DETERMINANTES A cd mtriz ncudrd A ( ij ) se le sign un esclr prticulr denomindo determinnte de A, denotdo por det (A), A o n n n n nn K Un tbl ordend n n de esclres situd entre dos línes verticles, llmd determinnte de orden n, no es un mtriz L función determinnte preció por primer vez en el estudio de los sistems de ecuciones lineles Veremos que es un herrmient indispensble en el estudio y obtención de ésts Definición Se A nn K Se llm determinnte tod función : D : nn K K A D(A) Que cumple los siguientes ioms : ) El determinnte de un mtriz, donde un de sus columns es sum de otrs dos, se puede epresr l determinnte com l sum de dos determinntes respectivos ) El determinnte de un mtriz, donde un column est premultiplicd por un esclr, es igul l producto del esclr por el determinnte de dich mtriz ) El determinnte de un mtriz que contiene dos columns idéntics es cero 4) D ( I ) Propieddes ) Si se permutn dos línes ( fils o columns ) de un mtriz cudrd, sus determinntes respectivos son opuestos ) Si un líne ( fil o column ) de un mtriz cudrd es el vector nulo, entonces su determinnte es igul cero ) El determinnte de un mtriz cudrd no vrí si un líne ( fil o column) se le sum un combinción linel de otr líne ( fil o column) respectivmente
DETERMINANTES DE ORDEN UNO Y DOS Los determinntes de orden uno y dos se definen como sigue: Así, el determinnte de un mtriz A ( ) es el propio esclr, es decir, det (A) Ejemplos: ) Ddo que el determinnte de orden uno es el mismo esclr, tenemos: det (4) 4, det() b) DETERMINANTES DE ORDEN TRES Consideremos un mtriz rbitrri A ( ij ) El determinnte de A se define como sigue: Obsérvese que hy seis productos, cd uno formdo por tres elementos de l mtriz Tres de los productos precen con signo positivo (conservn su signo) y tres con signo negtivo (cmbin su signo) Pr clculr los determinntes de orden tres, el siguiente digrm puede yudr resolverlos:
que no es otr cos que gregr ls dos primers fils continución de l tercer o bien gregr ls dos primers columns continución de l últim y luego efectur los productos de los elementos de l digonl principl y sus prlels(de tres elementos) pr sumrls, tmbién efectur el producto de los elementos de l digonl secundri y sus prlels(de tres elementos) pr luego restrls Ejemplo: Clculr el vlor del determinnte: 4 (4) (5) 44 4 5 6 Observciones: El determinnte de un mtriz A y el de su trspuest A T son igules, es decir, Se A un mtriz cudrd, Si A es tringulr, esto es, A sólo tiene ceros por encim o por debjo de l digonl principl, entonces es igul l producto de los elementos de l digonl Si A posee un líne(fil o column ) que es múltiplo de otr, el determinnte es igul cero Supongmos que B se h obtenido de A medinte un operción elementl entre fils o columns, 4 El determinnte es un función multiplictiv Es decir, el determinnte del producto de mtrices A y B es el producto de los determinntes: AB A B
4 DETERMINANTE DE ORDEN ARBITRARIO Desrrollo del Determinnte de un mtriz por medio de los cofctores de los elementos de un fil o column Regl de Lplce Se A ( nn ) un mtriz de orden rbitrrio n n (siendo n un número pr) Pr clculr el det (A) se procede de l siguiente mner: se elige un líne culquier, se sumn los productos de los elementos de l líne por sus djuntos Los signos se vn lternndo según l posición que ocupen ls entrds del determinnte o lo que es lo mismo que cd término se lo multiplique por () ij Es decir: Ejemplo: Si observmos l mtriz, podemos ver que en l tercer column hy dos ceros Así pues, si elegimos ls entrds de l tercer column pr clculr el determinnte, nos horrremos clculr dos determinntes, y que el producto de un determinnte por cero es cero
5 (5) (5) 5 5 4 Ejercicio: cálculo de determinntes Clculr los siguientes determinntes: ADJUNTA DE UNA MATRIZ ( dj ) Consideremos un mtriz ncudrd A ( ij ) L djunt de A, denotdo por dj A, es l trspuest de l mtriz de cofctores de A: Ejemplo: Los cofctores o djuntos de los nueve elementos de A son:
6 L mtriz de los cofctores es l siguiente: M cof 7 4 7 6 L trspuest de l mtriz de los cofctores o djuntos nteriores proporcion l mtriz djunt de A: ( M ) cof T 7 AdjA 4 6 7 INVERSA DE UNA MATRIZ Se un mtriz A, dich mtriz dmite invers si y solo sí A, en ese cso dich mtriz es regulr Aplicción del djunto pr hllr l mtriz invers Pr tod mtriz cudrd A, A (dj A) (dj A) A A I De este modo, si A, Observemos que est propiedd nos permite hllr l invers de un mtriz
7 Ejemplo: Consideremos l mtriz y el det A: Así pues, plicndo l propiedd nterior: Ejercicio: cálculo de l mtriz invers ) Clculr, por l propiedd nterior, l invers de ls siguientes mtrices: ) b) ) Primero hllremos el determinnte de l mtriz A:
8 El siguiente pso es hllr el djunto de l mtriz B, sí pues, los cofctores de los cutro elementos de B son: B 5 B B B y el djunto de B, denotdo por dj B, será b) Empezremos por hllr el det A, Los cofctores de los nueve elementos de A son: L trspuest de l mtriz de los cofctores nteriores proporcion el djunto de A: Aplicndo l propiedd de l mtriz invers obtenemos A :
9 SISTEMA DE necuciones lineles con nincógnits Un conjunto finito de ecuciones lineles en ls vribles Ecuciones Lineles con nincógnits,,, n se denomin Sistem de n n n n n nn n n n b b b n El mismo sistem puede epresrse como A X B denomind Form mtricil de un sistem de n ecuciones lineles con nincógnits, donde A es l mtriz de los coeficientes, X l mtriz de ls incógnits y B l mtriz de los términos independientes Pr encontrr el vlor de l mtriz X : A X B ( A A) X A B I X A B X A B Mtde los coef A : n : n n b n b :, Mtde los térm indep B : nn b n,mtde ls incógnits X : n
CENT Nº COMPLEMENTOS DE ALGEBRA II Práctico de Determinnte ) Resuelve los siguientes determinntes : ) Demuestr Ls propieddes de los determinntes medinte ejemplos ) Aplic propieddes pr trnsformr en ceros los siguientes elementos :,,, del determinnte ddo 5 4) Clcul l invers, si es que eiste, de ls siguientes mtrices plicndo el método de ls djunts 4 5 5 C B 4 A 5) Clcul l invers de ls mtrices del ejercicio nterior utilizndo el método de GussJordn 6) Encuentr el conjunto solución, si es que eiste, de los siguientes sistems 4 4 z y z y z y