oordinción de Mtemátic II (MAT) Primer semestre de 3 Semn 3: Lunes de Mrzo Viernes 9 de Mrzo ÁLULO ontenidos lse : Problems con vlor inicil, Ley de Newton, recimiento de poblciones y otrs plicciones. lse : Integrl de Riemnn. Sums superior e inferior. Sums de Riemnn. Definición de función integrble. LASE. Problems con vlor inicil Un ecución diferencil es un ecución en l que precen derivds de un función desconocid Ejemplo.. Ejemplo.. dy dx + xy y dy dx dy dx xy cos yx omo plicción del cálculo de primitivs y l constnte de integrción vmos resolver lgunos problems socidos fenómenos físicos. En estos problems precen ecuciones del tipo dy dx f (x) g y que son llmds ecuciones en vribles seprbles. Note lo siguiente, Si G y primitiv de f (x) entonces de l relción derivndo en form implícit obtenemos G y G y dy dx F (x) F (x) es un primitiv de y F (x ) es un g(y )
Universidd Técnic Federico Snt Mrí Deprtmento de Mtemátic se sigue por otro ldo, si desde el punto de vist de ls diferenciles dy dx g y f (x) dy dx f (x) g y dy g y f (x)dx de donde obtenemos Z Z dy g y eso nos d un método pr resolver este tipo de ecuciones. f (x)dx + Ejemplo.3. Resolver dy dx e y x Psmos diferenciles e integrmos e y dy xdx ) e y x y (x) x ln + + se sigue notr que si y () entonces ln( ) de donde obtenemos e sí y (x) ln e x.. Recciones químics y desintegrción No es difícil observr en l nturlez diverss recciones químics entre elementos. Por ejemplo si moléculs de cierto tipo se desintegrn por cción del medio, el número de moléculs que se descomponen en un unidd de tiempo es proporcionl l número de moléculs totl presente: Supongmos que en t se tienen x grmos. Si denotmos por x (t ) el número de grmos en el instnte t entonces dx es el ritmo de vrición de l cntidd. Si k > es l constnte de proporcionlidd entonces (l cntidd est decreciendo) Notr que se sigue que se sigue dt Z Z x (t ) x (t ) dt dx dt x (t ) x (t ) kx k kdt ) ln x (t ) x (t ) Ke kt kt + como x (t ) obtenemos x (t ) Ke kt demás x () x de donde obtenemos X (t ) x e kt se llm semivid T l tiempo requerido pr que l sustnci se reduzc l mitd. De est form x x e kt ) T ln k MAT (álculo)
Universidd Técnic Federico Snt Mrí Deprtmento de Mtemátic Ejemplo.4. Desintegrción rdioctiv El rdio de crbono tiene un semivid de ms o menos 6 ños. Este se produce en l lt tmósfer por cción de ryos cósmicos sobre el nitrógeno. El rdio crbono por oxidción ps dióxido de crbono y este se mezcl por el viento con el dióxido de crbono no rdioctivo presente. L proporción en el crbono ordinrio h lcnzdo hce tiempo su estdo de equilibrio. Tods ls plnts y nimles que comen plnts incorporn est proporsicón de rdio crbono en sus tejidos. Mientrs el niml o plnt viven est cntidd permnece constnte pero l morir dej de bsorber rdio crbono y el que hbí en el momento de morir comienz desintegrrse. Así, si un frgmento de mder ntigu tiene l mitd de rdioctividd que un árbol vivo. Este vivió hce unos 6 ños. Si solo tiene l curt prte podemos determinr el tiempo en que vivió tenemos: x 4 x e kt ) ln4 kt como T ln 6 se sigue t k T ños. Esto d un método pr medir l edd de objetos orgánicos. Ejemplo.. Si el % de un sustnci se desintegr en ños. uál es su vid medi?.. L ley de enfrimiento de Newton onsideremos el siguiente modelo simplificdo pr el fenómeno de vrición de tempertur en un cuerpo. Supongmos que se cumplen ls siguientes hipótesis: En el instnte t l tempertur en todo el cuerpo T (t ) es l mism. L tempertur del medio es constnte T m El flujo de clor trvés de ls predes del cuerpo dd por dt dt del cuerpo y l tempertur del medio. es proporcionl l diferenci entre l tempertur L últim condición l podemos formulr como dt dt k (T T m ) donde k > es l constnte de proporcionlidd. El signo puede ser explicdo de l siguientes form Si T > T m entonces el cuerpo se enfrí luego l tempertur decrece y sí dt <. Si T < T dt m entonces l tempertur del cuerpo crece luego dt >. dt Supongmos demás que l tempertur inicil del cuerpo est dd por T T () entonces tenemos el problem dt dt k (T T m ) T () T con el método nterior podemos encontrr un expresión pr T (t ), en efecto: dt (T T m ) kdt se sigue note que T () T de donde obtenemos sí ln T T m kt + ln T T m T (t ) T m T T m e kt MAT (álculo) 3
Universidd Técnic Federico Snt Mrí Deprtmento de Mtemátic los vlores bsolutos los podemos quitr rzonndo sobre l tempertur inicil (note por el teorem del vlor intermedio, si l tempertur comienz bjo T m no l puede superr de lo contrrio existirí t tl que T T m e kt. Nos qued T (t ) T m + (T T m )e kt notr que lim t! T (t ) T m Ejemplo.6. Un cuerpo es puesto en un sl tempertur constnte de. Después de minutos l tempertur del cuerpo es de 9 unto tiempo trd en estr? Ejemplo.7. Un cuerpo es puesto en un sl que est un tempertur constnte desconocid. Si psdos minutos el cuerpo est 9 y psdo minutos est 8 clculr l tempertur de l sl...3 Mezcls Pr obtener un remedio, un pintur del color decudo o un trgo es necesrio mezclr diversos ingredientes. onsidere un recipiente con un dispositivo de gitción que en todo momento mntiene l mezcl homogéne Supong que tiene V litros de cpcidd y contiene un mezcl de gu con sl. Si l recipiente le gregmos gu con c grmos de sl por litro un velocidd de litros por segundo y del recipiente scmos gu l mism velocidd Qué cntidd de sl hy en el recipiente en el tiempo t? Se x (t ) l cntidd de sl en el recipiente en el tiempo t, l vrición de l cntidd de sl es dx dt (Sl que entr) - (Sl que sle) L sl que entr es c. l cntidd de sl en el instnte t es x (t ) x (t ) luego l cntidd de sl que sle es, de est form l V V ecución que model l vrición de l cntidd de sl es entonces se sigue dx dt c x (t ) V dx x cv V dt x (t ) cv + Ke V t si l cntidd inicil de sl es x () x entonces x (t ) cv + (x cv)e V t Ejemplo.8. Supong que el estnque contiene litros de gu, entr gu con grmos de sl por litro rzón de litros por minuto, demás sle gu l mism velocidd del recipiente. unto tiempo trd en tener kilos de sl el recipiente?..4 recimiento de poblciones Supong que pr modelr el crecimiento de un poblción en tiempos cortos utilizmos l siguiente regl "L ts de crecimiento de l poblción es proporcionl l poblción existente" entonces el modelo mtemático pr este fenómeno es l ecución: dp dt kp MAT (álculo) 4
Universidd Técnic Federico Snt Mrí Deprtmento de Mtemátic Donde P P(t ) es l poblción existente en el tiempo t. Resolviendo por integrción direct se tiene Z Z dp P kdt, ln(p) kt +, P(t )M e kt Donde M represent l poblción inicil. Ejemplo.9. L poblción de ciert ciudd se duplico de 9 96. Si l ts de crecimiento nturl de l poblción es proporcionl l poblción en culquier tiempo y l poblción en 96 fue de 6 hbitntes, estime l poblción pr el ño. Sen P P(t ) l poblción en el tiempo t. El fenómeno qued modeldo por l siguiente ecución diferencil con vlores iniciles: dp kp dt Resolviendo como rrib: en t (9) P() 3 en t 6 (96) P(6) 6 P(t )3 t /6 Pr determinr l poblción en, se debe evlur en t P()3 /6 t 697 hbts. Observción.. uscr otros ejemplos que puedn resolverse directmente trvés del cálculo de primitivs. LASE. L integrl definid Observción.. Vmos introducir el concepto de función Riemnn integrble trvés de l integrl superior e inferior, es muy importnte en un primer curso de cálculo integrl estblecer l interpretción gráfic de ests cntiddes por ls dificultdes que presentn los conceptos de supremo e ínfimo. Definición.. Se [,b] un intervlo cerrdo. Diremos que P {x,x,...,x n } es un prtición de [,b] si se cumple x < x < x < < x n < x n b Observción.. Notr que P tiene n + elementos y determin n subintervlos de [,b] de l form [x i,x i ]. usremos l notción x i x i x i y llmremos norm de l prtición P l número kp k mx{ x i : i,,...,n} Ejemplo.. Prtición ritmétic y geométric de un intervlo [,b] Se f : [,b]! R un función cotd y P {x,x,...,x n } es un prtición de [,b]. Pr i,...,n denotremos por m i inf f (x) : x [x i,x i ] M i sup f (x) : x [x i,x i ] (omo [,b] 6? y f es cotd se sigue que pr cd i el conjunto f (x) : x [x i,x i ] es no vcío y cotdo, por ende existen su ínfimo y supremo). MAT (álculo)
Universidd Técnic Federico Snt Mrí Deprtmento de Mtemátic Definición.. Si P {x,x,...,x n } es prtición de [,b] se define l sum superior de f socid l prtición P como el número nx S f,p de mner similr se define l sum inferior de f socid l prtición P como el número s f,p i nx M i x i m i x i i Observción.3. Representr gráficmente ls cntiddes nteriores pr un función positiv. Proposición.. Pr cd P prtición de [,b] se cumple s f,p pple S f,p En efecto, pr cd i se cumple m i pple M i. Se sigue m i x i pple M i x i ) nx m i i x i pple nx M i i x i Si P es un prtición de [,b] y gregmos otro punto de [,b] l prtición, digmos x i formmos un prticición P del mismo intervlo que tiene l propiedd P P demás < x < x i, entonces s f,p pple s f,p y S f,p pple S f,p Observción.4. Mostrr con yud de dibujos y enfocrse solo en el intervlo que se gregó un punto. Si x i < x < x i entonces m i pple m i inf f (x) : x x i,x m i pple m i inf f (x) : x x,x i sí m i x i x i m i x i x + x x i de mner similr se muestr l otr propiedd. m i x i x + m i x x i pple m i x i x + m i x x i orolrio.. Si P P entonces s f,p pple s f,p S f,p pple S f,p MAT (álculo) 6
Universidd Técnic Federico Snt Mrí Deprtmento de Mtemátic Observción.. Agregr los puntos uno l vez. orolrio.. Si P y P son dos prticiones rbitrris de [,b] entonces m (b ) pple s f,p pple S f,p pple M (b ) Tomr l prtición P P [P pr l desiguldd s f,p pple s f,p pple S f,p pple S f,p Definición.3. Llmremos integrl inferior de f en el intervlo [,b] l número rel f (x)dx sup s f,p : P prticiones de [,b] de mner similr se define l integrl superior de f en el intervlo [,b] como el número f (x)dx inf S f,p : P prticiones de [,b] Observción.6. Notr que los resultdos nteriores grntizn l existenci de tles números, demás podemos decir f (x)dx pple f (x)dx Definición.4. Diremos que f es Riemnn integrble si se cumple f (x)dx f (x)dx y en tl cso escribiremos pr el número en común. f (x)dx Ejemplo.. Ls funciones constntes son integrbles. Ejemplo.3. L función f (x) x [,] \ Q x [,] \ R Q no es integrble. Teorem.. onsidere un sucesión de prticiones P n de un intervlo [,b] tles que lim n! kp n k y Entonces f es integrble en [,b] más ún lim S f,p n s f,p n n! lim S f,p n lim s f,p n n! n! f (x)dx MAT (álculo) 7
Universidd Técnic Federico Snt Mrí Deprtmento de Mtemátic En efecto, pr todo n se cumplirí s f,p n pple f (x)dx pple f (x)dx pple S f,p n entonces pple f (x)dx de donde obtenemos lo desedo l tomr el límite. f (x)dx pple S f,p n s f,p n Ejemplo.4. f (x) x es integrble en [,b] demás En efecto onsidere ls prticiones ritmétics de [,b] xdx b P n x i + i b n : i,,...,n entonces como e x es creciente se sigue que m i inf{x : x [x i,x i ]} x i M i sup{x : x [x i,x i ]} x i entonces se sigue De mner similr s f,p n S f,p n nx b x i n i nx b + (i ) b n n i b (n )n b n+ n n b ( b + n+bn) n (b ) n + b lim s f,p n b n! nx b x i n i nx b + i b n n i b b + + b n n (b ) n + b MAT (álculo) 8
Universidd Técnic Federico Snt Mrí Deprtmento de Mtemátic de donde obtenemos se sigue que lim S f,p n b n! xdx b Observción.7. Relcionr el cálculo nterior con el áre de un triángulo. Definición.. Se f : [, b]! R cotd y P un prtición del intervlo [, b]. Un Sum de Riemnn pr l función f respecto de l prtición P es un sum finit de l form S(f, P, " i ) donde los " i [x i, x i ]. nx f (" k )(x k x k ) k Observción.8. undo ls función considerd es continu ls sums superiores e inferiores corresponden sums de Riemnn. Escribiremos lim kp k! S f,p," i L pr denotr que pr todo " > existe un > tl que si P es un prtición con kp k < entonces S f,p," i L < ". Teorem.. Se f : [,b]! R un función cotd entonces. lim kp k! S f,p. lim kp k! s f,p f (x)dx f (x)dx 3. Si f es integrble en [,b] entonces lim kp k! S f,p," i f (x )dx El punto 3 es rzonble pues s f,p pple S f,p," i pple S f,p culquier sen ls elecciones de " i relizds. MAT (álculo) 9
Universidd Técnic Federico Snt Mrí Deprtmento de Mtemátic Observción.9. En los libros de cálculo se costumbr definir l integrl de l siguiente form: Se f : [, b]! R cotd. Diremos que f es integrble Riemnn si lim S(f, P, " i ) kp k! lim kp k! k rx f (" i )(t k t k ) existe y no depende del tipo de prticiones ní de los " i escogidos. En tl cso se denot (Decir que mbs definiciones son equivlentes) lim S(f, P, " i ) kp k! f (x)dx Ejercicio. (Desfio pr los lumnos). Muestre que f (x) e x es integrble en cd intervlo [,b] más ún, muestre que Ind: Utilizr prticiones ritmétics. e x dx e b e MAT (álculo)
oordinción de Mtemátic II (MAT) Primer semestre de 3 Semn 3: Lunes de Mrzo Viernes 9 de Mrzo OMPLEMENTO ontenidos lse : Invers. álculo de invers por operciones elementles. lse : Determinntes, propieddes. Invers por menores. Regl de rmer. LASE MATRIZ INVERSA Y OPERAIONES ELEMENTALES Definición.. Se A un mtriz cudrd de orden n. Se dice que A es invertible si existe un mtriz cudrd de orden n, que denotremos por A tl que AA A A I n Observción.. Si un mtriz es invertible, tmbién se suele decir que es no singulr. Observción.. Si l invers existe es únic. Tre: Verificr est observción. Observción.3. No tods ls mtrices son invertibles. Por ejemplo, si considermos ls mtrices A Ç 3 å Ç entonces A es invertible y no lo es. (Verificr directmente suponiendo l existenci y resolviendo ecuciones) å Proposición.. Sen A, mtrices cudrds del mismo tmño e invertibles, entonces:
Universidd Técnic Federico Snt Mrí Deprtmento de Mtemátic. (A) A. A A 3. A T A T 4. ( A) A, pr todo 6. (A n ) A n pr todo entero no negtivo n. No disponemos uń de un criterio pr decidir si un mtriz es o no invertible. El siguiente teorem nos provee un método pr clculr l mtriz invers (en cso de existir) de un mtriz culquier. Teorem.. Se A un mtriz cudrd de orden n invertible. Si un sucesión de operciones elementles por fils trnsform l mtriz A en l mtriz identidd I n, entonces l mism sucesión de operciones elementles convierte l mtriz I n en A. Demostrción. En efecto, si A es equivlente por fils l mtriz I n, entonces existe un sucesión de operciones elementles que convierte l mtriz A en l mtriz I n ; esto quiere decir que existe un sucesión de mtrices elementles E, E,...,E k tles que E k E k E E A I n. Si notmos E k E k E E, entonces A I n, es decir A. Método de Guss-Jordn pr clculr l invers de un mtriz Se A un mtriz cudrd de orden n e invertible. Si queremos clculr su invers, entonces (grcis l Teorem nterior) podemos proceder como sigue. onstruímos un nuev mtriz, denomind mtriz umentd, de l form (A, I n ). Sobre est mtriz umentd (que tiene orden n n), relizmos operciones elementles hst obtener en el ldo izquierdo de est mtriz umentd (es decir en el ldo donde est l mtriz A), l mtriz identidd; l concluír este proceso en el ldo derecho de l mtriz umentd (es decir en el ldo donde originlmente se encontrb l mtriz identidd), prece l invers que estmos buscndo. Ejemplo.. lcule l invers, en cso de existir, de l mtriz A @ Desrrollo: Formmos l mtriz umentd @ y clculmos medinte operciones elementles: @ A E @ E 3 @ E 3( ) 3 A E3( 3) 4 @ 3 @ A E() A A E( ) @ 3 @ 4 3 4 A 3 A A E3( ) @ A 3 MAT (omplemento) 3 A
Universidd Técnic Federico Snt Mrí Deprtmento de Mtemátic se sigue que A @ Se puede verificr fácilmente que AA A A I 3. 4 3 4 3 A Teorem.. Un mtriz cudrd de orden n es invertible si, y solo si, su rngo es n, es decir, (A)n. Ejercicio.. Supong que A 3 [] Muestre que I A es invertible. LASE DETERMINANTES Se A un mtriz cudrd de tmño n. El determinnte de A (se us l notción det(a) A ) es un cierto número complejo socido A el cul podemos definir de mner inductiv como sigue. Pr n, det( ) Ç b Pr n, det c d å d bc Si n 3, entonces necesitmos ls siguientes definiciones. Definición.. L menor de orden ij de A, denotd por M ij, es el determinnte de orden n i-ésim fil y l j-ésim column de l mtriz A. obtenido eliminndo l Definición.. Se llm cofctor de orden ij de A, denotdo por ij, l número ij ( ) i +j M ij 4 Ejemplo.. onsideremos l mtriz A @ 3 A. Eliminemos l primer fil y l tercer column de A 6 A @ 4 3 6 A obteniendo el menor M 3 3 Si eliminmos l segund fil y l primer column 4 A @ 3 A obtenemos el menor M 4 6 6 lculemos los cofctores 3 ( ) +3 M 3, ( ) + M MAT (omplemento) 3
Universidd Técnic Federico Snt Mrí Deprtmento de Mtemátic Definición.3. El determinnte de A ( ij ) n n es el número ddo por 8 > < det(a) > : nx nx ( ) i +j ij M ij ij ij, pr pple j pple n (con j fijo) i i nx nx ( ) i +j ij M ij ij ij, pr pple i pple n (con i fijo) j j 4 Ejemplo.. lculemos el determinnte de l mtriz A @ 3 A 6 Fijemos un fil i, entonces det(a) 3X ( ) i +j j M j M M + 3 M 3 j det(a) 3 6 4 6 3 3 Si fijmos un column, por ejemplo j, se tiene 3X det(a) ( ) i +j i M i M M + 3 M 3 i det(a) 3 6 4 6 4 3 3. Propieddes de los determinntes Proposición.. Sen A y mtrices cudrds del mismo tmño n. Entonces ls siguieetes propieddes vlen.. det(a)det(a T ). Si todos los elementos de un fil o column de un mtriz son cero, entonces el vlor del determinnte es cero. 3. det(i n ) 4. El determinnte de un mtriz digonl o tringulr es igul l producto de los elementos de l digonl.. Si, entonces det( A) n det(a) 6. det(a) det(a) det() 7. Si A tiene dos fils( o columns) igules o proporcionles, entonces det(a). 8. Si se intercmbin dos fils (o columns) en un mtriz su determinnte cmbi de signo. 9. Si se obtiene prtir de A multiplicndo un fil (o column) de A por un número, entonces det() det(a).. Si se obtiene prtir de A, sumndo un fil (o column) otr fil (o column) mplificd por un fctor, entonces det()det(a). MAT (omplemento) 4
Universidd Técnic Federico Snt Mrí Deprtmento de Mtemátic Ç å Ç å 3 6 Ejemplo.3. Se A, entonces el det(a). Si l primer fil de A se multiplic por 3, obtenemos 3 4 3 4 y det() 6 Ç 3det(A). å Si l primer fil de A l multiplicmos por -3 y se l summos l segund fil de A, obtenemos l mtriz y det() det(a). Ejemplo.4. lculemos el siguiente determinnte usndo l propiedd 3 4 3 3 4 7 M 7 8 Definición.4. L djunt de un mtriz A, denotd por dj(a), es definid por dj(a) T donde ( ij ) es l mtriz de cofctores. Es decir, l mtriz djunt es l trspuest de l mtriz de los cofctores. Ç Ejemplo.. Se A c å Ç b d. L mtriz de cofctores es d b Ç d dj(a) c å b å c. Por lo tnto, 3 4 4 onsideremos l mtriz A @ 4 A, l mtriz de cofctores es @ 4 8 A. Por lo tnto, 6 dj(a) @ 4 4 6 A 4 8 Teorem.. A dj(a)det(a) I n dj(a) A det(a) I n Note que, sí det(a) 6, entonces A es invertible y demás A det(a) dj(a) Notemos que si A es no singulr, entonces det(i n )det(aa )det(a)det(a )) det(a) 6 con lo que concluimos que det(a ) det(a) MAT (omplemento)
Universidd Técnic Federico Snt Mrí Deprtmento de Mtemátic Teorem.. Si A es un mtriz cudrd, entonces A es no singulr sí y solo sí det(a) 6 Ejercicio.. lculr el determinnte Desrrollo: b b b b c c b c d b b b b c c b c d b b b b c c b c d (b ) b b c b c b c b d b (b ) (b )(c b) b b c c c d c b d b (b )(c b)(d b (c b)) (b )(c b)(d c) Ejercicio.. Resolver l ecución x b b c x b c b c x c x b b c x b c b c x c x b + b b c x c b c x c x c x + b b x x c b x x c x c x + b b x c b x c x c x + b b x c b x c b x c b x x c b x c b x c b x (x ( + b + c)) ls soluciones son x yx + b + c. Ejercicio.3. Muestre que Desrrollo: y + z z + x x + y y + z z + x x + y y 3 + z 3 z 3 + x 3 x 3 + y 3 x y z x y z x 3 y 3 z 3 y + z z + x x + y y + z z + x x + y y 3 + z 3 z 3 + x 3 x 3 + y 3 y x z + x x + y y x z + x x + y y 3 x z 3 + x 3 x 3 + y 3 y z + x x + y y z + x x + y y 3 z 3 + x 3 x 3 + y 3 y z + x x + y y z + x x + y y 3 z 3 + x 3 x 3 + y 3 y z + x x y z + x x y 3 z 3 + x 3 x 3 y z x y z x y 3 z 3 x 3 x z y x z y x 3 z 3 y 3 x y z x y z x 3 y 3 z 3 MAT (omplemento) 6
Universidd Técnic Federico Snt Mrí Deprtmento de Mtemátic. Regl de rmer L regl de rmer es un método pr resolver sistems lineles de ecuciones. Este método rdic en poder expresr ls soluciones en términos de determinntes, lo que bjo condiciones de simetrí decuds permite concluir propieddes de ls soluciones. Desfortundmente, si bien este método es útil teóricmente hblndo, su implementción computcionnl pr resolver sistems específicos es muy mlo (ver l finl de ests nots un comprción entre los métodos de Guss y rmer) Se 8 > < > : x + x +...+ n x n b x + x +...+ n x n b.. n x + n x +...+ nn x n b n un sistem linel con n ecuciones y n incógnits. Resolver este sistem es equivlente resolver l ecución mtricil AX, donde n x b n x b A @..., X., A @. A @. A n n nn x n b n Si det(a) 6, entonces el sistem tiene un únic solución dd por: x A A, x A A, x 3 A 3 A,..., x n A n A donde A i es l mtriz obtenid prtir de A l reemplzr su i-ésim column por l mtriz. L demostrción se bs en escribir X A det(a) dj(a) e identificr los elementos de dj(a) como los determinntes señldos. Ejemplo.6. Resolvmos el sistem omo det(a), obtenemos 3 @ A@ x x x 3 x x x 3 3 4 3 A 4 3 A 3 4 3 A A @ 4 3 A 4 6 3 8 4 MAT (omplemento) 7
Universidd Técnic Federico Snt Mrí Deprtmento de Mtemátic.. Un observción pr solución de sistems Los sistems que precen en muchs plicciones son de grn tmño. Un sistem de hoy se consider de tmño moderdo y en lguns plicciones deben resolverse sistems de ecuciones con cientos de miles de incógnits. El tiempo de cálculo del computdor necesrio pr resolver el sistem debe ser lo menor posible. Un medid stndrd del costo opercionl es l cntidd de operciones ritmétics (+,,,/) que requiere un método. Este usulmente se expres en flop (floting point opertions) por segundos. Hy métodos que en teorí permiten resolver culquier sistem de ecuciones lineles, pero que en l práctic requieren tiempos de cálculo prohibitivos. Por lo tnto sólo sirven pr sistems de orden pequeño. Ml ejemplo: Regl de rmer. Permite clculr explícitmente l solución de un sistem Ax b medinte: x i det(a i ) det(a) pr i,,,n donde A i se obtiene prtir de A reemplzndo en ést su column i-ésim por el segundo miembro (o ldo derecho) del sistem, b. Si los determinntes se clculn medinte l fórmul recursiv usul de desrrollo por fil (o por column), el costo opercionl de l Regl de rmer es de proximdmente (n + )! flop. uen ejemplo: Método de Eliminción Gussin. Este procedimiento se bs en el método lgebrico de trnsformciones elementles. Su costo opercionl es de proximdmente 3 n 3 flop. omprción: Un clculdor oper en un rngo entre y flop. Un ejemplo comprtivo en un computdor de Gflop ( 9 flop) por segundo (que corresponde un Pentium 4 o Athlon 64) serí: n Regl de rmer flop 4 7 3 9 6 tiempo.4 s. hors ños Eliminción Gussin flop 666 333 7 7 8 9 tiempo.s.s.s.s.73s 4.88s MAT (omplemento) 8