Autómts Lengujes regulres Autómts no determinists Cerrdur Autómts finitos AUTÓMATAS Y LENGUAJES FORMALES LENGUAJES REGULARES Y AUTÓMATAS FINITOS Frncisco Hernández Quiroz Deprtmento de Mtemátics Fcultd de Ciencis, UNAM E-mil: fhq@ciencis.unm.mx Págin We: www.mtemtics.unm.mx/fhq Un utómt finito (DFA) está formdo por Un lfeto de entrd Σ Un conjunto finito de estdos Q Un estdo inicil s Q y un conjunto de estdos finles F Q Un función de trnsición δ : Q Σ Q Posgrdo en Cienci e Ingenierí de l Computción Frncisco Hernández Quiroz Autómts y Lengujes Formles Leng. regulres y utómts finitos / 64 Frncisco Hernández Quiroz Autómts y Lengujes Formles Leng. regulres y utómts finitos 2 / 64 Autómts Lengujes regulres Autómts no determinists Cerrdur Ejemplo Autómts Lengujes regulres Autómts no determinists Cerrdur Ejemplo 2 El utómt formdo por Σ = {,, c, d}, Q = {S,, 2, 3, F} y δ descrit por l siguiente tl: Q c d S 2 2 3 2 2 3 F F Y que cept el lenguje formdo por cdens que empiezn con, terminn con y enmedio tienen un número indetermindo de c y d. El utómt formdo por Σ = {, }, Q = {S,, 2, F} y δ descrit por l siguiente tl: Q S 2 2 F 2 F F F F Y que cept un lenguje cuy descripción es demsido lrg como pr ser comprensile. Frncisco Hernández Quiroz Autómts y Lengujes Formles Leng. regulres y utómts finitos 3 / 64 Frncisco Hernández Quiroz Autómts y Lengujes Formles Leng. regulres y utómts finitos 4 / 64
Autómts Lengujes regulres Autómts no determinists Cerrdur Representción gráfic Autómts Lengujes regulres Autómts no determinists Cerrdur Lengujes regulres c,d S 2 3 F Podemos mplir l función δ un función δ : Q Σ Q de l siguiente form. Sen q Q, Σ y α Σ : δ (q, ɛ) = q δ (q, α) = δ (δ(q, ), α) O lterntivmente S F, δ (q, ɛ) = q δ (q, α) = δ(δ (q, α), ) 2 Not: el lumno puede demostrr que ms definiciones son equivlentes. Frncisco Hernández Quiroz Autómts y Lengujes Formles Leng. regulres y utómts finitos 5 / 64 Frncisco Hernández Quiroz Autómts y Lengujes Formles Leng. regulres y utómts finitos 6 / 64 Autómts Lengujes regulres Autómts no determinists Cerrdur Autómts Lengujes regulres Autómts no determinists Cerrdur Un ejemplo ritmético El siguiente utómt cept el lenguje Ahor podemos definir el lenguje ceptdo por el utómt A = (Q, Σ, S, F, δ): L(A) = {α δ (S, α) F}. 0 {α {0, } α es un múltiplo de 3 en inrio} 0 0 2 Un lenguje L Σ es regulr sii exite un utómt finito A tl que L = L(A). 0 núm. representdo por el prefijo leído estdo del utómt 0 mód 3 0 mód 3 2 mód 3 2 Frncisco Hernández Quiroz Autómts y Lengujes Formles Leng. regulres y utómts finitos 7 / 64 Frncisco Hernández Quiroz Autómts y Lengujes Formles Leng. regulres y utómts finitos 8 / 64
Autómts Lengujes regulres Autómts no determinists Cerrdur Autómts Lengujes regulres Autómts no determinists Cerrdur Se #α el número denotdo por l cden inri α. Entonces δ (0, α) = #α mód 3 Demostrción. Primero #(αd) = 2(#α) + d d {0, } δ(q, d) = (2q + d) mód 3 Ahor, por inducción en α. Cso ásico δ (0, ɛ) = 0 definición de δ = #ɛ pues #ɛ = 0 = #ɛ mód 3 Hipótesis inductiv: δ (0, α) = #α mód 3. Por demostrr δ (0, αd) = δ(δ (0, α), d) = δ(#α mód 3, d) = (2(#α mód 3) + d) mód 3 = (2(#α) + d) mód 3 = #αd mód 3 Frncisco Hernández Quiroz Autómts y Lengujes Formles Leng. regulres y utómts finitos 9 / 64 Frncisco Hernández Quiroz Autómts y Lengujes Formles Leng. regulres y utómts finitos 0 / 64 Autómts Lengujes regulres Autómts no determinists Cerrdur Autómts no determinists Autómts Lengujes regulres Autómts no determinists Cerrdur Ejemplo Un utómt finito no determinist (NFA) puede elegir uno de vrios estdos posiles cundo lee un crácter. Además, tiene un conjunto de estdos iniciles S., L función de trnsición de un NFA es : Q Σ P(Q). L función nterior se extiende un función : P(Q) Σ P(Q) de est form: S, (A, ɛ) = A (A, α) = q (A,α) (q, ) 2, El lenguje ceptdo es {α (S, α) F } Frncisco Hernández Quiroz Autómts y Lengujes Formles Leng. regulres y utómts finitos / 64 Frncisco Hernández Quiroz Autómts y Lengujes Formles Leng. regulres y utómts finitos 2 / 64
Autómts Lengujes regulres Autómts no determinists Cerrdur Equivlenci con los DFA Se N = (Q, Σ,, S, F) un NFA y se D = (Q D, Σ, δ D, s D, F D ) el siguiente utómt DFA Q D = P(Q) δ D (A, ) = (A, ) s D = S F D = {A Q A F } Amos utómts ceptn el mismo lenguje. Autómts Lengujes regulres Autómts no determinists Cerrdur Demostrción. Los tres lems siguientes (A, αβ) = ( (A, α), β) ( A i, α) i = (A i, α) i δd (A, α) = (A, α) se demuestrn por inducción sore β, α y α, en ese orden. Entonces, L(N) = L(D): α L(D) sii δ (s D, α) F D sii (S N, α) F N sii α L(N) Frncisco Hernández Quiroz Autómts y Lengujes Formles Leng. regulres y utómts finitos 3 / 64 Frncisco Hernández Quiroz Autómts y Lengujes Formles Leng. regulres y utómts finitos 4 / 64 Autómts Lengujes regulres Autómts no determinists Cerrdur Trnsiciones ɛ Autómts Lengujes regulres Autómts no determinists Cerrdur Ejemplo Un utómt finito no determinist con trnsiciones-ɛ es un quintet N = (Q, Σ,, S, F), igul un NFA slvo que ɛ : Q (Σ {ɛ}) P(Q). S ɛ Ahor es posile trnsitr de un estdo otro sin consumir símolos. se define sí, 3 (A, ɛ) = A q A (q, ɛ) (A, α) = q (A,α) (q, ) r (q,ɛ) q (A,α) (r, ) S 2, 2, Frncisco Hernández Quiroz Autómts y Lengujes Formles Leng. regulres y utómts finitos 5 / 64 Frncisco Hernández Quiroz Autómts y Lengujes Formles Leng. regulres y utómts finitos 6 / 64
Autómts Lengujes regulres Autómts no determinists Cerrdur NFA-ɛ es equivlente NFA Autómts Lengujes regulres Autómts no determinists Cerrdur Vrios estdos finles e iniciles Se N = (Q, Σ,, S, F) un NFA-ɛ, y se q Q. Definimos l cerrdur-ɛ de q Se N = (Q, Σ,, S, F ), con 0 ɛ(q) = {q} n+ ɛ (q) = (r, ɛ) r n ɛ (q) ɛ(q) = n ɛ(q) n N (q, ) = (q, ) r ɛ (q) (r, ) F = {q ɛ(q) F } L introducción de trnsiciones-ɛ permite trnsformr utómts con vrios estdos iniciles o finles en utómts con un solo estdo inicil o finl. Est técnic será útil más delnte. Clrmente, L(N) = L(N ) Frncisco Hernández Quiroz Autómts y Lengujes Formles Leng. regulres y utómts finitos 7 / 64 Frncisco Hernández Quiroz Autómts y Lengujes Formles Leng. regulres y utómts finitos 8 / 64 Autómts Lengujes regulres Autómts no determinists Cerrdur Propieddes de cerrdur Los conjuntos regulres son cerrdos jo ls operciones de: Unión Intersección Complemento Conctención Estrell de Kleene Not: en ls demostrciones siguientes se supondrá que los utómts son completos, i.e., que l función δ no es prcil. Autómts Lengujes regulres Autómts no determinists Cerrdur Demostrción de cerrdur jo Sen D = (Q, Σ, δ, s, F ) y D 2 = (Q 2, Σ, δ 2, s 2, F 2 ) dos DFA. Construiremos un D DFA tl que Definimos D = (Q, Σ, δ, s, F) donde L(D) = L(D ) L(D 2 ). Q = Q Q 2 s = (s, s 2 ) F = (Q F 2 ) (F Q 2 ) δ((q, q 2 ), ) = (δ (q, ), δ(q 2, )) Se puede demostrr por inducción en α que α L(D) sii α L(D ) o ien α L(D 2 ). Frncisco Hernández Quiroz Autómts y Lengujes Formles Leng. regulres y utómts finitos 9 / 64 Frncisco Hernández Quiroz Autómts y Lengujes Formles Leng. regulres y utómts finitos 20 / 64
Autómts Lengujes regulres Autómts no determinists Cerrdur Cerrdur jo y complemento Autómts Lengujes regulres Autómts no determinists Cerrdur Cerrdur jo conctención y estrell de Kleene Intersección Se construye un utómt como en el cso de, slvo que F = F F 2. Complemento Se A = (Q, Σ, δ, s, F) un DFA. Se Ā = (Q, Σ, δ, s, Q F). Clrmente L(Ā) = Σ L(A). Sen A = (Q A, Σ, δ A, s A, F A ) y B = (Q B, Σ, δ B, s B, F B ) dos DFA. El utómt C = (Q C, Σ, C, S C, F C ) se construye de l siguiente form: Q C = Q A Q B S C = {s A } F C = F B (q, ) = {δ A (q, )} si q Q A (q, ) = {δ B (q, )} si q Q B (q, ɛ) = {s B } si q F A C es un NFA-ɛ tl que L(C) = L(A)L(B). Pr construir A tl que L(A ) = L(A), se ñden trnsiciones-ɛ de los estdos en F A s A. Frncisco Hernández Quiroz Autómts y Lengujes Formles Leng. regulres y utómts finitos 2 / 64 Frncisco Hernández Quiroz Autómts y Lengujes Formles Leng. regulres y utómts finitos 22 / 64 Expresiones regulres Ptrones Grmátics Equivlencis Definiciones lterntivs de lengujes regulres Expresiones regulres Ptrones Grmátics Equivlencis Expresiones regulres Existen otrs forms de definir los lengujes regulres: Expresiones regulres Ptrones Grmátics lineles Ls expresiones regulres son un form muy compct de definir lengujes. El lenguje generdo por l expresión α es L(α). He quí un definición inductiv: Si Σ entonces es un expresión regulr y L() = {}. y ɛ son expresiones regulres con L( ) = y L(ɛ) = {ɛ} Ls expresiones regulres α y β genern ls expresiones y lengujes: α + β L(α + β) = L(α) L(β) α β L(α β) = L(α)L(β) α L(α ) = L(α) Frncisco Hernández Quiroz Autómts y Lengujes Formles Leng. regulres y utómts finitos 23 / 64 Frncisco Hernández Quiroz Autómts y Lengujes Formles Leng. regulres y utómts finitos 24 / 64
Expresiones regulres Ptrones Grmátics Equivlencis Ejemplos Expresiones regulres Ptrones Grmátics Equivlencis Ptrones Los números nturles en notción deciml: 0 + (( + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9) (0 + + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9) ) Ls fórmuls tómics del cálculo proposicionl: (p + q + r) + ((p + q + r) N) donde N se refiere l expresión del ejemplo nterior. Ls cdens del lfeto {,, c} con l menos un prición de cd un de ls tres letrs: (AAAcA)+(AAcAA)+(AAAcA)+(AcAAA)+(AcAAA)+(AAcAA) donde A es l expresión ( + + c). Los ptrones son otr form muy común. Tmién se definen inductivmente:, y ɛ son igules que en ls expresiones regulres #, con L(#) = Σ @, con L(@) = Σ Los ptrones α y β genern los ptrones y lengujes: α + β L(α + β) = L(α) L(β) α β L(α β) = L(α) L(β) αβ L(αβ) = L(α)L(β) α L( α) = Σ L(α) α L(α ) = L(α) α + L(α + ) = L(α) + Frncisco Hernández Quiroz Autómts y Lengujes Formles Leng. regulres y utómts finitos 25 / 64 Frncisco Hernández Quiroz Autómts y Lengujes Formles Leng. regulres y utómts finitos 26 / 64 Expresiones regulres Ptrones Grmátics Equivlencis Ejemplos Expresiones regulres Ptrones Grmátics Equivlencis Grmátics lineles Ls cdens que contienen priciones de, y c, en ese orden, pero no necesrimente consecutivs: @@@c@ Ls cdens del lfeto {,, c} slvo ls que son repeticiones consecutivs de l cden c: ((c) + ). Culquier símolo del lfeto seguido de culquier cden menos ls repeticiones consecutivs de o cd: # (() + + (cd) + ). Recordtorio. Un grmátic es G = Σ, Γ, S,. Sen A, B Γ y α Σ. Si tods ls regls de G tienen un de ls siguientes dos forms A αb o ien A α se trt de un grmátic linel por l derech. Si tods ls regls de G son de lgun de ls dos forms A Bα o ien A α es un grmátic linel por l izquierd. Frncisco Hernández Quiroz Autómts y Lengujes Formles Leng. regulres y utómts finitos 27 / 64 Frncisco Hernández Quiroz Autómts y Lengujes Formles Leng. regulres y utómts finitos 28 / 64
Expresiones regulres Ptrones Grmátics Equivlencis Ejemplos Expresiones regulres Ptrones Grmátics Equivlencis Equivlenci entre ptrones y expresiones regulres I L grmátic G N = {0,... 9}, {S, N}, S, con regls de producción S 0 N 2N 9N N 0N N... 9N ɛ, gener los números nturles en notción deciml. L grmátic G P = {p, q, r, 0,... 9}, {S, S, N}, S, con ls siguientes regls dicionles ls del ejemplo nterior: S p q r ps qs rs Pr todo ptrón α, existe un expresión regulr β tl que L(α) = L(β). Demostrción. Por inducción en α. Primero los csos ásicos:, ɛ,, # y @. Los tres primeros tienen expresiones regulres equivlentes ovis. En cunto # y @, si Σ = {c,..., c m }, entonces L(#) = L(c + + c m ) y L(@) = L((c + + c m ) ) Hipótesis inductiv. Supongmos que ddos los ptrones α y β, existen expresiones regulres γ y η tles que gener ls fórmuls tómics del cálculo de proposiciones. L(α) = L(γ) L(β) = L(η) Frncisco Hernández Quiroz Autómts y Lengujes Formles Leng. regulres y utómts finitos 29 / 64 Frncisco Hernández Quiroz Autómts y Lengujes Formles Leng. regulres y utómts finitos 30 / 64 Expresiones regulres Ptrones Grmátics Equivlencis Equivlenci entre ptrones y expresiones regulres II Expresiones regulres Ptrones Grmátics Equivlencis Equivlenci entre expresiones regulres y utómts Procedemos pror los csos inductivos con los operdores +, conctención,, + y. Los tres primeros son ovios, pues tmién se encuentrn presentes en ls expresiones regulres. En cunto +, st oservr que α + es equivlente αα. L prue del ptrón α se dej pendiente. Finlmente, el ptrón α β es equivlente l ptrón ( α+ β), el cul qued cuierto por los csos nteriores. Not. L firmción invers es trivilmente ciert. Pr tod expresión regulr α, existe un utómt finito A tl que L(α) = L(A). L demostrción se hrá por inducción en α. Csos ásicos. Pr ls expresiones, ɛ y, se tienen los siguientes utómts: S F S S Csos inductivos. Y se estudió cómo construir utómts que cepten l unión, l conctención y l estrell de Kleene de lengujes regulres. Frncisco Hernández Quiroz Autómts y Lengujes Formles Leng. regulres y utómts finitos 3 / 64 Frncisco Hernández Quiroz Autómts y Lengujes Formles Leng. regulres y utómts finitos 32 / 64
Expresiones regulres Ptrones Grmátics Equivlencis Equivlenci entre utómts y expresiones regulres I Expresiones regulres Ptrones Grmátics Equivlencis Equivlenci entre utómts y expresiones regulres II Se N = (Q, Σ,, S, F) NFA y sen X Q y p, q Q. Definiremos un expresión regulr α X pq tl que L(α X pq) = {β q ({p}, β) y el cmino ps sólo por estdos en X}. Por inducción en X. Sen,... k todos los símolos de Σ tles que q (p, i ). Si p q { αpq + + = k k k = 0 Si p = q α pq = { + + k + ɛ k ɛ k = 0 Si X, se r X α X pq = α X {r} pq + α X {r} pr (α X {r} rr ) α X {r} rq. Finlmente, si s,..., s n S y f,..., f m F, entonces L(N) = L( n i= m α Q s i f j ) j= Frncisco Hernández Quiroz Autómts y Lengujes Formles Leng. regulres y utómts finitos 33 / 64 Frncisco Hernández Quiroz Autómts y Lengujes Formles Leng. regulres y utómts finitos 34 / 64 Expresiones regulres Ptrones Grmátics Equivlencis Equivlenci entre grmátics lineles y utómts I Se G = Σ, Γ, S, un grmátic linel por l derech. Se N NFA-ɛ el siguiente utómt: Entonces Q = {α V Γ, β Σ Γ V βα} {[S]} ([V], ɛ) = {[α] V α} si V Γ ([α], ) = {α} si Σ α Σ Σ Γ {[S]} = estdos iniciles {[ɛ]} = estdos finles. [α] ([S], γ) sii S ηv ηθα. Demostrción. Inducción en. A prtir de este resultdo, es clro que Expresiones regulres Ptrones Grmátics Equivlencis Equivlenci entre grmátics lineles y utómts II A l invers, se A = (Q, Σ, δ, s, F) DFA. Se G = Σ, Q, s, un grmátic con producciones de l form Entonces q r sii δ(q, ) = r q sii δ(q, ) F δ (q, α) = r sii q G αr L(N) = L(G). Frncisco Hernández Quiroz Autómts y Lengujes Formles Leng. regulres y utómts finitos 35 / 64 Frncisco Hernández Quiroz Autómts y Lengujes Formles Leng. regulres y utómts finitos 36 / 64
Teorem del omeo Aplicciones Un lenguje no regulr I Teorem del omeo Aplicciones Un lenguje no regulr II El lenguje { n n } no es regulr. Supongmos que lo es y que A es un utómt determinist con k estdos y L(A) = { n n }. Se l cden m m, con m > k. Durnte su lectur, el utómt dee her psdo l menos dos veces por un mismo estdo (hy menos estdos que copis de ). Se q este estdo repetido. Entonces: δ (s, i ) = q i < m δ (q, j ) = q j 0 δ (q, r m ) = f F i + j + r = m. Como A es determinist, tenemos que pr tod p N δ (q, jp ) = q y en consecuenci δ (s, i jp r m ) = f F Frncisco Hernández Quiroz Autómts y Lengujes Formles Leng. regulres y utómts finitos 37 / 64 Pero i + jp + r m, slvo en el cso en que p =. Por tnto, unque i j p r m L(A), i j p r m { n n }, lo cul es un contrdicción. En conclusión, este lenguje no es regulr. Frncisco Hernández Quiroz Autómts y Lengujes Formles Leng. regulres y utómts finitos 38 / 64 Teorem del omeo Aplicciones Teorem del omeo Teorem del omeo Aplicciones Aplicciones del lem del omeo I El resultdo nterior se puede generlizr con el siguiente Teorem. Se L un lenguje regulr. Entonces, k N tl que α, β, γ Σ, si entonces η, θ, φ Σ tles que αβγ L y k β, β = ηθφ y θ ɛ y αηθ i φγ L i N. L demostrción generliz el rgumento del ejemplo nterior, en el que α = ɛ, β = m, η = i, θ = j, φ = r y γ = m. Ejemplo. El lenguje { 2n } no es regulr. Supongmos que lo es y A DFA reconoce este lenguje. Se k el número de estdos de A y se m tl que 2 m > k. El teorem del omeo nos dice que η, θ, φ tles que 2m = αηθ i φγ L(A) i N. Como θ ɛ, l firmción nterior quiere decir que α + η + i θ + φ + γ siempre es un potenci de 2, lo cul es ovimente flso. Por tnto, A no puede existir y { 2n } no es regulr. Frncisco Hernández Quiroz Autómts y Lengujes Formles Leng. regulres y utómts finitos 39 / 64 Frncisco Hernández Quiroz Autómts y Lengujes Formles Leng. regulres y utómts finitos 40 / 64
Teorem del omeo Aplicciones Aplicciones del lem del omeo II Minimlizción de estdos Teorem de Myhill-Nerode Minimlizción de estdos Ejemplo 2. Sen α Σ y Σ. Definimos #(α) = el número de priciones de en α. En ocsiones, un utómt A puede reemplzrse con un utómt A que reconoce el mismo lenguje pero que tiene un conjunto de estdos menor: Entonces {α {, } #(α) = #(α)} no es regulr. L demostrción en este cso es indirect: El lenguje { } es regulr. 2 { } {α {, } #(α) = #(α)} = { n n }. 3 Los lengujes regulres son cerrdos jo. 4 Por tnto, {α {, } #(α) = #(α)} no puede ser regulr. S 2, F,,,, S F De hecho, pr cd lenguje regulr existe un único DFA (slvo isomorfismo) con un número mínimo de estdos que lo reconoce., Frncisco Hernández Quiroz Autómts y Lengujes Formles Leng. regulres y utómts finitos 4 / 64 Frncisco Hernández Quiroz Autómts y Lengujes Formles Leng. regulres y utómts finitos 42 / 64 Minimlizción de estdos Teorem de Myhill-Nerode Autómt cociente Minimlizción de estdos Teorem de Myhill-Nerode Algoritmo de minimlizción I Se A DFA, A = (Q, Σ, δ, s, F). Definimos un relción de equivlenci entre estdos de Q. Sen q, r Q. Entonces: q r sii α. δ (q, α) F sii δ (r, α) F. Ddo que es un relción de equivlenci, designremos con [q] l clse de equivlenci l que pertenece el estdo q. El utómt cociente de A, que denotremos con A/ = (Q, Σ, δ, s, F ), se define sí: Q = {[q] q Q} δ ([q], ) = [δ(q, )] s = [s] F = {[f] f F}. El siguiente lgoritmo permite construir el utómt cociente prtir del utómt A = (Q, Σ, δ, s, F), con Q = {q,..., q k }: Se construye un tl Estdo q... q k q m.... q k Donde m = s si el estdo en el i-ésimo renglón es finl y el estdo en l j-ésim column no es finl o vicevers. En cso contrrio, m = n. 2 Se repite el siguiente procedimiento hst que y no hy cmios: Si (q i, q j ) = n y (δ(q i, ), δ(q j, )) = s, pr lgún Σ, entonces (q i, q j ) := s. 3 Al terminr el pso nterior, q i q j sii (q i, q j ) = n. Frncisco Hernández Quiroz Autómts y Lengujes Formles Leng. regulres y utómts finitos 43 / 64 Frncisco Hernández Quiroz Autómts y Lengujes Formles Leng. regulres y utómts finitos 44 / 64
Minimlizción de estdos Teorem de Myhill-Nerode Algoritmo de minimlizción II Minimlizción de estdos Teorem de Myhill-Nerode Relciones de Myhill-Nerode I El lgoritmo tom cundo mucho ( ) n = 2 psos, donde n es el número de estdos. n! 2!(n 2)! Se L un lenguje regulr y se A DFA tl que L(A) = L, con A = (Q, Σ, δ, s, F) y sin estdos inccesiles. Definiremos un relción de equivlenci en Σ : α A β sii δ (s, α) = δ (s, β). L relción A tiene ls siguientes propieddes: Es un congruenci por l derech: 2 Es un finción de L: α A β implic que α A β. α A β implic que α L sii β L. Frncisco Hernández Quiroz Autómts y Lengujes Formles Leng. regulres y utómts finitos 45 / 64 Frncisco Hernández Quiroz Autómts y Lengujes Formles Leng. regulres y utómts finitos 46 / 64 Minimlizción de estdos Teorem de Myhill-Nerode Relciones de Myhill-Nerode II Minimlizción de estdos Teorem de Myhill-Nerode Teorem de Myhill-Nerode 3 Tiene índice finito, es decir, induce un número finito de clses de equivlenci. Un relción que cumple con 3 es un relción de Myhill-Nerode. Se hor R Σ un lenguje ritrrio. L relción de equivlenci R Σ Σ se define de est form: α R β sii γ Σ. αγ R sii βγ R. Se L Σ. Entonces, ls siguientes firmciones son equivlentes: L es regulr. Existe un relción de Myhill-Nerode en L. L relción L tiene índice finito. Frncisco Hernández Quiroz Autómts y Lengujes Formles Leng. regulres y utómts finitos 47 / 64 Frncisco Hernández Quiroz Autómts y Lengujes Formles Leng. regulres y utómts finitos 48 / 64
Minimlizción de estdos Teorem de Myhill-Nerode Ejemplo Autómts no determinists y disyunción Considérese el siguiente NFA: El conjunto L = { 2n } no es regulr. Se demostrrá utilizndo el teorem nterior. Considérense ls clses de equivlenci: α L β sii k. α k L sii β k L. S,, Pero α k, β k L sii α + k = β + k = 2 n, pr lgun n N. En pocs plrs, por cd vlor de k hy un clse de equivlenci distint, i.e., L no tiene índice finito. 2, En el estdo inicil, l cden será ceptd si l cden llev un estdo de ceptción prtir del estdo o el estdo 2. Es decir, si l disyunción (, ) F (2, ) F es verdder. Frncisco Hernández Quiroz Autómts y Lengujes Formles Leng. regulres y utómts finitos 49 / 64 Frncisco Hernández Quiroz Autómts y Lengujes Formles Leng. regulres y utómts finitos 50 / 64 Autómts finitos lternntes (AFA) Definiciones preliminres Un utómt lternnte generliz l ide nterior otrs funciones oolens. Por ejemplo, l ceptción de l cden podrí ocurrir si l expresión (, ) F (2, ) F es verdder. En cd estdo de un utómt lternnte, l lectur de un símolo llev l plicción de un función oolen los posiles resultdos de procesr el resto de l cden de entrd. Se Q un conjunto finito de estdos. Un evlución es un función e : Q {V, F}. Se B Q = {e : Q {V, F}}. El conjunto de funciones oolens con rgumentos en Q es { : B Q {V, F}}. Ejemplo. Se Q = {s,, 2}. Un función oolen es = s ( 2). Se e l evlución siguiente e(s) = V e() = F e(2) = V. Entonces, (e) = V. Si = s entonces (e) = F. Not: L función oolen no necesit utilizr todos sus rgumentos, como en el ejemplo de. Frncisco Hernández Quiroz Autómts y Lengujes Formles Leng. regulres y utómts finitos 5 / 64 Frncisco Hernández Quiroz Autómts y Lengujes Formles Leng. regulres y utómts finitos 52 / 64
Definición forml Un utómt lternnte es un curteto A = (Q, Σ, δ, s, F), donde δ : Q Σ { : B Q {V, F}}. L función δ se extiende l función δ : Σ { : B Q {V, F}} de l siguiente form: δ (q, ɛ) = q δ (q, α) = δ(q, ) (δ (q, α),..., δ (q n, α)) Se f : Q {V, F} l evlución siguiente: Entonces f(q) = V sii q F. L(A) = {α δ (s, α)(f) = V} Ejemplo Se A = ({s,, 2}, {, }, δ, s, {2}), donde δ está definid sí: Entonces Estdo s 2 2 2 2 2 2 δ (s, )(f) = δ (, ) δ (2, ) = δ (2, ) δ (2, ) = δ (2, ɛ) δ (2, ɛ) = 2 2 y finlmente l cden es rechzd, pues 2 2(f) = F Frncisco Hernández Quiroz Autómts y Lengujes Formles Leng. regulres y utómts finitos 53 / 64 Frncisco Hernández Quiroz Autómts y Lengujes Formles Leng. regulres y utómts finitos 54 / 64 Sistems de ecuciones Ejemplo Un form concis de definir AFA es por medio de sistems de ecuciones. Se Γ el lfeto de entrd. Entonces, ls ecuciones tienen el formto: X = (X,..., X n ) + c... X n = Γ n (X,..., X n ) + c n Γ donde ls i son funciones oolens de n rgumentos y ls c i pueden ser ɛ (en cso de que se un estdo finl) o 0. Los operdores ritméticos y oolenos se interpretn como en ls expresiones regulres o de mner trdicionl. El AFA del ejemplo nterior quedrí descrito por ls siguientes ecuciones: X 0 = (X X 2 ) + (X X 2 ) + 0 X = ( X 2 ) + X + 0 X 2 = X 2 + ( X X 2 ) + ɛ Un resultdo interesnte es que todo sistem de ecuciones corresponde un AFA y vicevers. L regulridd de los AFA se deduce de que los sistems de ecuciones pueden trnsformrse en expresiones regulres. Frncisco Hernández Quiroz Autómts y Lengujes Formles Leng. regulres y utómts finitos 55 / 64 Frncisco Hernández Quiroz Autómts y Lengujes Formles Leng. regulres y utómts finitos 56 / 64
Un plicción: reconocimiento de cdens I Supongmos que se tiene un conjunto de cdens X Σ y un cden α Σ y el ojetivo es verificr si lgun cden de X prece en α, es decir si β, γ, η Σ. α = βγη γ X. El lgoritmo ingenuo sigue el método de l ventn corrediz pr cd cden en X: se recorre α crácter por crácter y se verific si un cden de X corresponde l segmento de α que inici con es cden. No es difícil ver que este lgoritmo es muy ineficiente. Hy lgoritmos más eficientes que éste, pero requieren cierts operciones iniciles tmién muy costoss. Si se relizrán úsqueds frecuentes de priciones de cdens de X en cdens ritrris, el costo de ests operciones se puede justificr. Frncisco Hernández Quiroz Autómts y Lengujes Formles Leng. regulres y utómts finitos 57 / 64 Diccionrios Se Σ un lfeto. Un diccionrio es un suconjunto finito de Σ que no contiene ɛ. Buscr priciones de cdens de un diccionrio X en cdens ritrris de Σ equivle reconocer el lenguje Σ X. Se α Σ un cden no vcí. Denotremos con Pre(α) los prefijos de α. Si X es un conjunto de cdens, Pre(X) es el conjunto de prefijos de ls cdens de X. Ejemplo. Si α =, Pre(α) = {ɛ,,,, }. Frncisco Hernández Quiroz Autómts y Lengujes Formles Leng. regulres y utómts finitos 58 / 64 Autómt trie de un diccionrio Ejemplo de utómt trie El utómt trie de un diccionrio X es el utómt T(X) formdo por. Un conjunto de estdos que comprende un estdo por cd prefijo de ls cdens de X (si más de un cden tienen el mismo prefijo, T(X) sólo incluirá un estdo pr tods) El estdo inicil corresponde ɛ. Los estdos finles son ls cdens de X. L función δ se define sí. Sen p y q los estdos correspondientes ls prefijos α y β, respectivmente, y se Σ. Entonces δ(p, ) = q sii β = α. Considérese el siguiente conjunto de plrs: {,,, }. ɛ Frncisco Hernández Quiroz Autómts y Lengujes Formles Leng. regulres y utómts finitos 59 / 64 Frncisco Hernández Quiroz Autómts y Lengujes Formles Leng. regulres y utómts finitos 60 / 64
Autómt de un diccionrio I Autómt de un diccionrio II Se X un diccionrio. Con se en T(X) se puede construir el utómt del diccionrio X que ceptrá el lenguje Σ X. Se h : Σ X Pre(X) l función siguiente h(α, X) = el sufijo de α de myor longitud tl que pertenece Pre(X). El utómt del diccionrio de X, denotdo por D(X), constrá de los elementos Los mismos estdos de T(X). El mismo estdo inicil. El conjunto de estdos finles es el conjunto de estdos que corresponden ls cdens en Pre(X) Σ X. L función δ definid por δ(p, ) = q sii β = h(α, X), donde p y q los estdos correspondientes ls prefijos α y β, respectivmente, y Σ. D(X) es un utómt completo que cept el lenguje Σ X. Frncisco Hernández Quiroz Autómts y Lengujes Formles Leng. regulres y utómts finitos 6 / 64 Frncisco Hernández Quiroz Autómts y Lengujes Formles Leng. regulres y utómts finitos 62 / 64 Ejemplo de utómt de diccionrio El utómt de diccionrio del ejemplo nterior: ɛ Frncisco Hernández Quiroz Autómts y Lengujes Formles Leng. regulres y utómts finitos 63 / 64