TEMA 7: CÓNICAS CIRCUNFERENCIA Se define la circunferencia como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. A dicha distancia se le llama radio de la circunferencia. Sea C(a,b) el centro de la circunferencia y r su radio; y sea P(x,y) un punto cualquiera de la circunferencia. Entonces d(c,p)=r, es decir,. En coordenadas: deduce la ecuación de la circunferencia:, de donde se Si desarrollamos los cuadrados: Reordenando: Renombrando: desarrollada de la circunferencia:, obtenemos la ecuación A partir de esta ecuación podemos hallar el centro y el radio sin más que deshacer los cambios: Propiedades de la circunferencia: 1. Dada una circunferencia y una cuerda cualquiera de ella. La mediatriz de dicha cuerda pasa por el centro de la circunferencia, 2. Dadas una circunferencia de centro C y una recta tangente a ella. Si P es el punto de tangencia entonces el segmento de extremos P y C es perpendicular a la recta.
Posición relativa de una recta y una circunferencia. Sean C el centro de la circunferencia, r su radio y s una recta. Si la recta es exterior a la circunferencia. Si la recta es tangente a la circunferencia. Si la recta es secante a la circunferencia. Posición relativa de dos circunferencias. Posición relativa de un punto respecto de una circunferencia. Potencia de un punto respecto de una circunferencia. Se define la potencia del punto P(x 0,y 0 ) respecto de la circunferencia de centro C(a,b) y radio r, como la diferencia entre el cuadrado de la distancia entre el punto y el centro menos el cuadrado del radio, es decir, que desarrollado es, o lo que es lo mismo:
La potencia se usa para conocer la posición relativa de un punto respecto de una circunferencia. Si el punto P(x 0,y 0 ) es exterior Si el punto P(x 0,y 0 ) es interior Si el punto P(x 0,y 0 ) está en ella Eje radical de dos circunferencias. Es el lugar geométrico de los puntos del plano que tiene la misma potencia respecto a ambas circunferencias. Es una recta perpendicular al segmento que une sus centros. Si las circunferencias son exteriores se traza una tangente común a ambas. El punto medio entre los dos puntos de tangencia tiene la misma potencia respecto a las dos, por tanto el eje radical es la recta perpendicular a la línea de sus centros que pasa por dicho punto medio. Si las circunferencias son tangentes, los puntos de tangencia tienen la misma potencia respecto a ambas (Pot=0) con lo que el eje radical es la recta que los une. Si son interiores se traza una circunferencia que sea tangente a ambas. Los ejes radicales de ella con las otras dos son dos rectas que se cortan en un punto Q, con lo que el eje radical de las dos primeras es la recta que pasa por Q y es perpendicular a la línea de sus centros. Analíticamente se halla restando las ecuaciones de las dos circunferencias: Que es la ecuación general de una recta.
ELIPSE Def. La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. Si F(c,0) y F'(-c,0) son los focos de la elipse y P(x,y) un punto cualquiera de ella. Llamamos 2a a la suma de las distancias de P a los focos. La definición anterior nos dice que d(p,f)+d(p,f')=2a. En coordenadas: Desarrollando la igualdad anterior, simplificando y haciendo b²=a²-c² tenemos que la ecuación reducida de la elipse centrada en el origen es: Elementos de la elipse. Eje focal es la recta que pasa por los focos. Eje secundario es la mediatriz del segmento que determinan los focos. Centro es el punto de corte de los ejes. Distancia focal es la distancia entre los focos. Vértices son los puntos de intersección de los ejes con la elipse. (A, A', B y B') Relación entre las constantes: a² = b²+c² Eje mayor es el segmento de extremos A y A. OA es el semieje mayor. Eje menor es el segmento de extremos B y B'. El segmento OB es el semieje menor. Excentricidad es el cociente Como 0 < c < a, la excentricidad es siempre menor que 1. Si c = 0, la excentricidad es cero y la elipse se reduce a una circunferencia. Por tanto, cuanto menor es la excentricidad la forma de la elipse se aproxima a la circunferencia.
Si el eje focal es el eje de ordenadas. En este caso b > a, la constante es k = 2b, la relación entre las constantes es b² = a²+c², y su excentricidad es Si es centro no es el origen el coordenadas. Si el centro de la elipse es el punto P(x 0,y 0 ), su ecuación es HIPÉRBOLA Def. La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos de plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. Si los focos son los puntos F(c,0) y F'(-c,0) y P(x,y) es un punto cualquiera de la hipérbola, la definición anterior dice que d(p,f)-d(p,f') = 2a En coordenadas Desarrollando la igualdad anterior, simplificando y haciendo la sustitución c²=a²+b², obtenemos la ecuación reducida de la hipérbola centrada en el eje de abscisas con el eje focal horizontal:
Elementos de la hipérbola. Eje focal es la recta que pasa por los focos. Eje secundario es la mediatriz del segmento determinado por los focos. Centro es la intersección de los ejes. Distancia focal es la distancia entre los focos. Vértices son los puntos de intersección de la hipérbola con el eje focal (A y A ) Excentricidad es el cociente de las constantes c y a: Como c>a, la excentricidad es siempre mayor que 1. Además, cuanto mayor sea ésta más abiertas estarán sus ramas. Asíntotas son las rectas de ecuaciones Si el eje focal es el eje de ordenadas. En este caso la constante (diferencia de distancias de uno de sus puntos a los focos) es k = 2b, la relación entre las constantes es c²=a²+b², y su excentricidad es e=c/b La ecuación de la hipérbola es: Si es centro no es el origen el coordenadas. Si el centro de la hipérbola es el punto P(x 0,y 0 ), su ecuación es Sus asíntotas son
PARÁBOLA Def. La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de una recta, llamada directriz, y de un punto llamado foco. Si considero como foco el punto F p 2, 0 y directriz la recta x p 2. Sea P(x,y) un punto cualquiera de la parábola, entonces la definición anterior nos dice que d(p,f) = d(p,d). x p 2 y En coordenadas: 2 2 x p 2, elevando al cuadrado los dos miembros de la igualdad y simplificando obtenemos la ecuación de la parábola con vértice en el origen de coordenadas y directriz vertical: y 2 2px Elementos de la parábola. Parámetro es la distancia entre el foco y la directriz. Se representa por p. Eje es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco. Vértice es el punto de intersección de la parábola con su eje. Casos particulares. Gráfica y 2 2px x 2 2py x 2 2py Directriz Vértice
Parábola con el vértice en el punto P(x 0,y 0 ) Gráfica Directriz Vértice
EJERCICIOS 1. Halla la ecuación de la circunferencia que tiene: a) Centro C(2,3) y radio 5. b) Centro C(-1,4) y radio 4. 2. Halla el centro y el radio de las circunferencias de ecuaciones: a) (x-2)² + (y-4)² = 16. b) (x+1)² + (y-3)² = 2. 3. Halla la ecuación de la circunferencia que tiene por diámetro los puntos P(-2,3) y Q(-8,5). 4. Comprueba si los puntos A(-2,3), B(-8,5), C(2,1) y D(-4,3) pertenecen a la circunferencia (x+5)² + (y-4)² = 10. 5. Determina el centro y el radio de las circunferencias: a) x²+y²-4x-6y-12=0 b) x²+y²+3x+y+10=0 c) 4x²+4y²-4x+12y-6=0 6. Determina la ecuación de la circunferencia de centro en P(2,-3) y que es tangente al eje de abscisas. 7. Halla la ecuación de una circunferencia concéntrica con x²+y²-6x+2y-6=0, y que pasa por el punto P(-3,4) 8. Escribe la ecuación general de la circunferencia (x-3)² + (y-4)² = 4. 9. Halla el centro y el radio de las siguientes circunferencias: a) x²+y²-2x+4y-4 = 0. b) 2x²+2y²+4x+12y+12 = 0. c) x² +y²-6x-8y = 0. 10. Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por O(0,0), P(2,0) y Q(0,3). 11. La recta 4x+3y-24 = 0 forma un triángulo con los ejes de coordenadas. Halla la ecuación de su circunferencia circunscrita. 12. Halla la ecuación de la circunferencia de centro C(3,0) sabiendo que es tangente a la recta x+y=0. 13. Halla la ecuación de la circunferencia concéntrica con x²+y²-4x+6y-17=0 que sea tangente a la recta de ecuación 3x-4y+7=0. 14. Halla la ecuación de la circunferencia de centro en la recta x+y-2 = 0 y que pasa por los puntos A(4,-1) y B(-1,-2).
15. Halla la ecuación de la circunferencia de radio 5, que pasa por el punto A(3,5), sabiendo que su centro está en la recta 3x-y+1 = 0. 16. Estudia la posición relativa de: (en el caso en que se cortan halla sus puntos de corte) a) La recta 7x-y+12 = 0 y la circunferencia (x-2)²+(y-1)² = 25 b) La recta x+y-3 = 0 y la circunferencia (x-2)²+(y+1)² = 2. c) x²+y²+6x-14y+33 = 0 y la recta x-2y+12 = 0. 17. Estudia la posición relativa de la siguientes circunferencias (de dos en dos): x²+y²-4x-12y+15 = 0, x²+y²-16x-6y+63 = 0 y x²+y²+2x-12y+33 = 0. 18. Para qué valores de "k" la recta y=kx es tangente a la circunferencia de ecuación x²+y²-10x+16=0? 19. a) Halla la ecuación de la recta tangente a (x-2)²+(y-1)² = 25 por A(-1,5) b) x²+y²-8x-4y-5 = 0 por B(1,-2). c) x²+y² = 10 por P(4,2). d) x²+y²+2x-19 = 0 por Q(1,6). 20. Halla la longitud del segmento de tangente comprendido entre el punto P(2,-1) y la circunferencia x²+y²+3x-2y-4 = 0. 21. Dada x²+y²-6x+10y-66 = 0. Halla las ecuaciones de las rectas paralelas a 4x- 3y+2=0 que sean tangentes a la circunferencia. 22. Calcula la potencia de los puntos A(0,1), B(1,-5) y C(3,-4) respecto de la circunferencia de ecuación x²+y²+2x+16y+49=0 Qué posición ocupan dichos puntos respecto a la circunferencia? 23. Halla la ecuación del eje radical de las circunferencias x²+y²+4x-2y+3=0 y x²+y²+2x-1=0. 24. Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(2,1) y B(-2,3) y tiene su centro en la recta x+y+4=0 25. Halla la ecuación de la circunferencia de radio, que pasa por el origen de coordenadas y tiene su centro en la bisectriz del segundo cuadrante. 26. El punto P(2,2) es el punto medio de una cuerda de la circunferencia x²+y²=16. Halla la longitud de dicha cuerda. 27. Halla las ecuaciones de la rectas tangentes a x²+y²-4x-4y-8=0 desde el punto A(-1,-2)
28. Calcula las ecuaciones de las rectas tangentes y de las rectas normales a las siguientes circunferencias, en los puntos de abscisa 2. 2 2 2 2 a) x y 4 b) x y 4x 6y 12 29. Calcula cuáles son las distancias máxima y mínima del punto (8,-3) a la circunferencia de ecuación x 2 + y 2 + 6x - 4y + 9 = 0 30. Calcula la ecuación de la circunferencia que: a) Tiene su centro en (2, -3) y pasa por el punto (1, 4); b) Tiene su centro en (2, -3) y es tangente al eje de abscisas; c) Tiene su centro en el punto de intersección de las rectas x + 3y + 3 = 0 y x+ y + 1 = 0 y su radio es igual a 5 unidades; d) Tiene su centro en (- 1, 4) y es tangente al eje de ordenadas; e) Tiene su centro en (2, 0) y es tangente a la bisectriz del primer cuadrante, f) Tiene su centro en (1, 3) y es tangente a la, recta 3x - 4y + 10 = 0; g) Tiene su centro en la recta 5x 3y - 2 = 0 y pasa por los puntos (4,0) y (0,4), h) Tiene su centro en la recta x + y = 1 y pasa por los puntos A (-1, 4) y B(3,2) i) Pasa por el punto (-2,0) y es tangente a las rectas 4x + 3y - 8 = 0 y 4x 3y + 24 = 0. j) Tiene por diámetro el segmento AB, siendo A(2,0) y B(-6, 6). 31. Dada la elipse de ecuación: a) a = b = c = b) Los focos son F(, ) y F (, ) c) Sus vértices son A(, ), A (, ), B(, ) y B (, ). d) El eje mayor mide unidades. e) La distancia focal es unidades. f) su excentricidad es 32. Una elipse tiene sus focos en los puntos F(5,0) y F (-5,0), y su constante es k = 26. Escribe su ecuación y represéntala gráficamente. 33. Halla la ecuación de la elipse de focos F(6,0) y F'(-6,0) sabiendo que la suma de distancias de un punto cualquiera de ella a los focos es 20. 34. Halla la ecuación de la elipse de eje mayor 16 y excentricidad 1/4. 35. Halla la ecuación de la elipse de foco F'(-12,0) y semieje mayor 13. 36. Halla los elementos de la elipse de ecuación 4x²+9y²=900
37. Halla los elementos de la elipse de ecuación 38. Halla los elementos de la elipse de focos en F(0,3) y F'(0,-3) y suma de distancias 10. 39. Halla los elementos de la elipse de ecuación. Represéntala gráficamente. 400. Halla los elementos de la elipse de ecuación Represéntala gráficamente. 41. Dada la hipérbola de ecuación: a) a = b = c = b) Los focos son F(, ) y F (, ) c) Sus vértices son A(, ), A (, ). d) La distancia focal es unidades. e) Su excentricidad es f) Las ecuaciones de sus asístotas son: 42. Halla la ecuación de la hipérbola de focos F(5,0) y F'(-5,0) y cuya diferencia de distancias de un punto de ella a los focos es 8. Represéntala gráficamente. 43. Halla en cada caso la ecuación de la hipérbola con los datos que se dan: a) c = 10 y distancia entre los vértices 12. b) Pasa por A(10,0) y A'(-10,0) y excentricidad 2. 44. Halla los elementos de la hipérbola de ecuación Represéntala gráficamente. 45. Haz lo mismo del ejercicio anterior para la hipérbola de ecuación 9x²-4y² = 36 46. Halla los elementos de la hipérbola de ecuación Represéntala gráficamente. 47. Halla los elementos de la hipérbola de ecuación Represéntala gráficamente. 48. Halla los elementos de la elipse de ecuación Represéntala gráficamente.
49. Halla los elementos de la parábola y²=8x. 50. Halla el foco y la directriz de las parábolas de ecuaciones 4x+y²=0, 2x²+6y=0 y x²-8y=0. 51. Escribe las ecuaciones de las parábolas determinadas por: a) Directriz x=-5 y foco F(5,0). b) Directriz x=-3 y vértice O(0,0). c) Directriz y=3 y vértice O(0,0). 52 Halla los elementos de la parábola (y-4)²=4(x-3). 53. Halla la ecuación de la parábola de foco F(2,6) y directriz y-2=0. 54. Halla los valores de "k" para que la recta y=kx+2 sea tangente a la parábola y²=4x. 55. Halla una recta tangente a la parábola y²=8x que sea paralela a la recta de ecuación x+y-3=0. 56. Halla los elementos de las siguientes cónicas: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) 57. Con los datos que se dan halla las ecuaciones de las cónicas: a) Elipse de foco F(3,0) y longitud del eje mayor 10. b) Elipse de semieje mayor 30 y foco F(0,-8). c) Hipérbola de foco F(10,0) y eje mayor 16. d) Hipérbola de excentricidad 26/24 y foco F(0,13). e) Parábola de directriz x=3 y vértice O(0,0).