TEMA. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.5. GRÁFICAS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.5. GRÁFICAS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.5.1. DOMINIO, CORTES CON LOS EJES Y SIGNO DE LA FUNCIÓN..5.. SIMETRÍAS Y PERIODICIDAD.5.3. ASÍNTOTAS Y RAMAS INFINITAS.5.4. REPRESENTACIÓN FUNCIONES POLINÓMICAS.5.5. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES.5.6. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES CUALESQUIERA
. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.5. GRÁFICAS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.5.1. DOMINIO, CORTES CON LOS EJES Y SIGNO DE LA FUNCIÓN Dada una función real de variable real f : R R, se define el dominio o campo de eistencia de f como el subconjunto de números reales para los cuales eiste una imagen. Se suele denotar por Dom ( f ): Dom( f ) { R/ eiste f ( )}. Cortes con el eje X: son los puntos de la gráfica cuya ordenada es nula, es decir, son puntos de la forma (,0). Para obtener las abscisas de dichos puntos es necesario resolver la ecuación f ( ) 0. Corte con el eje Y: es el punto de la gráfica cuya abscisa es nula, es decir, es el punto ( 0, f (0)). A partir del dominio de definición de la función y de sus puntos de corte, podemos determinar un conjunto de intervalos sobre los cuales la función es continua. En dichos intervalos el signo de la función permanece constante y nos permite dibujar un recinto del plano en el que dibujaremos la gráfica. EJEMPLO: Estudiar dominio, cortes con los ejes y signo de las funciones a) 15 3 f ( ) b) g ( ) log( 8) c) h ( ) 5 6
. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.5. GRÁFICAS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.5.. SIMETRÍAS Y PERIODICIDAD Diremos que la función f (): - Es simétrica respecto del eje Y f ( ) f ( ) para todo Dom( f ). En este caso diremos que la función tiene una simetría par. - Es simétrica respecto del origen f ( ) f ( ) para todo Dom( f ). Diremos también que la función tiene una simetría impar. EJEMPLOS: Estudia la simetría de las siguientes funciones: 3 a) f ( ) 3 1 b) Diremos que la función () verifica: 6 g ( ) c) h( ) 3 d) i( ) 3 f es periódica, con periodo T R, T 0, si se i) Si Dom( f ) T Dom( f ). ii) f ( ) f ( T) para todo Dom( f ). siendo T el menor número real que verifica estas condiciones. EJEMPLO: Analiza si las siguientes funciones son periódicas y en su caso sen determina su periodo: a) f ( ) 3cos cos b) g( ) 1 cos
. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.5. GRÁFICAS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.5.3. ASÍNTOTAS Y RAMAS INFINITAS. Una rama infinita de una función es cualquier tramo de su gráfica que tiene longitud infinita. Las ramas infinitas de una función se obtienen en aquellos casos en los que eiste una tendencia a o bien de la variable dependiente o bien de la variable independiente. Una asíntota de una función es una recta hacia la que se aproima una rama infinita de la misma. ASÍNTOTAS VERTICALES Diremos que la recta =a es una asíntota vertical de la función y=f() si se verifica que alguno de los límites laterales de f(), cuando tiende a a es, es decir, si se verifican alguno de estos casos: lim f ( ) a, lim f ( ) a, lim f ( ) lim f ( ) a a. EJEMPLO: Calcula las asíntotas verticales de la siguiente función y sitúa su gráfica respecto de ellas f ( ) 1
ASÍNTOTAS HORIZONTALES. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.5. GRÁFICAS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.5.. ASÍNTOTAS Y RAMAS INFINITAS. Diremos que la recta y=b es una asíntota horizontal de la función y=f() si se verifica alguno de estos casos: lim f ( ) b o lim f ( ) b La aproimación de la rama infinita hacia la asíntota puede dar lugar a cuatro tipos de situaciones. Para hallar la posición de la gráfica de la función con respecto a la asíntota basta estudiar el signo de la diferencia f ( ) b en dos casos: Si lim f ( ) b entonces estudiaremos la diferencia f ( ) b para valores muy pequeños de. Si el signo es positivo, la gráfica queda por encima de la asíntota, y si el signo es negativo, la gráfica quedará por debajo de la asíntota Si lim f ( ) b entonces estudiaremos la diferencia f ( ) b para valores muy grandes de. Si el signo es positivo la gráfica queda por encima de la asíntota, y si el signo es negativo, la gráfica quedará por debajo de la asíntota. EJEMPLO: Calcula las asíntotas horizontales de la siguiente función y sitúa la 3 gráfica respecto de ellas f ( ) 3 5
ASÍNTOTAS OBLICUAS. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.5. GRÁFICAS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.5.. ASÍNTOTAS Y RAMAS INFINITAS. Diremos que la recta y m n, con m 0es una asíntota oblicua de la f ( ) función y=f() si lim m 0, m R ; para ese valor obtenido lim f ( ) m n. OBSERVACIÓN Si una función f() tiene asíntotas horizontales hacia la derecha y la izquierda, entonces no tiene asíntotas oblicuas hacia la derecha y la izquierda respectivamente y viceversa. EJEMPLO: Calcula si eisten las asíntotas oblicuas de f ( ) 1 5 EJERCICIO: Calcula las asíntotas de las siguientes funciones y sitúa la curva con 3 5 5 14 respecto de ellas:a) f ( ) b) g ( ) c) h ( ) 6 4
RAMAS INFINITAS PARABÓLICAS. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.5. GRÁFICAS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.5.3. ASÍNTOTAS Y RAMAS INFINITAS. Diremos que la función f () tiene una rama infinita parabólica si la gráfica no se aproima a ninguna recta y eiste alguno de los siguientes límites: lim f ( ), lim f ( ), lim f ( ), lim f ( ) Por ejemplo, la función 3 3 f ( ) tiene dos ramas parabólicas CORTES DE LA GRÁFICA CON LAS ASÍNTOTAS HORIZONTALES Y OBLICUAS. En algunas ocasiones la gráfica de la función puede cortar a las asíntotas horizontales o a las asíntotas oblicuas. Para obtener los puntos de corte entre la gráfica y las asíntotas se debe resolver un sistema de ecuaciones determinado por la ecuación de la función y la ecuación de la asíntota. ln Por ejemplo, la función f ( ) tiene una asíntota horizontal y 0. Determina si tiene puntos de corte.
. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.5. GRÁFICAS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.5.3. ASÍNTOTAS Y RAMAS INFINITAS: EJERCICIOS 1 1) Calcula las asíntotas de f ( ) y determina si eisten puntos de corte entre la gráfica y las asíntotas. ) Calcula las asíntotas de las siguientes funciones, sitúa la curva con respecto de ellas y calcula, si eisten, los puntos de corte de la gráfica con las mismas: 3 15 a) f ( ) 3 3 4 3 b) g ( ) 1
. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.5. GRÁFICAS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.5.4. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES POLINÓMICAS ESQUEMA GENERAL DE ESTUDIO Y REPRESENTACIÓN: A) Dominio, continuidad y derivabilidad de las funciones polinómicas. Las funciones polinómicas tienen como dominio todo R. En consecuencia dibujaremos la curva considerando todos los valores reales. Además, todas las funciones polinómicas son continuas y derivables en su dominio. B) Simetrías. C) Puntos de corte con los ejes y signo de la función. D) Asíntotas y ramas parabólicas E) Intervalos de crecimiento y decrecimiento y etremos locales. F) Concavidad y conveidad de la función G) Representación gráfica de la función EJEMPLO: Representa la siguiente función f ( ) 4 EJERCICIO: Representa las siguientes funciones polinómicas: 3 3 3 g( ) a) f ( ) 4 3 18 b) 3 5 3 c) h( ) 3 1 d) i( ) 3 6 4
. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.5. GRÁFICAS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.5.4. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES ESQUEMA GENERAL DE ESTUDIO Y REPRESENTACIÓN: A) Dominio, continuidad y derivabilidad de las funciones racionales. El dominio de las funciones racionales es el conjunto de los números reales salvo aquellos valores que anulan el denominador. Por otro lado, las funciones racionales son continuas y derivables en su dominio B) Simetrías. C) Puntos de corte con los ejes y signo de la función. D) Asíntotas y ramas parabólicas E) Intervalos de crecimiento y decrecimiento y etremos locales. F) Concavidad y conveidad de la función G) Representación gráfica de la función 1 EJEMPLO: Representa la siguiente función f ( ) 1 EJERCICIO: Representa las siguientes funciones RACIONALES 4 a) f ( ) b) 5 c) h ( ) d) 9 3 6 g ( ) 9 8 i ( ) 4
. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL ESQUEMA GENERAL DE ESTUDIO Y REPRESENTACIÓN: A) Dominio B) continuidad y derivabilidad de la función. B) Simetrías y periodicidad C) Puntos de corte con los ejes y signo de la función. D) Asíntotas y ramas parabólicas E) Intervalos de crecimiento y decrecimiento y etremos locales. F) Concavidad y conveidad de la función G) Representación gráfica de la función EJEMPLO: Representa la siguiente función f ( ) EJERCICIO: Representa las siguientes funciones a).5. GRÁFICAS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.5.4. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES CUALESQUIERA f ( ) d) 3 e b) ln i( ) e) e ln(1 ) si 1 g ( ) 3 c) h ( ) 1 3 si 1 j( ) e