VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO EQUIVALENCIAS Igeiería Fiaciera... Es ecotrar oportuidades e dode los demás ve úicamete problemas Es buscar el como sí y el porque o. Es la capacidad para coseguir que los egocios suceda Es ecotrar alterativas Es dar solució a problemas complejos Es detectar riesgos y diseñar formas para mitigarlos Es ecotrar rutas de salidas au e el peor esceario Es diseñar esquemas e dode todos pueda gaar Es ua actitud de optimismo que os permite trabajar esperado lo mejor, pero preparados para lo peor. Es la especialidad e estructurar y hacer egocios Es aprovechar las oportuidades empresariales Es ua forma para cobrar comisioes creativamete Es buscar mejores alterativas coociedo mi etoro y arriesgado más que el comú de empresarios.... La igeiería fiaciera sigifica diferetes cosas para diferetes persoas. Lic. Rafael Gozález Callado.
Itroducció Como se vio e el capitulo primero, e el diario vivir de las empresas se hace ecesario la toma de decisioes que afecta el futuro y valor de las mismas. Pero para esta toma de decisioes es ecesario el utilizar herramietas que ayude o facilite los cálculos previos que icluye las variables más represetativas que afecta ua determiada decisió. Estas herramietas compuestas por técicas y modelos de igeiería ecoómica ayuda a la gete a tomar decisioes puesto que las decisioes afecta lo que realizará. El marco de referecia e el cual se desarrolla estas decisioes de igeiería ecoómica es el futuro el cual descoocemos y sólo mediate la simulació y el tomar opcioes os permite proosticar el posible resultado de los hechos empresariales. 1 E el desarrollo de los problemas se parte del aálisis de los hechos pasados, puesto que o se toma ua decisió de seleccioar ua alterativa sobre otra. El pasado será el puto de partida ya que e los egocios como e la vida diaria, quie olvida su pasado está codeado a volverlo a vivir. Y este o siempre ha sido favorable. Por este motivo, al resolver u plateamieto fiaciero se debe teer presete la siguiete metodología: 1. Aalizar el plateamieto de la situació fiaciera a resolver y cual es el alcace de la misma. 2. Itegrar toda la iformació ecesaria avazar e el plateamieto 3. Hacer gráfico que ayude a visualizar la situació plateada. 4. Defiir las posibles alterativas de solució. Ates que úmeros los coceptos a utilizar. 5. Evaluar cada alterativa a resolver. 6. Seleccioar la mejor alterativa mediate el uso de herramietas de igeiería ecoómica. 7. Implemetar la solució 2.1. Plateamieto de los problemas Toda operació fiaciera puede presetar dos situacioes que so opuestas: La situació del prestamista y la situació del prestatario. Como veremos más adelate la respuesta umérica es igual pero su plateamieto es diferete porque mietras el uo presta diero el otro recibe el diero e préstamo y paga u derecho por el uso del diero. Para resolver cualquier plateamieto fiaciero, es costumbre utilizar gráficos que permite visualizar los flujos que se va a evaluar. E estos gráficos está formados por los siguietes elemetos: Líea de tiempo: Es ua líea horizotal ( Eje de la X), e el cual se represeta los diferetes igresos y egresos de u plateamieto fiaciero. E esta líea se represeta los diferetes períodos de tiempo cualquiera que sea. Gráficamete es: Valor Presete Valor futuro 1 INGENIERIA ECONOMICA. BLANK Lelad ad TARQUIN Athoy. Editorial Mc Graw Hill. Cuarta edició 1999.
Igresos y egresos: E la líea de tiempo, vamos a represetar los igresos como ua fecha hacia arriba y los egresos hacia abajo. Esta coveció se puede decir que es uiversal. Al ubicar los flujos de igresos y egresos, es ecesario platearse si usted asume la posició de quie presta el diero o la posició de quie recibe el diero, ya que el setido de las flechas e iverso. Igresos 0 1 2 3 4 5 6 Periodos Egresos El maejo de los flujos de caja, requiere de ciertas codicioes: a) Como expresamos e el capitulo primero, al aalizar el maejo de la iformació cotable y la iformació fiaciera, E Fiazas o se puede sumar sumas de diero ubicadas e diferetes periodos. Para poder sumar sumas de diferetes periodos e Fiazas, debo hacerlo sólo e u puto y a el debo llevar tato los igresos como los egresos ya sea icremetado o deflactado sus valores. La suma de catidades de diero de diferetes mometos es propio de la técica cotable, más o de la fiaciera. b) Para realizar lo aterior, es ecesario aplicar el pricipio de equivalecia, es decir que para mover la catidad de diero de u periodo determiado al periodo escogido para la suma de dieros, debo afectarlo por las variables tiempo e iterés. 2.2) Nomeclatura utilizada e matemáticas fiacieras Para u mejor etedimieto de los plateamietos fiacieros utilizados, veamos la omeclatura a Utilizar: P: Valor Presete F: Valor Futuro A: Aualidad (Cuota uiforme) G: Gradiete Aritmético (Cuota icremetada e ua catidad costate) K: Gradiete Geométrico (Cuota icremetada e u % costate) %i: Porcetaje de iterés I: Iterés (Valor e pesos) Periodo de tiempo
2.3 Calculo de Itereses La expresió del valor del diero e el tiempo (VDT) se cooce co el ombre de Iterés. Como vimos e el capitulo 1, so varios los factores que afecta el calculo y la magitud de los itereses. Alguos autores expresa el iterés como el redimieto de u capital establecido e proporció al moto del mismo y al tiempo mediate el cual se trasfiere el mismo mediate préstamos. 2 Etre las diferetes clases de itereses teemos: a) Iterés Simple Defiido como el beeficio moetario geerado úicamete sobre la iversió iicial e u período e el cual los itereses o se puede capitalizar o reivertir, por cuato se cacela al fial del plazo de la operació. E otras palabras, el iterés simple sólo se aplica al moto iicialmete prestado y o icluye a los itereses devegados durate los períodos. I = i * * p ( 1.1) dode: I = moto del iterés i = Tasa de iterés = Período de tiempo p = Préstamo iicial Ejemplo: Vamos a cosiderar que presto $ 1 000.000 y lo voy a cacelar detro de los tres meses siguietes (No existe obligació de hacerlo e ua determiada fecha, sólo que tego tres meses para realizar el pago.) co u iterés simple del 3%. Veamos su desarrollo: a) Si pago la deuda al fial del periodo 1: Recibo $ 1 000.000 0 1 2 3 Durate este mes tego prestado $1 000.000 Si al fial del mes pago la deuda lo cacelase de la siguiete forma: 2 DICCIONARIO DE TERMINOS FINANCIEROS Y DE INVERSIÓN. Mocho M. Fracisco y Aparicio Rafael. Editorial Mc Graw Hill. 1995
Que debería pagar? El valor prestado más los itereses que se geere durate el primer mes de préstamo del diero. F = 1 000.000 + 1 000.000 * 1 mes * 0.03 (Iterés mesual) F = 1 030.000 b) Si decido pagar e el período dos: Recibo $ 1 000.000 0 1 2 3 Durate este mes tego prestado $ 1 000.000 Si pago la deuda al fial del segudo mes, los Itereses los pago sobre el préstamo iicial así: Si pago e el segudo mes, el pago se hace co base e los prestado más el valor de los itereses geerados durate los dos meses: F = 1 000.000 + 1 000.000 * 2 meses * 0.03 (Iterés mesual) F= 1 060.000 c) Si decido pagar e el período tres: Recibo $ 1 000.000 0 1 2 3 Durate este mes tego prestado $ 1 000.000 Si pago la deuda al fial del tercer mes, los itereses los pago sobre el préstamo iicial, así: El valor a pagar sería de: E resume: F = 1 000.000 + 1 000.000 * 3 meses * 0.03 = 1 090.000 MES INTERESES TOTAL FINAL DE MES 0 1 $ 1 000.000 * 0.03 * 1 MES $ 1 030.000 2 $ 1 000.000 * 0.03 * 2 MESES $ 1 060.000 3 $ 1 000.000 * 0.03 * 3 MESES $ 1 090.000
b) Iterés Compuesto Como vimos, el iterés simple siempre se cobra co base e el moto de lo prestado a pesar del tiempo e que se tega el diero. El Iterés compuesto es el beeficio moetario geerado sobre la iversió iicial más la reiversió o capitalizació acumulada y sucesiva de todos los itereses geerados por la iversió iicial e u período. 3 Es decir, que esta tasa de iterés se aplica al moto iicialmete prestado y a los itereses geerados durate u periodo. Este sistema de liquidació de itereses se cooce co el ombre de capitalizació. 4 Veamos el ejemplo aterior desarrollado co u iterés compuesto del 3% mesual: a) Si pago e el primer mes: Recibo $ 1 000.000 0 1 2 3 Durate el primer mes tego prestado $ 1 000.000 Su comportamieto es igual al iterés simple. Si pago la deuda e el primer mes su valor coicide co el iterés simple: $ 1 030.000 b) Si pago e el segudo mes: Recibo $ 1 000.000 0 1 2 3 Durate el segudo mes la deuda es de $ 1 000.000 más los itereses que se causaro e el primer mes y que o se etregaro a quie me prestó el diero). Luego el diero que tego prestado e el segudo mes es de $ 1 030.000 Sobre este diero calculo el valor del Préstamo al fializar el segudo mes: F = 1 030.000 + 1 030.000 * 1 mes * 0.03 F = 1 060.900 (e el it. Simple era de $ 1 060.000) 3 Ídem 6. 4 Capitalizació: Los itereses devegados e u período, forma parte del capital ( se covierte e capital) para el siguiete período. Defiido por García Jaime e su libro Matemáticas Fiacieras publicado por la Uiversidad Exterado de Colombia. Seguda edició. 1992.
c) Si pago e el tercer mes: Recibo $ 1 000.000 0 1 2 3 Durate el tercer mes, el diero que tego prestado es el mismo del mes aterior más lo itereses geerados e el segudo mes: $ 1 060.900 F = 1 060.900 + 1 060.900 * 1 mes * 0.03 F = 1 092.727 (e el it. Simple era de $ 1 090.000) Diferecia = 2.727 e los tres meses. La diferecia se toma co respecto al valor hallado por el iterés compuesto. Veamos e resume la liquidació: MES INTERESES TOTAL AL FINAL DE MES 1 $ 1 000.000 * 0.03 * 1 mes $ 1 030.000 2 $ 1 030.000 * 0.03 * 1 mes $ 1 060.900 3 $ 1 060.900 * 0.03 * 1 mes $ 1 092.727 Veamos el aálisis del iterés compuesto usado la omeclatura vista al iicio del capitulo y aalizado cuato debe cacelar al fial de cada periodo si devolver los itereses que se ha geerado durate el periodo. P Pr éstamo: P P( 1 i) P( 1 i) 2 0 1 2 3 Valor del Préstamo P P( 1 i) P( 1 i) 2 Itereses + + + i P ( 1 i) * i 2 P (1 i) * i P * Valor Por mes P P( 1 i) 2 2 P ( 1 i) P(1 i) * i P (1 i) P(1 i) * i Factorizado P( 1 i) 1 P( 1 i) 2 P( 1 i) 3
De esta demostració podemos defiir la ecuació fudametal de las fiazas: F P(1 i)...(2.2) 1 090.000 1 060.900 Iterés Compuesto 1 060.000 1 030.000 1 030.000 1 060.000 Iterés Simple 1 000.000 Fial del período del iterés Gráfica 1. Comparativo de resultados obteidos co iterés simple y compuesto. 2.3) Relacioes de equivalecia De acuerdo a lo expresado e el capitulo I, el cocepto de equivalecia se fudameta e el hecho de que u pago que o se realiza e u determiado mometo, se hace e otro tiempo asumiedo o descotado los itereses que se geere por la realizació del plateamieto fiaciero. ANUALIDAD VALOR PRESENTE EQUIVALENCIA S VALOR FUTURO
Para eteder como surge las relacioes de equivalecias, debemos primero dejar e claro que so modelos matemáticos que se ha desarrollado bajo codicioes tales como el cosiderar que las cuotas so vecidas ósea al fial del periodo. Para comezar a desarrollar los modelos fiacieros, vamos a explicar dos coceptos elemetales como so: VALOR PRESENTE: Valor de los dieros, prestamos ú obligacioes por cacelar e pesos de hoy. Ubica el diero ya sea para compra o pago co respecto a uestra catidad de efectivo que tegamos imediatamete dispoible. E la líea de tiempo se ubica e el puto cero ó mometo de iicio del plateamieto fiaciero. VALOR FUTURO: Es cualquier valor del diero ya sea que tegamos que recibir ó pagar que se tiee el día de mañaa, cosiderado ese mañaa a partir de u día siguiete al iicio del plateamieto fiaciero. ANUALIDAD: Nos referimos a ua aualidad cuado debemos realizar o recibir u pago e cuotas ya sea iguales llamadas pagos uiformes ó e aualidades que se icremeta ó dismiuye ua de otra e valores ó porcetajes costates llamados gradietes. 2.3.1. Equivalecias co pagos úicos E estas relacioes de equivalecias, teemos u valor presete o u valor futuro. Estos valores so úicos ya que o teemos dos presetes o dos futuros. So valores úicos. Vamos a aalizar las relacioes de equivalecias siguietes: Como obteer u valor futuro a partir de u valor presete coocido Como obteer u valor presete a partir de u valor futuro coocido. Como obteer u Valor Futuro a partir de u valor presete ( Pagos úicos) Co base e la aterior demostració, vamos a explicar su aplicació e el cálculo de equivalecias fiacieras. La primera relació de equivalecia que vamos a aalizar es etre u valor presete o pesos de hoy y u valor futuro ó pesos del mañaa. Ejemplo 1: Supoga que usted deposita $100 hoy e ua cueta que paga el 8 por cieto por período. Al año, usted depositará otros $100. Cuáto tedrá usted e dos años? Vamos primero a aalizar que os está pregutado. Se desea coocer cuato diero se tedrá al fializar dos años habiedo realizado egresos de $ 100 e los períodos cero y uo. Al fializar el primer año, usted tedrá $108, producto de los $ 10 prestados iicialmete más los itereses geerados durate este primer año. E este segudo período usted le suma $ 100 que aboa a la cueta para u total de $208. Usted tiee $208 depositados al 8 por cieto por otro año. Al fial de este segudo año, vale: $208 * 1.08 = $224.64
La figura siguiete muestra ua líea de tiempo que ilustra el proceso de calcular el valor futuro de dos depósitos de $100. Catidad iicial + Más (deposito) Total acumulado 0 1 2 $ 0 100 $100 $108 x1.08 100 $208 x1.08 $224.64 0 $224.64 tiempo (años) Solucio gráfica Ejemplo 2: Piese que usted puede depositar $ 4.000 al fial de cada uo de los próximos tres años e ua cueta bacaria que paga el 8 por cieto de iterés. Usted actualmete tiee $7.000 e la cueta. Cuáto tedrá a los tres años? E cuatro años? Para aalizare uestro plateamieto fiaciero, veamos que teemos e el periodo cero o iicio. Al fial del primer año, tedrá: Al fial del segudo año, tedrá: Repetir esto por el tercer año da: Valor actual periodo Cero = $ 7.000 $7.000 * (1.08) + $4.000 = $11.560 $11.560 * (1.08) + $4.000 = $16.484.80 $ 16.484.8 * (1.08) + $4.000 = $21.803.58 Por lo tato, tedrá $21.803.58 e tres años. Si deja esto depositado u año más e la cueta (y o agrega), al fial del cuarto año tedrá: $21.803.58 * (1.08) = $23.547.87 EXPRESIÓN MATEMÁTICA DEL MODELO A partir de esta expresió 2.2., formulamos la primera relació de equivalecia e dode dado ua catidad P. Cuál será su valor futuro [F] al fial de u período a u iterés compuesto i?
0 1 2-1 F=? P FORMULA FINANCIERA F P( 1 i) 2.2 NOTACIÓN DE TARQUIN F= P * ( F/P, i%, ) La otació es ua forma de resumir la formula. La que usaremos e el presete texto es la llamada otació de Tarquí. E esta otació el úico elemeto uevo es la relació F/P. Quiere decir: Dado u valor presete cual es el valor futuro. Ua relació P/F es cotraria es decir que dado u valor futuro cual es el valor presete. Esta otació es muy utilizada e el desarrollo de plateamietos fiacieros por medio de tablas fiacieras, ya que los factores F/P p P/F os ubica e las columas de estas tablas y os permite hallar u resultado. Su uso lo veremos más adelate. EJERCICIO RESUELTO Cuál será el valor que se acumulará al cabo de 12 años si se ivierte $ 1 500.000 al 3.2% mesual? El plateamieto fiaciero os pide ecotrar el valor acumulado de u diero ivertido hoy. Es decir os da u valor presete y os pide u valor futuro GRAFICA 0 1 2 11 12 F=? P = $ 1 500.000 NOTACIÓN DE TARQUIN La otació de Tarquí os permite expresar el plateamieto del problema de la siguiete forma:
FORMULA F F $1'500.000*( P 12 F= 1 500.000 ( 1 + 0.032) F= 2 189.009,4,3.2,12) EJERCICIOS PROPUESTOS 1) Debo pagar u pagaré detro de seis meses de u préstamo que hice hoy de $ 1 000.000 al 2.8% mesual?. 2) Cuáto gaaré detro de cico años si o devego $ 500.000 y el promedio de iflació para los próximos años es del 18% aual? Como obteer u valor presete a partir de u valor futuro coocido: Para realizar la solució de este plateamieto tomaremos la expresió (2.2) y despejaremos el valor de P para calcular los problemas plateados e estas situacioes fiacieras. EXPRESIÓN MATEMATICA Dada u catidad futura F, situada detro de períodos, cuál será su valor presete P, a iterés compuesto i? F 0 1 2-1 P=? FORMULA FINANCIERA P F ( 1 i) 2.3 NOTACIÓN P= F (P/F, i%, )
Resultará frecuete que ecesitemos determiar el valor actual de ua serie de flujos futuros de diero. Como co valores futuros, hay dos maeras de hacerlo: 1) Podemos o descotar u período a la vez. 2) Calcular simplemete los valores actuales idividualmete y agregárselos al aterior. Ejemplo 1 Ua maera alterativa de calcular valores presetes para flujos de diero múltiples futuros es descotar al presete u periodo de tiempo. Para ilustrar, supoga que teemos que pagar $1000 al fial de cada año por los próximos cico. Para ecotrar el valor presete, podríamos descotar a cada $1.000 el porcetaje de retrocediedo al presete separadamete y luego se suma todos arriba. SOLUCION 1 La primera figura ilustra este efoque para u 6 por cieto valor de descueto. La respuesta es $4212.37 (igorado u pequeño error de redodeo). 0 $943.40 890.00 839.62 1 2 3 4 5 $1.000 $1.000 $1.000 $1.000 $1.000 (años) tiempo 792.09 747.26 $4,212.37 Total valor presete r=6% Valor presete cálculado por composició de cada flujo de efectivo separadamete SOLUCION 2 Alterativamete, podríamos descotar al último flujo de diero el iterés del período y sumarle el atepeúltimo flujo de efectivo. $1000/1.06+1000 = $943.4 + 1000 = $1943.4 Podríamos descotar etoces a esta catidad el iterés de u período y agregar el flujo de efectivo del año tres. $1943.4/1.06 + 1000 = $1833.39 + 1000 = $2833.4
Este proceso podría repetirse las veces que fuese ecesario. La seguda figura ilustra este efoque y los cálculos restates. 0 $4,212.37 0.00 $4,212.37 1 2 3 4 5 $3,465.11 $2,673.01 $1,833.40 $ 943.40 $ 0.00 $1,000.00 $1,000.00 $1,000.00 $1,000.00 $1,000.00 $4,465.11 $3,673.01 $2,833.40 $1,943.40 $1,000.00 (años) tiempo Total valor presete = $4,212.37 r = 6% Valor presete descotado itereses De acuerdo a lo aterior, veamos cuál es la expresió y la otació para este plateamieto fiaciero: EJERCICIO RESUELTO A) Tego u compromiso de cacelar ua deuda detro de 4 semestres de $ 250.000. Se me iforma que se aplicó u iterés del 20% semestral a la deuda. Si deseo cacelarla hoy a cuato asciede la deuda? $ 250.000 0 4 semestres P La otació de Tarquí es: P= $ 250.000 ( P/F, 20%, 4) La fórmula es: 1 P 250.000*( (1 0.2) 4 P = 120.563,27 EJERCICIO PROPUESTO Si deseo que me cacele mi prima de servicios que asciede a $ 3 500.000 y que se cacela detro de seis meses. Si la empresa estima que su tasa de oportuidad mesual es del 3.2% mesual. Cuáto me paga?
2.3.2. Equivalecias co aualidades Ua aualidad es ua serie de pagos llamados comúmete cuotas que puede ser iguales o variables. Estos modelos matemáticos, os idica que teiedo u valor presete o u valor futuro hallemos las cuotas o aualidades que sea equivaletes a través del tiempo. Veamos la gráfica de la serie de aualidades: 0 1 2 3 4 5 A Para resolver ua serie de pagos e aualidad o cuotas veamos alguas codicioes que debe cumplir: 1) La serie puede ser de cuotas iguales o de cuotas variables que se icremeta o dismiuye u ua proporció costate. Cuado teemos cuotas iguales se llama serie de aualidad uiforme y cuado es variable se llama gradiete 2) Si la serie es de pagos uiformes debemos teer las siguietes características para su solució: a. Las cuotas debe ser iguales durate todo el tiempo del plateamieto fiaciero b. Como míimo debe existir dos cuotas o aualidades porque de lo cotrario so pagos úicos. c. Las aualidades so seguidas es decir que para ser cosiderada ua serie o debe faltar pagos. Si e la gráfica aterior faltara el pago del periodo tres, ya o se tiee ua serie de aualidades sio dos series de aualidades ua del periodo cero al dos y la otra del periodo tres al período cico. d. Las aualidades so vecidas, es decir al fial de cada período. Como cosecuecia de esta recomedació o existe pagos e el período cero. Si por algua razó existiera pagos e este período cero excluye del calculo ya sea del valor presete o futuro y este pago excluido se maeja como u pago úico e. El primer pago se tiee al fial de periodo 1. F (1 i) A i 1 0 1 2 3 4 5 F=? Aualidad
FORMULA FINANCIERA F (1 i) A* i 1 2.4 NOTACIÓN F= A* (F/A, i%, ) EJERCICIO RESUELTO Deseo comprar ua casa que se termia de costruir detro de seis meses y cuyo valor fial expresado por el costructor es de $ 15 000.000. Puedo ahorrar mesualmete $ $2 000.000 e u baco que me paga u iterés del 2.6% mesual? Puedo comprar la casa $15 000.000 0 1 6 A = $ 2 000.000 La otació de Tarquí sería: Por formula su cálculo sería: No puedo comprar la casa. F = A ( F/A, i%, ) 6 (1 0.026) 1 F 2'000.000* 0.026 F 12'807.572,78 15'000.000 EJERCICIO PROPUESTO Si ahorro de mi sueldo $ 35.000 e u titulo de capitalizació cuato tedré ahorrado detro de 12 meses si la tasa de iterés que me recooce es del 2% mesual?
Cómo Obteer ua aualidad coocido u valor futuro? F 0 1 2 3 4 5 6 Aualidad =? FORMULA FINANCIERA A i F (1 i) 1 2.5 NOTACIÓN A= F (A/F, i%, ) EJERCICIO RESUELTO Debo cacelar ua deuda de $ 2 350.000 detro de 1 año. Aalizado mis gastos, puedo ir aboado mesualmete durate año a fi de o teer que hacer todo el desembolso e u solo mometo. La tasa de iterés que acepté me cobrara es del 3% mesual. A cuáto asciede mis cuotas? $2 350.000 0 1 12 A=? La otació de Tarquí es: Por formula la solució será: A= 2 350.000 (A/F, 3%, 12) 0.03 A 2'350.000* $165.585,90 12 (1 0.03) 1
EJERCICIO PROPUESTO Si deseo comprar para fi de año los tiquetes para u viaje que me vale $ 5 000.000, cuáto debo ahorrar mesualmete para poder comprarlos si la tasa de iterés que me cobra es del 3.5% mesual? Cómo Obteer u Valor presete coocidas las aualidades a pagar? El plateamieto de este modelo matemático es: Cuál es el valor presete P de ua serie uiforme de pagos A de fi de período durate períodos a iterés compuesto. Aualidad 0 1 P=? FORMULA FINANCIERA P (1 i) 1 A* i *(1 i) NOTACIÓN 2.6 P= A (P/A, i%, ) EJERCICIO RESUELTO Debo cacelar ua deuda y me falta por pagar 12 pagos de $ 20.000. Si me cobra u iterés del 3.2% mesual y estoy iteresado e cacelar e u solo pago, a cuato asciede su valor hoy? 0 1 12 P=? A = 20.000
La otació de Tarquí es: P= 20.000 (P/A, 3.2%, 12) Por fórmula es: P 12 (1 0.032) 1.000* 0.032*(1 0.032) 20 12 196.724,08 EJERCICIO PROPUESTO Dada ua serie uiforme de pagos de $ 5000 al comiezo de cada semestre y durate 7 años, hallar el valor presete colocada al fial del año dos a ua tasa de iterés del 18% semestral? Cómo hallar el valor de ua aualidad coocido el valor presete? El plateamieto de este modelo se hace de la siguiete forma: Cuál es la serie de pagos de fial de período desde el 1 al, que será equivalete a u valor presete P e u iterés compuesto? P 0 1 Aualidad =? FORMULA FINANCIERA i *(1 i) A P (1 i) 1 2.7 NOTACIÓN A= P (A/P, i%, ) EJERCICIO RESUELTO Deseo comprar u electrodoméstico que vale $ 2 000.000 y deseo hacerlo e 24 cuotas co u iterés del 3.2% mesual. Cuáto debo cacelar e cada cuota? $ 2 000.000 0 1 12 Aualidad =?
Por otació de Tarquí teemos: A= 2 000.000 (A/P, 3.2%, 12 ) La solució por la fórmula es: A 0.032*(1 0.032) '000.000* (1 0.032) 1 2 24 24 $120.653,60 PROBLEMA PROPUESTO Puedo alquilar ua máquia por $ 350.000 auales durate 6 años, realizado los pagos al fial de cada año. Al cabo del 3 año le pedimos al propietario que os idique: Cuál sería la suma global que aceptaría e lugar de los pagos restates, si la tasa míima de iterés que espera obteer es del 42% aual? 2.3.3. Equivalecias co Gradietes: Se defie gradiete a la serie de pagos, que preseta u icremeto ó decremeto de ua cuota co respecto a la aterior ya sea e ua catidad fija de diero ( Gradiete aritmético o lieal ) o e u % ( Gradiete expoecial o geométrico). GRADIENTE ARITMÉTICO: Se llama gradiete aritmético a ua serie de pagos períodos e la cual cada pago es igual al del periódico imediatamete aterior icremetado e ua catidad costate de tiempo. 1) GRADIENTE ARITMÉTICO CRECIENTE: 0 1 2 3-2 -1 A A+G A+2G A+{-1}G CONSIDERACIONES: El primer pago se hace al fial del período 1. El primer icremeto se hace e el período 2. Los icremetos se matiee costates a lo largo del tiempo. Como hallar el valor presete de u gradiete creciete lieal?
0 1 2 3 Aualidad Gradiete G 2G (1 i) 1 P A* i*(1 i) + Valor presete aualidad Valor presete serie gradiete P= A {P/A, i%,} G {P/G i%, } g i (1 i) 1 i *(1 i) (1 i) Cómo hallar el valor futuro de ua serie de gradiete creciete lieal? F (1 i) A i 1 g (1 i) 1 + i i Valor Futuro aualidad Valor Futuro serie gradiete F = A {F/A, i%, } + G{F/G, i%, } 2) GRADIENTE ARITMÉTICO DECRECIENTE: Se llama gradiete aritmético decreciete, a ua serie de pagos periódicos dode cada pago es igual al aterior, dismiuido e ua catidad costate. Para el cálculo de este gradiete o se defie uevas expresioes matemáticas, sio que se toma las de gradiete creciete, haciedo las siguietes cosideracioes: F= A {F/A, i%, } - G {F/G, i%, } P= A {P/A, i%, } - G {P/A, i%, } 0 1 2 3 4 5 A-4G A A-G A-2G A-3G G 2G 3G
Se supoe que todas las cuotas so aualidades cuyo valor es A. Como hemos icremetado las cuotas e valores costates, este valor hay que quitárselo, es decir hay que restar u gradiete creciete Como vemos e la gráfica, cada icremeto e cada cuota se matiee costate. Las expresioes matemáticas so las mismas utilizadas ateriormete e el gradiete lieal creciete P (1 i) 1 A* - g (1 i) 1 i*(1 i) i i *(1 i) (1 i) F ( 1 i) 1 - g (1 i) 1 A i i i GRADIENTE GEOMÉTRICO: Se llama gradiete geométrico, a ua serie de pagos periódicos e la cual cada pago es igual al del período imediatamete aterior icremetado e u porcetaje costate. GRADIENTE GEOMÉTRICO CRECIENTE: 0 1 A Dode : i es la tasa de iterés k es el porcetaje de icremeto Valor _ Presete A 1 k P 1... Cuado... i k i k 1 i A P......... Cuado... i k 1 i Valor _ Futuro A F (1 i) (1 k).. Cuado... i k i k 1 F A(1 i)....... Cuado... i k
GRADIENTE GEOMÉTRICO DECRECIENTE: F 0 1 2 3-1 A A {1-k} A {1-k} 2-1 A {1-k} A F (1 i) (1 k)... Cuado_ i k i k A 1 k P 1... Cuado_ i k i k 1 i EJERCICIO RESUELTO 1) Debo cacelar u préstamo de la siguiete forma: La primera cuota al fial del primer mes por $ 1000 y las 5 restates se icremeta e $500. Si el iterés que me cobra es del 3% mesual, cuál es el valor del préstamo? 0 1 6 1000 E la otació de Tarqui tedremos P=1000 (P/A, 3%, 6) + 500 (P/g. 3%, 6) 3500 FORMULA FINANCIERA 6 6 (1 0.03) 1 500 (1 0.03) 1 6 P 1000 6 6 6 0.03(1 0.03) 0.03 0.03(1 0.03) (1 0.03) P 11.955,30
2.4 EJERCICIOS DE REPASO Ejercicio No. 01 Al abrir ua cueta de ahorros e ua Corporació co $ 2.500.000 me etregaro ua libreta para realizar mis operacioes fiacieras por valor de $12.000, valor que descueta por aticipado, se sabe que me cobra $8.000 por itereses aticipados e el trimestre por maejo de la cueta y que existe ua reteció del 1% trimestral sobre itereses gaados. Cuál será el saldo que puedo retirar después de seis meses, si me recooce u iterés del 6.25 trimestral. Represetació Gráfica: $2'500.000 1 Trim. 2 Trim. $ 20.000 VF =? Hallado el valor del primer trimestre $ 2'480.000 * ( 1+(*i%) $ 2 480.000* (1+0.0625*1) $ 2 635.000 A este valor le resto el 1% de los itereses así: $ 2 480.000 *6.25% = $ 155.000 * 1% = 1500 E total queda $2 635.000 1500 = $ 2 633.450 Ahora descueto los $ 8.000 por cobro aticipado de los itereses. $ 2'633.450-8.000 = $ 2'625.450 => Rta. Hallado el valor del segudo trimestre $ 2'625.450 * 6,25% = 164.090 * 1% = 1.640 $ 2'787.900 => Rta. Valor a retirar e el segudo trimestre.
Ejercicio No. 02 Debo cacelar u préstamo e la siguiete forma: - Ua cuota iicial (e el puto cero) de $100 - Dos cuotas de $100 e los períodos 1 y 2 - Ua cuota de $200 e el período 3 - Dos cuotas de $100 e el período 4 y 5 - Tres cuotas de $200 e los periodos 6,7,8. Represetació Gráfica: Lo que se iteta mostrar e este ejercicio, es que o existe ua úica solució de u plateamieto fiaciero. Existe tatas como aalista tega el problema. Usted debe formar criterio e algua de ellas y tomar las mecáica de su cálculo. Le presete tres formas para resolver este plateamieto fiaciero. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 100 100 100 100 100 200 200 200 200 Solució por Notació: Hallado valor presete... P = A (P/A, i, ) (P/F, i, ) a) Primera forma de solució E esta primera solució, se lleva cada pago como u valor futuro a valor presete y la sumatoria total es el valor a cacelar. P = 100 + 100 (P/A, i,2) + 200 (P/F,i,3) + 100 (P 3 /A,i,2) (P/F 3, i, 3) + 200 (P 5 /A, i,3) (P/F 5, i, 5) Voy llevado cada pago a valor presete. Primero tomo el pago e el período cero y lo suma a los cálculos que haga. Posteriormete, llevo los pagos del período 1 y 2 al periodo cero. No olvide que cuado se defiió la serie de aualidades se dijo que ua de las características para ser
Cosiderada serie de aualidad era que los pagos era vecidos y que la primera aualidad se tiee al fial del período uo. Ahora llevo el pago de 200 al período cero. Llevo las aualidades de los períodos 4 y 5. Aquí hay que teer cuidado porque al maejar estos dos pagos como ua serie de aualidades, cumple todas las características excepto que el valor presete se halla es el puto tres y yo estoy llevado todos los pagos al periodo cero. Por esta razó a este factor lo multiplico co el factor de dado u valor futuro e el período 3, cual es el valor presete. Por último llevo los pagos de 200 como ua serie de aualidades y al igual que el aterior, sólo puedo hallar el valor presete e el período 5 y debo tomar este valor que hallamos y llevarlo como u futuro e el puto 5 a valor presete. b) Seguda forma de solució 100 + 100 (P/A,i, 8) + 100 (P/F 3, i, 3) + 100 (P 5 /A, i, 3) (P/F 5, i, 5) Esta solució toma el valor de 100 del período cero y lo suma a la respuesta. Toma aualidades de 100 del período 1 al período 8. E los putos 3, 6, 7 y 8 se fraccioa la cuota e dos pagos de $ 100 cada uo. El tercer factor so los 100 adicioales que hay e el pago 3 que llevo al puto cero y el último factor so los $ 100 que queda de los pagos 6, 7 y 8 llevados como ua serie de aualidades hasta el puto 5 y de allí el valor hallado se lleva como u futuro del período 5 al período cero. c) Tercera forma de solució P = 100 + 200 (P/A, i, 8) - 100 (P/A, i, 2) - 100 (P 3 /A, i, 2) (P/F 3, i, 3) Esta solució es cosiderado que fuera todos los pagos de $ 200. Como ello o es cierto, debo descotar los excedetes que agregué. El primer factor es el pago del período cero que lo sumo a la respuesta. El segudo factor es cosiderado ua aualidad de 200. El tercer factor es restado los excedetes de los pagos 1 y 2 y los llevo a valor presete. El último factor es el excedete de las cuotas 4 y 5 que las maejo como ua serie de aualidades que llevo al puto 3 y de allí como u futuro a valor presete. Hallamos ahora el valor futuro de las tres alterativas expuestas e el valor presete. a) Primera forma de solució VF = 200(F 8 /A, i, 3) + 100 (F 5 /A, i, 2) (F 8 /P 5, i, 3) + 200 (F/P 3, i, 5) + 100 (P 2 /A, i, 2) (F/P 2,i, 6) + 100 (F/P, i, 8) b) Seguda forma de solució VF = 100 (F/A, i, 8) + 100 (F/A, i,3) + 100 (F/P, i, 5) + 100 (F/P, i, 8) c) Tercera forma de solució VF = 200 (F/A, i, 8) - 100 (F 5 /A, i, 2) (F/P 5, i, 3) - 100 (F 2 /A, i, 2) (F/P 2, i, 6) + 100 (F/P 1, i, 8)
Ejercicio No. 03 Puedo alquilar ua máquia por $ 40.000 auales durate 15 años, realizado los pagos al fial de cada año, al cabo de 6 pagos le pedimos al propietario que os idique cual sería la suma global que aceptaría e lugar de los pagos restates, si la tasa míima de iterés que espera es del 30% aual. Represetació Gráfica: 0 1 2 3 4 5 6 15 años $40.000 Las dos graficas muestras las dos situacioes que tiee el propietario. Él debe pagar durate 15 años el valor de $ 40.000. Pero ua vez que ha pagado el sexto pago, decide cacelar lo que debe. Por esto teemos la siguiete gráfica e la cual se icluye el pago 6 como el puto cero de ua 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 $ 40.000 ueva serie, dode queremos traer a valor presete las aualidades que hace falta por pagar. Si reumeramos del periodo 6 al 15 os queda el cero e el periodo 6 y como periodo 9 al periodo 15. Solució por Fórmula P 6 = A (1 + i) - 1 i (1 + i) P 6 = 40.000 (1 + 0.3) 9-1 0.3 (1 + 0.3) 9 Solució por Notació: Rta. P 6 = $ 120.760 P 6 = A (P/A, i, ) P 6 = 40.000 (P/A, 30%, 9) Rta. = P 6 = $ 120.760
Ejercicio No. 04 He obteido u préstamo de $ 15.000 a pricipios de agosto de 1998, y debo pagarlo e 18 cuotas mesuales aticipadas de $ 2.597.57 al cacelar la cuota No. 14 he decidido cacelar totalmete el préstamo. Iterés del 3%. Cuáto debo pagar? Represetació Gráfica: Este plateamieto fiaciero tiee las siguietes cosideracioes: 1) Teemos ua cuota e el periodo cero. Como usted recuerda igú modelo fiaciero icluye u valor e este período. 2) Auque el ejercicio o lo preguta, si se tuviera que hallar el valor presete de ua serie de pagos aticipados, excluyo el valor del periodo cero, aplico la fórmula del modelo para el calculo de valor presete coocida ua aualidad y a la respuesta le sumo el valor del período cero. 3) Como es ua serie de pagos aticipados, los pagos aparece a iicio del período. Usted debe recordar que e la gráfica e el puto dode se coloca los úmeros idica el fial o vecimieto de u período. Por este motivo cuado usted ve la gráfica, los valores sólo llega a 17 porque e el mismo puto dode es el fial del período 17 es el iicio del período 18. 4) El plateamieto fiaciero os ídica que al pagar la cuota 14 ubicada e el puto 13 ( el fial del periodo 13 es el iicio del periodo 14). Por este motivo plateamos ua ueva serie a partir del periodo 13 (periodo cero) hasta el periodo 17 ( cuarta cuota por pagar) $ 15.000 VP 13 0 13 14 15 16 17 18 $ 2.597.57 $ 2.597.57 Solució por Fórmula: P 13 = A (1 + i) - 1 i (1 + i) P 13 = 2.597.57 (1+0.03) 4-1 0.03 (1 + 0.03) 4 Rta.: $ 9.657.97 Solució por Notació: P 13 = 2.597.57 ( P/A, 3%,4) Rta. : P 13 = 9.657.97 P 13 = A (P/A, i, )
Ejercicio No. 05 Detro de 1 año y 1/2, deseo cambiar mis actuales equipos de refrigeració por uos de mayor eficiecia, e esa fecha cosidero que puedo veder mis actuales equipos por $ 10.500.000 y los equipos de mayor eficiecia me costará $ 20.000.000. Cuáto capital debo cosigar hoy e ua etidad fiaciera que paga el 30.5% aual si deseo comprar la ueva maquiaria. Represetació Gráfica:. Este plateamieto fiaciero requiere de las siguietes cosideracioes: 1) El eveto de cambio de refrigerador es detro de 1 ½ año. 2) E esa fecha voy a veder el actual equipo, por lo que voy a recibir u diero. E la gráfica, los igresos se idica co ua flecha hacia arriba 3) E ese mometo voy a gastar diero covirtiédose e u egreso. 4) Para poder saber cuato debo cosigar hoy co el fi de teer ese diero que equivale a teer $ 9 500.000 5) Debo hallar el valor eto faltate detro de 1 1/2años co el fi de traerlo a valor presete co el fi de hacer hoy la cosigació. 10.500.000 18 meses 20.000.000 Solució por Fórmula: 9.500.000 DIFERENCIA P = F (1+i) P = 9.500.000 (1+0.305) 1.5 P = 9.500.000 1.490787 Solució por Notació: Rta.: P = 6.372.473.66 P = F (P/F, i, ) P = 9.500.000 (P/F, 30.5%, 1.5) P = 6.372.473.66
Ejercicio No. 06 * El costo de mateimieto estimado para uestra maquiaria es de $ 230.000 mesuales si lo realizamos osotros, ua empresa especializada e este tipo de labores os ofrece realizar el mateimieto si firmamos u cotrato que implica el desembolso iicial de $ 3.500.000, si mi empresa cosidera que su tasa de iterés para cualquier operació es del 3.4% mesual, acepto el cotrato o sigo haciedo el mateimieto co mi empresa. Represetació Gráfica: El aálisis de este plateamieto fiaciero es: 1) Mi empresa gasta actualmete $ 230.000 e mateimieto mesual. La propuesta que me hace es pagar e u solo pago ( cotado) $ 3 500.000 por hacer el matemieto 2) Debo llevar las cuotas mesuales a valor presete porque e ese mometo es cuado me hace el ofrecimieto de firmar el cotrato. No olvide que e Fiazas, para poder comprar dos alterativas de iversió debe realizar e el mismo período de tiempo. a) i = 3.4 m $ 230.000 b) 3.500.000 12 Solució por fórmula: Hallado el valor presete de la aualidad... P = A (1+i) - 1 i (1+i) P = 230.000 (1+0.034) 12-1 0.034 (1+0.034) 12 P = 2.235.704.40 < 3.500.000 Rta. No acepto el cotrato Solució por Notació: P = A (P/A, i, ) P = 230.000 ( P/A, 3.4%, 12)
Ejercicio No. 07 U fabricate de aboos ofrece su producto para mejorar los resultados de los cultivos, los costos de aplicació del producto so de $ 1.240.000 y los resultados se comieza a ver imediatamete mostrado beeficios (igresos) de $180.000 durate los próximos 12 meses, tiempo e el cual se reovará el cultivo. Si mi tasa de iterés es del 2% mesual, compro el producto? Represetació Gráfica: $ 180.000 12 meses $1.240.000 Solució por fórmula: Hallado valor presete... P = A (1+i) - 1 i (1+i) P = 180.000 (1+0.02) 12-1 0.02 (1+0.02) 12 Solució por Notació: Rta. P = 1.903.561.42 Acepto el egocio P = A (P/A, i, ) P = 180.000 (P/A, 2%, 12) Rta. P = 1.903.561.42 Ejercicio 08 Tego u gradiete llamado clásico porque se ajusta a las cosideracioes del modelo co el cual se halló las expresioes fiacieras: E este primer ejemplo, vamos a cosiderar que deseamos hallar el valor presete de este gradiete. Lo descompoemos e sus dos elemetos, como se aalizó ateriormete.
Represetació Gráfica: 0 1 2 3 4 100 200 300 400 500 Descompoiedo tedremos que: 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 100 + 200 G = 100 P 100 200( P2 / A, i,4) 100( P2 / G, i,4) Tomamos el mismo ejercicio (aterior) pero desplazádolo u período. 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 5 100 200 300 400 500 200( P / A, i,4) 100( P / G, i,4) *( P / F,,1) P 100 2 o 2 2 i E este ejemplo lo que se hizo fue desplazar los pagos del período 1 al período 2, por lo que las características de gradiete clásico o las cumple. Es ecesario pesar que uestro ejercicio ace del puto 1. De esta forma su podemos aplicar las expresioes de gradiete. Pero cuado hallemos su respuesta, esta es sólo u valor futuro e el período 1 que llevamos a valor presete ( Período cero). Que sucede ahora, si desplazamos otro período los pagos a realizar?
Represetació Gráfica: VF 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 6 7 100 200 300 400 500 600 Serie gradiete: Solució por Notació: 200( P / A, i,5) 100( P / G, i,5) *( P / F,,2) P 100 2 o 2 2 i Al igual que el aterior, cosideramos que el ejercicio comieza e el puto dos y aplicamos las expresioes 2.5 PROPORCION DE CAPITAL E INTERES DE UN PAGO E matemáticas fiacieras, se usa geeralmete expresioes que os ayuda a calcular u determiado pago a futuro, pero o coocemos que proporció de ese pago correspode a iterés y que proporció a capital. Veamos a cotiuació la metodología para el cálculo de estos compoetes Ejemplo 1 Solicitamos u crédito para desarrollar u proyecto. El valor del préstamo es de $5 000, para cacelar e tres años a u iterés del 36% aual. Hallar el valor de las cuotas a pagar. $ 5'000.000.00 i = 36% 1 2 3 Años
1) E cuotas uiformes ( Aualidades) E esta forma de pago, dado el valor presete, vamos a calcular el valor de las aualidades e la forma vista ateriormete. Es decir ya se el valor a pagar e cada uo de los períodos. Pero descoozco cuato debo pagar por capital e iterés. Veamos el cuadro: a) Lo primero que vamos a hacer es teer presete el valor de mi deuda e el período cero que es de $ 5000 señalado co el úmero 1. b) El siguiete paso cosiste e saber durate el primer período cuatos itereses se ha geerado. Esto os da el siguiete valor: $ 5 000 * 0.36 = $ 1 800 Este valor so los itereses del primer pago que va icluido e el primer pago. c) Ua vez hallado el valor del iterés, lo resto del valor a pagar e el primer período y obtego el aporte de capital que tego e la primer cuota. Este valor se halla así: $ 2 987,76 1800 = $ 1.187,76 d) Coocidos el valor del capital e iterés de la primera cuota, os falta por hallar el valor del capital pediete después del primer pago. Para esto restamos del capital iicialmete prestado de $ 5.000 el aporte de capital de la primera cuota $ 1.187,76. El saldo de capital después del primer pago es de $ 3.812,24. e) De las mismas formas, se calcula los valores de los pagos de las cuotas 2 y tres. Observe e el cuadro, como el saldo de capital al pagar la cuota tercera es de cero, es decir que hemos cacelado el préstamo realizado. N CAPITAL INTERES SALDO K A PAGAR 0 5'000 1 1.187,76 1.800 3.812,24 2.987,76 2 1.615 1.372,40 2.196 2.989,76 3 2.196,3 790,86 ---0--- 2,987.76 Esta seguda tabla os muestra la forma de pago e el cual se paga cuotas iguales de capital (Divido lo prestado e el úmero de cuotas) y el iterés se paga sobre el saldo de la deuda. Usted puede ver e el cuadro, que el valor fijo es el capital que se aporta e cada período, os falta es calcular el valor del iterés que se hace de la misma forma que e el cuadro aterior y por diferecia ecuetro el saldo de capital que quedo debiedo. Veamos el siguiete cuadro:
CAPITAL INTERES SALDO K A PAGAR 0 1.666 5'000 1 1.666 1.800 3.333,34 3.466,66 2 1.666 1.200 1.666,6 2.866,66 3 1.666 600 ---0--- 2.266,66 Otra forma de amortizar u préstamo, es plaificado de etrado los aportes que puedo hacer a capital. E el siguiete cuadro, hemos acordado el pago de la parte de capital de cada uo de los períodos. Esta es ua de las muchas formas que se puede teer para poder hacer el pago de u préstamo. Al fi y al cabo, debemos coocer la dispoibilidad de pago que se tiee. Este cuadro os muestra el pago e cuotas de capital e diferetes proporcioes e itereses sobre saldos CAPITAL INTERES SALDO K A PAGAR 0 5'000 1 2.500 1.800 2.500 4.300 2 1.000 900 1.500 1.900 3 1.500 540 ---0--- 2.040
TABLA RESUMEN DE EQUIVALENCIAS DISCRETAS Ecotrar Dado Formula para el calculo F P F P 1 i Gràfica del modelo fiaciero P Notació detarqui F=P(F/P,i%,) P F P F ( 1 i ) P=? F=? P=F(P/F,I%,) F A F (1 i) A i 1 A F F=? F=A(F/A,I%,) P A P (1 i) 1 A i(1 i) P=? A P=A(P/A,I%,) A F i F (1 i) 1 A F A =? A=F(A/F,I%,) A P i(1i ) A P (1i) 1 P A=P(A/P,I%,) A =?
RESUMEN DE EJERCICIOS CAPITULO 2 1) Solicitó u préstamo de $ V a 10 años co la siguiete forma de pago: Cuotas de $ 25.000 mesuales y cuotas extraordiarias de $ 100.000 cada seis meses. La tasa de iterés que se establece iicialmete es del 3% mesual ( Tome como tasa de iterés semestral 18%). Cual es el valor del préstamo? 2) Halle el valor presete y el valor futuro del siguiete plateamieto fiaciero: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Cosidere ua tasa de iteres del 3% mesual $ 200.000 $ 220.000 $ 150.000 3) ABC le presta a usted la suma de $ 10 000.000 a 5 años a ua tasa del 3% mesual. Cuál será el valor de la cuota si esta debe etregarse e forma aticipada? 4) Usted compra ua casa por $ 25 000.000 para cacelar e 5 años (crédito de libre iversió). La cuota fijada e este egocio es de 942.378,16 e forma vecida. Pero cuado comieza a pagar las cuotas ve que o es capaz porque los igresos o le alcaza y propoe que paga $ 650.000 mesuales y el saldo a los 5 años. Cual es el valor del saldo? La tasa de iterés que le cobra es del 3.2% mesual? 5) E cuátos años se triplicará ua iversió realizada hoy co u iteres del 28% aual? 6) Tego u préstamo de $ 1 500.000 y debo pagarlo e 12 cuotas de $210.000. Qué tasa de iteres me está cobrado? 7) Si se deposita 12 cuotas a pricipio de mes de $ 250.000 y dos cuotas extraordiarias e los meses 6 y 12 de $ 1 000.000 a ua tasa de iterés del 2.8% mesual, Cuáto tedré detro de u año? 8) Ua empresa compra u equipo cuyo valor es de $ 10 000.000 los cuales paga co ua cuota iicial del 35% y el resto e 36 meses al 3,2 mesual. Después de pagar varias cuotas decide cambiar la maquia por otra que cuesta $ 15 000.000 dado la aterior como cuota iicial la cual la recibe por $ 5 000.000. Después de pagar cuál cuota se realizó el cambio de equipo? Cuátas cuotas más debo pagar si el saldo lo cotiua pagado co la mesualidad del primer equipo?