EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRAL DEFINIDA. Calcular las siguientes integrales definidas: b) d e d c) + d d) d e) sen d f) + d d ( ) En primer lugar se ha calculado una primitiva de f() Barrow. y después se ha aplicado la regla de b) Para calcular e d en primer lugar se halla la integral indefinida por el método de integración por partes considerando Aplicando la fórmula queda: u dv e d du d de donde se obtiene v e e d e e d e e + C Tomando la primitiva correspondiente a C y aplicando la Regla de Barrow, queda e d e e e e ( e ) c) / + d d ln + + / / + ln 8 6 + ln ln ln ln + + d) d d + d ln( ) ln+ ln + ln e) f) d d sen sen cos cos + cos ( ) + 8 ln( ) ln6 ln ln ln + + d d +. Calcular los valores de m para que: m 7 e d b) m ( m - ) d Proyecto de innovación ARAGÓN TRES
Se calcula el valor de la integral y luego se iguala a 7 : m e m m m e e e e 7 d m m ln ln Por tanto e 7 e 8 m ln8 m ln b) Se calcula el valor de la integral y luego se iguala a : m ( m) ( m) m m ( m ) d m m ( m ) m m m + m+ m m ( ) ( ) 6 6 m, -. Calcular d realizando el cambio de variable t A partir del cambio t, elevando al cuadrado queda, - t, de donde se obtiene, - t y d -t dt Los nuevos etremos de integración para esta variable se calculan sustituyendo los etremos t iniciales en t. Por tanto se tiene, t Sustituyendo el cambio en la integral inicial y resolviendo la integral obtenida queda: t t 6 ( t) dt (t 6) dt 6t 6 6 t e. Calcular d + b) Razonar si el valor de la integral anterior coincide con el área del recinto limitado por la gráfica de la función f( ) +, el eje OX y las rectas, e e e e e e + 7 + d ln lne ln + + + 8 8 8 8 8 8 b) Al verificarse f( ) + [, e] se tiene que el área A de ese recinto coincide con el e valor de la integral definida, A d + Proyecto de innovación ARAGÓN TRES
. Calcular las siguientes integrales definidas y razonar si su valor coincide con el área del recinto limitado por la gráfica de la función integrando, el eje OX y las rectas verticales determinadas por los etremos de integración. ( ) d p + b) cos d p / c) ( + ) d d) ( + ) d ( + ) d 6 8 + + + + El área del recinto es ( + ) d 8, ya que f( ) + [-, ] b) cos sen sen sen d / / El área del recinto no puede ser igual a ya que es un número negativo. ( ) d c) + ( ) ( ) 8 + + + 6+ + 9 Para determinar si el valor calculado anteriormente coincide con el área del recinto indicado, es necesario estudiar el signo de f() +. Para ello se factoriza el polinomio, obteniéndose f() ( + ), de donde se puede deducir el signo según los intervalos determinados por las raíces, -. En los intervalos (-, -) y (, + ) la función es positiva y en (-, ) es negativa. Por tanto, en el intervalo de integración [-, ] la función toma valores negativos y positivos, en consecuencia el área del recinto no coincide con el valor de la integral definida. d) / ( + ) ( + ) + 6 9 ( + ) d / 6 El área del recinto no coincide con el valor de la integral definida, ya que f( ) + toma valores positivos y negativos en [, ] 6. Calcular el área del recinto finito limitado por: el eje OX, las rectas -, y la gráfica de f() e - b) el eje OX y la gráfica de f() c) el eje OX y la gráfica de f() 6 6 + d) el eje OX, las rectas -, y la gráfica de f() + e) la recta y y la gráfica de f() Como f() e - en [-, ] se tiene que A e d e e ( e ) e e Proyecto de innovación ARAGÓN TRES
b) La gráfica de f() eje OX en las soluciones de la ecuación 6 es una parábola con vértice en el punto 6 : 6 -, -, y que corta al Como el recinto está por encima del eje de abscisas, se tiene ( ) ( ) ( ) ( ) A ( 6 ) d 6 6( ) 6( ) 8 6 + + + 9 + 8 + 6 6 6 c) La gráfica de f() OX en las soluciones de la ecuación 6 + es una parábola con vértice en el punto (, -) y que corta al eje 6 +. Dichas soluciones son,. Como el recinto está por debajo del eje de abscisas, se tiene A ( 6 + ) d + 6 + 6 + 6 + 7 + + Proyecto de innovación ARAGÓN TRES
d) Se representan la función f() + y las rectas -, para determinar el recinto. En este caso tiene una parte por debajo del eje OX y otra por encima, por ello calcularemos el área total como suma de A y A ( ) ( ) A ( + ) d + 9 8 99 A ( + ) d + + 99 De donde se deduce A A + A + e) Se representan la recta y y la parábola f() para dibujar el recinto limitado por dichas curvas. Para determinar los etremos de integración es necesario calcular los puntos de corte de ambas curvas resolviendo el sistema y -,. y - 8 A - - d - d Por tanto, ( ) ( ) 7. Calcular el área del recinto finito limitado por las curvas: y, y + Se representan las parábolas y, curvas. y + para dibujar el recinto limitado por dichas Para calcular los puntos de intersección de las parábolas, se resuelve el sistema y. y + Proyecto de innovación ARAGÓN TRES
+, El área viene dada por la integral definida de la diferencia de las funciones tomado como límites de integración y : y +, y, A ( ) d d 6 9 + + + + 9 8. Calcular el área de los recintos: S {(, y), - y - } y T {(, y) y, y -, y - } Ambos recintos están limitados por las parábolas y, y que se cortan en los puntos solución del sistema y y Dibujamos el recinto S - Por tanto su área es A(S) ( ( ) ) ( ) d d Dibujamos el recinto T y se observa que su área se ha de calcular como suma de dos integrales definidas. ( ) ( ) AT ( ) d+ d 8 6 8 8 + + + 9. Calcular el área del recinto finito limitado las curvas y, y y las rectas y,. Para dibujar el recinto considerado se representan las curvas y, y. Proyecto de innovación ARAGÓN TRES 6
Para calcular los puntos de corte de ambas curvas, se resuelve el sistema y y El área se calcula mediante la suma de dos integrales definidas. A d + d + ln + ln ln + ln. Calcular el área del recinto T {(, y), - y - } Para dibujar el recinto se representan la parábola y - y la recta horizontal y. Para calcular el etremo de integración inferior se resuelve el sistema y y ± A la vista del dibujo, el etremo inferior es - y el etremo superior es, por tanto ( ) A ( ( ) ) d + + ( ) + Proyecto de innovación ARAGÓN TRES 7