MATEMATICAS TEMA 1 CURSO 014/15 TEMA 1: Funciones elementales 8.1 CONCEPTO DE FUNCIÓN: Una función es una ley que asigna a cada elemento de un conjunto un único elemento de otro. Con esto una función hace que estos dos elementos estén relacionados. En el caso de ambos conjuntos sean los números reales se llamará función real de variable real. Habitualmente lo epresamos y = f() y se lee: y es igual a f de ó y es función de, asimismo la se llama variable independiente y la y variable dependiente. 8.1.1. GRÁFICAS DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES Función polinómica de grado 1 ó 0 Son todas aquellas del tipo f ( ) = a + b (grado 1) ó f ( ) = b (grado 0) Su representación gráfica coincide con una recta, oblicua en el primer caso y horizontal en el segundo. El número a se llama pendiente de la recta y representa la inclinación, que como ya estudiamos en el curso pasado coincide con la tangente trigonométrica del ángulo que forma con el eje, y el número b se llama ordenada del origen, y es el punto por donde corta al eje y. Para representarlas basta hacer una pequeña tabla de valores o bien interpretar los conceptos de pendiente y de ordenada del origen. Ejemplo 1: Representar la función y = 3 Si utilizamos la tabla de valores, bastara con dar dos valores de la variable y obtener los correspondientes de y, luego se sitúan en unos ejes coordenados y se traza la recta. y 0-3 1 Si utilizamos el concepto de pendiente, tendremos en cuenta que partimos del valor -3 en el eje y. Y luego la inclinación es de 1 ; es decir cada unidad de avance en el eje supone dos de avance en el eje y 1/8
MATEMATICAS TEMA 1 CURSO 014/15 Función polinómica de grado Son las del tipo f ( ) = a + b + c, su representación gráfica se llama parábola. El valor a representa si es cóncava o convea y el valor c, es también la ordenada del origen. Para representarla bastará con determinar el vértice ( b = v ) y los puntos de corte con el eje (resolver la ecuación a a + b + c = 0 ) Ejemplo : Representar la función y = + En este caso a = 1; es decir la parábola es cóncava. Para determinar el punto vértice hacemos: b 1 v = = y sustituimos este valor a en la ecuación de la parábola, es decir: y v 1 = + 1 5 = 4 Y, por último, para los puntos de corte hacemos: Con el eje X: Resolvemos la ecuación: + = 0, que tiene por soluciones = 1, = - Con el eje Y: Basta sustituir la variable por = 0 y se obtiene que y = - /8
MATEMATICAS TEMA 1 CURSO 014/15 Funciones racionales Son un conjunto muy amplio de funciones, aquí estudiaremos solamente las del tipo f () = Si n es impar, su representación gráfica se llama hipérbola y estará en los cuadrantes primero y tercero o en el segundo y cuarto, según el valor de K que sea positivo o negativo. Para n par, no tiene nombre específico, pero siempre estará en los cuadrantes primero y segundo o bien en el tercero y cuarto. Su representación gráfica puede hacerse a partir de una pequeña tabla de valores o bien a ojo porque ya sabemos que tiene que salir. Funciones eponenciales Solamente estudiaremos aquí las del tipo f ( ) = k a. Puesto que a es un número positivo independientemente del valor de, su gráfica estará o totalmente por encima del eje (k > 0) o totalmente por debajo (k < 0). Se diferencia de las otras en el comportamiento para valores muy grandes o muy pequeños de, que en general no es igual, mientras por un lado toma valores muy grandes, por el otro toma valores muy próimos a cero. Para representarlas o hacemos una pequeña tabla de valores o la dibujaremos a ojo, porque ya sabemos qué forma va a tener. Funciones logarítmicas Son las del tipo: f ( ) = log ( ) Teniendo en cuenta que a y a = k n y = log a, se ve claramente que es la inversa de la función anterior. Una propiedad importante de los logaritmos: log 1 = 0, nos indica que corta al eje X en el punto (1, 0). Para dibujarlas podemos hacer una pequeña tabla de valores, aunque a ojo es más sencillo porque todas son similares. a 3/8
MATEMATICAS TEMA 1 CURSO 014/15 Funciones trigonométricas A partir de las tablas de la circunferencia goniométrica y de las razones de los ángulos conocidos del primer cuadrante, con una pequeña tabla de valores es muy sencillo la representación. Las tres funciones son cíclicas, es decir, se va repitiendo según una secuencia determinada. Otras funciones importantes: Función valor absoluto. f () = = 0 < 0 Su gráfica es: f()= 4/8
MATEMATICAS TEMA 1 CURSO 014/15 En general: f() f() 0 f () =. f() f() < 0 Para representar gráficamente la función anterior, primero representamos f(), y luego, por simetría, la gráfica que se encuentre en la parte negativa del eje Y, la colocamos en la parte positiva del eje Y. Veámoslo con un ejemplo. Ejemplo : Por definición = ( ) = 4 4 0 4 4 f() 4 = 4 4 < 0 + 4 < 4 Dom f ( ) = R = Dom 4 Veamos su gráfica: 4 f()= 4 4 4 Función parte entera. La parte entera de un número real es el mayor número entero menor o igual que el número. Por lo que, por ejemplo: E[3 48] = 3 E[0] = 0 E[ 0 36] = 1 E[ 3] = 3 Con esto, la función parte entera queda definida como sigue: f() = E [ ] =... 1 0 1...... < 1 1 < 0 0 < 1 1 < < 3... 3 1 1 1 3 1 f()=e[] 5/8
MATEMATICAS TEMA 1 CURSO 014/15 8.1.. ALGUNAS TRANSFORMACIONES DE FUNCIONES: Representación de y = f ( ) ± k a partir de y = f ( ) : Es como la gráfica de y = f ( ), desplazadas k unidades hacia arriba o hacia abajo (según sea sumar o restar) Representación de y = f ( ) a partir de y = f ( ) Es la gráfica simétrica a y = f ( ) respecto al eje Representación de y = f ( ± a ) a partir de y = f ( ) Es como y = f ( ) pero desplazada a unidades a la izquierda o hacia la derecha (según sea suma o resta) 6/8
MATEMATICAS TEMA 1 CURSO 014/15 8. DOMINIO DE UNA FUNCIÓN Dominio: es el conjunto formado por todos los valores de la variable independiente para los cuales eiste la función, esto es, la función tiene sentido: Ejemplos: a) Funciones polinómicas: y = 3 + 3 Para cualquier valor que se nos ocurra de podemos calcular el correspondiente de y ; diremos que el dominio es, por lo tanto, todos los números reales y lo epresamos por : Domf = R Si f ( ) = P ( ) : P() es un polinomio Domf = R b) Funciones racionales: 5 + 3 y = 16 Para los valores de que anulan el denominador, no se puede calcular el valor de y correspondiente, por eso decimos que el dominio es todos los números reales, ecepto de Domf = R 4, 4. -4 y el 4 y se epresa: { } P ( ) Si f ( ) =, P() y Q() polinomios Domf = R { R/ Q() 0} Q( ) c) Funciones irracionales: En este caso debemos distinguir si el índice es par o impar ya que a los números negativos no se puede etraer una raíz si esta es par, pero si se podría si fuera impar. 3 3 y = + 4 Para cualquier valor de la variable, como el radicando es un polinomio, podemos obtener la y, con lo cual Domf = R. y = 9 Si al sustituir la nos sale un número negativo, no podríamos calcular la raíz cuadrada por lo tanto, el dominio serán todos aquellos valores que hacen que sea positivo el polinomio del radicando, es decir, Domf = { R / 9 0} Para calcular este conjunto, hay que resolver la inecuación 9 0, utilizaremos la tabla de signos: 7/8
MATEMATICAS TEMA 1 CURSO 014/15-3 3 9 + - + Luego Domf = (, 3] [3, ) Si ( ) = f n g( ) Si Si n es n es impar Domf = Domg par Domf = { R / g( ) 0} d) Funciones eponenciales: y 1 = No todos los valores de sirven en este caso, pero no porque sea una función eponencial sino porque en el eponente tenemos una fracción, es decir, es estos casos Domf = R 1 el dominio siempre dependerá de la función que esté en el eponente. Así { } Si f ( ) = a g ( ) Domf = Domg e) Funciones logarítmicas: y = log( + 1) Los valores de que no podemos utilizar serán aquéllos que den negativo o cero al sustituirlos en el polinomio, así en este caso Domf = ( 1, ) Si f () = log(g()) Domf = { R/ g() > 0} f) Funciones definidas a trozos: Son aquellas que no están definidas por una única epresión matemática, sino por varias, dependiendo del intervalo en que nos encontremos. + 5 y = + 7 3 > 3 Tenemos entonces que hacer un estudio pormenorizado en cada uno de los intervalos. Así en el primer intervalo tenemos un polinomio, por lo tanto el dominio son todos los números posibles, en este caso (,3], pero en el segundo intervalo, tenemos una fracción algebraica, hemos de eliminar entonces el valor = 7 del intervalo de ( 3, ) 7. Unimos ahora los dos resultados y obtenemos que el definición y queda { } Domf = R { 7} Si f() es una función definida a trozos, hacemos un estudio diferenciado en cada intervalo y luego unimos todos los intervalos. 8/8