9.DERIVADAS 9.. VARIACIÓN DE UNA VARIABLE Las propiedades estudiadas en los temas anteriores, límites, continuidad, etc., nos aportan inormación puntual sobre las unciones; pero no nos dicen nada sobre los cambios que eperimenta la unción al variar la variable independiente. En este tema abordamos el estudio de la velocidad de cambio de una unción, como relación entre el cambio de la unción y el cambio de la variable. Para determinar una medida de la velocidad de cambio de la unción en un punto, debemos deinir previamente alunos conceptos: Se llama variación o incremento de una variable, cuando pasa de o a, al valor dado por En incremento también se puede epresar por Δ Ejemplo.- Determina el incremento de la variable, cuando pasa de - a -5-5 - -3 9. VARIACIÓN DE UNA FUNCIÓN De orma similar deinimos la variación, o incremento, de una unción como la dierencia entre los valores de la unción en los puntos dados; es decir: Se llama variación de la unción, cuando pasa de a, al valor Δ dado por Δ o o bien si conocemos el incremento de la variable independiente Δ o o Ejemplo.- Determina la variación de la unción Δ 4 3 3 4 3, cuando pasa de a 3 O también, dado que 3 Δ 4 3 9.3 TASA DE VARIACIÓN MEDIA En los dos puntos anteriores emos estudiado como varían las variables dependiente e independiente; pero en mucas situaciones interesa estudiar cómo varia un variable con respecto de la variación de la otra. Podríamos considerar esta relación como una medida de la velocidad de variación. - -
El valor que nos mide esta relación entre el incremento de la unción y el incremento de la variable le llamamos tasa de variación media de la unción, es decir: Δ T. V. M. Δ Geométricamente, la T.V.M. nos da la pendiente de la recta que une los dos puntos etremos entre los que estudiamos el incremento de la unción ya que tanα La tasa de variación media nos da inormación aproimada sobre el incremento de la unción en el intervalo, 9.4 TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA Observamos que si el incremento de la variable independiente es muy pequeño, la TVM no da una inormación más precisa sobre la variación de la unción; de aí que deinamos la TVI como el límite de la TVM cuando el incremento de la variable independiente tiende a cero; es decir: Δ TVI de Δ 9.5 DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Se llama derivada de la unción en el punto o al valor de la tasa de variación instantánea en dico punto, es decir: Δ Derivada de en Δ Para desinar la derivada en de se emplean diversas anotaciones: d y,, D, d - -
Ejemplo 3.- Encuentra la derivada de la unción, en el punto de abscisa 3 3 3 3 Lim Lim 3 3 3 3 Lim Lim 3 3 3 3 3 3 Lim 3 3 3 9.6 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA En el apartado 3.3 emos visto que la Tasa de Variación Media la podemos interpretar eométricamente como la tanente trionométrica del ánulo que orma la cuerda que une los etremos de variación con el eje de abscisas. Si el incremento de la variable independiente va disminuyendo vemos que la cuerda se va acercando a la tanente, con la que coincidirá en el límite si, como vemos en la iura de aquí que la derivada sea la tanente trionométrica del ánulo que orma la tanente eométrica a la curva en el punto o Ejemplo 4. Encuentra la ecuación de la tanente a la curva y 3 en el punto de abscisa En el punto de abscisa la ordenada es y -, lueo la tanente debe tener la orma: y m siendo m la pendiente de la tanente, que sabemos que es la derivada de la unción anterior en el punto en que, lueo: [ 3 ] [ 3 ] m De donde la ecuación de la tanente buscada es: y y 3-3 -
9.7 DERIVADAS LATERALES Dado que la derivada de una unción en el punto viene dada por el límite de la tasa de variación cuando, podemos acercarnos a por la izquierda o por la dereca; de aquí sure de orma natural el concepto de derivada lateral: La derivada lateral por la izquierda de una unción en el punto o, es: o o o y de la misma orma La derivada lateral por la dereca de una unción en el punto o, es: o o o Ejemplo 5. Encuentra, en el punto, las derivadas laterales de la unción: si < si La derivada lateral por la izquierda en será: Y la derivada lateral por la dereca en será Vemos que ambas derivadas no coinciden, por lo tanto no podemos trazar un tanente a la ráica en el punto 9.8. CONDICIÓN DE DERIVABILIDAD Por todo lo visto anteriormente, para que una unción sea derivable en un punto deben eistir la derivadas laterales y éstas ser iuales. Así en el ejemplo 6, la unción no es derivable en el punto, ya que las derivadas laterales en dico punto son distintas. 9.9 DERIVACIÓN Y CONTINUIDAD Si tiene derivada en o, entonces es continua en dico punto En eecto: Si eiste, y tomando límites cuando - 4 -
lueo ; de donde la unción es continua en Por lo tanto para que una unción sea derivable en un punto tiene que ser continua en dico punto. Aora bien, una unción puede ser continua y no ser derivable De esta orma, y la vista de los puntos 3.8 y 3.9, para que una unción sea derivable en un punto deben cumplirse las dos condiciones siuientes: º.-La unción debe ser continua en ese punto º.-Las derivadas laterales en ese punto deben coincidir. Ejercicio 6.- Estudia, en 3, la derivabilidad de la unción 3 En el punto 3 3-3 Lim 3 3 Lim 3 Lim 3 3 si si < 3 3 Lim 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3, lueo la unción es continua en 3 lueo al ser las derivadas laterales distintas, la unción no es derivable en 3 Ejemplo 7. Calcula derivada de la unción si si < en En Por lo tanto la unción es continua en. Pasamos a calcular su derivada en ese punto - 5 -
- 6 - [ ] 9. FUNCIÓN DERIVADA La derivada de una unción ace corresponder a cada valor o de la variable independiente un valor o, por tanto podemos deinir la unción que aa corresponder a cada o el valor de la derivada en dico punto. Ejemplo 8. Encuentra la unción derivada de la unción 3 [ ] [ ] 3 3 A la unción derivada de una unción le llamaremos simplemente derivada de la unción 9. REGLAS DE DERIVACIÓN Aunque el procedimiento seuido en el punto anterior es válido para encontrar la derivada, el conocimiento de las relas de derivación nos permite ailizar el cálculo. 9.. Derivada de la unción obtenida al operar con unciones: a Derivada de la suma de unciones Si y son dos unciones derivables, la derivada de la unción suma se obtiene sumando las derivadas de las unciones: [ ] En eecto: [ ] b Derivada de una constante por una unción La derivada de una constante por una unción derivable es iual a la constante por la derivada de la unción: [ ] k k En eecto: [ ] k k k k k
- 7 - c Derivada del producto de dos unciones La derivada del producto de dos unciones derivables es iual a la derivada de la primera por la seunda sin derivar, más la primera sin derivar por la derivada de la seunda: [ ] En eecto [ ] dderivada del cociente de dos unciones La derivada del cociente de dos unciones derivables es iual a la derivada del numerador por el denominar sin derivar, menos el numerador sin derivar por la derivada del denominador, y todo ello dividido por el cuadrado del denominador: [ ] En eecto: [ ] [ ] [ ] ederivada de la unción compuesta de dos unciones La derivada de una unción compuesta de dos unciones derivables es iual a la derivada de la primera por la derivada de la seunda, cada una con su correspondiente variable:
[ ] [ ] Ya que: [ ] [ ] [ ] [ ] - [ ] [ ] [ ] [ ] A la rela para derivar unciones compuestas se le llama también Rela de la cadena. 9.. de las unciones elementales a Derivada de la unción constante k La derivada de la unción constante es cero. k Demostración: k k b Derivada de la unción identidad La derivada de la unción identidad es uno. Demostración: c Derivada de la unción potencial n La derivada de la unción potencial es iual al eponente por la base elevada al eponente menos uno Demostración: n n n n n n n n n n n d Derivada de la unción loarítmica Ln n n n - 8 -
La derivada de la unción loarítmica es iual a Demostración: Ln Ln Ln Ln Ln Lne e Derivada de la unción seno sen La derivada de la unción seno es la unción coseno En eecto: sen cos sen sen sen cos sen cos - sen sen cos - - sen cos cos sen cos - y que que e Derivada de la unción coseno cos La derivada de la unción coseno es la unción seno, con sino menos cos -sen, para lo cual emos tenidos en cuenta Como puede comprobar el lector realizando una demostración similar a la del punto anterior. Ejemplo 9. Calcula de derivada de la unción 3 cos Ln Por tratarse de una suma de unciones, aplicamos la derivada de la unción suma 3 [ ] [ cos ] [ Ln ] Y derivando a aora las unciones sumandos: 3 [ ] [ cos ] [ Ln ] 3 cos - 9 -
Ejemplo. Calcula la derivada de la unción Se trata de una suma de unciones sen [ sen ] [ ] sen [ sen ] [ ] [ ] sen cos sen - cos - Ejemplo. Calcula la derivada de la unción Ln Se trata de una unción de unción, lueo: 4 Ln 4 4 Por ser de uso recuente, a continuación damos alunas derivadas que resulta conveniente memorizar. Se pueden obtener como ejercicio aplicando las relas anteriores. Derivada de la unción raíz cuadrada Derivada de la unción tanente tan 9..3 Técnicas auiliares de derivación tan cos Las dos siuientes técnicas de derivación resultan útiles para encontrar alunas derivadas de unciones cuyo calculo sería muco más laborioso empleando el procedimiento basado en la deinición de derivada. a Derivada de la unción inversa La derivada de la unción inversa de una unción es iual a dividido pr la derivada de la unción directa. En eecto, sabemos que y y y - -
[ ] Si derivamos ambos miembros: [ ][ ] de donde [ ] b Derivada loarítmica Cuando nos aparece una unción compuesta con una unción en el eponente resulta útil aplicar siuiente técnica que llamamos derivada loarítmica: [ ] [ Ln ] Resultado que obtenemos ácilmente sin más que tomar loaritmos en ambos miembros antes de derivar. [ y] Como emos dico anteriormente, estas dos últimas técnicas nos permiten calcular ácilmente las derivadas de alunas unciones de uso práctico: c Derivada de la unción eponencial e La derivada de la unción eponencial es la misma unción En eecto e e [ Ln ] e e Ln d Derivada de la unción arco seno ar sen La derivada de la unción arco seno es iual a divido por la raíz cuadrada de menos al cuadrado ar sen - Demostración y cos y Sea y ar sen, entonces sen y, es decir y sen y sen y Y como y y son inversas: lueo - -
y e Derivada de la unción arco coseno ar cos La derivada de la unción arco coseno es iual menos divido por la raíz cuadrada de menos al cuadrado ar cos - - La demostración la dejamos como ejercicio Derivada de la unción arco tanente ar tan de La derivada de la unción arco tanente es iual a dividido por la suma de más el cuadrado ar tan De donde Demostración: Sea y ar tan tan y y y tan y cos y, y como y y son inversas y Ejemplo. Calcula la derivada de la unción ar tan - Se trata de una unción de unción, lueo ar tan - - -
Ejemplo 3. Calcula la derivada de y sen Ln Por tratarse de una unción compuesta, en la que aparece una unción como eponente, podemos aplicar la técnica de la derivada loarítmica: sen Ln y Ln sen, lueo y Ln cos y, de donde Ln sen sen Ln cos sen y y Ln cos 9.. DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN En puntos anteriores emos visto que: De esta orma, para valores pequeños de, podemos escribir o también El primer miembro de esta aproimación es la tasa de variación de la unción en y es la tasa variación o incremento de la variable independiente, lueo podemos obtener una buena aproimación a la tasa de variación de la unción, multiplicando la derivada por la tasa de variación de la variable independiente. Al producto se le llama dierencial de la unción y lo representamos por dy dy Aora bien, si acemos y dy d, lueo podemos epresar la dierencial en la orma: dy d que leeremos en la orma: la dierencial de y es iual a la derivada por la dierencial de Ejemplo 4. Epresa la dierencia de la unción Ln dy d Ejemplo 5. Al calentar una moneda de cm de radio, éste aumenta,3 mm. Cuánto aumenta su área? - 3 -
Si llamamos al radio, el área vendrá dada por la unción y aproimada del área será dy π d π,3 8,8 mm π, lueo la variación a Aplicación de la dierencial para el calculo de la derivada de unciones implícitas dy De la deinición de dierencias podemos epresar, lo que nos permite calcular d derivadas dierenciando previamente la unción. Veamos un par de ejemplos: Ejemplo 6. Calcula la derivada de la unción y y Dierenciemos previamente ambos miembros, teniendo en cuenta que para dierenciar debemos derivar y multiplicar por la dierencial de la variable que emos derivado. d ydy yd dy escribiendo en un miembro todos los términos que contienen dy y en otro los que contienen d d yd dy ydy sacando actor común: y d ydy y y dy dividiendo por d d y despejando dy d y, es decir y y y y Ejemplo 7. Calcula la derivada de y sen Siuiendo los pasos del ejemplo anterior: yd dy co d dy cos yd dy y d cos - y - 4 -