntes. Trnsponemos sumndo su opuesto (+) en mbos miembros. Reducimos términos semejntes. Trnsponemos dividiendo entre en mbos miembros. Reducimos términos. Despejmos l incógnit y hllmos su vlor numérico. b) = 8 c) 8 = 1 7 Resuelve ests ecuciones. ) + + = 8 + b) + 8 = c) = 0 + 8 Complet l resolución de ls ecuciones, dndo prioridd ls operciones entre préntesis. ) ( ) = ( 1) b) + 8 = ( + ) 7 9 = + = + 1 7 1