CÁLCULO. Curso 2003-2004. Tema 7. Derivabilidad.. Estudiar la continuidad y la derivabilidad de las funciones: {, si 0 (a) e, si > 0 2 +, si > 0 (b), si = 0 2. Dada la función (c) 2 si < 0 e, si > 0 2 +, si 0 E() E(), estudiar la derivabilidad de f en =. 3. Si 3, calcular f () y f () para todo número real, y demostrar que f (3) (0) no eiste. 4. Dada la función Se pide: si 0 < 2 + 2 si 2 < 3 2 si 3 < 4 (a) Es continua la función en los puntos = 2 y = 3?. (b) Es derivable en dichos puntos? (c) Dibujar la gráfica de la función y de la derivada. 5. Demostrar que la función 2 ( + ) no es derivable en el origen. 6. Se considera la función definida por Calcular la derivada en el origen. tg, 0 < < π/4 + e/tg 0, 0 7. Estudiar la derivabilidad de las siguientes funciones (a) ma( 2, ), IR en los puntos = 0 y =. (b) y = 3 +, en = 0. (c) y = ln(), en =.
8. Sea la función: { sen, c a + b, > c Hallar a y b en función de c para que eista f (c). 9. Calcular las siguientes derivadas: (i) sen(cosen 2 ) cosen(sen 2 ) (ii) sen(sen(sen )) (iii) sen2 sen 2 (iv) (v) + 2 ( + + 2 ) + + 0. Derivar (a) y = arctag a2 b 2 sen b + acosen (b) y = arccos b + acosen a + bcosen (c) y = (d) y =. Hallar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva: (a) y = 3 2 2 + 4 en el punto (2,4). (b) y = arctag(2 3) en el punto de abscisa =. 2. Determinar los puntos en que la curva y = 2 3 + 3 2 36 + 8 presenta tangente paralela a la recta y = 6 + 2. 3. Construir una función que verifique: f : IR IR continua en todo IR, derivable en IR {0, 2} tal que f (0) = 0, f +(0) =, f (2) = 3, f +(2) = 5. 4. Demostrar que cuando varía en el intervalo (0, π/2) se verifica la desigualdad 3 < tag + 2sen. 5. Probar que para todo valor real distinto de cero se verifica que + < e. 6. Sea α IR, α 0,. Demostrar que para cada IR, >, 0 se tiene (a) ( + ) α > + α si α < 0 ó α >. (b) ( + ) α < + α si 0 < α <. 2
7. Determinar los valores de a, b, c para que eista f () obteniéndose en dicho caso f () siendo f la función { 3, si < a 2 + b + c, si 8. Calcular las derivadas de orden n de las siguientes funciones (a) y = ln( a) (b) y = (p + q) n (c) y = a + b 9. Hallar la derivada enésima de y = 3 + 2 20. Sea f una función de clase C en el intervalo compacto [a,b]. Es posible asociar a cada c (a, b) dos números e y tales que a < < c < y < b y f(y) f (c)(y )? 2. La función tag toma valores iguales en = 0 y = π. Se puede aplicar el teorema de Rolle a esta función en [0, π]? 22. Mostrar que 3 3 + c no puede tener dos raíces reales y distintas en el intervalo (0, ). 23. Sea f : IR IR una función dos veces derivable cuya derivada segunda no se anula tal que f(0) = 0, f() = 2 y f(2) =. Demostrar que tiene eactamente dos soluciones y deducir que la ecuación f () = tiene una única solución. 24. Demostrar que la ecuación 3 5 + 5 8 = 0 sólo tiene una raíz real. 25. Supóngase que f es continua y derivable en [0, ], que f() está en [0, ] para todo y que f (), [0, ]. Demostrar que eiste un único 0 [0, ] tal que f( 0 ) = 0. 26. Probar que la ecuación 2 = sen + cosen tiene eactamente dos soluciones. 27. Demostrar que 2 = 8 ln tiene una única solución en (, e). 28. Demostrar que la ecuación posee sólo una raíz positiva. n + n +... + = 0 29. Sobre la curva y = 3 hallar el punto en el que la tangente es paralela a la cuerda que une los puntos A(, ) y B(2, 8). 3
30. - Sea f una función con derivada tercera en un intervalo compacto [a, b] y tal que f(a) = f (a) = f(b) = f (b) = 0. Demostrar que eiste c (a, b) verificando f (c) = 0. 3. Sean las funciones Probar que 3 4 2 3 2 +, g() = 4 3 3 2 2. f () g () f() f(0), (0, ). g() g(0) No contradice este hecho el teorema del valor medio de Cauchy? 32. Calcular la derivada para = de la función y = + 33. Estudiar la continuidad y derivabilidad en el origen de la función f() definida cos 0 0 = 0 34. Estudiar la continuidad y la derivabilidad de la función y = ma(sen, cos), IR. 35. Comprobar : sen lim = 0 3 6 36. Calcular aplicando la regla de L Hopital los siguientes límites: [ ] (a) lim π 2 cosen tag (b) lim 0 e e 2 cosen ( (c) lim 4 3 k k ) tag π 2 k 37. Sea 2 sen 0 y f(0) = 0, g() = sen. Calcular f() (a) lim 0 g(). (b) lim 0 f () g (). Contradicen estos resultados la regla de L Hôpital?. 4
38. Sea: 2 +, si 0 e, si > 0 a) Dominio de f. Para que valores de f es continua y para que valores de f es derivable?. b) Crecimiento y decrecimiento de la función. Máimos y mínimos relativos. c) Concavidad y conveidad. d) Estudiar si f tiene máimos o mínimos absolutos. 39. Se considera la función ln (( ) 2 ( + 2)). a) Indicar para que valores de la función está definida, es continua y derivable. Calcular f en los puntos donde eista. b) Estudiar el crecimiento, decrecimiento, máimos y mínimos relativos. c) Calcular razonadamente el número de puntos de corte con el eje OX (no es necesario calcular el valor de esos puntos). 40. Dada la función f definida para todo real por: Se pide: e a) Distintos intervalos a considerar para el estudio de f. b) Continuidad y derivabilidad de f. c) Máimos y mínimos absolutos y locales. d) Puntos de infleión. Concavidad y conveidad. 4. Dada la función ( ) 4 cos 2, 0 = (i) Hallar f (). (ii) Eiste f ()? (iii) Admite f un etremo relativo en =? Se trata de un máimo o de un mínimo? Razonar la respuesta. 42. Cuál de los cilindros de volumen dado tiene menor superficie total? 43. Se quiere poner una alambrada para proteger el contorno de un campo rectangular de área dada y uno de cuyos bordes lo constituye el cauce de un río. Sabiendo que en este borde no hay que poner alambrada, demostrar que la menor cantidad de alambrada que se necesita es cuando la longitud del campo es igual al doble de su altura. 5
44. Una estatua de altura a está situada sobre un pedestal de altura h. A qué distancia del pie del pedestal hay que situarse para ver la estatua bajo el ángulo máimo?. 45. Inscribir en una esfera dada un cono de volumen máimo. 46. Se considera la familia de elipses 2 a 2 + y2 b 2 =, que pasan por el punto (, ). Se pide la elipse de la familia que determina una región de área mínima. 47. Un hombre puede nadar a 2 m/sg y correr a 2.5 m/sg. Si está en el punto A = (0, 50) del filo de una piscina circular con centro en el origen y radio 50 m., hallar su trayectoria óptima desde hasta B = (50, 0), suponiendo que empieza corriendo y luego nada el resto del camino. 48. Un depósito abierto de hojalata con fondo cuadrado debe tener capacidad para V litros. Qué dimensiones debe tener dicho depósito para que en su fabricación se necesite la menor cantidad de hojalata? 49. El precio de un diamante es proporcional al cuadrado de su peso. Demostrar que rompiéndolo en dos partes, eiste una depreciación de su valor y esta es máima si son iguales. 50. Dados los puntos A = ( 2, 4) y B = (4, 2), encontrar sobre el eje OX un punto C de manera que el recorrido AC+CB sea mínimo. 5. El perímetro de un triángulo isósceles es 2p. Cuánto deben medir sus lados para que el volumen del cono engendrado por la rotación del triángulo en torno a su altura sea máimo?. 52. Se considera la parábola y = 2 +2 y el triángulo formado en el primer cuadrante por los semiejes positivos y una tangente a dicha curva. Determinar el punto de tangencia de forma que el área de dicho triángulo sea mínima. 53. Un espejo plano de dimensiones 80 90 cm. se rompe por una esquina, en forma de recta. De los dos trozos que quedan, el menor tiene forma de triángulo rectángulo de catetos 0 y 20 cm., correspondientes respectivamente a las dimensiones menor y mayor del espejo. Hallar el área máima del espejo rectangular que se puede construir con el trozo mayor. 6