134567890134567890 M ate m ática Tutorial MT-b13 Matemática 006 Tutorial Nivel ásico ircunferencia y círculo
Matemática 006 Tutorial ircunferencia y írculo Marco Teórico 1. Elementos de la circunferencia y del círculo: : centro de la circunferencia. : radio L E F : cuerda E : diámetro L : secante L 1 : tangente ( G ) L 1 G EF : sagita F punto medio de, E y si es un lado de un polígono regular inscrito a la circunferencia F apotema. : arco de la circunferencia (siempre se leen en sentido contrario a los punteros del reloj). omo es una parte de la circunferencia, se puede determinar su perímetro o su medida en grados, ya que la circunferencia completa mide 360 : sector circular. Áreas y perímetros: (considerando el dibujo anterior) Sea r : radio, d : diámetro.1 Perímetro de la circunferencia: P = π r = π d. Área del círculo: = π r.3 Área sector circular: = π r 360º, ángulo del centro EPEH Preuniversitario, Edición 006
3. Teoremas fundamentales: 3.1 Ángulo del centro: mide lo mismo que el arco que subtiende. Ejemplo: Si arco = 35 = 35 3. Ángulo inscrito: mide la mitad del arco que subtiende. : centro de la Matemática 006 Ejemplo: Si arco = 80 = 40 3.3 Ángulo inscrito y ángulo del centro correspondiente: si un ángulo inscrito y un ángulo del centro subtienden el mismo arco, el ángulo del centro mide el doble del ángulo inscrito. β = β β = γ + δ γ δ : centro de la circunferencia 3.4 Igualdad de ángulos inscritos: si o más ángulos inscritos comparten un mismo arco, éstos miden lo mismo. = β = γ β γ EPEH Preuniversitario, Edición 006 3
Matemática 006 Tutorial 3.5 Ángulo inscrito en una semicircunferencia: todo ángulo inscrito a una circunferencia es recto. : diámetro 3.6 Ángulo interior: = arco + arco 3.7 Ángulo exterior: = arco arco P 3.8 Ángulo semi-inscrito: está formado por una cuerda y una tangente. : tangente : cuerda = arco 4 EPEH Preuniversitario, Edición 006
3.9 Secantes: sean y E secantes = E E Matemática 006 3.10 Secante y tangente: sean tangente y secante = 3.11 uerdas: P P = P P P Ejercicios 1. Sea centro de la circunferencia, determine x : 0 x 135º EPEH Preuniversitario, Edición 006 5
Matemática 006 Tutorial. eterminar el perímetro del arco, si = 50, = 4 cm, : centro de la circunferencia. ) π 9 cm ) 10π 9 cm ) 0π 9 cm ) 40π 9 cm E) Ninguno de ellos 3. En la figura, el arco es el 30% del perímetro de la circunferencia. etermine : ) 7 ) 54 ) 108 ) 16 E) Ninguno de ellos 4. Sea la circunferencia de centro, cuadrilátero, determine x: ) 70 ) 80 ) 140 ) 160 E) Ninguno de ellos 110º x 30º 80º 6 EPEH Preuniversitario, Edición 006
5. 75º 0 : centro de cirunferencia = 6. eterminar β si rco = 70 y = 95. Matemática 006 β 7. Sea arco = 96, diámetro, tangente. Entonces, cuánto miden y β? β 0 8. eterminar arco, si arco = 80 y δ = 50 δ EPEH Preuniversitario, Edición 006 7
Matemática 006 Tutorial 9. Sea secante = 18 cm, tangente = 1 cm, determinar 10. Sea centro de la circunferencia, de radio 13 cm; = 5 cm;. eterminar. 11. Sea arco semicircunferencia de centro, tangente al rectángulo, = 8 cm. etermine el área achurada: ) (3-4π) cm ) (3-8π) cm ) (3-16π) cm ) (64-16π) cm E) No se puede determinar 1. Sea la circunferencia de centro y radio 6 cm, = 60. etermine el área achurada: ) 6π cm ) 10π cm ) 6π cm ) 30π cm E) 36π cm 8 EPEH Preuniversitario, Edición 006
13. Sea + β = 110, centro de la circunferencia. etermine arco. ) 55 ) 110 ) 50 ) 305 E) tro valor β Matemática 006 14) etermine. E 40º 50º 30º 0º 15. En la circunferencia de centro, = 70, = 80. etermine x: ) 40 ) 70 ) 80 ) 110 E) 150 x EPEH Preuniversitario, Edición 006 9
Matemática 006 Solucionario Respuestas Preg. lternativa 1 67.5º 3 4 5 15º 6 60º 7 = 4, β = 84 8 0º 9 8 cm 10 4 cm 11 1 13 14 40º 15 Solucionario: x 1) 0 135º omo es centro de la circunferencia, entonces, 135 es un ángulo del centro. demás el ángulo x subtiende el mismo arco y es inscrito. Por lo tanto, x = 67,5 10 EPEH Preuniversitario, Edición 006
) La alternativa correcta es la letra ) = 50 = 100 En este caso el ángulo del centro mide 100, que es el que se considera en la fórmula del perímetro, r = 4. P arco = π r 360 = π 4 100 360 = 0π 9 P arco = 0 9π cm (Reemplazando) (Simplificando) Matemática 006 3) La alternativa correcta es la letra ) Si el arco es el 30% del perímetro de la circunferencia, entonces: rco = 30% de π r o rco = 30% de 360 Nos piden determinar. omo es ángulo, utilizamos 30% de 360 rco = 30% de 360 (Transformando el porcentaje a fracción y la palabra de por multiplicación) = 30 100 360 (Simplificando) = 108 rco = 108, pero nos piden, que es un ángulo inscrito y subtiende el arco. Por teorema mide la mitad. = 54 EPEH Preuniversitario, Edición 006 11
Matemática 006 Solucionario 4) La alternativa correcta es la letra ) plicando exterior de s, determinamos 0 y 50. Por teorema, determinamos 70, como x y 70 subtienden el mismo arco, entonces x = 140 x = 140 0º 110º 70º x 50º 30º 80º 5) 75º 0 omo es centro de la circunferencia, entonces isósceles en. demás, y subtienden el mismo arco = 150. Entonces, = 180 150 = 30 = 15 (Restando) (Simplificando) 6) 95º β Si = 95, entonces, arco = 190, además arco = 70. plicando teorema del ángulo exterior : 1 EPEH Preuniversitario, Edición 006
arco arco β = 190 70 β = 10 β = (Reemplazando) (Restando) Matemática 006 β = 60 7) β 0 96º 96º Si arco = 96, entonces, = 96 ya que es ángulo del centro β = 84. demás, β y subtienden el arco = 84. Por lo tanto, mide la mitad del arco, ya que es ángulo semi-inscrito = 4. EPEH Preuniversitario, Edición 006 13
Matemática 006 Solucionario 8) plicando teorema del ángulo interior: 50º δ = 50 = arco + arco 80 + arco (Reemplazando) (Multiplicando por ) 100 = 80 + arco 100-80 = arco (espejando arco ) (Restando) 0 = arco 9) = 18 cm, = 1 cm, = x, aplicando teorema de la tangente y secante ( ) = (Reemplazando) ( 1) = 18 (esarrollando la potencia) 144 = 18 (espejando ) 144 18 = (Simplificando) = 8 cm 14 EPEH Preuniversitario, Edición 006
10) = 13 cm, = 5 cm. Entonces, = 8 cm, E = 13 cm. Por lo tanto, E = 18 cm. x 5 13 8 0 E x Matemática 006 y como cuerda y radio, entonces sagita, por lo tanto, = = x plicando teorema de las cuerdas: = E (Reemplazando) x x = 8 18 (Multiplicando) x = 144 (Extrayendo raíz cuadrada) x = 1 = x = 4 cm 11) La alternativa correcta es la letra ) Si arco semicircunferencia, entonces diámetro y como = 8 cm radio = 4 cm E = 4 cm y = 4 cm Área = 8 4 = 3 Área = π r (Reemplazando r) = π 4 Área = 16π E Área achurada = Área = 3-16 π = 3 8π Área Área achurada = 3 8π cm 4 4 4 EPEH Preuniversitario, Edición 006 15
Matemática 006 Solucionario 1) La alternativa correcta es la letra ) omo = 60 y la circunferencia completa mide 360 = 360 60 = 1 de la 6 Sector circular = 1 del área del círculo, cuyo radio es 6 6 Área achurada = 5 del área del círculo 6 (Reemplazando) = 5 6 π 6 (Respetando el orden de la operaciones) = 30π Área achurada = 30π cm 13) La alternativa correcta es la letra ) β y β ángulos inscritos que subtienden el mismo arco, entonces, = β, y + β = 110 = 55, por lo tanto, arco 110. Entonces, arco = 360-110 = 50. Por lo tanto, arco = 50 16 EPEH Preuniversitario, Edición 006
14) Según la figura, arco = 100, ya que = 50, arco = 80, ya que E = 40, arco E = 40, ya que E = 0, arco E = 60, ya que E = 30, entonces, E 40º 50º 0º 30º Matemática 006 arco + arco + arco + arco E + arco E = 360 (Reemplazando) 100 + 80 + arco + 40 + 60 = 360 (Sumando) 80 + arco = 360 (espejando arco ) arco = 360-80 (Restando) arco = 80 ángulo inscrito que subtiende el arco = 40 15) La alternativa correcta es la letra ) omo = 80, entonces arco = 80 y subtiende el mismo arco que el, entonces, el inscrito = 40 y como = 70 x = 110 ( exterior del ). 70º x 40º EPEH Preuniversitario, Edición 006 17
Matemática 006 Solucionario Mis notas 18 EPEH Preuniversitario, Edición 006
Mis notas Matemática 006 EPEH Preuniversitario, Edición 006 19