INODUCCIÓN AL MÉODO DE LOS ELEMENOS FINIOS. INODUCCIÓN El método de los elementos finitos (MEF) ha adqirido na gran importancia en la solción de problemas ingenieriles, físicos, etc., a qe permite resoler casos qe hasta hace poco tiempo eran prácticamente imposibles de resoler por métodos matemáticos tradicionales. Esta circnstancia obligaba a realizar prototipos, ensaarlos e ir realizando mejoras de forma iteratia, lo qe traía consigo n eleado coste tanto económico como en tiempo de desarrollo. El MEF permite realizar n modelo matemático de cálclo del sistema real, más fácil económico de modificar qe n prototipo. Sin embargo no deja de ser n método aproimado de cálclo debido a las hipótesis básicas del método. Los prototipos, por lo tanto, sigen siendo necesarios, pero en menor número, a qe el primero pede acercarse bastante más al diseño óptimo. Discretización con elementos finitos El método de los elementos finitos como formlación matemática es relatiamente neo; anqe s estrctra básica es conocida desde hace bastante tiempo, en los últimos años ha sfrido n gran desarrollo debido a los aances informáticos. Han sido precisamente estos aances informáticos los qe han pesto a disposición de los sarios gran cantidad de
programas qe permiten realizar cálclos con elementos finitos. Pero no ha qe llearse a engaño, el manejo correcto de este tipo de programas eige n profndo conocimiento no solo del material con el qe se trabaja, sino también de los principios del MEF. Sólo en este caso estaremos en condiciones de garantizar qe los resltados obtenidos en los análisis se ajstan a la realidad.
. BEVE HISOIA DEL MÉODO DE LOS ELEMENOS FINIOS Anqe el nombre del MEF se ha establecido recientemente, el concepto se ha sado desde hace arios siglos. El empleo de métodos de discretizado espacial temporal la aproimación nmérica para encontrar solciones a problemas ingenieriles o físicos es conocido desde antigo. El concepto de elementos finitos parte de esa idea. Para encontrar estigios de este tipo de cálclos podríamos remontarnos a la época de la constrcción las pirámides egipcias. Los egipcios empleaban métodos de discretizado para determinar el olmen de las pirámides. Arqímedes (87- a.c.) empleaba el mismo método para calclar el olmen de todo tipo de sólidos o la sperficie de áreas. En oriente también aparecen métodos de aproimación para realizar cálclos. Así el matemático chino Li Hi ( d.c.) empleaba n polígono reglar de 7 lados para calclar longitdes de circnferencias con lo qe consegía na aproimación al número Pi de.46. El desarrollo de los elementos finitos tal como se conocen ho en día ha estado ligado al cálclo estrctral fndamentalmente en el campo aeroespacial. En los años 4 Corant propone la tilización de fnciones polinómicas para la formlación de problemas elásticos en sbregiones trianglares, como n método especial del método ariacional de aleigh- itz para aproimar solciones. Feron rner, Clogh, Martin opp qienes presentaron el MEF en la forma aceptada ho en día. En s trabajo introdjeron la aplicación de elementos finitos simples (barras placas trianglares con cargas en s plano) al análisis de estrctras aeronáticas, tilizando los conceptos de discretizado fnciones de forma. El trabajo de reisión de Oden presenta algnas de las contribciones matemáticas importantes al MEF. Los libros de Przemieniecki 4 de Zienkiewicz Holister 5 presentan Variational methods for the soltion of problems of eqilibrim and ibrations, Blletin of American Mathematical Societ, 49, -4. 94. Stifness and deflection analsis of comple strctres. Jornal of Aeronatical Sciences,, 85-84. 956. Some aspects of recent contribtions to the mathematical theor of finite elements. Adances in Comptational Methods in Strctral Mechanics and Design, Uniersit of Alabama Press, Hntsille. 97.
4 el MEF en s aplicación al análisis estrctral. El libro de Zienkiewicz Cheng 6 o Zienkiewicz alor 7 presenta na interpretación amplia del MEF s aplicación a calqier problema de campos. En él se demestra qe las ecaciones de los EF peden obtenerse tilizando n método de aproimación de pesos residales, tal como el método de Galerkin o el de mínimos cadrados. Esta isión del problema difndió n gran interés entre los matemáticos para la solción de ecaciones diferenciales lineales no lineales mediante el MEF, qe ha prodcido na gran cantidad de pblicaciones hasta tal pnto qe ho en día el MEF está considerado como na de las herramientas más potentes probadas para la solción de problemas de ingeniería ciencia aplicada. Actalmente el método se encentra en na fase de gran epansión: es ampliamente tilizado en la indstria continúan apareciendo cientos de trabajos de inestigación en este campo. Los ordenadores han aportado el medio eficaz de resoler la mltitd de ecaciones qe se plantean en el MEF, co desarrollo práctico ha ido caminando parejo de las innoaciones obtenidas en el campo de la arqitectra de los ordenadores. Entre éstas, además de permitir la descentralización de los programas de EF, ha contribido a faorecer s so a traés de sofisticados paqetes gráficos qe facilitan el modelado la síntesis de resltados. Ho en día a se concibe la coneión inteligente entre las técnicas de análisis estrctral, las técnicas de diseño (CAD), las técnicas de fabricación. 4 heor of Matri Strctral Analsis, Mc Gaw-Hill, New York. 968. 5 Stress Analsis, John Wile, London. 966. 6 he Finite Element Method in Strctral and Continm Mechanics, Mc Graw-Hill, London. 967. 7 El método de los Elementos Finitos. Mc Graw-Hill. CIMNE. Barcelona.994.
5. CONCEPOS GENEALES DEL MÉODO La idea general del método de los elementos finitos es la diisión de n contino en n conjnto de peqeños elementos interconectados por na serie de pntos llamados nodos. Las ecaciones qe rigen el comportamiento del contino regirán también el del elemento. De esta forma se consige pasar de n sistema contino (infinitos grados de libertad), qe es regido por na ecación diferencial o n sistema de ecaciones diferenciales, a n sistema con n número de grados de libertad finito co comportamiento se modela por n sistema de ecaciones, lineales o no. En calqier sistema a analizar podemos distingir entre: Dominio. Espacio geométrico donde se a ha analizar el sistema. Condiciones de contorno. Variables conocidas qe condicionan el cambio del sistema: cargas, desplazamientos, temperatras, oltaje, focos de calor,... Incógnitas. Variables del sistema qe deseamos conocer despés de qe las condiciones de contorno han actados sobre el sistema: desplazamientos, tensiones, temperatras,... contorno dominio condiciones de contorno El método de los elementos finitos spone, para solcionar el problema, el dominio discretizado en sbdominios denominados elementos. El dominio se diide mediante pntos (en el caso lineal), mediante líneas (en el caso bidimensional) o sperficies ( en el tridimensional) imaginarias, de forma qe el dominio total en estdio se aproime mediante el conjnto de porciones (elementos) en qe se sbdiide. Los elementos se
6 definen por n número discreto de pntos, llamados nodos, qe conectan entre si los elementos. Sobre estos nodos se materializan las incógnitas fndamentales del problema. En el caso de elementos estrctrales estas incógnitas son los desplazamientos nodales, a qe a partir de éstos podemos calclar el resto de incógnitas qe nos interesen: tensiones, deformaciones,... A estas incógnitas se les denomina grados de libertad de cada nodo del modelo. Los grados de libertad de n nodo son las ariables qe nos determinan el estado /o posición del nodo. Por ejemplo si el sistema a estdiar es na iga en oladizo con na carga pntal en el etremo na distribción de temperatras tal como mestra la figra, F el discretizado del dominio pede ser: nodos Y X Los grados de libertad de cada nodo serán: elementos Desplazamiento en dirección Desplazamiento en dirección Giro según z
7 emperatra El sistema, debido a las condiciones de contorno: empotramiento, ferza pntal temperatra, eolciona hasta n estado final. En este estado final, conocidos los alores de los grados de libertad de los nodos del sistema podemos determinar calqier otra incógnita deseada: tensiones, deformaciones,... ambién sería posible obtener la eolción temporal de calqiera de los grados de libertad. Planteando la ecación diferencial qe rige el comportamiento del contino para el elemento, se llega a fórmlas qe relacionan el comportamiento en el interior del mismo con el alor qe tomen los grados de libertad nodales. Este paso se realiza por medio de nas fnciones llamadas de interpolación, a qe éstas interpolan el alor de la ariable nodal dentro del elemento. El problema se formla en forma matricial debido a la facilidad de maniplación de las matrices mediante ordenador. Conocidas las matrices qe definen el comportamiento del elemento (en el caso estrctral serán las llamadas matrices de rigidez, amortigamiento masa, anqe esta terminología ha sido aceptada en otros campos de conocimiento) se ensamblan se forma n conjnto de ecaciones algebraicas, lineales o no, qe resoliéndolas nos proporcionan los alores de los grados de libertad en los nodos del sistema.
8.4 Principios generales aplicados a n contino elástico A continación se mestran algnas de las ideas básicas relacionadas con los fndamentos matemáticos del MEF aplicadas al caso estrctral. En el sigiente capítlo se realiza n ejemplo con objeto de aclarar las ideas qe se mestran en este capítlo..4. Ecaciones de eqilibrio. Principio de los rabajos Virtales Mchos problemas de medios continos ienen epresados mediante ecaciones diferenciales condiciones de contorno sobre la fnción o fnciones incógnita. Ante la dificltad, en mchos casos la imposibilidad, de encontrar na solción cerrada, se opta por realizar na aproimación, siendo necesaria la epresión integral del Principio de los rabajos Virtales (PV). Se considera n contino elástico como el de la figra sometido a nas ferzas sperficiales { t} { t t tz} { z },, a nas ferzas por nidad de olmen { X} X, X, X, (las ferzas por nidad de sperficie podrían ser presiones el peso propio sería na ferza por nidad de olmen). El ector desplazamientos lo notamos por { } { },, w. Las deformaciones correspondientes a estos desplazamientos son { } { ε} ε, ε, ε zz, γ, γ z, γ z, las tensiones debidas a estas deformaciones serán
9 { } { σ} σ, σ, σ zz, τ, τ z, τ z, Las ecaciones de eqilibrio para n elemento diferencial de olmen peden escribirse de la forma { σ} + { X} donde el ector {X} incle de forma general las ferzas de inercia { X} { X} ρ, es decir, consideramos las ferzas de inercia como ferzas por nidad de olmen. Mltiplicando esta ecación por na fnción de ponderación {δ} e integrando { δ } σ { δ } { } d + { X} d Utilizando la formla de Green 8 se pede escribir { δ } σ { δ } σ { δ } { }d { }nds {X}d s (.) + + Si se asocia la fnción de ponderación {δ} con n desplazamiento irtal, el operador actando sobre él será na deformación irtal { δε} { δ} El eqilibrio en el contorno eige qe se cmpla la relación { } en la epresión (.) { δε } σ { δ } { δ } σ { n} { t } sstitendo { }d {t}ds {X}d s (.) + + 8 La formla de Green se obtiene a partir de la relación: ( ab) a b + b a del teorema de la diergencia ( ad s ands ), qe nos permite escribir: a b abnds b ad s
En la relación anterior es posible introdcir la le de comportamiento de material mediante la matriz elástica con las propiedades de éste, [C], de forma qe ( ) { } [ ] { } { } { σ } C ε ε + σ (.) siendo los ectores { ε } { σ } las deformaciones las tensiones iniciales respectiamente. Introdciendo la epresión (.), sponiendo deformaciones tensiones iniciales nlas, en la ecación (.), obtenemos { } δε } ε δ } ρ δ } (.4) { [C] d { ({X}- {})d+ { {t}ds s qe constite la formlación del PV relaciona el sistema de cargas real esferzos con el irtal de desplazamientos..4. Fnciones de interpolación Discretizado el contino, la idea es tomar n conjnto de fnciones (fnciones de interpolación) qe definan de manera única el campo de desplazamientos dentro del elemento en fnción de los desplazamientos en los nodos del mismo. Es decir { (,, z) } [ N(,, z) ]{ U} Siendo {U} el ector con los desplazamientos nodales. Una ez conocidos los desplazamientos en todos los nodos se determinan las deformaciones { ε} [ D]{ } donde [D] es el operador diferencial qe depende del problema en estdio Sstitendo el alor del desplazamiento tenemos qe { ε} [ D][ N]{ U} [ B]{ U} donde se obtiene el alor de las deformaciones en fnción de los desplazamientos nodales.
Sstitendo la ecación anterior en la epresión del PV (.4) tenemos ( ) [ ] { } [ ] [ ][ ]{ } [ ] { } [ ]{ } B C B U d + N X ρ N U d + N t ds s eordenando esta ecación podemos llegar a n sistema de la forma [ M]{ }+ U [ K]{ U} { P} donde se definen: Matriz de masa consistente [ M] [ N ] ρ[ N] d Matriz de rigidez [ K] [ B] [ C][ B] d Matriz de cargas nodales consistentes { P} [ N ] { X} d + [ N ] {} t ds s La epresión anterior es general permite determinar las matrices elementales para calqier tipo de discretización..4. Síntesis de las características globales Las anteriores matrices se calclan para cada no de los elementos. ealizando na transformación de coordenadas a las denominadas coordenadas nitarias del elemento, las matrices qedan en fnción de parámetros pramente geométricos se facilita la integración nmérica. Antes de proceder al ensamblaje de todas las ecaciones ha qe
realizar la transformación a coordenadas globales con el objeto de tener todas las matrices formladas respecto al mismo sistema de coordenadas. Una ez qe se dispone de las matrices ectores elementales en coordenadas globales s acoplamiento en el sistema pede realizarse según el llamado método directo, por el qe smamos en cada posición nodal la contribción realizada por los distintos elementos..4.4 Imposición de condiciones de contorno. Solción Antes de obtener la solción al sistema de ecaciones planteado es necesario imponer las condiciones de desplazamientos nodales qe sean conocidas. El sistema resltante se pede sbdiidir en dos términos: no qe contenga los desplazamientos impestos otro los incógnita. esoliendo este sistema tendremos la solción. Una ez conocidos los desplazamientos nodales es posible calclar otro tipo de magnitdes (deformaciones, tensiones,...).
.5 Ejemplo de aplicación Con objeto de clarificar las ideas del apartado anterior aplicaremos los conceptos allí epestos a la resolción de n caso. Se trata de obtener las ecaciones (matriz de rigidez ectores de cargas desplazamientos) para resoler el problema elástico en na placa como la de la figra inferior. P 5 5 P kg/cm Para ello consideraremos n caso de tensión plana emplearemos n modelo de tan solo dos elementos, de esta forma la complejidad matemática se redce es más claro el proceso a segir. Y, 4 X,
4.5. Solción teórica En primer lgar trataremos de obtener las ecaciones qe rigen el comportamiento de n elemento trianglar como el de la figra inferior. Y X, Y X, Y X, Y X Las fnciones de interpolación de los desplazamientos dentro del elemento se consideran lineales. Es decir (, ) α + α + α (, ) β + β + β donde son los desplazamientos horizontal ertical respectiamente. La ecación anterior pede ser escrita en forma matricial α α α β β β Particlarizando las coordenadas los desplazamientos para cada nodo obtenemos la epresión matricial
5 α α α β β β Este epresión nos permite obtener los parámetros de las fnciones de interpolación en fnción de los desplazamientos nodales sin más qe inertir na matriz. eordenando los distintos términos podemos escribir [ ] [ ] [ ] [ ] A A donde [ ] A Lego a conocemos la matriz [N] qe nos relaciona el campo de desplazamientos en el elemento con los desplazamientos en los nodos [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] N A A ealizando la inersa de la matriz A, podemos reescribir la matriz N en fnción de las características geométricas del elemento [ ] N A N N N N N N
6 donde los alores de N i ienen dados por ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) N + + N + + N + + La matriz [D] qe relaciona deformaciones desplazamientos es [ D] Y podemos constrir la matriz [B] qe nos relaciona las deformaciones con los desplazamientos en los nodos. ε γ { ε} ε [ D][ N]{ U} [ B]{ U} Sstitendo los alores de las distintas matrices [ B] N N N N N N N N N N N N dado qe los alores de las fnciones N i son conocidos en fnción de las coordenadas nodales, es posible determinar la matriz [B] a partir de datos pramente geométricos [ B] Ω
7 siendo Ω el área del triánglo. La matriz de comportamiento [C] qe relaciona deformaciones tensiones, para el caso de tensión plana, iene dada por la relación [ C] ν E ν µ µ donde E es el módlo de elasticidad µ el coeficiente de Poisson. Con las matrices definidas o calcladas hasta el momento a es posible determinar las matrices de rigidez el ector de cargas de cada no de los dos elementos del modelo qe hemos realizado [ ] [ ] [ ][ ] K B C B d dado qe las matrices están en fnción de las coordenadas nodales es posible escribir [ ] [ ] [ ][ ] K B C B Ωt siendo t el espesor de la placa. En la discretización qe hemos realizado tenemos dos elementos con las sigientes coordenadas Elemento (, ) (, ) (, ) (,) (,5) (5,5) (,) (5,) (5,5) Lego tenemos qe la matriz de rigidez del primer elemento es
8 K 5 5 5. 5 5 E 5. 5 5 ( µ ) 5 5 5 5 5 5 5 5. 5 e K E e ( µ ). 5. 5. 5. 5 5... 65. 5.. 5.. 5. 5 De la misma forma, la matriz de rigidez de elemento, endrá dada por K E e ( µ ) 5 5 5. 5 5 5. 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5. 5 K E e ( µ ).. 5.. 5. 5. 65.. 5. 5. 5. 5. 5 5. Para realizar la sperposición de las matrices de rigidez debemos tener en centa a qé nodo pertenece cada término. Para ello ha qe er qé nodos son los qe definen cada elemento. La sigiente tabla nos indica la relación qe eiste entre la nmeración local de cada elemento la global de la estrctra Elemento Nm. Local Nm. Global 4
9 4 los ectores de desplazamientos nodales para cada no de los elementos son e 4 { U} { U} 4 e 4 4 Smando los términos de las dos matrices qe rigidez correspondientes a los mismos grados de libertad, tenemos qe la matriz de rigidez global es [ K] E ( µ ) 5.. 5.. 5. 65 5.. 5. 5. 65. 5... 65. 5 5.. 65. 5. 5.. 5 5. 5.. 5. 5 Sólo falta determinar el ector de cargas para los elementos componer el mismo. El ector de cargas se determina mediante la epresión [ ] [ ] { } P N t da A En este caso sólo tenemos cargas sobre el elemento número, el ector de cargas es
[ ] ( ) ( ) P da e 5 5 5 5 5 5 75 75 El ector de cargas global, en el qe introdcimos las reacciones de los apoos qedará { } P P P P P P P P P + 4 4 75 75 75 75 Determinado el ector de cargas a conocemos las matrices qe permiten resoler el sistema [ ]{ } { } K U P Siendo {U} el ector de desplazamientos, en el qe hemos introdcido los qe son conocidos (condiciones de contorno), es decir { } { } U 4 4 Para la resolción del sistema de ecaciones se pede emplear calqiera de los métodos nméricos eistentes. Además es posible realizar n desacoplamiento de las ecaciones de forma qe obtengamos primero los desplazamientos desconocidos posteriormente, a partir de éstos, las reacciones. Para el caso qe nos acpa la descomposición de dichos sistemas es
( ) 75 75 5 5 65 5 5 5 5 4 4 E µ......... ( ) E 4 4 65 5 5 65 5 5 µ....... esoliendo los sistemas anteriores obtenemos como solción 4 4 64 6 74 59 75 75 98 98.....4.4.5. Solción con el programa ANSYS eselto este mismo ejercicio con ANSYS obtenemos los sigientes resltados: NODE UX UY.E+.E+.64E-.7487E-.E+.E+ 4.59E- -.5965E- NODE FX FY -75. -98.4-75. 98.4
Izq.- Modelo condiciones de contorno. Der.- Desplazamiento global
.6 ANES DE EALIZA UN CÁLCULO PO EL MEF Antes de comenzar a resoler n problema mediante calqier programa de Elementos Finitos coniene refleionar sobre na serie de pntos. Qé se pretende con el análisis? Determinar tensiones, obtener distribciones de temperatra, er cómo eolciona el sistema, calclar frecencias modos propios,... Esta pregnta nos determinará el tipo de análisis ha realizar. Cómo a a ser la geometría qe amos a analizar? Segramente conocemos la geometría real del problema, pero a la hora de realizar s análisis deberemos simplificarla al máimo en fnción del objetio del análisis, a qe la maoría de los detalles son sperflos lo único qe conllean es n consmo ecesio de tiempo de cálclo de espacio de almacenamiento. Para ello deberemos bscar posibles simetrías, antisimetrías, aisimetrías del problema, problemas de tensión o deformación planas, eliminación de detalles sperflos: radios de acerdo, entallas,... Una ez estdiada la geometría podremos decidir el o los tipos de elementos a tilizar, las características de los mismos, así como las propiedades de el o los materiales (módlo de elasticidad, condctiidad,...) a emplear. Qé condiciones de contorno imponemos sobre el sistema a estdiar? ambién serán conocidas, pero deberemos estdiar si son o no importantes o inflentes en el tipo de análisis qe amos a realizar (pede darse el caso, por ejemplo, de qe nestro sistema esté sometido a n cambio brsco de temperatra, pero qe deseemos realizar n análisis modal para conocer ss frecencias natrales, en co caso el resltado es independiente de esta condición). Una ez decididas las condiciones de contorno hemos de estdiar la forma de aplicarlas, si representan las condiciones reales del problema, si eiste eqilibrio (en el caso de qe sea n análisis estático),... La imposición de condiciones de contorno apropiadas es na de las decisiones más complejas a la hora de realizar n análisis por elementos finitos. Qé resltados esperamos obtener?
4 Para poder saber si hemos realizado correctamente el análisis o si representa bien la realidad, deberemos tener na idea de cómo a a responder. Por ejemplo, si estamos analizando na tbería sometida a presión interior los resltados nos indican qe dismine el radio deberemos pensar qe hemos modelado mal el sistema, bien en la aplicación de las cargas, en el mallado, etc. Una ez estdiados estos pntos estamos en disposición de realizar n Análisis por Elementos Finitos, despés de este análisis a la ista de los resltados coniene repasar los pntos qe se han remarcado.
5.7 ÍNDICE. INODUCCIÓN.... BEVE HISOIA DEL MÉODO DE LOS ELEMENOS FINIOS.... CONCEPOS GENEALES DEL MÉODO... 5.4 Principios generales aplicados a n contíno elástico... 8.4. Ecaciones de eqilibrio. Principio de los rabajos Virtales... 8.4. Fnciones de interpolación....4. Síntesis de las características globales....4.4 Imposición de condiciones de contorno. Solción....5 Ejemplo de aplicación....5. Solción teórica... 4.5. Solción con el programa ANSYS....6 ANES DE EALIZA UN CÁLCULO PO EL MEF....7 ÍNDICE... 5