ísia Geneal 1 Poyeto PMME - Cuso 007 Instituto de ísia aultad de Ingenieía UdelaR DINÁMICA DE LA PARTÍCULA MOVIMIENTO CIRCULAR EN UN PLANO VERTICAL abiana Andade Juan Pablo Balaini Pablo Doglio Intoduión: En el siguiente tabajo se analiza la dinámia del movimiento iula. Paa su ealizaión se intodue un poblema mediante el ual deduimos la inidenia de las fuezas que atúan sobe la patíula. inalmente onluimos que el uso de intuón de seguidad es neesaio. Poblema: Un pasajeo en una ueda gigante se mueve on apidez onstante. Suponiendo que su asiento pemanee siempe hoizontal, deduza expesiones paa la fueza que se ejee sobe el pasajeo a lo lago del eoido. Existe algún valo de veloidad y posiión del pasajeo en la ueda que equiea intuón de seguidad? undamento Teóio: Básiamente las leyes apliadas en la esoluión de este ejeiio, son las leyes de la dinámia de Newton y las leyes de la inemátia iula. Leyes de Newton: Pimea Ley, Pinipio de Ineia : Obsevamos un uepo desde un efeenial ineial. Si la fueza neta que atúa sobe un uepo es eo entones: si el uepo está en eposo se mantendá en eposo y si está en movimiento seguiá on veloidad onstante. ( = 0 v = te ). Segunda Ley, Pinipio undamental de la Dinámia : La fueza neta que atúa sobe un uepo es igual al poduto de la masa del mismo po su aeleaión. Cuando la masa es un valo onstante, la fueza neta es popoional a la aeleaión del uepo. ( = m a Teea Ley, Pinipio de Aión y Reaión : Si un uepo A ejee una fueza sobe un uepo B (aión), éste ejee una fueza sobe el uepo A, de igual módulo, dieión y sentido opuesto (eaión). ( A = ). B En patiula, en el ejeiio uando estableemos que la fueza entípeta es igual al poduto de la masa po la aeleaión estamos utilizando la segunda ley de Newton. Cuando estableemos que la fueza tangenial es nula debido a que no existe aeleaión tangenial, también estamos utilizando la segunda ley. Cuando deduimos que existe una nomal ejeida po el asiento, poduto de la fueza que ejee la pesona sobe el mismo, estamos apliando el pinipio de aión y eaión. Leyes de la Cinemátia Ciula: Paa el aso patiula del ejeiio, omo la apidez es onstante, el movimiento pasa a se un movimiento iula unifome en el ual la fueza neta que atúa sobe la patíula es igual a la fueza entípeta ( a a la aeleaión entípeta). Ésta es una B A m CP, siendo m la masa y CP fueza de aáte vaiable on la posiión de la patíula, adial que siempe apunta haia el ento de la iunfeenia que epesenta la tayetoia de la patíula. ).
ísia Geneal 1 Poyeto PMME - Cuso 007 Instituto de ísia aultad de Ingenieía UdelaR Oto aspeto del movimiento iula es que, al igual que en todo movimiento uvilíneo, la veloidad de la patíula en ada instante es tangente a su tayetoia. Paa este movimiento se umple: angula del movimiento ( a, siendo t ω, = v a =, v = ω, donde ω es la veloidad la vaiaión angula), v la veloidad tangenial de la patíula, a la aeleaión entípeta (mismo sentido que la fueza entípeta) y el adio de la iunfeenia que epesenta la tayetoia de la patíula. Al plantea la segunda ley de Newton, en su omponente adial sustituimos la aeleaión entípeta po la segunda euaión dada. Es impotante meniona que el ejeiio se plantea desde un sistema de efeenia solidaio a la Tiea. Resoluión del Poblema: Paa plantea el poblema, iniialmente despeiamos la fueza de ozamiento ente el asiento y la pesona. Tomamos dos sistemas de oodenadas distintos, paa las difeentes pates del análisis del movimiento, el (x,y) según los vesoes e, ˆ e e, eˆ iˆ, ˆj fijos (onfoman un sistema fijo) y el (x,y ) según ˆ (vaiables). ˆ en la dieión tangenial a la iunfeenia y la dieión adial a la iunfeenia espetivamente. Comenzamos nuesto análisis planteando la existenia de una fueza nomal N dada po el asiento. El diagama de uepo libe según (x,y ) seía: P = P os = P sen P N = N sen N = N os
ísia Geneal 1 Poyeto PMME - Cuso 007 Instituto de ísia aultad de Ingenieía UdelaR Como la pesona se mueve on veloidad onstante, la aeleaión tangenial es nula entones la fueza neta en la omponente tangenial también es nula. (Segunda Ley de Newton). = m a = 0 siendo la fueza tangenial. a neta = N P = 0 N = P = P P = N a N os = P os N = P Peo si N No es posible que exista sólo esta fueza nomal poque tiene que existi una fueza llamada fueza entípeta que mantenga al pasajeo unido al asiento, y omo las fuezas N y P que planteamos tienen sentidos opuestos, se anulan. Po lo tanto, debe existi una fueza tal que la suma de todas las fuezas que atúan sobe la pesona onfomen la fueza entípeta ( m a ). Esta fueza es la fueza neta que ejee el CP asiento sobe la pesona, la ual está ompuesta po una fueza adial y una fueza tangenial. = P + = ma siendo entípeta = la fueza + (ueza ejeida po el asiento) El oigen de esta fueza neta es la suma de la fueza nomal que ejee el asiento y la fueza de ozamiento estátio ente la pesona y el asiento, siempe que diha fueza sea sufiiente paa povoa el movimiento iula. De lo ontaio, se neesitaía el intuón de seguidad. Tomando ahoa omo efeenia el sistema (x,y): = P + oz + N = ma siendo N + oz = (ueza ejeida po el asiento) la fueza entípeta
ísia Geneal 1 Poyeto PMME - Cuso 007 Instituto de ísia aultad de Ingenieía UdelaR Calulamos la omponente adial de la fueza ealizada po el asiento. m v m v = = P + = P sen + m v = P sen La omponente tangenial de la fueza ealizada po el asiento, de la misma foma que deduimos al pinipio (apidez de la patíula onstante), es igual a la omponente tangenial del peso peo de sentido opuesto paa anulase. = P os Disutimos según posiiones patiulaes de la pesona: Si se enuenta ente π y π : = + P Obsevamos que la omponente adial de la fueza neta ejeida po el asiento tiene el mismo sentido de la fueza entípeta mientas que la omponente adial del peso tiene sentido opuesto. Un poedimiento análogo india que uando la pesona está ente 0 y π, la omponente adial del peso tiene el mismo sentido que la fueza entípeta. Sin embago la euaión genéia de la fueza entípeta paa ualquie instante del movimiento es la misma.
ísia Geneal 1 Poyeto PMME - Cuso 007 Instituto de ísia aultad de Ingenieía UdelaR Ota posiión patiula que es impotante analiza es uando la pesona se enuenta en π o 3 π. En π/ En 3π/ Como la a 0 = 0 La fueza neta sobe la pesona debe se olineal on el peso y t = t la nomal, de ota foma había una omponente en la dieión de t que no se anulaían poque el peso y la nomal no tienen omponentes en esa dieión. π = P N y 3π = N P, siendo la fueza nomal N la que ejee el asiento. Cuando la aeleaión entípeta es mayo que la aeleaión gavitatoia, es neesaio el intuón de seguidad, mientas la pesona está bajando (ente π/ y 3π/). Poque, en este aso, la fueza nomal N seía negativa debe se ejeida po el intuón. Po último uando la pesona se enuenta en π o Entones la fueza ejeida po el asiento es igual a la fueza entípeta. π, el peso y la nomal se anulan.
ísia Geneal 1 Poyeto PMME - Cuso 007 Instituto de ísia aultad de Ingenieía UdelaR Conlusiones. El poblema que analizamos ha sido simplifiado al onsidea que el asiento posee úniamente una supefiie hoizontal que inteatúa on la pesona, popoionándole una fueza nomal y una fueza de ozamiento estátio. Existen vaias situaiones en las que es neesaio el uso del intuón de seguidad. En patiula, uando la fueza de ozamiento no es sufiiente omo paa mantene a la pesona unida al asiento y uando la aeleaión entípeta es mayo que la aeleaión gavitatoia. BIBLIOGRAÍA: 1. ROBERT RESNICK, DAVID HALLIDAY, KENNETH S. KRANE. ísia Vol. 1, Capítulo 6, dinámia de la patíula, Capitulo 5, fueza y las leyes de Newton. 1996