TEMA 25 (Oposiciones de Matemáticas)

TEMA 25 (Oposicioes de Matemáticas) LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Y DISCONTINUIDAD. TEOREMA DE BOLZANO.. Itroducció. 2. Límites de fucioes. 2.. Límite de ua fució e u puto. 2.2. Límites laterales. 2.3. Límites Ifiitos y Límites e el Ifiito. 2.4. Defiició de Límite mediate Etoros. 2.5. Propiedades de los Límites. 2.5.. Acotació. 2.6. Defiició de límite mediate sucesioes. 2.7. Criterio de Cauchy. 2.8. Operacioes Aritméticas co Límites. 2.8.. Límites de ua suma. 2.8.2. Límites de u producto. 2.8.3. Límites de u cociete. 2.9. Ifiitésimos. 3. Cotiuidad y Discotiuidad. 3.. Cotiuidad de ua fució e u puto. 3.2. Cotiuidad Lateral. 3.3. Cotiuidad e u itervalo. 3.4. Algebra de fucioes cotiuas. 3.5. Composició de fucioes Cotiuas. 3.6. Propiedades y Teoremas fudametales. 3.7. Discotiuidades. 3.8. Cotiuidad de la Fució Iversa. 3.9. Cotiuidad Uiforme. 3.0. Asítotas. Ramas Ifiitas. Bibliografía Recomedada. /2

TEMA 25 LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Y DISCONTINUIDAD. TEOREMA DE BOLZANO.. INTRODUCCIÓN. Etre todos los coceptos co los que os podemos ecotrar e el cálculo ifiitesimal, el más importate es el de límite. A partir de él podemos defiir otros coceptos como so el de cotiuidad, derivabilidad, itegrabilidad, etc. Iformalmete, podemos decir que la fució f tiede hacia el límite l cerca de a, si se puede coseguir que f() esté ta cerca como queramos de l tomado suficietemete cerca de a, pero siedo distito e a. Esta primera aproimació al cocepto de límite oos resulta útil debido a su falta de precisió. Por eso, daremos más adelate otra que os permita utilizarla e las demostracioes de los teoremas. Otro cocepto importate es el de cotiuidad, si bie, tardó e aparecer debido a que cuado comezó a desarrollarse el cálculo, casi todas las fucioes era cotiuas. Por tato, o era ecesario defiir la cotiuidad. Poco a poco comezaro a surgir e Física, Química y otras ramas del saber fucioes discotiuas. Ua defiició de cotiuidad, epresada solamete a partir de las propiedades de los úmeros reales, fue formulada por primera vez e 82 por Cauchy. 2. LÍMITES DE FUNCIONES. 2.. Límite de ua fució e u puto. Para formalizar la defiició de límite vista e la itroducció, teemos que cocretar las epresioes ta cerca como queramos o suficietemete cerca. El cocepto de distacia etre úmeros reales os lo da el valor absoluto. El valor absoluto de la diferecia etre dos úmeros reales os idica el grado de aproimació etre los mismos. Así pues, podemos defiir el límite de ua fució e u puto como sigue. DEF Sea A u itervalo, a A y f: A. Diremos que el límite de f() cuado tiede a a es L, y se represeta por Lim f ( ) L, si ( ) L ε > 0 / 0 < a < δ f < OBS Que tiede a a se traduce e que se puede hacer ta próimo al º a como queramos, pero uca igual. 2/2

OBS Que f ( ) L < ε es lo mismo que ( ) ( L ε L ε) es equivalete a que ( a δ, a δ) y a. Ejemplos. ) Dada la fució f() 3 5, comprobemos que f, y que 0 < a < δ ε > 0 δ > 0/ f ( ) 8 35-8 <ε si - <δ 35-8 3-3 3 - <3δ ε ε δ f ( ) 8 3 2) Dada la fució f() E() (parte etera de ) comprobemos que e 2 o tiee límite. Demostració aáloga E la defiició de límite hemos supuesto que A era u itervalo y que podía llegar a tomar el valor de a. Podemos dar ua defiició más geeral supoiedo que A es u subcojuto, o ecesariamete u itervalo, y que a es u puto de acumulació de dicho subcojuto. DEF Sea A u subcojuto, a u puto de acumulació de A y f: A ua fució. Diremos que el límite de f() cuado tiede a a es L, y se represeta por f ( ) L, si ( ) L ε > 0 / 0 < a < δ f < OBS Si f() está defiida e todos los putos del subcojuto A meos e u úmero fiito de ellos, y a es uo de esos putos, sigifica que f(a) o eiste. Pero eso o implica que f () o vaya a eistir. 2.2. Límites Laterales. Vamos a supoer que f: A es ua fució, co A u subcojuto y a u puto de acumulació de A. DEF Diremos que el límite de f() cuado tiede a a por al izquierda es L, y se represeta por f ( ) L, si ( ) L ε > 0 / a < < a δ f < 3/2

PROP Lim f ( ) L Lim f ( ) Lim f ( ) L ε > 0 δ > 0/ 3-a <δ f()l <ε ε > 0 ε > 0 δ > 0 / a < < a ä δ > 0 / a ä < < a f()-l < ε f()-l < ε - f ( ) L f ( ) L f ( ) f ( ) L Si Si f ( ) L ' > 0 / a < < a ä' f()-l < ε f ( ) L " > 0 / a δ" < < a f()-l < ε Si tomamos δ mi{ δ', δ" } > 0 / - a < ä f()-l < ε f ( ) L Ejemplo. Dada la fució f() E() calcular los límites laterales para z z. Demostració aáloga 2.3. Límites Ifiitos y Límites e el Ifiito. De uevo, sea A u subcojuto y a u puto de acumulació de A. Veamos lo límites ifiitos. DEF Diremos que el límite de f() cuado tiede a a es, y se represeta por f (), si ( ) K K > 0 δ > 0 / 0 < a < δ f > A partir de estas dos defiicioes y teiedo e cueta las vistas para límites laterales, podemos mezclarlas obteiedo cuatro uevas, que sería desglosar cada ua de las dos ateriores e sus laterales. Por ejemplo. DEF Diremos que el límite de f() cuado tiede a a por al izquierda es, y se represeta por f ( ), si 4/2

( ) K K > 0 δ > 0 / a δ < < a f > Aálogamete para f ( ), f ( ) y f ( ). Ejemplo. ) Comprobar que ( ) 2 K > 0 δ > 0 / 0 < < δ > K ( -) 2 2 ( -) > K ( ) 2 < K ( ) < K 0 < < K δ K ( ) 2 2) Comprobar que 0 o eiste 0 0 / 0 Para defiir los límites e el ifiito, es ecesario que el subcojuto A cumpla algua codició, como es el o estar acotado superiormete o iferiormete, segú correspoda. DEF Sea f: A ua fució co A subcojuto o acotado superiormete. Diremos que el límite de f() cuado tiede a es L, si se represeta por f ( ) L ( ) L ε ε > 0 H > 0 / > H f < OBS E los límites e el ifiito o tiee setido hablar de límites laterales. Ejemplo. ) Comprobar que 5/2

ε > 0 H > 0 / > H < ε < ε > ε H ε Ua vez vistos los límites ifiitos y los límites e el ifiito, podemos jutarlos obteiedo límites ifiitos e el ifiito. Su represetació sería: ) f ( ) 2) f ( ) 3) f ( ) 4) f ( ) Sus defiicioes se obtiee a partir de las defiicioes de cada uo de ellos. 2.4. Defiició de Límite mediate etoros. Vamos a caracterizar los límites mediate etoros. Recordemos las defiicioes de etoros ) E ( a ) {,δ / a δ < < a δ} 2) E * ( a,δ ) E( a, δ ) { a} El primero es el etoro de cetro a y radio δ y es equivalete al itervalo a δ, a δ, que tambié se escribe como a < δ - ( ) El segudo es el mismo, pero si icluir el puto cetral a. Recibe el ombre de etoro reducido de cetro a y radio r. Co estas cosideracioes, podemos dar la siguiete defiició. DEF Sea A u subcojuto, a u puto de acumulació de A y f: A ua fució. Diremos que el límite de f() cuado tiede a a es L, y se represeta por f ( ) L, si ( a, δ) A f ( ) E( ε) > 0 / E * L, Si además, deotamos como ( r ) E, { / > r} 6/2

( r) E, { / < r} a las semirectas ( r, ) y ( r), respectivamete, la defiició os sirve tambié para los límites ifiitos, límites e el ifiito o ambos. 2.5. Propiedades de los límites. 2.5.. Acotació. PROP Si f ( ) L, co L fiito, la fució f() está acotada cuado tiede a a. > 0 / a < δ f ( ) L < ε si ( a δ, a δ) f ) ( L ε, L ε) ( f() está acotada. La siguiete proposició se cooce comúmete como Regla del Sádwich. PROP Si tres fucioes f(), g() y h() está relacioadas etre si por la desigualdad doble f() g() h() y si f ( ) h( ) L, etoces g ( ) L. a como f ( ) L ' > 0 / ( a δ', a δ' ) h( ) L " > 0 / ( a δ", a δ" ) si tomamos δ mi{ δ', δ" } f ( ) ( L ε, L ε) h ( ) ( L ε, L ε) y como f ( ) g( ) h( ) si ( a δ, a δ ) g ) ( L ε, L ε) ( > 0 / a < δ g ( ) L < ε g( ) L PROP Si f() o toma valores egativos cuado tiede a a y eiste f ( ) L etoces L 0. Supogamos que L<0 Si tomamos L ε se tiee que: 2 7/2

ε > δ > 0 / a < δ 0 si f ) ( L ε, L ε) ( ) < 0 f ( a δ a δ) (, Cotradicció L 0 PROP Si dos fucioes f y g verifica la desigualdad f() g() para valores de que tiede a a y eiste f ( ) y g( ) etoces f ( ) g( ). Aáloga 2.6. Defiició de límite mediate sucesioes. PROP Sea A u subcojuto, a u puto de acumulació de A y f: A ua fució. f { L} N ( ) L ( ) A co a f ( ) Dada co A y a, se trata de probar que f ( ) L, es decir, que dado ε > 0 / f ( ) L < ε si 0 0 Para ese ε > 0 > 0 δ / ( B( a, δ) ) B( L, ε) si 0 e cuyo caso f ( ) B( L, ε) si 0 Dado ε > 0 se trata de demostrar que > 0 f pero / B( a, δ) Supogamos que / δ que buscamos que buscamos 0 δ tal que f ( B( a, δ) ) B( L, ε) Para cada δ o vale, luego / ( a, ) pero f ( ) B( L, ε). Pero etoces f ( ) a y f ( ) B( L, ε) f ( ) L cotradicció (ya que estamos admitiedo que si f ( ) L) δ > 0 buscado. 2.7. Criterio de Cauchy. PROP Sea A u subcojuto a u puto de acumulació de A y f: A ua fució. 8/2

Eiste f ( ) > 0 /, E * ( a δ ) f ( ) f ( ) < ε Realizar como ejercicio 2.8. Operacioes Aritméticas co Límites. 2, E este puto, y salvo que se diga lo cotrario A es u subcojuto y a es u puto de acumulació de A. 2.8.. Límite de ua suma. PROP Sea f: A y g: A dos fucioes. 2 Si eiste f ( ) L ( f ( ) g( ) ) L L2 y g ( ) L2 y so fiitos etoces eiste: Como ε ' > 0 δ' > 0 / a < δ' f ( ) L < ε' y ε ' > 0 δ" > 0 / a < δ" g( ) L2 < ε' si tomamos δ mi{ δ', δ" } etoces: f ( ) g( ) L L2 f ( ) L g( ) L2 f ( ) L g( ) L2 < ε ' ε' 2ε' ε ε > 0 δ > 0 / ( ( ) g( ) ) ( L L ) < ε 2 f si a < δ ( f ( ) g( ) ) L L2 PROP Sea f, g: A dos fucioes. Si eiste f ( ) L so fiitos, etoces eiste ( f ( ) g( ) ) L L2. y g ( ) L2. Y Aáloga a la aterior. Si alguo de los dos límites fuese ifiito teemos 9/2

PROP Sea f, g: A dos fucioes. Si eiste f ( ) L L fiito, etoces eiste ( f ( ) g( ) ). Realizar como ejercicio De forma aáloga se podría demostrar que: ) L y L 2 fiito L L 2 2) L fiito y L 2 - L L 2-3) L - y L 2 fiito L L 2 4) L y L 2 L L 2 5) L - y L 2 - L L 2 - y g( ) co E el caso de que ambos límites sea ifiitos y de sigo cotrario o podemos garatizar la eistecia de la suma. Igualmete se haría para la resta. 2.8.2. Límite de u producto. PROP Sea f, g: A dos fucioes. Si eiste f ( ) L fiitos. Etoces eiste ( f ( ) g ( )) L L 2 y g ( ) L2 y so Como ε ' > 0 δ' > 0 / a < δ' y ε ' > 0 δ" > 0 / a < δ" f ) ( L ε ', L ') ( ε g ) ( L ε ', L ') ( 2 2 ε f ( ) g( ) L L2 f ( ) g( ) Lg( ) Lg( ) LL2 ( f ( ) L ) g( ) L( g( ) L2 ) f ( ) L g( ) L g( ) L2 ε ( L ε' ) ε' ε si tomamos δ mi{ δ', δ" } ' L 2 ε > 0 δ > 0 / f ( ). g( ) L L < ε si a < δ. 0/2

PROP Sea f, g: A dos fucioes. Si eiste f ( ) L 0 y g ( ) L fiito, etoces eiste ( f ( ) g( ) ) si L > 0 ó ( f ( ) g( ) ) Aáloga. si L > 0 Aálogamete se podría demostrar el resto de combiacioes para L y L 2 meos las siguietes; que so idetermiadas: ) L 0 y L 2 2) L 0 y L - 3) L y L 2 0 4) L - y L 2 0 y OBS Si a 0 hay que usar límites laterales. 2.8.3. Límite de u cociete. PROP Sea g: A ua fució. Si eiste g ( ) L g( ) L y es o ulo, etoces eiste Realizar como ejercicio. PROP Sea f, g: A dos fucioes. Si eiste f ( ) L f ( ) L L 2 0 etoces eiste g ( ) L2 Realizar como ejercicio. y g ( ) L2 co Las úicas idetermiacioes que os ecotramos es que ambos límites sea ulos o ambos sea ifiitos (idepedietemete del sigo). OBS Si a 0 hay que usar límites laterales. 2.9. Ifiitésimos. DEF Llamaremos a la fució f() ifiitésimo cuado tiede a a si f ( ) 0. /2

PROP la suma algebraica de u úmero de ifiitésimos es u ifiitésimo. Cuado tiede a a. Utilizado las propiedades ateriores PROP El producto de u ifiitésimo por ua fució acotada es u ifiitésimo cuado tiede a a. Utilizado las propiedades ateriores COROLARIO a a. El producto de dos ifiitésimos es otro ifiitésimo cuado tiede PROP Si I() es u ifiitésimo cuado tiede a a, etoces I( ) Imediata. PROP Si I() es u ifiitésimo cuado tiede a a y f: A es otra fució co I( ) f ( ) L co L fiito y o ulo, etoces es u ifiitésimo cuado tiede f ( ) a a. Imediata 3. CONTINUIDAD Y DISCONTINUIDAD. 3.. Cotiuidad de ua fució e u puto. De forma ituitiva, podemos defiir el cocepto de cotiuidad de ua fució e u puto si al represetarse la gráfica, e u etoro del puto o se levata el bolígrafo de la hoja. Es decir, diremos que f() es cotiua e 0 a si para todo puto próimo a a, el valor de la fució es próimo a f(a). Veamos ahora ua defiició más forma. DEF Sea A u subcojuto y a u puto de acumulació de A. Sea f: A ua fució. Diremos que f() es cotiua e a si ) f ( a) 2/2

2) f ( ) 3) f ( ) f ( a) Tambié es posible dar la defiició basádose e la de límite. DEF Sea A u subcojuto y a u puto de acumulació de A. Sea f: A ua fució. Diremos que f() es cotiua e a si ( ) f ( a) ε > 0 / a < δ f < Y al igual que hicimos co la defiició de límite, podemos dar la defiició cotiuidad e térmios de etoros. Esta defiició sirve cuado la fució o solo es real de variable real. DEF Sea A u subcojuto y a u puto de acumulació de A. Sea f: A ua fució. Diremos que f() es cotiua si a si ( a, δ ) f ( ) E( f ( ) ε) > 0 / A E a, 3.2. Cotiuidad Lateral. Supodremos A u subcojuto, a u puto de acumulació de A y f: A ua fució. DEF Diremos que f() es cotiua por la derecha e a si ( ) f ( a) ε > 0 / a < a δ f < DEF Diremos que f() es cotiua por la izquierda e a si ( ) f ( a) ε > 0 / a δ < a f < OBS lateral. Podemos observar que la defiició de cotiuidad lateral se basa e la de límite 3.3. Cotiuidad e u Itervalo. DEF Diremos que f: (a, b) es cotiua e (a, b) si es cotiua e todo puto del itervalo. DEF Diremos que f: [a, b] es cotiua e [a, b] si es cotiua e todo puto (a, b) y además es cotiua por la derecha e a y cotiua por la izquierda e b. 3/2

3.4. Algebra de fucioes Cotiuas. PROP Sea f y g dos fucioes cotiuas e a. Etoces: ) ( f ± g) es cotiua e a. 2) f g es cotiua e a. 3) Si g(a) 0 g f es cotiua e a. La demostració es imediata teiedo e cueta que el límite de ua suma, diferecia, producto o cociete es la suma, diferecia, producto o cociete de los límites. Sólo hay que especificar que el cociete de dos fucioes cotiuas será otra fució cotiua, eceptuado los putos e los que el deomiador sea ulo. OBS Sabiedo que las fucioes costates so cotiuas y que f() tambié es cotiua, podemos demostrar que todo poliomio es ua fució cotiua. Es más, si llamamos fució racioal a r() obteida como cociete de dos poliomios p() y q(), estará defiida e todo tal que q() 0. Etoces r() será cotiua e todo su domiio de defiició. Sea A u subcojuto. Sabemos que f sería cotiua e A si lo es e todos sus putos. Llamamos C (A) al cojuto formado por todas las fucioes cotiuas e A. (C (A),, ) tiee estructura de Aillo comutativo co uidad, co la suma y producto de fucioes visto. Su demostració es imediata. Tambié podemos idicar que (C (A),, ) es u -espacio vectorial, siedo el producto de u úmero real por ua fució. Como coclusió C (A) es u álgebra. 3.5. Composició de fucioes cotiuas. PROP Sea A, B, C subcojutos, f: A B y g: B C fucioes a A u puto que verifica que f es cotiua e a y que g es cotiua e f(a) B. Etoces la fució f o g : A C es cotiua e a. Imediata. 4/2

3.6. Propiedades y Teoremas Fudametales. Sea f() ua fució cotiua e a y f(a) 0. Etoces eiste δ >0 tal que a < δ f ( ) f ( a) > 0. Supogamos f ( a) > 0 (aálogo si f ( a) < 0) sea f (a) ε 2 f ( a) Como f() es cotiua e a para ε > 0 δ > 0 / a < δ 2 ( ) ( f ( a) ε, f ( a) ε) f f ( a) f ( ) > f ( a) ε f ( ) f ( a) > 0 2 COROLARIO Si f es cotiua e a y toma valores de sigo cotrario e todo etoro de a, etoces f(a) 0. Aáloga TEOREMA. Teorema de Acotació. ) Sea f() ua fució cotiua e a. Etoces f() está acotada e u etoro de a. 2) Toda fució f() cotiua e u itervalo cerrado [a, b] es acotada. ) Como f es cotiua e a > 0 / a < δ f ( ) f ( a) < ε f ( ) ( f ( a) ε, f ( a) ε) () 2) Aáloga. f está acotado ( a δ, a δ) TEOREMA. Teorema de Bolzao. Si f() es cotiua e [a, b] y f(a) f(b) < 0 etoces eiste al meos u puto α (a, b) tal que f(α) 0. Deotemos el itervalo [a,b] por I 0 y lo dividimos e dos itervalos de igual logitud. Si e el puto medio de I 0 (ab)/2α 0 la fució vale cero FIN 5/2

Si f(α 0 ) 0 desigamos por I al itervalo e el que la fució toma e sus etremos valores de sigos opuestos. Hacemos lo mismo que co I 0 ; si e el puto medio de I (3ªb)/4α la fució vale cero FIN Si f(α ) 0 costruimos I 2. Repitiedo el procedimieto e el supuesto de que f o se aule e el puto cetral teemos dos posibilidades: a) O bie e u úmero fiito de pasos habremos ecotrado u puto dode f se aula y etoces hemos acabado. b) O bie, tedremos ua sucesió de itervalos cerradosde la forma I 0 >I >I 2 > y f toma valores de sigo opuesto e los etremos de cada I. Si tomamos u puto de cada I obtedremos ua sucesió de Cauchy que tedrá u límite: llamémosle L tal que L I ( L I por el teorema de ecaje de Cator) Veamos si f(l)0 N - Supogamos f(l)>0 e todo etoro ( ε L ε) L, la fució tomaría valores positivos, cotradicció (porque para suficietemete grade I L ε, L ε y f toma valores de sigo opuesto e los etremos de I ). ( ) - Supogamos f(l)<0 e todo etoro ( ε L ε) L, la fució tomaría valores egativos, cotradicció (porque para suficietemete grade I ' ( L ε, L ε) y f toma valores de sigo opuesto e los etremos de I ). f(l)0 TEOREMA. Teorema de Weierstrass. Si f() es cotiua e [a, b], etoces eiste α, α 2 [a, b] tales que f(α ) Sup f() y f(α 2 ) If f(). Es decir, el cojuto {f() / [a, b]} tiee máimo y míimo. i) La fució f es acotada, lo que sigifica que f([a,b])im f es u cojuto de. Supogamos que f([a,b]) o fuera acotado 6/2

co f ( ) > 2 co f ( 2 ) > 2... co f ( ) > [ a b] ( ) co f ( ) > para cada, Como ( ) es acotada posee ua subsucesió covergete ( k ) k α f cotiua f( k ) k f(α) pero etoces f( k ) k es acotada. Teemos que M / f ( k ) M pero < f ( ) M Cotradicció k k ii) f ([ a, b] ) acotada sup { f ( ); [ a, b] } : β [ a b], co β < f ( ) β f ) β ( ) es acotada eiste ua subsucesió covergete a u puto α [ a,b ] ) ( k [ ] α a,b como f es cotiua f ( ) ( k f α) ( como el límite es úico f ( α ) β α f ( ) β f ( α ) f alcaza u máimo absoluto e α. Razoado aálogamete co el ífimo de f[a,b], se prueba que: α [ a, b] tal que f ( α ) if { f ( ) / [ a, b ] } TEOREMA. Teorema de los valores Itermedios. Si f() es ua fució cotiua e [a, b] y K u úmero compredido etre f(a) y f(b). Etoces eiste al meos u úmero z [a, b] tal que f(z) K. Defiimos g( ) f ( ) K que es cotiua. g( a) g( b) f ( a) K f ( b) K < 0 > 0 la fució se aula e algú puto (Bolzao) z [ a, b] / g( z) 0 g ( z) f ( z) K 0 f ( z) K 7/2

3.7. Discotiuidades. Sea f: A ua fució y a A. DEF Diremos que f preseta ua discotiuidad evitable e a si eiste f ( ) o eiste f(a). y OBS Recibe el ombre de discotiuidad evitable ya que se podría evitar si defiimos f a f. ( ) ( ) DEF f DEF f a Diremos que f preseta ua discotiuidad de salto fiito e a si eiste f y so fiitos pero distitos. ( ) y ( ) Diremos que f preseta ua discotiuidad evitable e a si eiste f(a) y y so distitos. ( ) DEF Diremos que f preseta ua discotiuidad ievitable de salto fiito si f ( ) f ( ) y su diferecia es fiita. DEF Diremos que f preseta ua discotiuidad ievitable de salto ifiito e a si alguo de los límites laterales o eiste o es ifiito. 3.8. Cotiuidad de la Fució Iversa. Recordatorio Sea f() ua fució cotiua y estrictamete creciete e el itervalo [a,b]. Sabemos que si [a,b] etoces f() toma cada valor y del itervalo [f(a),f(b)] por lo meos ua vez (teorema de los valores itermedios] y solo ua vez (por ser estrictamete creciete). Si f es biyectiva etre [a,b] y [f(a),f(b)], etoces f - tambié lo es. A f - se le llama fució iversa. PROP Si f: [a, b] es cotiua y estrictamete creciete, etoces f es biyectiva etre [a, b] y [f(a), f(b)]. f es cotiua e [a, b], aplicado el teorema de Weierstrass, f alcaza u máimo M, u míimo m y todos los valores compredidos etre ambos f([a, b]) [m, M]. Por ser f estrictamete creciete teemos que f(a) m y f(b) M Etoces [a, b] y [f(a), f(b)] / f() y PROP Si ua fució y f() es estrictamete creciete (decreciete) y cotiua e [a, b], etoces f - (y) tambié es estrictamete creciete y cotiua e [f(a), f(b)]. 8/2

f - es estrictamete creciete. Supogamos que f es estrictamete creciete. Etoces y < y co y, y Dom f -. Etoces, Dom f tal que f( ) y y f( ) y Como y < y y f es estrictamete creciete teemos que <, ya que lo cotrario sería ua cotradicció. Etoces f - es estrictamete creciete. f - es cotiua. Sea y o (f(a), f(b) y ε > 0. Sea f - (y o ) o f( o - ε) y f( o ε) y Etoces f - (y ) < o < f - (y ) o - ε < f - (y) < o ε f - (y o ) - ε < f - (y) < f - (y o ) ε Sea δ mi {y o y, y - y o } Etoces, siempre que y y < δ f ( y) f ( ) < ε 3.9. Cotiuidad Uiforme. o y o DEF Sea f: ua fució real de variable real. Se dice que f() es uiformemete cotiua si: > 0 / y < δ f ( ) f ( y) < ε NOTA Toda fució uiformemete cotiua es cotiua. Pero el recíproco o es cierto. Teorema. Sea f:[a,b] ua fució cotiua e el compacto [a,b] f() es uiformemete cotiua e [a,b]. 9/2

3.0. Asítotas. Ramas Ifiitas. El cojuto {(, f() / Dom f} recibe el ombre de gráfica de f y se deota por Graf (f). DEF Diremos que u puto se aleja ifiitamete sobre ua curva cuado su abscisa o su ordeada o ambas coordeadas crece ifiitamete. Podemos afirmar que el puto recorre ua rama ifiita. DEF Si al recorrer u puto P ua rama ifiita, la recta OP tiede a ua posició límite, etoces esa recta límite y sus paralelas defie ua direcció asítota. DEF Llamaremos a la recta r asítota de la curva Graf (f) si su direcció es ua direcció asítota de la curva y la distacia de u puto P a r tiede a Cero cuado P se aleja ifiitamete. DEF Llamaremos asítota horizotal de f() a la recta yk que verifica ua de las dos codicioes siguietes: ) f ( ) K 2) f ( ) K DEF Llamamos asítota vertical de f() a la recta a si se verifica algua de las codicioes siguietes: ) f ( ) 3) f ( ) 2) f ( ) 4) f ( ) DEF Dada ua fució f() tal que e el ifiito tiee límite ifiito, diremos que preseta ua asítota de ecuació ym si verifica ua de las dos codicioes siguietes. ) ( ) f m 0 y ( f ( ) m) 2) ( ) f m 0 y ( f ( ) m) 20/2

Bibliografía Recomedada. Aálisis Matemático I. Aut. J.A. Ferádez Viña. Ed. Tecos Leccioes de Cálculo Ifiitesimal I. Aut. R. Molia Legaz, M. Fraco. Ed. Uiversidad de Murcia. Pricipios de Aálisis Matemático. Aut. W. Rudi. Ed. McGraw-Hill Curso de Aálisis Matemático I. Aut. E.L. Lua. Ed. Edusa, 99. Calculus. Aut. M. Spivak. Ed. Reverté. Aálisis Matemático. Aut. M. de Guzmá, B. Rubio. Ed. Pirámide. Calculus. Aut. Apostol. Ed. Reverté 2/2