as cónicas aparecieron en Grecia, en el siglo V a. de C., como solución al problema

UNIDAD 7 Cónicas as cónicas aparecieron en Grecia, en el siglo V a. de C., como solución al problema L del altar del templo de Delos, más conocido como el problema de la duplicación del cubo. La historia de este episodio es así: la peste había diezmado a la población ateniense. Se envió una delegación al oráculo de Apolo, en la isla de Delos, para preguntar cómo podrían conjurar la peste, a lo que el oráculo contestó que era necesario duplicar el altar cúbico dedicado al dios Apolo. Al parecer se trataba de construir otro altar cuo volumen fuese el doble del anterior. Y se debe al filósofo matemático Menecmo, discípulo de Platón, el descubrimiento de la parábola de la hipérbola, a partir de las cuales resolvió el mencionado problema. Un siglo más tarde, el matemático Apolonio de Perga (6 190) realizó, en la ciudad griega de Perga Asia Menor, un estudio sistemático de las cónicas, considerándolas como secciones de un cono. Mucho después, en el siglo XVII, el arquitecto matemático francés Girard Desargues (1591 1661) buscó el fundamento de las propiedades de las cónicas en el hecho de que son proecciones de la circunferencia. John Wallis (Wikimedia Commons) Durante el siglo XVII, diversos matemáticos aplicaron los métodos de la geometría cartesiana al estudio de las cónicas, a las que definieron como lugares geométricos identificables por una ecuación de segundo grado con dos incógnitas. El primero en establecer esta definición de las cónicas fue el matemático inglés John Wallis (1616 1703). En esta Unidad nos proponemos alcanzar los objetivos siguientes: 1. Definir las cónicas como lugares geométricos a partir de las definiciones deducir las ecuaciones de las cónicas.. Dadas las ecuaciones de las cónicas determinar sus elementos: centro, vértices, focos, ejes, directrices asíntotas. 3. Determinar las ecuaciones de las cónicas cuando conocemos sus elementos. 4. Resolver problemas relativos a rectas cónicas, en particular de tangentes normales a éstas. 5. Conocer la historia, descripción, propiedades, trazado aplicaciones de las cónicas. 16

CÓNICAS Lugares geométricos Circunferencia Elipse Hipérbola Parábola Centro radio Mediatriz de un segmento Bisectriz de un ángulo Focos, Ejes, Vértices, Asíntotas, Directrices Posiciones relativas respecto a una recta Tangentes Normales Potencia de un punto Eje radical ÍNDICE DE CONTENIDOS 1. LUGAR GEOMÉTRICO............................................................................................... 164. CIRCUNFERENCIA.................................................................................................. 165.1. Rectas circunferencias.......................................................................................... 167.. Potencia de un punto. Eje radical de dos circunferencias................................................................. 168 3. ELIPSE........................................................................................................... 170 4. HIPÉRBOLA....................................................................................................... 173 5. PARÁBOLA........................................................................................................ 176 6. CURIOSIDADES DE LAS CÓNICAS................................................................................... 180 163

7 UNIDAD CÓNICAS 1. Lugar geométrico Un lugar geométrico es un conjunto de puntos del plano que cumplen una condición. La condición puede epresarse geométricamente o algebraicamente. Cuando la condición es epresable por una ecuación algebraica, la llamamos ecuación del lugar geométrico. En la unidad didáctica anterior han aparecido algunos lugares geométricos. Uno de ellos es la mediatriz de un segmento. La mediatriz de un segmento AB es el lugar geométrico de los puntos P del plano que equidistan de los etremos A B del segmento, es decir, es el lugar geométrico de los puntos P del plano que cumplen que distancia(p, A) = distancia(p, B). Otro lugar geométrico a conocido es la bisectriz del ángulo determinado por dos rectas. La bisectriz del ángulo que forman dos rectas r s es el conjunto de los puntos P del plano que equidistan de r s, es decir, el lugar geométrico de los puntos P del plano que cumplen que distancia(p, r) = distancia(p, s). Tanto la mediatriz de un segmento como la bisectriz del ángulo son lugares geométricos que no tienen una ecuación especial que los identifique. Se trata de condiciones epresables geométricamente. En esta unidad didáctica estudiaremos algunos lugares geométricos cua condición puede epresarse por una ecuación particular. Ejemplos 1. Halla la mediatriz del segmento de etremos A(1, ) B(4, 3). Solución : La mediatriz del segmento AB es el lugar geométrico de los puntos P (, ) del plano que cumplen que distancia ( PA, ) = distancia ( PB, ), es decir, ( 1) + ( ) = ( 4) + ( 3) Elevando al cuadrado, simplificando pasando todo al primer miembro llegamos a la recta de ecuación 3+ 10= 0, que es la ecuación de la mediatriz.. Halla la ecuación de la bisectriz del ángulo formado por las rectas r : 1 5 10 s: 4 3 = 0. Solución : La bisectriz del ángulo que forman dos rectas r s es el lugar geométrico de los puntos P(, ) del plano que cumplen que distancia ( Pr, ) = distancia ( Ps, ), es decir; 1 5 10 4 3 = 1 + 5 4 + 3 1 5 10 4 3 = 13 5 5( 1 5 10) = 13( 4 3) 5 1 5 10 = 13 4 3 5( 1 5 10) = 13( 4 3) Después de hacer operaciones, pasar todo al primer miembro, encontramos las ecuaciones de dos rectas que son las bisectrices de los cuatro ángulos, iguales dos a dos, que determinan r s:4+ 7 5= 0 56+ 3 5= 0. Si observamos los vectores de dirección de las rectas u = ( 7, 4) v = ( 3, 56) vemos que 7 ( 3) + 4 ( 56) = 0, es decir, se trata de dos vectores perpendiculares en consecuencia las rectas también lo son. Actividades 1. Determina la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano cua ordenada es el doble que la abscisa.. Halla las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos determinados por las rectas r : = 4 s: = 1_ 4. 164

. Circunferencia Entre los lugares geométricos cua condición puede epresarse por una ecuación especial, empezaremos estudiando la circunferencia. La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano P(, ) que están a la misma distancia de un punto C(a, b) llamado centro. La distancia de los puntos de la circunferencia al centro se llama radio de la circunferencia. Para hallar la ecuación de una circunferencia calculamos la distancia entre un punto P(, ) su centro C(a, b). Esta distancia es precisamente el radio de la circunferencia, r, por tanto se tiene que: Elevando al cuadrado obtenemos la ecuación sin desarrollar de la circunferencia: ( a) + ( b) = r Si desarrollamos la epresión anterior, llegamos a que: + a b + a + b r = 0. Esta es la llamada ecuación de la circunferencia (o ecuación desarrollada) que habitualmente se escribe así: + + m + n + p = 0 En esta última hemos puesto: m = a, n = b p = a + b r. Es decir, las coordenadas del centro son: Observamos que para que una ecuación de segundo grado con dos incógnitas e sea una circunferencia es necesario que: 1º) los coeficientes de e sean iguales a la unidad. Si no lo son, siempre se puede dividir por el coeficiente común para que queden con coeficiente 1; º) no tenga término en ; 3º) sea a + b p > 0, a que de otro modo no tendríamos radio para la circunferencia. Casos particulares: m n a b =, = r = a + b p. ( a) + ( b) = r a) Si el centro está sobre el eje OX, entonces b = 0, por lo que su ecuación será: ( a) + = r, desarrollando nos queda: + a + a r = 0 ó + + m + p = 0. b) Si el centro está sobre el eje OY, entonces a = 0, por lo que la ecuación sin desarrollar de la circunferencia es: + ( b) = r,, en consecuencia, la ecuación será: + b + b r = 0 ó + + n + p = 0. 165

7 UNIDAD CÓNICAS Y Y r P(,) r P(,) 0 C(a,0) X C(0,b) 0 X c) Finalmente, si el centro está en el origen de coordenadas, a = 0 b = 0, entonces la ecuación de la circunferencia queda reducida a: + = r. Esta última ecuación, + = r, que aparece cuando el centro es el origen de coordenadas, se llama ecuación reducida de la circunferencia. Y P(,) r 0 C(0,0) X Ejemplos 3. Halla el centro el radio de la circunferencia + 10 + 5 = 0. Solución: 5 En primer lugar, dividimos la ecuación por : + 5 + = 0 1 m = a, 1= a, a = 5 Sabemos que m = 1, n= 5 p = como ; 5 n= b, 5= b, b= 5 5 1 5 entonces = + = = + p a b r ; p ; r. 6 5 Despejando r: r = = 4; r = 4 =. 4 1 5 Luego el centro de la circunferencia + 10 + 5= 0 es C, el radio r =. 4. Averigua cuáles de las siguientes ecuaciones corresponden a una circunferencia: a) + 4 6 + 10 = 0. b) + + 4 + 5 = 0. c) 3 + 3 + 1 6 + 4 = 0. Solución: a) En + 4 6 + 10 = 0, 4 = a 3 a = 6 = b 3 b = 3, + 3 10 = 3 > 0. Se trata de una circunferencia de centro (, 3) radio 3. b) En + + 4 + 5 = 0, 4 = a 3 a = = b 3 b = 1, ( ) + 1 5 = 0. No es una circunferencia; sólo es el punto (, 1), a que el radio es cero. c) En 3 + 3 + 1 6 + 4 = 0 dividiendo por 3 se obtiene + + 4 + 8 = 0; además, 4 = a 3 a = = b 3 b = 1, ( ) + 1 8 = 3 < 0. Luego no corresponde a una circunferencia. 166

.1. Rectas circunferencias Para hallar el punto o los puntos de intersección de una circunferencia una recta debemos resolver el sistema formado por la ecuación de la circunferencia la de la recta. Si el sistema no tiene solución, recta circunferencia no tienen nada en común. Si el sistema tiene dos soluciones, ha dos puntos de corte decimos que recta circunferencia son secantes. Si el sistema tiene una solución, sólo ha un punto de corte la recta es tangente a la circunferencia; cuando esto ocurre, el radio es perpendicular a la recta tangente en el punto de contacto. Utilizaremos este hecho para hallar la ecuación de la recta tangente a la circunferencia en uno de sus puntos. Ejemplos 5. Halla las ecuaciones de las rectas tangente normal a la circunferencia + 4 6 1 = 0 en el punto P( 1,7). Solución: m n El centro de la circunferencia, como a = = 4 = b = = 6 = 3, es C(, 3). 4 + 3 --17 = 0 P(-- 1,7) -- 3 + 4 -- 31 = 0 La recta que pasa por P( 1, 7) es tangente a la circunferencia tiene por vector director uno perpendicular a CP = ( 3, 4) es 3 + 4 + c = 0; sustituendo en ella las coordenadas de P, resulta 3 ( 1) + 4 7 + c = 0, luego c = 31. La recta tangente a la circunferencia en P( 1, 7) es : 3 + 4 31 = 0. La normal es la recta perpendicular a la tangente en el punto de tangencia con la circunferencia, es decir, en P( 1, 7). Esta recta tiene como vector perpendicular v = ( 4, 3), que es el vector director de la tangente, luego su ecuación será: 4 3 + c = 0. Sustituendo las coordenadas de P calculamos c para que pase por P( 1, 7): 4 ( 1) 3 7 + c = 0, entonces c = 17. La normal es 4 3 + 17 = 0 ó 4 + 3 17 = 0. 6. Encuentra las rectas tangentes a la circunferencia + 4 6 1 = 0 que son paralelas a s: + 6 = 0. Solución: La recta que buscamos es de la forma + + c = 0. Por ser tangente a la circunferencia, la distancia al centro de la misma debe ser igual al radio. El centro de la circunferencia es C(, 3), calculado en el ejemplo anterior, r = a + b p = + 3 + 1 = 5 = 5. + -- 6 = 0 + 3+ c La distancia del centro C a la recta r es: distancia ( C, r) = = 5, 5 c = 5 5+ c =± 5, c = 5 5 c = 5 5. Ha dos rectas paralelas a s que son tangentes a la circunferencia: r : + 5 5 = 0 r : + 5+ 5 = 0. 1 167

7 UNIDAD CÓNICAS.. Potencia de un punto. Eje radical de dos circunferencias Para determinar si un punto pertenece a una circunferencia se sustituen las coordenadas del punto en la ecuación de la circunferencia se observa si se conserva la igualdad, pero para saber si un punto está dentro del círculo que delimita una circunferencia o no, necesitamos otro instrumento que vamos a estudiar a continuación. Dados un punto P( 0, 0 ) una circunferencia de centro C(a, b) radio r, si d es la distancia de P al centro C, d = ( 0 a) + ( 0 b), entonces se define como potencia del punto P respecto a la circunferencia, lo simbolizamos por Pot(P), a la epresión: Pot(P) = d r = ( 0 a) + ( 0 b) r Es evidente que si P es eterior a la circunferencia, la distancia es maor que el radio, d > r, Pot(P) > 0. Por el contrario, si P pertenece a la circunferencia, distancia radio son iguales, d = r, Pot (P) = 0. Cuando P es interior a la circunferencia, entonces es obvio que d < r, Pot (P) < 0. No es difícil ver que la potencia del punto P respecto a la circunferencia, ( a) + ( b) r = 0, se obtiene sustituendo las incógnitas de la ecuación de la circunferencia por las coordenadas del punto. Se llama eje radical de dos circunferencias al lugar geométrico de los puntos del plano que poseen la misma potencia respecto a cada una de ellas. Ejemplos 7. Determina la posición de un punto P(6, 0) respecto a una circunferencia + 9 = 0. Si es eterior a ella, encuentra las ecuaciones de las rectas tangentes a la circunferencia trazadas desde el punto. Solución: Pot (P) = d r = ( 0 a) + ( 0 b) r = 6 + 0 9 = 7 > 0. El punto es eterior a la circunferencia. En el haz de rectas que pasan por (6, 0), cua ecuación es = m( 6), tenemos que encontrar alguna que sea tangente a la circunferencia. = m( 6) Resolvemos el sistema + 9= 0 Sustituendo, queda: + m ( 6) 9 = 0 Desarrollando agrupando términos, resulta: (1 + m ) 1m + 36m 9 = 0 Como m es la pendiente de una recta tangente, la ecuación de segundo grado anterior debe tener solución única, pues el punto de tangencia es único, eso ocurre si el discriminante de esa ecuación es cero. Recuerda que el discriminante de una ecuación de segundo grado es b 4ac; en consecuencia: ( 1m ) 4(1 + m )(36m 9) = 0 144m + 36m + 36 = 0 36 1 1 1 3 m = = m =± =± =± 108 3 3 3 3 3 3 Las ecuaciones de las rectas tangentes son = ( 6) e = ( 6). 3 3 168

8. Halla el eje radical de las circunferencias + 8 6 = 0 + + 18 + 16 = 0 comprueba que es perpendicular a la recta que une sus centros. Solución: Un punto genérico del eje radical P(, ) tendrá la misma potencia respecto de cada una de ellas: Pot (P) = + 8 6 Pot (P) = + + 18 + 16 Luego + 8 6 = + + 18 + 16 Eliminando términos opuestos pasando todo al primer miembro resulta: 8 4 16 = 0. Dividiendo por 8 queda + 3 + = 0. Los centros de las dos circunferencias son: m n a = = 8 = b = = 6 + 3 + = 0 4 = 3, C( 4, 3) m 0 n 18 a = = = 0 b = = = 9, C '( 0, 9) El vector CC = ( 4, 1) es perpendicular al vector director del eje radical, v = ( 3, 1). Comprueba que su producto escalar, CC v, es cero. Actividades 3. a) Halla la ecuación desarrollada de la circunferencia de centro C(1,0) radio r =. b) Encuentra la ecuación sin desarrollar de la circunferencia de centro C(0, 3) radio r =1. c) Halla la ecuación de la circunferencia de centro el origen de coordenadas radio r = 5. 4. a) Cuál es el centro el radio de la circunferencia de ecuación + = 5? b) Halla, en la circunferencia + = 100, las ordenadas de los puntos que tienen abscisa = 6. 5. a) Escribe la ecuación desarrollada de la circunferencia de centro C(,3) radio r =3. b) Sabes cuál es el centro el radio de la circunferencia + + 4 = 1? 6. Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A( 6, ), B(, ) C(4, 0). (Sugerencia: el centro es la intersección de las mediatrices de AB BC el radio la distancia del centro a cualquiera de los puntos). 7. Determina la posición relativa de la recta = + 3 la circunferencia ( ) + ( + 1) =, si se cortan, las coordenadas de los puntos de corte. 8. Halla los puntos de corte de ( ) + ( + 1) = con = + comprueba que la distancia del centro de la circunferencia a la recta es menor que. 9. Halla la ecuación de la tangente a la circunferencia ( 1) + = 1 en el punto de ordenada positiva abscisa = 3_. 10. Halla la ecuación de la tangente a la circunferencia ( 3) + ( ) = 9 en los puntos de corte con los ejes. 11. Determina si el punto P(4, ) está dentro o fuera de la circunferencia ( 1) + ( ) = 0, si está fuera, encuentra las ecuaciones de las rectas tangentes que se pueden trazar desde él a la circunferencia. 1. Halla los puntos comunes a las circunferencias + ( 3) = 5 ( 4) + ( 3) = 5. Determina la ecuación del eje radical comprueba que es perpendicular a la línea que une sus centros. 13. Halla la ecuación de la circunferencia que es tangente a la recta = + 4 en el punto P(1, 5) pasa por el punto B(3, 4). 169

7 UNIDAD CÓNICAS 3. Elipse La ilustración adjunta representa una elipse con todos sus elementos, de modo que sea más fácil entender su definición como lugar geométrico. Los puntos F F son los focos de la elipse. La elipse de la figura es simétrica con respecto a las rectas r r ; a estas rectas se las llama ejes de la elipse. El punto O, donde se cortan los ejes, se denomina centro de la elipse. Los puntos A, A, B B, donde la elipse corta a los ejes, son los vértices de la elipse. Al segmento AA, cua medida es a, se le conoce como eje maor de la elipse al segmento BB, cua medida es b, se le conoce como eje menor de la elipse. El segmento FF se denomina distancia focal, mide c. Se denomina elipse al lugar geométrico de los puntos del plano P(, ) cua suma de distancias a dos puntos fijos, F F, llamados focos, es constante e igual al eje maor de la elipse, a. Es decir: PF + PF = a Si el centro de la elipse es el origen de coordenadas, los vértices de la elipse son los puntos A(a, 0), A ( a, 0), B(0, b) B (0, b), los puntos F(c, 0) F ( c, 0) son sus focos (véase la ilustración adjunta). Hablaremos únicamente de la elipse centrada en el origen, cuos ejes están sobre los ejes de coordenadas. En este caso, a partir de las coordenadas de los vértices podemos determinar las coordenadas de los focos. Si A(a, 0), A ( a, 0), B(0, b) B (0, b) son los vértices, para hallar las coordenadas de los focos no tenemos más que aplicar el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo BOF de la figura. Por qué la hipotenusa de este triángulo es a? (Observa que el triángulo FBF es isósceles la suma de los lados iguales es a). Como: a = b + c, c = a b c = a b Si traducimos la condición geométrica que define la elipse, PF + PF = a, en una condición algebraica, resulta la epresión: ( c) + ( 0) + ( + c) + ( 0) = a ( c) + ( 0) = a ( + c) + ( 0) Elevando al cuadrado eliminando términos opuestos resulta ( ) + = + 4a + c 4a 4 c. Dividiendo por 4 elevando de nuevo al cuadrado llegamos a: a ( +c + c + ) = a 4 + c + a c Anulando términos opuestos, pasando al primer miembro todos los que lleven o sacando factor común a, se obtiene: 170

(a c ) + a = a (a c ). Sabemos que a = b + c, en consecuencia, c = a b. Sustituendo el c en la epresión anterior dividiendo por a b, encontramos la ecuación de la elipse centrada en el origen: A esta ecuación se la llama ecuación reducida de la elipse es la única que usaremos. a + = b 1 Para medir el grado de aplastamiento de una elipse con respecto a una circunferencia, se utiliza el cociente c_ a, al que se denomina ecentricidad de la elipse que se simboliza por e. La ecentricidad es un número menor que la unidad, dado que c es menor que a: e = c _ a < 1 Si la ecentricidad es nula, entonces c = a b = 0 a = b, con lo que la ecuación de la elipse se convierte en: que es la ecuación de una circunferencia de centro el origen radio a. a + = 1 + = a a Ejemplo 9. Halla los focos, los vértices la ecentricidad de la elipse + = 1. 5 9 Solución: De la ecuación de la elipse propuesta, deducimos que a = 5 3 a = ± 5, b = 9 3 b = ± 3, c = 5 9= ± 4 Luego los focos los vértices de la elipse dada son: Focos: F ( 4, 0) F(4, 0) Vértices A ( 5, 0) A(5, 0); B(0, 3) B (0, 3). Por otro lado, la ecentricidad e = _ c a = 4 _ = 0,8, al ser próima a 1 indica un grado importante de aplastamiento. 5 Rectas elipses Para hallar el punto o los puntos de intersección entre una elipse una recta, resolvemos el sistema formado por la ecuación de la elipse la de la recta. Si el sistema no tiene solución, recta elipse no tienen nada en común. Si el sistema tiene dos soluciones, ha dos puntos de corte, decimos que recta elipse son secantes. Si el sistema tiene una solución, sólo ha un punto de corte, en consecuencia la recta es tangente a la elipse. Cuando esto ocurre, el sistema formado por una ecuación de segundo grado, la elipse, una de primer grado, la recta, debe tener solución única esto sucede si el sistema conduce a una ecuación de segundo grado con discriminante nulo. Este procedimiento de hallar las rectas tangentes a una curva es un poco laborioso, ha otro más ágil pero es necesario conocer el concepto de derivada de una función, eso lo estudiaremos más adelante. 171

7 UNIDAD CÓNICAS Ejemplo 10. Halla la ecuación de la recta tangente a la elipse + =1 en el punto P(, 1). 6 3 Solución: Comprobamos que el punto pertenece a la elipse. La ecuación de la elipse también se puede escribir como + = 6. Las rectas que pasan por P, el haz de rectas de centro P, son de la forma 1 = m( ). Tenemos que hallar m para que la recta sea tangente a la elipse. El sistema formado por las ecuaciones de la elipse la recta tendrá solución única, si curva recta poseen sólo un punto de contacto. Resolvemos el sistema: 1= m( ) + = 6 Sustituendo en la segunda + [1 + m( )] 6 = 0. P(,1) Desarrollando agrupando términos: (1 + m ) + (4m 8m ) + 8m 8m 4 = 0 Para que la solución sea única, el discriminante, b 4ac, de esta ecuación, ha de ser igual a 0: (4m 8m ) 4(1 + m )(8m 8m 4) = 0 Desarrollando agrupando términos llegamos a la ecuación de segundo grado 16m + 3m + 16 = 0 o m + m + 1 = 0, cua única solución es m = 1. La recta tangente es: 1 = ( ), o bien, + 3 = 0. Actividades 14. Halla la ecuación de una elipse sabiendo que un vértice es A ( 13,0) un foco F(1, 0). Cuál es su ecentricidad? 15. Encuentra la ecuación de una elipse cuos focos son ( 6,0) (6,0), la suma de distancias desde sus puntos a los focos es 0. 16. La ecentricidad de una elipse es 0,8 el semieje maor 0. Halla su ecuación. 17. Las órbitas de los planetas son elipses con el Sol en uno de sus focos. La órbita de Venus tiene por ecuación + =1, con e en millones de kilómetros. Cuál es la distancia más próima de Venus al Sol 1800 1700 (perihelio)? Y la más alejada (afelio)? 18. De una elipse sabemos que su eje maor es 8 cm, su ecentricidad 0,5 que está centrada en el origen. Escribe su ecuación las coordenadas de los vértices los focos. 19. La Tierra describe en su movimiento de traslación una elipse en uno de cuos focos está el Sol. El semieje maor mide aproimadamente 147,5 millones de kilómetros la ecentricidad vale 1. Calcula el semieje menor la distancia focal. 60 0. El cometa Halle sigue una traectoria elíptica con el Sol en uno de sus focos. La longitud de su perihelio (mínima distancia al Sol) es 88,5 millones de kilómetros la de su afelio (máima distancia al Sol) es 530 millones de kilómetros. Calcula la distancia focal, la longitud de los ejes maor menor la gran ecentricidad de la elipse que describe el cometa Halle. 1. Determina la posición relativa de la recta 4 + 5 5 = 0 la elipse + = 1. 5 9. Halla la ecuación de la recta tangente a la elipse + =1 en el punto P(, 1). 6 3 3. Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la elipse 3 + 4 = 48 que son paralelas a la recta + + = 0. 17

4. Hipérbola En la figura adjunta hemos dibujado todos los elementos de una hipérbola, de modo que sea más fácil entender su definición como lugar geométrico. Los puntos F F son los focos de la hipérbola. La hipérbola de la figura es simétrica con respecto a las rectas r r ; a estas rectas se las llama ejes de la hipérbola. El punto O, donde se cortan los ejes, se denomina centro de la hipérbola. Los puntos A A, donde la hipérbola corta al eje horizontal, son los vértices de la hipérbola. Al segmento AA, cua medida es a, se le conoce como eje transverso de la hipérbola al segmento BB, cua medida es b, se le conoce como eje imaginario de la hipérbola. El segmento FF se llama distancia focal mide c. La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano P(, ) cua diferencia de distancias a dos puntos fijos llamados focos, F F, es constante e igual al eje transverso a. Es decir: PF PF = a Cuando el eje transverso de la hipérbola es el eje de abscisas el centro el origen (véase la figura adjunta), los puntos A(a, 0) A ( a, 0) son los vértices reales de la hipérbola. Los focos son los puntos F(c, 0) F ( c,0) los vértices imaginarios, B(0, b) B (0, b), se toman de modo que b sea el cateto de un triángulo rectángulo, cua hipotenusa es c el otro cateto a. Por lo tanto: c = a + b La condición anterior, PF PF = a, traducida algebraicamente conduce a la epresión: ( ) + ( ) ( ) + ( ) = + c 0 c 0 a ( + c) + ( c) + =± Elevando al cuadrado simplificando convenientemente la epresión a, luego, dividiendo por 4 se llega a ( ) + =± + ( ) + + c a c ( ) + c a =± a c 173

7 UNIDAD CÓNICAS Elevando de nuevo al cuadrado simplificando, se obtiene: c + a 4 = a + a c + a c a a = + a c a 4 (c a ) a = a (c a ) Teniendo en cuenta que c = a + b o b = c a, sustituendo en la igualdad anterior, luego, dividiendo por a b se consigue la ecuación reducida de la hipérbola: a = b Al cociente c _ a se le llama ecentricidad, e, de la hipérbola, como c > a, es un número maor que la unidad, es decir: e = c _ a >1 La ecentricidad mide el grado de curvatura de las dos ramas de la hipérbola. A maor ecentricidad, menor curvatura. Cuando la ecentricidad se hace cada vez más grande, la gráfica de la hipérbola se aproima a dos rectas paralelas al eje de ordenadas. Ejemplo 1 11. Halla los focos, los vértices la ecentricidad de la hipérbola 5 16 = 400. Solución : Si dividimos toda la ecuación por el término independiente 400, se tiene: 5 16 400 = o lo que es lo mismo: = 1. 400 400 400 16 5 Por lo tanto: a = 16 a = 4, b = 5 b= 5 c = 5 + 16 = 41. Luego los focos los vértices de la hipérbola de ecuación dada son: ( ) ( ) Focos: F 41, 0 F 41, 0. Vértices: A ( 4, 0) A( 4, 0). c 41 Ecentricidad : e = = = 1,6. a 4 Asíntotas de una hipérbola Ha dos rectas a las que se aproima mucho la hipérbola, pero que nunca llega a tocarlas; son sus asíntotas. Las asíntotas son las diagonales de un rectángulo cuos lados tienen por puntos medios a A, A, B B, tal como se muestra en la figura adjunta. Las asíntotas de una hipérbola de ecuación = 1, son las rectas que pasan por a b B el origen por los puntos (a, b) ( a, b). A A o Sustituendo las coordenadas de estos puntos en la ecuación eplícita de la recta, B = m + n, obtenemos las rectas = _ b a e = _ b a. 174

Hipérbola equilátera Si en una hipérbola se cumple que a = b, entonces su ecuación será: a = 1, o también = a a A este tipo de hipérbolas se las llama equiláteras sus asíntotas son, obviamente, las rectas = e =, es decir, las bisectrices del primer segundo cuadrante. = - = Ejemplos 1. Encuentra las asíntotas de la hipérbola = 1. Determina sus vértices reales dibújala aproimadamente. 9 4 Solución : 10 Hallamos, en primer lugar, a b 5 a = 9 a =±3, b = 4 b=± b a b Las asíntotas son las rectas = e = a -15-10 -5 5 10 15. En este caso: -5 = e = -10 3 3 son las asíntotas. Los vértices reales son: A ( 3, 0) A(3, 0). Con estos elementos sabiendo que las asíntotas se acercan a la curva indefinidamente, es decir, curva recta convergen pero no se llegan a tocar, podemos hacer un esbozo como el de la figura. Actividades 4. a) Cuál es la ecuación de la hipérbola de focos (5, 0) ( 5, 0) de eje transverso 8? b) Cuál es la ecuación de la hipérbola de eje transverso 10 eje imaginario 8? c) Cuál es la ecuación de la hipérbola de distancia focal 30 eje transverso 1? 5. Encuentra la ecuación de una hipérbola en la que F ( 6,0), F(6,0) PF PF = 6. 6. Dada la hipérbola =1, halla las coordenadas de sus focos, sus vértices su ecentricidad. 16 9 7. Determina los vértices reales e imaginarios las asíntotas de la hipérbola = 1. Haz un esbozo de la 36 16 hipérbola. 8 Halla la ecuación de la hipérbola que tiene por asíntotas las rectas = e = por focos los puntos F ( 5, 0) F(5, 0). Esboza su gráfica. 9. Determina las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto P(0, 1) son tangentes a la hipérbola = 1. 3 (Recuerda que ha que buscar en el haz de rectas de centro P aquella cua pendiente, m, resulte de una ecuación de segundo grado con discriminante nulo). 175

7 UNIDAD CÓNICAS 5. Parábola Una parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuas distancias a un punto, llamado foco, a una recta, llamada directriz, son iguales. F p/ V d p/ F(0,p/) P(,) En la figura adjunta hemos dibujado una parábola. En ella el punto F es el foco la recta d la directriz. El eje de la parábola es la recta que contiene al foco es perpendicular a la directriz. El punto V, intersección de la parábola con el eje, se llama vértice. Evidentemente, de la definición se deduce que V equidista de F d. La distancia desde F hasta d se llama parámetro de la parábola, se simboliza por p; luego: distancia(v, F) = distancia(v, d) = _ p Vamos a hallar la ecuación de la parábola cuo eje es el eje de ordenadas que tiene como vértice el origen (véase la figura adjunta). En este caso, si p es el parámetro, el foco tiene de coordenadas F Dado que la parábola es el lugar geométrico de los puntos P(, ) tales que : distancia(p, F) = distancia(p, d). p Sabemos que distancia ( PF, ) = + (. ) = -p/ O z Por otra parte, vemos en la figura que la distancia de P a d es la distancia de P al pie de la perpendicular sobre d, Z(, p/), es decir, distancia(p, d) = distancia(p, Z) = + p _. Elevando al cuadrado la igualdad: p p + = +, resulta: p p + = + p p + p+ = + p+ 4 4 p = p = p = o p = p a < 0 O d Esta parábola tiene una ecuación del tipo = a, donde a = 1. Observamos que si p a > 0, para cada valor que demos a, la resulta siempre positiva la gráfica de la parábola está por encima del eje de ordenadas; decimos que la parábola está abierta hacia arriba. Cuando a < 0, el parámetro es p e independientemente del valor que demos a, la siempre es negativa la parábola está abierta hacia abajo. Además, también es visible que el eje de la parábola, la recta = 0, es un eje de simetría de la curva. 176

Ejemplos 13. Halla la ecuación de la parábola que tiene por directriz la recta = cuo foco es el origen O( 0, 0). Solución : Los puntos P de la parábola cumplen que distancia ( P, F)= distancia ( Pd, ), esto es, ( ) + ( ) = + 0 0 Elevando al cuadrado podemos escribir: ( 0) + ( 0) = ( + ) + = ( + ) + = + 4 + 4 4= 4 = 1 4 La ecuación de esta parábola es del tipo: = a + b. = - 0 z P(,) Ecuación de la parábola cuando se traslada el origen de coordenadas Vamos a deducir la ecuación de una parábola cuando realizamos un cambio de sistema de referencia. Además del habitual sistema de referencia ortonormal {O, i, j }, consideramos otro {O, i, j }, de modo que el nuevo origen es O (h, k,) con respecto al sistema habitual. En esta situación un punto P tiene coordenadas (, ) en el primer sistema (, ) en el segundo. En la figura vemos la igualdad vectorial OO + O P= OP, que epresada en coordenadas será: (h, k) + (, ) = (, ) Igualando coordenadas, tenemos: = h+ o = k+ = h = k O k h ' O'(h,k) P(',') P(,) ' Si = es la ecuación de una parábola en el segundo sistema de referencia sustituimos por h p por k, obtenemos: k = ( h) p o p ( k) = ( h) Desarrollando esta epresión conduce a = 1 p h p + k + h p Esta ecuación se suele escribir de la siguiente manera: = a + b+ c 1 h Donde a = b = c = k p, p + h p. e 177

7 UNIDAD CÓNICAS Observamos en la figura anterior que el eje de la parábola se ha trasladado de la recta = 0 a la recta = h. Además, si p es positivo, a > 0, el foco está situado en el punto de coordenadas F(h, k + p/), la directriz es la recta = k p/ la curva se abre hacia arriba. Cuando p es negativo, a < 0, el foco es F(h, k p/) ), la directriz es la recta = k + p/ la curva está abierta hacia abajo. Ejemplo 14. Halla las coordenadas del vértice, del foco la directriz de la parábola = 4+ 3. Solución : En la ecuación = 4+ 3: 1 1 = 1 p = p h = 4 h = 4p h = 4 1 = p h k + = 3 k+ = k+ = k = p 1 3 4 3 1 p El vértice O tiene de coordenadas ( h, k) = (, 1). El foco F, como a = 1> 0, tiene de coordenadas (, + 1 ) = (, 1 1 3 = + ) = (, ). La directriz = 1 1, = 5 4 4 4. Aunque la forma más fácil de resolverlo es completar el cuadrado de la ecuación En = 4+ 3 completamos el cuadrado del segundo miembro, sumamos 4 4 = 4+ 4 4+ 3 = 4+ 4 1 + 1= 4+ 4 + 1= ( ) 1 3 5 Entonces 1= p, h = e k = 1. Por tanto, p=, el vértice O (, 1), F(, ) e =. 4 4 p ( k) = ( h) 178

Otra forma de la ecuación de la parábola Si se toma como eje de la parábola el eje de abscisas la directriz paralela al eje de ordenadas, entonces la ecuación de la parábola tiene otra forma. Por el mismo procedimiento empleado antes, si p es el parámetro, el foco tiene de coordenadas F(p/, 0) la directriz es la recta = p/, se puede demostrar que la ecuación de la parábola es de la forma: = p En una palabra, se trata simplemente de cambiar por en la ecuación = p. En muchos tetos aparece esta ecuación de la parábola tiene su eplicación, a que su gráfica es la que más se utiliza para mostrar aplicaciones de la parábola. d p/ p/ V F P Actividades 30. Dada la parábola de ecuación = 1, 8 a) Cuál es su vértice? b) Cuál es su foco? c) Cuál es su directriz? (Calcula las coordenadas del vértice luego el parámetro; recuerda que p = 8). 31. a) Averigua cuál es el foco la recta directriz de la parábola =. b) Averigua cuál es el foco la recta directriz de la parábola: = 1. 3. Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos que equidistan de la recta = del punto P(0, 1). 33. Halla la ecuación de la parábola cuo foco es (0,5) cua recta directriz = 5. 34. Determina b c en la parábola = + b + c sabiendo que el vértice es el punto V(1, ). Encuentra las coordenadas del foco la ecuación de la directriz. 35. Cuáles son los puntos de intersección, si los ha, de la recta 3 = 13 la parábola = + 3 3? 36. Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la parábola = + 3 3 trazadas desde el punto P(1, 0). 37. Halla la ecuación de la recta tangente normal a la parábola = 1 en el punto (, ). 4 38. Determina una recta paralela a = + 1 que sea tangente a la parábola = + 1. 179

7 UNIDAD CÓNICAS 6. Curiosidades de las cónicas Ante la imposibilidad de trazar la elipse, la hipérbola la parábola con regla compás, Apolonio de Perga consideró estas curvas como las secciones que produce un plano al cortar una superficie cónica. Se entiende por superficie cónica aquella que engendra una recta (generatriz) al girar alrededor de otra (eje de la superficie cónica) con la que comparte un punto. Llamaremos β al ángulo que forman las dos rectas o al ángulo que forma el eje con la generatriz. En la figura hemos dibujado cómo un plano al cortar una superficie cónica va produciendo una circunferencia, una elipse, una parábola una hipérbola, según su inclinación. Es decir, si el ángulo α que forma el plano con el eje de la superficie cónica es de 90º, resulta una circunferencia; si es menor que 90º pero maor que β (β < α < 90º) aparece una elipse. Si α es igual al ángulo β (α = β) nos encontramos con una parábola, por último, si es menor que el ángulo β (0 α < β), la curva obtenida es una hipérbola. α α La recta tangente a la elipse forma ángulos iguales con los segmentos trazados desde un punto a los focos. Esta propiedad conduce al hecho de que si emitimos una onda de luz o de sonido desde un foco, ésta se refleja en la tangente (el ángulo de incidencia es igual al ángulo de refleión) pasa por el otro foco. Es decir, si una sala tuviese una sección elíptica, como ocurre en los andenes de las estaciones del metro, sería posible oír una conversación que tiene lugar en un foco situándonos en el otro foco. α α También en la hipérbola la recta tangente en uno de sus puntos es bisectriz del ángulo que forman los segmentos que van del punto a los focos. Esta propiedad es la que hace que las prolongaciones de los raos luminosos procedentes de un foco, al reflejarse en la hipérbola, converjan en el otro foco. La recta tangente en un punto de la parábola también es bisectriz del ángulo formado por los segmentos que van del punto al foco a la directriz. Como consecuencia de esto, debido a las lees de refleión (el ángulo de incidencia es igual al ángulo de refleión), las ondas emitidas desde el foco de la parábola se reflejan en ésta como un haz de ondas paralelas e, inversamente, todos los haces de ondas paralelas al reflejarse en la parábola pasan por el foco. Este hecho tiene importantes aplicaciones en la construcción de antenas parabólicas, espejos parabólicos para faros de automóviles telescopios. Las antenas parabólicas espejos parabólicos tienen forma de paraboloide de revolución, que es la superficie que engendra una parábola al girar alrededor de su eje. Las primeras aplicaciones científicas de las cónicas aparecen en el siglo XVII. Galileo demuestra que las traectorias de los proectiles son parábolas. α α α Las órbitas de los planetas son elipses de poca ecentricidad con el Sol en uno de sus focos (Lees de Kepler), mientras que las órbitas de los cometas que giran alrededor del Sol muestran una gran ecentricidad. La palabra ecentricidad tiene su origen en el lenguaje de la astronomía se emplea para medir la separación del sol, en un foco, del centro de la órbita. 180

Recuerda ü Un lugar geométrico es un conjunto de puntos del plano que cumplen una condición. ü Entre los lugares geométricos cua condición puede epresarse por unas ecuaciones especiales destacan la circunferencia, la elipse, la hipérbola la parábola. Estas curvas reciben el nombre genérico de cónicas. Resumen de las fórmulas de las cónicas Cónica Ecuaciones Elementos ü Circunferencia: Lugar geométrico de los puntos del plano P(, ) que están a la misma distancia de un punto C(a, b) llamado centro. Ecuación + + m + n + p = 0 Centro: C(a, b) Radio: r m n a =, b = r = a + b p. Ecuación reducida Centro: C(0, 0) + = r Radio: r ü Elipse: Lugar geométrico de los puntos del plano P(, ) cua suma de distancias a dos puntos fijos, F F, llamados focos, es constante e igual al eje maor de la elipse, a. a + = b 1 Vértices: A(a,0) A ( a,0) B(0,b) B (0, b) Focos: F(c,0) F ( c,0) c = a b ü Hipérbola: Lugar geométrico de los puntos del plano P(, ) cua diferencia de distancias a dos puntos fijos llamados focos, F F, es constante e igual al eje transverso a. a = b 1 Vértices: A(a, 0) A ( a, 0) B(0, b) B (0, b) Focos: F(c, 0) F ( c, 0) c = a + b ü Parábola: Lugar geométrico de los puntos del plano cuas distancias a un punto, llamado foco, a una recta, llamada directriz, son iguales. Ecuación: = a + b + c donde: 1 a = p h b = p h c = k+ p Vértice: V(h, k) Parámetro: p 181