RGRIÓN LINAL IMPL l aálss de regresó es ua técca estadístca para vestgar la relacó fucoal etre dos o más varables, ajustado algú modelo matemátco. La regresó leal smple utlza ua sola varable de regresó el caso más secllo es el modelo de líea recta. upógase que se tee u cojuto de pares de observacoes (, ), se busca ecotrar ua recta que descrba de la mejor maera cada uo de esos pares observados. CP I.95 8.5 3. 3.4. 3.6.4 3...85 5 3. 8.85 8.8 3.5 5.7.7 4.4.75 5.5 3. 7. 3.5 9.95 7..75 6.8 45.6 7.8 Varable respuest 4 8.85-6.669 R.785 8 6 4.6.7.8.9 3 3. 3. 3.3 3.4 3.5 3.6 X (varable depedete o regresva) Preparado por: Iree P. Valdez Alfaro
e cosdera que la varable X es la varable depedete o regresva se mde s error, metras que Y es la varable respuesta para cada valor específco de X; además Y es ua varable aleatora co algua fucó de desdad para cada vel de X. f ( Y ) ( Y ) Y Preparado por: Iree P. Valdez Alfaro
Regresó Leal mple f ( Y ) + + ε ( Y ) + Preparado por: Iree P. Valdez Alfaro Y + la recta de regresó es: Cada valor observado para u puede cosderarse como el valor esperado de Y dado más u error: Modelo leal smple : + + ε Los ε se supoe errores aleatoros co dstrbucó ormal, meda cero varaza σ ; so costates descoocdas (parámetros del modelo de regresó) X
Método de Mímos Cuadrados para obteer estmadores de Cosste e determar aquellos estmadores de que mmza la suma de cuadrados de los errores ε ; es decr, los estmadores de respectvamete debe ser tales que: ε Del modelo leal smple: de dode: elevado al cuadrado: sea míma. ε ε + + ε ( ) Preparado por: Iree P. Valdez Alfaro
Preparado por: Iree P. Valdez Alfaro Al dervar se obtee u sstema de dos ecuacoes deomadas ecuacoes ormales : ) ( ) ( egú el método de mímos cuadrados, los estmadores de debe satsfacer las ecuacoes: + + Cua solucó es: Ahora, el modelo de regresó leal smple ajustado (o recta estmada) es: +
Preparado por: Iree P. Valdez Alfaro Co respecto al umerador deomador de B suele epresarse como respectvamete: Puede demostrarse que: ( ) ) (
Por otro lado puede demostrarse que los estmadores de so sesgados co varazas: V ( ) σ + Preparado por: Iree P. Valdez Alfaro V ( ) respectvamete. Como σ (la varaza de los errores ε ) es e geeral descoocda, para estmarla defmos el resduo como: e la suma de cuadrados del error como: e ŷ σ ( ) que al susttur també puede epresarse como: ea M ( ) dode: M toces: ( ) ( ) σ σ M
Co lo ateror, las varazas estmadas de so respectvamete: ( ) M + V ( ) V M Además, s se cumple los supuestos de que los ε se dstrbue ormalemte co meda cero varaza σ, etoces, los estadístcos T M + M T tee cada uo dstrbucó t de tudet co - grados de lbertad. Lo que permte efectuar pruebas de hpótes calcular tervalos de cofaza sobre los parámetros de regresó. Preparado por: Iree P. Valdez Alfaro
U caso de partcular terés es probar la hpótess: H H : : Ya que s la pedete es gual cero, etoces puede sgfcar o que la varacó de X o flue e la varacó de Y, o que o ha regresó leal etre X Y. Por otro lado, s la pedete es dferete de cero, etoces estrá algú grado de asocacó leal etre las dos varables, es decr, la varabldad de X eplca e certa forma la varablad de Y (auque o mplca que o pueda obteerse u mejor ajuste co algú polomo de maor grado e X). Nota: s se utlzara e lugar de ua recta, ua curva co grado maor a e X pero grado e los coefcetes de X, la regresó sgue sedo leal, a que es leal e los parámetros de regresó p.ej. Y o + + Preparado por: Iree P. Valdez Alfaro
stmacó de tervalos de cofaza e toro a la líea de regresó: BANDA D CONFIANZA Recta estmada de regresó Para u puto específco Y ( ) + Preparado por: Iree P. Valdez Alfaro
stmacó de la respuesta meda para u ( ) µ Y + V ( ) ŷ ( ) o σ + V ( ) tee dstrbucó ormal, por lo que: específco: µ V( o M ) + tee dstrbucó T de tudet co - grados de lbertad, por lo que los límtes de cofaza superor e feror para la respuesta meda dado está dados por: t V( ) ± α /, o ( ) o Grafcado los lmtes de cofaza superor e feror de para cada puto de X puede dbujarse las badas de cofaza para la recta de regresó. µ ŷ Puede observarse que la ampltud del tervalo de cofaza es míma cuado metras que es maor e los etremos de los valores observados de X. Preparado por: Iree P. Valdez Alfaro
Predccó de uevas observacoes Nótese que ŷ es la respuesta meda para los valores de seleccoados para ecotrar la recta de regresó; s embargo, frecuetemete es de terés predecr la respuesta futura para u a dado seleccoado posterormete. ea Y a la observacó futura e a., ; Y a es ua varable aleatora co varaza σ por otro lado, la varaza de + es ( ) ( ) a V M + + a a a Preparado por: Iree P. Valdez Alfaro