lsmtemtics.eu Pedro Cstro Orteg Repso de operciones con números enteros º ESO Cómo se sumn y se restn números enteros? Es más fácil verlo con lgunos ejemplos que explicrlo con plrs. Ejemplo 1: Ejemplo : ) Sumo los números positivos: ) Sumo los números negtivos: c) Luego se rest: (oserv que el resultdo es, en este cso, positivo). Por cierto: ) Sumo los números positivos: ) Sumo los números negtivos: c) Luego se rest: (oserv que el resultdo es hor negtivo porque 19 es myor que 1). Por cierto: Los mtemáticos de verdd lo hcen en un sol líne, dndo un pr de psos, seprdos por el signo igul: Y sí es como nos deemos de costumrr hcerlo prtir de hor! Hy otr form de hcer ls operciones nteriores: se procede operndo siempre de izquierd derech. Fíjte: Ejemplo 1: Ejemplo : Elige l form que más te guste. Son equivlentes. Pero no te equivoques nunc! Y si hy préntesis? Pues se hce primero l operción que hy entre préntesis y luego se procede como ntes. Vemos otro pr de ejemplos. Ejemplo : ( ) ( ) ( ) ( ) Ejemplo 4: ( ) ( ) ( ) ( ) Oserv que un menos delnte de un préntesis cmi el signo de lo que hy dentro del mismo. Sin emrgo, un más delnte del préntesis dej lo que hy dentro del mismo tl y como est. Hy otr form de hcerlo y tiene que ver con lo que se h dicho en el párrfo nterior. Se puede suprimir directmente culquier préntesis teniendo en cuent que: Si está precedido del signo más los signos interiores no vrín. Si está precedido del signo menos se cmin los signos interiores. Ejemplo : ( ) ( ) Ejemplo 4: ( ) ( ) Elige l form que más te guste. Son equivlentes. Pero te digo lo mismo que ntes: no te equivoques nunc! Vemos, finlmente, otro ejemplo más un poco más lrgo. Ahor con corchetes: Ejemplo 5: [ ( )] [ ( )] [ ( )] [ ( )] [ ] [ ] [ ] Despcito y uen letr! Así llegrás lejos Págin 1
lsmtemtics.eu Pedro Cstro Orteg Repso de operciones con números enteros º ESO Cómo se multiplicn y se dividen números enteros? El producto o multiplicción se notrá con un punto ( ). A veces incluso no se pone nd. Por ejemplo: ( ). Pr denotr l división se utilizn dos puntos ( ). Pero ntes de nd recordemos l regl de los signos: Multiplicción División Regl Ejemplo Regl Ejemplo ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Oserv que, si no es necesrio, no se escrie el préntesis. Además, los números positivos no es necesrio ponerles delnte el signo Est propiedd se conoce como economí del lenguje mtemático! Ams operciones con frecuenci precen mezclds. En este cso se efectún de izquierd derech teniendo en cuent ls regls nteriores: Ejemplo 6: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ejemplo 7: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Operciones cominds Normlmente, ls cutro operciones nteriores (sum, rest, multiplicción y división), precen cominds. Pr no equivocrte dees seguir siempre, y ordendmente, est jerrquí: 1. Corchetes y préntesis.. Multiplicciones y divisiones.. Sums y rests. Hy que tener en cuent que ls operciones del mismo nivel (multiplicciones y divisiones por un ldo, y sums y rests por otro) se relizn siempre de izquierd derech. Ejemplo 8: ( ) ( ) ( ) [primero los préntesis] ( ) ( ) ( ) [hor ls multiplicciones] ( ) [l finl hemos relizdo ls sums y rests] Ejemplo 9: ( ) ( ) [ ( )] ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) Que ls operciones son un poco más lrgs? No ps nd. Con pcienci y sin pris, siguiendo l jerrquí, todo dee de slir ien. Insisto: no tengs pris y crás ntes. Ejemplo 10: ( ) [ ( ) ] ( ) ( ) [ ( ) ] [ ] ( ) Págin
Operciones con frcciones Introducción lsmtemátics.eu Pedro Cstro Orteg º ESO º ESO Pr operr con frcciones se sigue el mismo método que pr operr con números enteros. Es decir, hy que respetr un jerrquí. Recordémosl: 1. Corchetes y préntesis.. Multiplicciones y divisiones.. Sums y rests. Hy que tener en cuent que ls operciones del mismo nivel (multiplicciones y divisiones por un ldo, y sums y rests por otro) se relizn siempre de izquierd derech. Pr poder hcer operciones cominds con frcciones deemos prender primero sumr y restr y, luego, multiplicr y dividir. Pr sumr y restr es fundmentl ser cundo dos frcciones son equivlentes y cómo se reducen frcciones común denomindor. Vmos pues ello. Frcciones equivlentes Dos frcciones son equivlentes cundo expresn l mism cntidd. Por ejemplo 5 y 4 representn l mism 10 cntidd pues :5 4:10 0,4. Pr ser si dos frcciones son equivlentes st compror que formn un proporción, es decir: De este modo oservmos que 5 y 4 10 Hy un propiedd importnte de ls frcciones: c d c d son equivlentes porque 10 4 5. Si se multiplicn o se dividen el numerdor y el denomindor de un frcción por el mismo número, se otiene un frcción equivlente l dd. Es decir: Oserv que de l frcción denomindor por. k ; k : k : k 5 se puede otener l frcción equivlente 4 10 multiplicndo el numerdor y el Oserv tmién que, por ejemplo, dividiendo el numerdor y el denomindor de l frcción 1 18 entre 6, se otiene l frcción. Este proceso se conoce con el nomre de simplificción de frcciones. Un frcción que no se puede simplificr se llm frcción irreducile. Si el número entre el que dividimos el numerdor y el denomindor es el máximo común divisor de mos estremos seguros de que l frcción que se otiene es l irreducile. Por ejemplo, en el cso nterior, si dividimos numerdor y denomindor de l frcción 1 entre se otiene l frcción 18 4, que es un frcción equivlente l nterior, pero no es l frcción irreducile pues podemos volver plicr el 6 proceso con est últim dividiendo numerdor y denomindor entre. Operciones con frcciones Págin 1
Operciones con frcciones lsmtemátics.eu Pedro Cstro Orteg º ESO º ESO Reducción de frcciones común denomindor Pr poder comprr frcciones sin necesidd de dividir podemos hcer que trnsformr ls frcciones dds en otrs equivlentes que teng el mismo denomindor. Así sremos cuál es l myor y l menor simplemente comprndo los denomindores. Pr reducir frcciones común denomindor se recurre l mínimo común múltiplo de los denomindores. Lo veremos mejor con un ejemplo. Imginemos que nos dn ls frcciones 8, 5 6, 4 9, 7 y que nos piden hllr otrs cutro frcciones equivlentes 1 ls nteriores, pero tods ells con el mismo denomindor. Se procede de l siguiente mner. Elegimos como denomindor común el mínimo común múltiplo de los denomindores: 8 6 mcm 8, 6, 9, 1 7 9 1 En cd frcción, multiplicmos numerdor y denomindor por el mismo número, el decudo pr otener 7 en el denomindor. El número decudo se otiene dividiendo el mínimo común múltiplo entre el denomindor de cd frcción: 9 7 5 51 60 7:8 9, 7:6 1 8 89 7 6 61 7 4 48 6 7 76 4 7:9 8, 7:1 6 9 98 7 1 16 7 Y hemos reducido ls cutro frcciones común denomindor. Oserv hor que ests últims son muy sencills de ordenr: 7 6 4 60 7 7 7 7 Así pues ls cutro frcciones del principio, ordends de myor menor serín: 4 7 5 8 9 1 6 Sum y rest de frcciones Pr sumr o restr frcciones, ls reducimos previmente común denomindor. Si lguno de los sumndos es un número entero, los trnsformmos en un frcción con denomindor uno:. 1 Ejemplo 1 4 6 16 15 6 16 15 7 mcm 10, 5, 4 0 10 5 4 0 0 0 0 0 5 7 4 5 7 8 48 10 1 8 48 10 1 51 17 4 6 4 1 6 4 1 1 1 1 1 1 4 Oserv como en este último cso hemos simplificdo el resultdo hst l frcción irreducile. Operciones con frcciones Págin
Operciones con frcciones lsmtemátics.eu Pedro Cstro Orteg º ESO º ESO Si en l operción con sums y rests precen préntesis hy dos forms de proceder primero eliminrlo según l jerrquí: Ejemplo Se efectún primero ls operciones que hy entre préntesis y luego se hcen ls sums y rests. Si el préntesis v precedido de un signo más se puede eliminr sin más, de tl mner que los signos del interior del préntesis no vrín. Si el préntesis v precedido de un signo menos, el préntesis se suprime, pero en este cso los signos interiores se trnsformn: el más se convierte en menos y el menos en más. Recuerd que restr es sumr opuestos. 1 1 5 1 9 5 4 10 5 0 0 5 0 0 0 0 Oserv que hemos utilizdo l primer de ls opciones nteriores: hemos hecho primero l operción que v entre préntesis y finlmente se h efectudo l rest. Hgmos hor l mism operción pero utilizndo l segund opción. 1 1 1 1 1 5 1 5 9 5 4 10 5 4 10 0 0 0 0 0 Oserv que, l estr el préntesis precedido del signo menos los signos del interior vrín: el más se convierte en menos, y el menos se convierte en más. Puedes elegir l opción que prefiers unque l segund es muy útil pues hemos de hcer el mínimo común múltiplo un sol vez. Ejemplo 4 1 1 7 1 4 1 1 7 15 10 1 5 7 1 5 5 15 1 5 5 15 15 15 15 15 15 15 15 10 1 5 7 6 15 15 5 1 7 1 1 1 7 1 1 1 7 1 1 5 1 5 5 1 5 5 1 5 40 1 5 0 1 40 1 5 0 1 5 5 60 60 60 60 60 60 60 1 5 1 1 5 1 1 1 5 1 1 1 1 4 1 8 4 1 8 1 4 1 8 4 16 18 10 8 4 16 18 10 8 15 5 4 4 4 4 4 4 4 4 8 4 1 7 5 4 1 7 5 4 1 7 5 8 6 5 8 6 8 6 5 8 6 8 6 5 8 6 160 45 0 48 105 100 160 45 0 48 105 100 9 10 10 10 10 10 10 10 10 0 Oserv cómo, siempre que se puede, se simplific el resultdo hst l frcción irreducile. Oserv tmién que, si el resultdo es negtivo, d igul escriir el menos en el numerdor o delnte de l frcción:. Operciones con frcciones Págin
Operciones con frcciones lsmtemátics.eu Pedro Cstro Orteg º ESO º ESO Multiplicción y división de frcciones Multiplicción de frcciones El resultdo de multiplicr dos frcciones es otr frcción, cuyo numerdor es el producto de los numerdores y cuyo denomindor es el producto de los denomindores. c c d d En ocsiones ni siquier se escrie el puntito (que signific por ). Es decir, l multiplicción veces se denot simplemente por yuxtposición (usc el vero yuxtponer en el diccionrio), siempre que no hy lugr error. Por ejemplo pr multiplicr ls frcciones 4 5 y 10 c d c d, hcemos: 4 10 410 40 8 5 5 15 Oserv que cundo se multiplic por un número negtivo, éste se pone entre préntesis. Esto es pr no confundir el producto con un rest. Oserv tmién que se h plicdo l regl de los signos: un positivo por un negtivo d resultdo negtivo ( más por menos igul menos ). División de frcciones Pr dividir dos frcción se multiplicn los términos cruzdos. c A veces l división : tmién se escrie sí: d c d c d : d c. O se, que tmién podemos escriir: c d d c Oserv que el numerdor del resultdo es el producto de los extremos y el denomindor del resultdo es el producto de los medios. Vemos un pr de ejemplos: 4 45 0 : 7 5 7 14 ; 7 79 6 1 4 4 1 4 9 Oserv que en l segund división se h vuelto plicr l regl de los signos: más entre menos igul menos. Operciones con frcciones Págin 4
Operciones con frcciones lsmtemátics.eu Pedro Cstro Orteg º ESO º ESO Frcción invers Es ueno ser que dos frcciones son inverss cundo su producto es igul 1. Tod frcción distint de cero tiene invers. L invers de es, pues 1. 1 Muchs veces se escrie que se lee l invers de prtido por es prtido por. O se que el exponente menos uno, en mtemátics signific hcer inversos. 5 Por ejemplo, l frcción invers de 1 es 1 5, y que 5 1 51 60 1. Otro ejemplo más: l frcción 1 5 15 60 invers de 1 es 1 y que 1 1 1 1. 1 1 En mtemátics, dividir no es otr cos que multiplicr por l frcción invers. Oserv: De hí viene lo de multiplicr los términos en cruz. 1 c c d d : d d c c Operciones cominds con frcciones A veces l sum y rest se cominn con l multiplicción y l división. Siguiendo l jerrquí de ls operciones y con un poco de cuiddo no es muy difícil hcer operciones cominds. Vemos unos cuntos ejemplos. Ejemplo 4 1 5 4 Primero el préntesis. 1 9 4 5 5 4 5 1 1 5 1 Y luego el producto, 1 9 4 5 10 1 5 4 5 1 1 5 1 60 6 Ejemplo 5 7 1 5 4 10 Y ses, primero el préntesis, luego el producto y, finlmente, l rest: 7 1 7 5 1 8 5 1 5 4 10 5 4 10 10 5 4 10 5 4 5 5 0 0 0 0 4 Operciones con frcciones Págin 5
Operciones con frcciones lsmtemátics.eu Pedro Cstro Orteg º ESO º ESO Oserv l importnci de simplificr en los psos intermedios. En vez de hcer l multiplicción se h 4 10 simplificdo l frcción 10, oteniendo 1 1 y se h efectudo el producto 5 4, cuyo resultdo es más sencillo que 5 el producto inicil. Es muy conveniente y consejle costumrrse simplificr en los psos intermedios. Ejemplo 6 7 5 1 : 4 8 4 Aquí hy que tener cuiddo. Primero relizmos el préntesis que hy dentro del corchete. Podemos provechr e ir hciendo tmién, l mismo tiempo, el primer préntesis. Luego se hce l división que hy dentro del corchete y, finlmente, el producto. Oserv: 7 5 1 6 7 5 8 1 5 5 1 60 : : : 4 8 4 8 8 1 1 8 1 8 15 1 1 4 4 1 4 8 8 1 8 Recuerd que l división se hce multiplicndo los términos en cruz. Hemos vuelto simplificr en un pso 1 intermedio y hemos multiplicdo 4, en vez de hcer 1 60 porque, como puedes ver, el resultdo de 8 8 15 multiplicr por 4 qued mucho más sencillo que el resultdo de multiplicr por 60. Como siempre, hy que 15 simplificr el resultdo. Ejemplo 7 1 1 5 1 : 5 6 4 4 Y no explicré los psos dr. Descúrelo y convéncete de que lo entiendes. 1 1 5 1 10 9 8 5 1 5 : : : 5 6 4 4 6 6 5 1 1 1 1 6 5 1 1 5 1 5 1 5 10 1 6 5 60 6 5 5 6 5 0 Ejemplo 8 1 1 5 15 1 1 5 6 6 5 6 5 0 1 1 1 4 1 4 4 1 1 1 4 4 4 4 1 1 En este último ejemplo l división hor se d en form tmién de frcción. Oserv que l operción del numerdor se hce por un ldo y l del denomindor por otro. Se simplificn los psos intermedios y, finlmente, se efectú l división. Operciones con frcciones Págin 6
Operciones con frcciones lsmtemátics.eu Pedro Cstro Orteg º ESO º ESO Potencis, ríces cudrds y frcciones Definición de potenci y de ríz cudrd de un frcción 4 4 16 Por ejemplo: 4 81 n n ; n 7 ; ; 4 4 64 5 5 5 4 4 Oserv que, en el segundo ejemplo, como l se es negtiv y el exponente es impr el resultdo es negtivo. Ls propieddes de ls potencis de números enteros se conservn con los números frccionrios. Ests propieddes se trducen en regls de uso práctico. No solmente hy que memorizrls sino que hy que entender su justificción. Así ls usrás de mner más eficz. Dejo de cd propiedd se h escrito entre comills su trducción l cstellno. Cd un de ells se ilustr con un ejemplo. Potenci de un producto Potenci de un cociente Tmién se puede hcer sí: n n n c c d d potenci de un producto es igul l producto de ls potencis 1 1 1 4 1 4 5 5 5 9 5 5 n n n c c : : d d potenci de un cociente es igul l cociente de ls potencis 4 4 4 7 64 7 7 79 : : : : 8 7 864 51 Producto de potencis de l mism se 4 9 9 79 : 8 8 51 n m nm producto de potencis de l mism se es igul l se elevd l sum de los exponentes 5 5 5 4 Operciones con frcciones Págin 7
Operciones con frcciones lsmtemátics.eu Pedro Cstro Orteg º ESO º ESO Cociente de potencis de l mism se : ; m n m n m nm cociente de potencis de l mism se es igul l se elevd l diferenci de los exponentes Potenci de un potenci 8 6 9 : 5 5 5 5 5 m n potenci de un potenci es igul l se elevd l producto de los exponentes Potencis de exponente negtivo nm 6 6 1 1 1 1 1 6 64 Recuerd que el inverso de un frcción lo escriímos sí:. Pues ien este es el primer exponente negtivo que dees prender. Y no olvides que exponente menos uno signific inverso de. En generl Est iguldd somos cpces de demostrrl. Oserv: n n n 1 n 1n 1 n n Lo único que hemos hecho es descomponer n como 1 n y luego plicr l propiedd nterior (potenci de un potenci). Por cierto, ls propieddes hy que ser plicrls, no solmente de mner direct (de izquierd derech) sino tmién l contrrio (de derech izquierd). 5 5 15 Por ejemplo: 5 8 Potencis de exponente cero 0 1 Operciones con frcciones Págin 8
Operciones con frcciones lsmtemátics.eu Pedro Cstro Orteg º ESO º ESO Est propiedd tmién l podemos demostrr: 0 nn n n n n n n 1 1 Hz un esfuerzo e intent explicr qué se h utilizdo en cd uno de los psos. Operciones cominds con potencis Al operr es posile que tmién prezc lgun l ríz cudrd de lgun frcción, o lgun expresión elevd un número. Vemos un pr de ejemplos. Ejemplo 9 1 7 9 : 1 49 7 9 8 : 1 : 1 : 4 7 4 1 1 1 1 1 1 1 1 8 1 : : : 1 1 144 8 144 18 Ejemplo 10 1 7 : 1 1 8 16 7 9 9 1 : 1 : 1 16 16 4 16 9 1 9 4 6 1 9 1 1 6 1 1 9 4 4 4 4 4 4 9 4 4 9 4 9 9 9 : 1 : : 9 1 Operciones con frcciones Págin 9
lsmtemátics.eu Pedro Cstro Orteg Ecuciones de primer y de segundo grdo Ecuciones de primer grdo º ESO - º ESO Definición, elementos y solución de l ecución de primer grdo Un ecución de primer grdo es un iguldd del tipo x donde y son números reles conocidos, con 0. Al número desconocido x se le llm incógnit. A veces, l igul que cundo se trj con polinomios, los números y se le llmn coeficientes de l ecución de primer grdo. Al número tmién se le llm término independiente. Al sustituir l incógnit x por su vlor se h de verificr l iguldd. Clrmente l incógnit h de tomr el vlor y que x x Oserv que l división se puede llevr co porque hemos supuesto que 0. En relidd, pr despejr x, lo que hemos hecho es dividir mos miemros de l iguldd entre : x x x Est propiedd se prende, no con demsid corrección, con l siguiente frse: lo que está multiplicndo ps l otro miemro dividiendo. En este cso, como multiplic x, ps l otro miemro dividiendo, con lo que x. Sin emrgo hy que tener cuiddo con l técnic nterior, y tener en cuent que en relidd l propiedd que se plic es: si se dividen los dos miemros de un iguldd entre un mismo número distinto de cero, l iguldd no vrí. Est propiedd de ls igulddes es, de hecho, l mism que est otr: si se multiplicn los dos miemros de un iguldd por un mismo número, l iguldd no vrí. Oserv y verás: 1 1 x x x x Acmos pues de recordr que dividir entre un número distinto de cero es lo mismo que multiplicr por 1. Ejemplo 1 4 4 4 1 L solución de l ecución de primer grdo x 4 es x, y que 4, con lo que se verific l iguldd inicil. Oserv que, relmente, tl y como se h comentdo nteriormente, pr despejr l incógnit x, se hn dividido los dos miemros de l iguldd entre : x 4 4 x 4 x Como conclusión, decir que pr resolver culquier ecución de primer grdo, deemos llegr, medinte un proceso o un serie de psos, l iguldd x y que, en este momento, tendremos l solución: x. Ecuciones de primer y de segundo grdo Págin 1
lsmtemátics.eu Pedro Cstro Orteg Ecuciones de primer y de segundo grdo º ESO - º ESO Procedimiento pr resolver un ecución de primer grdo Un ecución de primer grdo no prece hitulmente en l form x, sino que se present como un iguldd entre dos expresiones lgerics en ls que pueden precer corchetes, préntesis y frcciones. Por ejemplo: x x x 1 x 6 x x1 5 x5 x 4 6 Recordemos que l expresión que se encuentr l izquierd de l iguldd recie el nomre de primer miemro de l ecución y que l expresión que está l derech de l iguldd se llm segundo miemro de l ecución. Los psos pr resolver un ecución culquier de primer grdo son los siguientes: 1. Eliminr los corchetes y préntesis.. Eliminr los denomindores. Pr ello se multiplicn todos y cd uno de los términos de l ecución por el mínimo común múltiplo de los denomindores.. Trsponer términos. Lo que se quiere decir con esto es que deemos presentr los términos en los que prece l incógnit en uno de los miemros de l iguldd, y los términos que no tienen incógnit en el otro miemro de l iguldd. Pr ello plicmos l siguiente y conocid propiedd de ls igulddes: Si se sum o se rest l mism cntidd los dos miemros de un iguldd, l iguldd no vrí. 4. Reducir términos semejntes. Un vez relizd l trsposición de términos podremos sumr y restr todos los términos de mos miemros pues serán todos semejntes. De este modo l ecución precerá y de l form x. 5. Despejr l incógnit. Un vez despejd l incógnit es conveniente simplificrl, cso de que se posile. Ilustrremos este proceso con vrios ejemplos. Ejemplo x 45x 6 7x 14 4x 5 Est ecución no tiene ni corchetes, ni préntesis y demás tmpoco precen frcciones en ell. Por tnto nos podemos sltr los psos 1 y, y comenzr directmente con el pso, es decir, con l trsposición de términos. Pr ello vmos presentr los términos con l incógnit en el primer miemro y los términos sin incógnit en el segundo. Oserv que sumndo 4, sumndo y restndo 6 en mos miemros de l iguldd, tenemos: x 45x 6 46 7x 14 4x 5 46 ; x 5x 7x 14 4x 5 46 Ahor, si restmos 7x y 4x en mos miemros de l iguldd otenemos: x 5x 7x 4x 7x 14 4x 5 467x 4x ; x 5x 7x 4x 145 46 L trsposición de términos se prende con frecuenci medinte l siguiente regl: lo que está sumndo ps l otro miemro restndo, y lo que está restndo ps l otro miemro sumndo. Oserv que como 4 y estn restndo en el primer miemro, psn l segundo sumndo, y que como 6 est sumndo en el primer miemro, ps l segundo miemro restndo. De igul modo, como 7x y 4x estn sumndo en el segundo miemro sumndo, psn l primero restndo. No olvides sin emrgo que, pr ser precisos, est regl práctic es consecuenci de l propiedd de ls igulddes descrit nteriormente: Si se sum o se rest l mism cntidd los dos miemros de un iguldd, l iguldd no vrí. Ahor reducimos términos semejntes y despejmos l incógnit: 9 9 4x 9 x x 4 4 Ecuciones de primer y de segundo grdo Págin
lsmtemátics.eu Pedro Cstro Orteg Ecuciones de primer y de segundo grdo º ESO - º ESO Ejemplo x 1 x x x 1 9 6 Est ecución no tiene ni corchetes ni préntesis, con lo que podemos ir directmente l pso número. Pr eliminr los denomindores, multiplicremos todos los términos por el mínimo común múltiplo de ellos. En este cso mcm, 9, 6 18. Entonces: x 1 x x 18 18x 18 18118 ; 9 6 x x x x 6 1 54 18 Oserv que lo que hemos hecho es dividir el mínimo común múltiplo (en este cso 18 ) entre cd uno de los denomindores, utilizndo l siguiente propiedd de ls frcciones: c c x 1 18 En nuestro cso, fíjte lo que se h hecho en el primer término: 18 x1 6x 1 Se h trnsformdo de este modo l ecución con denominres en un ecución sin ellos, unque hor tenemos préntesis. Pero estos se eliminn fácilmente: 1x 6 54x x 4 18 9x 6 ; 1x 654x x 4 18 9x 6 En este pso hy que tener especil cuiddo con los signos. Recuerd que un menos delnte de un préntesis cmirá de signo todo lo que v trs él, y que restr un polinomio es sumr el opuesto del mismo. Ahor sólo qued trsponer términos, reducir términos semejntes y despejr l incógnit que, unque prece mucho, es lo más sencillo en el proceso de resolución de un ecución de primer grdo. 14 1x 54x x 9x 18 6 6 4 7x 14 x 7 Ejemplo 4 x 1 1x 4x 1 x 5 6 15 En este cso, prece que no hy préntesis, pero sí que los hy y que, por ejemplo x1 x 1 x. Así 5 5 5 que lo primer que hremos es efectur estos productos y dejr l ecución solmente con denomindores: x 1x 1x x 5 6 15 Ahor multiplicmos por 0, que es el mínimo común múltiplo de los denomindores: 6 x 10 1x 5 1x x 1x 1 10 0x 60x 15 4x Por último trsponemos términos, reducimos términos semejntes y despejmos l incógnit: 17 17 1x 0x 60x 4x 15 1 10 x 17 x x Ecuciones de primer y de segundo grdo Págin
lsmtemátics.eu Pedro Cstro Orteg Ecuciones de primer y de segundo grdo º ESO - º ESO Ejemplo 5 Eliminemos préntesis: x 1 1 x 1 5 x x 1 4 4 x 10x 15 x x 1 x 6 1 4 Eliminemos denomindores multiplicndo por el mínimo común múltiplo, que es 1 : x 1 4 10x 15 1x 4x x 1 4x 440x 60 1x 8x x Trsponemos términos, reducimos términos semejntes y despejmos l incógnit: Ejemplo 6 57 57 4x 40x 1x 8x x 4 60 4x 57 x x 4 4 Vmos finlizr resolviendo l ecución de primer grdo con que se rí est sección. Oserv que no se explicn como ntes los psos que se vn dndo. Dees de identificr cd uno de ellos. x x x 1 x 6 x x1 5 x5 x ; 4 6 x x 5x 15 x x 1 x 1 x5 x 6 ; 4 6 x x 5x 15 x x 6x 6 x5 x 6 ; 4 6 x x 5x 15 4x x5 x 6 ; 4 6 4x x 1x 15 5x 15 6 4x 1x 16 ; 8x 9x 91x 60 10x 0 4x 198 6x 7 ; 8x 9x 1x 10x 4x 6x 0 198 7 960 ; 61x 49 ; 49 x 61 Ecuciones de primer y de segundo grdo Págin 4
lsmtemátics.eu Pedro Cstro Orteg Ecuciones de primer y de segundo grdo Ecuciones de segundo grdo º ESO - º ESO Definición y elementos de l ecución de segundo grdo Un ecución de segundo grdo es un iguldd del tipo: x x c 0 donde, y c son números reles conocidos con 0, y recien el nomre de coeficientes de l ecución de segundo grdo. Al igul que en el cso de ls ecuciones de primer grdo, l número desconocido x se le llm incógnit. Ecuciones de segundo grdo incomplets Cso 1: 0 En este cso l ecución de segundo grdo tom l form: Pr resolverls se despej tener en cuent que: x c 0 x y luego se extre l ríz cudrd pr despejr finlmente l incógnit x. Hy que Si el rdicndo es myor que cero otendremos dos soluciones, l ríz cudrd con signo positivo y l ríz cudrd con signo negtivo. Si el rdicndo es cero l solución es x 0. Si el rdicndo es negtivo l ecución de segundo grdo no tiene soluciones reles. Not: el rdicndo de un ríz es quello que se encuentr dentro de l ríz. Ejemplo 7 Despejmos x : x 4 0 4 x 4 x x 8 Extremos l ríz cudrd de 8. Como 8 es positivo tenemos dos soluciones: x x1 8 x Oserv que, cundo l ecución de segundo grdo, tiene dos soluciones, ésts se denotn con suíndices: x 1, x. Ejemplo 8 Despejmos x : 6x 1 0 1 6x 1 x x 6 Al intentr extrer l ríz cudrd de, oservmos que no podemos hcerlo porque es negtivo: x (no existe, pues no hy ningún número cuyo cudrdo se ) Así pues, en este cso l ecución no tiene soluciones reles. 8 8 Ecuciones de primer y de segundo grdo Págin 5
lsmtemátics.eu Pedro Cstro Orteg Ecuciones de primer y de segundo grdo º ESO - º ESO Cso : c 0 En este cso l ecución de segundo grdo tom l form: x x 0 El proceso de resolución consiste en extrer fctor común l incógnit x pues ést prece en mos términos. Un de ls soluciones siempre es x 1 0. L otr solución se otiene de igulr cero el otro fctor y de resolver l correspondiente ecución de primer grdo. Veámoslo: Ejemplo 9 Scmos x fctor común: x x 0 x1 0 x x 0 x 0 x x x 18x 0 x x 18 0 Un solución es x 1 0. L otr se otiene de igulr cero el fctor x 18 : x1 0 xx18 0 18 x 18 0 x 18 x x 6 Ecución de segundo grdo. Cso generl En este cso vmos suponer que los tres coeficientes, y c son todos distintos de cero. Este cso es el más generl y l ecución de segundo grdo qued, en su form reducid, sí: x x c 0 L solución se otiene de sustituir los coeficientes, y c en l siguiente fórmul: x 4 c Oserv que el símolo indic que, pr otener ls dos posiles soluciones, hy que sumr por un ldo y restr por otro: 4 1 c x ; x 4 c Ejemplo 10 x 5x 0 En este cso, 5 y c. Sustituyendo en l fórmul nterior: 5 7 5 1 1 5 4 5 5 4 x x 5 5 4 5 49 5 7 6 x 6 6 6 6 5 7 x x 1 Ecuciones de primer y de segundo grdo Págin 6
lsmtemátics.eu Pedro Cstro Orteg Ecuciones de primer y de segundo grdo º ESO - º ESO A l expresión 4c, situd en el interior de l ríz de l fórmul que proporcion ls soluciones, se le llm discriminnte de l ecución de segundo grdo. Pueden ocurrir tres coss: Si el discriminnte es myor que cero ( 4c 0) l ecución de segundo grdo tiene dos soluciones reles (vése el ejemplo nterior). Si el discriminnte es igul cero ( 4c 0) l ecución de segundo grdo tiene un únic solución, que se suele llmr solución dole. Est solución se otiene medinte l expresión: x Es fácil ver l demostrción: 4c 0 0 x Si el discriminnte es menor que cero ( 4c 0) l ecución de segundo grdo no tiene soluciones reles. L rzón es, de nuevo, l no existenci de ríces cudrds de números negtivos en el conjunto de los números reles. Ejemplo 11 4x 1x 9 0 Ahor tenemos que 4, 1 y c 9. Por tnto el discriminnte es: 4c 1 449 144 144 0 Como el discriminnte es menor que cero, l solución de l ecución de segundo grdo es únic. Ést es: 1 1 x x 4 8 Procedimiento pr resolver un ecución de segundo grdo Al igul que en el cso de ls ecuciones de primer grdo, un ecución de primer grdo no suele precer en su form reducid, tl y como se h trtdo en el prtdo nterior, sino que se present como un iguldd entre dos expresiones lgerics en ls que pueden precer corchetes, préntesis y frcciones. Por ejemplo: x x xx x x 4 1 5 x 8 4 Los psos pr resolver un ecución de segundo grdo son muy similres los que se seguín pr resolver ecuciones de primer grdo: 1. Eliminr los corchetes y préntesis.. Eliminr los denomindores. Pr ello se multiplicn todos y cd uno de los términos de l ecución por el mínimo común múltiplo de los denomindores.. Colocr todos los términos en el primer miemro. De este modo en el segundo miemro precerá un cero. 4. Reducir términos semejntes. Un vez relizd l trsposición de términos podremos sumr y restr todos los términos de mos miemros pues serán todos semejntes. De este modo l ecución precerá y en su form reducid más generl x x c 0, o ien se presentrá en un de sus dos forms incomplets: x c 0, x x 0. 5. Despejr l incógnit. Pr ello procederemos como y se h explicdo en el cso de que l ecución de segundo grdo se incomplet. Si l ecución se present en su form reducid más generl se plicrá l fórmul y conocid pr despejr l incógnit: 4 c x Vemos continución lgunos ejemplos de resolución de ecuciones de segundo grdo. Ecuciones de primer y de segundo grdo Págin 7
lsmtemátics.eu Pedro Cstro Orteg Ecuciones de primer y de segundo grdo º ESO - º ESO Ejemplo 1 5 x x x Est ecución no tiene denomindores sí que strá eliminr el préntesis y colocr todos los términos en el primer miemro de l ecución: x 5x x 6x 10x x 6x 10x x 0 6x 11x 0 Los coeficientes son 6, 11 y c. Entonces: 111 1 11 11 46 11 11 48 11 169 11 1 x x 1 1 1 1 6 x 6 1 1 1 111 x 1 x Ejemplo 1 5 5 x x x 4 1 8 Est ecución de segundo grdo no tiene préntesis, pero sí que precen denomindores. Multiplicmos todos los términos por el mínimo común múltiplo de los mismos, que es 4. 5x x 5 x 4 4 4 4 65 85 0 40 9 4 1 8 x x x x x x Ahor colocmos todos los términos en el primer miemro y reducimos términos semejntes: 0x x 40 9x 0 x 1x 40 0 Los coeficientes hor son, 1 y c 40. Por tnto: 111 10 5 x x x 4 4 4 111 x x 8 4 1 1 4 40 1 1 1 441 0 1 11 1 11 4 4 Ejemplo 14 x 5x 0 En est ecución, pr eliminr los préntesis, tenemos que plicr l propiedd distriutiv ( todos por todos ): 15 x x x 5x 5 0 x x 5x 0 Eliminmos denomindores multiplicndo todos los términos por, reducimos términos semejntes y despejmos: 15 x x 5x 0 4x 6x 10x 15 0 4x 16x 15 0 16 4 0 5 1 1 16 16 4 4 15 16 56 40 16 16 16 4 x x 8 8 x 4 8 8 8 16 4 1 x 8 x 8 Ecuciones de primer y de segundo grdo Págin 8
lsmtemátics.eu Pedro Cstro Orteg Ecuciones de primer y de segundo grdo º ESO - º ESO Ejemplo 15 Resolvmos hor l ecución que se poní como ejemplo l principio de este prtdo. Eliminmos préntesis: x x xx x x 4 1 5 x 8 4 x 1x 5x 15 5x x x 4 x 8 4 Eliminmos denomindores. Pr ello multiplicmos por 1 cd uno de los términos de l ecución: x 1x 5x 15 5x x x 4 1 1 1x 1 18 ; 4 6 x 1x 4 5x 15 5x 1x x x 4 96 ; 18x 7x 18 0x 60 0x 1x 6x 6x 1 96 Colocmos todos los términos en el primer miemro y reducimos términos semejntes: 18 7 18 0 60 0 1 6 6 1 96 0 x x x x x x x ; x 110x 4 0 Antes de otener el vlor de x medinte nuestr fórmul hremos lgo muy importnte. Si los coeficientes tienen un divisor común se pueden dividir todos los términos entre este divisor común, quedndo un ecución de segundo grdo equivlente l nterior, pero con l diferenci de que los coeficientes serán más pequeños y, por tnto, más fácil operr con ellos l hor de plicr l fórmul medinte l que otenemos x. Los coeficientes de nuestr ecución tienen un divisor común: el. Así, dividiendo entre cd uno de los términos otenemos est otr ecución: 16x 55x 1 0 Los coeficientes de est ecución son 16, 55 y c 1 (más fáciles de trtr que los de l ecución nterior). De este modo: 55 41 96 1 1 55 55 4 16 1 55 05 144 55 1681 55 41 x x x 16 55 41 14 7 x x 16 Not finl: l importnci de seprr decudmente un pso del siguiente Hrás oservdo que, cd vez que dmos un pso sore un ecución, y se de primer o de segundo grdo, pr otener otr ecución equivlente, pero un poco más sencill pues hemos conseguido suprimir préntesis, o hemos elimindo denomindores, o ien se hn reducido términos semejntes, etcéter, se h seprdo l ecución nterior de l siguiente o ien medinte el símolo (que se trduce por implic o por entonces ), o ien simplemente por un punto y com (;). Ams forms son decuds y son ls que hitulmente se utilizn. Tmién comentr que, y se medinte el punto y com o medinte el símolo, cd pso se puede seprr del siguiente escriiéndolo en renglones distintos, o uno continución de otro. Ams forms son corrects tmién. Aunque l principio quizás se conveniente escriir cd pso en un renglón distinto, pues sí es posile que ves cd cción con más clridd. En estos puntes se h hecho de ms forms, como hrás podido compror. Ecuciones de primer y de segundo grdo Págin 9
Áres de figurs plns lsmtemátics.eu Pedro Cstro Orteg Á re de figurs plns º ESO Tendremos en cuent que, en cd cso, llmremos A l áre o superficie de cd un de ls figurs plns. Polígonos Cudrdo Rectángulo Romo l l A l A l = ldo = se = ltur D D d A d D = digonl myor d = digonl menor Romoide o prlelogrmo Triángulo Trpecio h A h = se h = ltur h h A = se h = ltur h B A B h B = se myor = se menor Polígono regulr: pentágono, hexágono, octógono, etc. Llmemos P l perímetro y n l número de ldos de P cd polígono regulr. Entonces P n y A = ldo Ejercicio resuelto Clcul el áre de un pentágono regulr cuyo ldo mide 6 cm si el rdio de l circunferenci circunscrit es de 5 cm. Solución L potem form un triángulo rectángulo con el rdio r y l mitd del ldo. Por tnto podemos plicr el teorem de Pitágors pr clculr l longitud, es decir: ldo = 6 cm r 5 5 16 4 cm Así, el áre es: 654 A 60 cm r mitd del ldo = cm
Áres de figurs plns lsmtemátics.eu Pedro Cstro Orteg Figurs circulres º ESO Seguiremos llmndo A l áre o superficie de cd figur circulr. Tmién denotremos con L l longitud de l figur circulr correspondiente. Circunferenci y círculo L r A r Arco de circunferenci y sector circulr r L r 60º A r 60º Coron circulr R es el rdio de l circunferenci myor r es el rdio de l circunferenci menor A R r Ejercicio resuelto En un circuito de crrers completmente circulr, de 5 m de rdio, hy que trzr un rco de circunferenci con un ángulo de 0º y pintr el sector circulr correspondiente. Clcul l longitud del rco de l circunferenci y el áre del sector circulr. Solución L longitud del rco de circunferenci es: 0º L 5 1, 09 m 60º El áre del sector circulr mide: 0º A 5 16, 6 m 60º