Probabilidad y Estadística
Probabilidad Conceptos como probabilidad, azar, aleatorio son tan viejos como la misma civilización. Y es que a diario utilizamos el concepto de probabilidad: Quizá llueva mañana Probablemente llegaremos tarde Seguramente tendré notable en Métodos Matemáticos para la Física... Pero, qué es la probabilidad?
Diferentes interpretaciones de la probabilidad... Interpretación clásica de probabilidad: esta interpretación esta basada en la idea de eventos igualmente posibles (probables). Ejemplo. Si existen n posibles resultados, todos ellos con la misma posibilidad de que ocurran, entonces la probabilidad de cada evento es 1/n Pero, el concepto de igualmente probable está basado en el concepto de probabilidad que queremos definir! Qué hacemos cuando los eventos no son igualemente probables?
Diferentes interpretaciones de la probabilidad... Probabilidad como frecuencia de sucesos: Aquí la probabilidad se obtiene a través de la frecuencia relativa, si el proceso se repitiera muchas veces bajo las mismas condiciones. Pero, cuánto es mucho? Qué significa condiciones similares?
Diferentes interpretaciones de la probabilidad... Interpretación subjetiva de laprobabilidad: Esta es la probabilidad que una persona asigna a los posibles eventos de una situación. El juicio para la asignación de probabilidades está basada en creencias o información del individuo. Obviamente, aquí la probabilidad cambia de persona a persona.
Teoría de Probabilidades Aquí veremos/desarrollaremos una teoría de probabilidades sin considerar las controversias respecto a la interpretación de lo que es una probabilidad. Por supuesto, la teoría que veremos es formalmente correcta y podrá utilizarse para la asignación de valores de probabilidad en problemas reales.
Conceptos preliminares Un experimento es cualquier proceso, real o hipotético, cuyo posible resultado puede identificarse de antemano. Un evento es un conjunto bien definido de los posibles resultados de un experimento.
Algunas definiciones: Teoría de conjuntos Espacio muestral: es la colección de todos los posibles resultados de un experimento. Denotaremos por S al espacio muestral. Un posible resultado x de S se dice que es un miembro del espacio muestral y se denota como
Teoría de conjuntos Cuando un experimento se realiza y se dice que un evento ha ocurrido, significa que el resultado del experimento satisface las condiciones que especifican a ese evento. Cada evento puede considerarse como un subconjunto del espacio muestral
Teoría de conjuntos Ejemplo: Dado de seis caras (once again) Espacio muestral (lanzamiento de un dado) S Sea A el evento de obtener un número par:
Teoría de conjuntos Sea B el evento de obtener un número mayor o igual que 2 Se dice que un evento A está contenido en otro evento B, si cada resultado que pertece al subconjunto que define a A, también pertenece al subconjunto que define B: o bien
Conjunto vacío Teoría de conjuntos Algunos eventos son imposibles de obtener. Por ejemplo, obtener un número negativo al lanzar un dado. Es decir, el evento está definido por un subconjunto de S sin resultados. A este subconjunto de S se le llama conjunto vacío y se denota por: Para un evento arbitrario A es lógicamente correcto decir que cada elemento del pertenece a A:
Teoría de conjuntos Conjuntos finitos e infinitos El número de elementos de un conjunto puede ser finito o infinitos Un conjunto infinito puede ser a su vez contable o incontable Un conjunto es contable si hay una correspondencia uno a uno de sus elementos con los números naturales {1,2,3,...}. Un conjunto es incontable si no es finito ni contable
Diagramas de Venn Una representación gráfica de los resultados de un experimento son los diagramas de Venn
Diagramas de Venn
Diagramas de Venn Regiones: i) Resultados que pertenecen al evento A, pero no al evento B ii) Resultados que pertencen al evento B, pero no al evento A iii) Resultados que pertenecen a ambos eventos A y B iv) Resultados que no pertenecen ni a A ni a B
Teoría de conjuntos Algunas relaciones entre las operaciones de unión e intersección: Conmutatividad Asociatividad Distributividad Idempotencia
Teoría de conjuntos Leyes de Morgan:
Homework Un experimento consiste en escoger al azar un número entero entre 0 y 9 (incluyendo ambos números). Sean A, B y C los eventos definido por Encontrar los elementos de los siguientes eventos
Teoría de probabilidades
Teoría de Probabilidades Queremos asignar un valor/número Pr(A) a cada evento de A en un espacio muestral S. Pr(A) indicará la probabilidad de que ése evento ocurra.
Teoría de probabilidades Axioma 1. Para cada A en un espacio muestral S, Axioma 2. Para un espacio espacio muestral S Axioma 3. Si dos eventos A y B son mutuamente excluyentes Para una serie infinita de eventos disjuntos asumimos que
Teoría de Probabilidades Definición matemática de probabilidad: Una probabilidad en un espacio muestral S es una especificación de números Pr(A) que satisfacen los axiomas 1, 2 y 3
Teoría de Probabilidades Algunos teoremas: 1) 2) Para cada serie finita de eventos disjuntos 3) Para cada evento A
Teoría de probabilidades 4) Si entonces 5) Para cada evento A 6) Para dos eventos A y B
Teoría de probabilidades Ejemplo: Un paciente visita al médico por un dolor de garganta y fiebre. Después de examinar al paciente, el médico piensa que el paciente sufre o una infección bacteriana, o una de tipo viral. El doctor decide que hay una probabilidad de 0.7 que el paciente tenga una infección bacteriana y una probabilidad de 0.4 que la persona tenga una infección viral. Cuál es la probabilidad de que el paciente tenga ambos tipos de infección?
Teoría de probabilidades (espacio muestral simple) Un espacio muestral se le llama simple si la probablidad asignada a cada posible resultado es 1/n Si un evento A en este espacio contiene m resultados, entonces
Teoría de probabilidades (espacio muestral simple) Similarmente, sea el número de resultados de un evento A y el número total de resultados del espacio muestral. Entonces Ahora, si A y B son dos eventos en S:
Teoría de probabilidades Ejercicio: Calcule la probabilidad de obtener un as o una espada/pica de un paquete de cartas
Teoría de probabilidades Ejercicio: supongamos que se lanzan 3 monedas simultáneamente. Cuál es la probabilidad de obtener 2 caras? Número posible de eventos (C:cara, R:cruz): 1- C C C 2- R C C 3- C R C 4- C C R 5- C R R 6- R C R 7- R R C 8- R R R
Teoría de probabilidades Ejercicio: calcule la probabilidad de obtener un as o una espada/pica o un número par {2,4,6,8,10} Solución: Sea A el evento de obtener un as Sea B el evento de obtener una espada/pica Sea C el evento de obtener un número par Se nos pide entonces calcular
Teoría de probabilidades que está dada por:
Métodos de conteo Para espacios muestrales simples es muy importante saber contar el número de resultados posibles de un evento y el número de resultados posibles del espacio muestral, pues de aquí podemos calcular la probabilidad de un evento dado - Multiplicación - Permutación - Combinación
Métodos de conteo Multiplicación Regla de multiplicación. Si en un experimento tenemos que: i) el experimento se realiza en dos partes ii) la primera parte tiene m posibles resultados: y, no importando cuales sean estos resultados, la segunda parte del experimento tiene n resultados: Cada resultado del espacio muestral está dado por la pareja y S está dado por:
Métodos de conteo De aquí que el espacio muestral tiene mxn resultados
Métodos de conteo Ejemplo: Lanzamiento de dos dados. Como cada dado tiene 6 posibles resultados, el número total de posibles resultados es 6x6=36 Por supuesto, la regla de multiplicación puede extenderse a experimentos con más de dos partes. Si un experimento tiene k partes (k>2), tal que la i- ésima parte del experimento tiene posibles resultados. Entonces el tamaño del espacio muestral es
Ejemplo: Lanzamiento de 6 monedas. Como cada parte del experimento tiene 2 posibidades (cara o cruz) tenemos entonces que el número total de posibles resultados es 2x2x2x2x2x2 = 64
Métodos de conteo Permutaciones Una permutación es un arreglo en un orden particular de los objetos que forman un conjunto. Entonces nos preguntamos de cuántas formas n objetos distintos pueden arreglarse/acomodarse (?)
Métodos de conteo Respuesta: Si ahora seleccionamos solamente k elementos (uno a la vez) de los n, entonces vimos que:
Métodos de conteo Ejemplo: Sea Cuáles son las permutaciones de 2 elementos tomados del conjunto anterior? Respuesta:
Conteo con reemplazamiento Considerando ahora un experimento en que una bola, seleccionada de una caja con n bolas, se regresa a la misma caja. A este proceso se le llama muestreo con reemplazamiento. Si se hace un total de k selecciones, el espacio muestral S contiene todos los vectores de la forma Como existen n posibles resultados para cada una de las selecciones, el número total de vectores en S es