MATE 3013 LA FUNCIÓN DERIVADA

Se quiere hllr l rect tngente l curv en el punto ( ; f()) = f() 8

Se tom un punto rbitrrio ( ; f()) se trz l rect secnte que ps por esos dos puntos (; f()) (; f()) 8

Cuál es l pendiente de l rect secnte? (; f()) m = f f() (; f()) f() - f() - 8

Ahor hgmos que se proime o se v cercndo f() - f() - 8

Ahor hgmos que se proime o se v cercndo 8

Pendiente de l rect secnte que ps por los puntos (; f()) (; f()) f f Pendiente ) ( ) ( Pendiente de l rect tngente en el punto (; f()) f f lím m ) ( ) ( L siguiente es un form equivlente: h f h f lím m h ) ( ) ( 0, donde h =

Definición L derivd de un función f en un número, denotd con f (), es: f '( ) lím h0 f ( si este límite eiste. h) h f ( ) Si el límite nterior eiste, decimos que f() es diferencible en =.

Derivd -plicciones Es diferencible l función f = en = 0? Solución: Según l definición de derivd un función es diferencible en un punto si l derivd eiste en el punto. f h f f lim h0 h lim0 h h -0.5-0.1-0.01-0.001-0.0001 f() h h h 0.5 0.1 0.01 0.001 0.0001 f() -1-1 -1-1 -1 1 1 1 1 1 lim h0 h h 1 lim h0 h h 1

Derivd -plicciones Es diferencible l función f = en = 0? lim h0 h h 1 lim h0 h h 1 Solución: (continución) Según l definición de derivd un función es diferencible en un punto si l derivd eiste en el punto. h lim0 h h No eiste que los límites por l derech son diferentes. por l izquierd Por lo tnto, l función no es diferencible en = 0. L derivd de f() e = 0 no está definid.

L derivd como un función Si en l definición nterior, cmbimos el número por l vrible, obtenemos: f '( ) lím h0 f ( h) h f ( ) L derivd de l función f() se obtiene tomndo el límite del cociente de diferencis. Interpretcion: Como podemos clculr el límite de l definición nterior pr culquier en el dominio de l función, f () es un nuev función llmd l función derivd de f, o simplemente l derivd de f.

L derivd como un función L funcion derivd f nos devuelve l pendiente de l rect tngente l gráfic de f en cd que pertenece l dominio de f. = 3 f.5 = 3 porque l tngente en =.5 tiene pendiente igul 3. = - 3 = 1.+1.5 = - = -1.3 + 13 f = 0 f = 1. f = 0 f = 1.3

L derivd como un función En los puntos de máimo o mínimo locles, l rect tngente es horizontl por lo tnto f = 0 m<0 m=0 m>0 m=0 m<0 En los trmos de crecimiento de l gráfic, l rect tngente tiene pendiente positiv por ende f > 0 (o se f es positiv) En los trmos de decrecimiento de l gráfic, l rect tngente tiene pendiente negtiv por ende f < 0 (o se f es negtiv)

Aplicciones de l derivd Solución: Los vlores ordendos de mor menor : f, f 1, f 5.8, f ()

Técnics de diferencición Notción de Leibniz: Cundo es un función de, tmbién nombrmos l derivd, f, como d d, que se lee l derivd de con respecto.

Técnics de diferencición : L regl de potencis Pr culquier número rel k, O lo que es lo mismo: d d k k k1 f k = k k 1

Técnics de diferencición : L regl de potencis Ejemplo 1: Determine l derivd de cd ecución ) 5 b) c) ) d d 5 5 51 b) d 11 1 c) d d d 1 d d 5 5 d d 1 d d 5 = 5

Técnics de diferencición : L regl de potencis Ejemplo : Derivr: ) ) b) f = f = f 1 b) 0.7 d d 0.7 0.7 0.3 1

Técnics de diferencición : L primer regl de ls constntes L derivd de un función constnte es 0. Esto es, O lo que es igul, d d c 0 f c = 0

Técnics de diferencición : L segund regl de ls constntes L derivd de un constnte multiplicd por un función es l constnte multiplicd por l derivd de l función. Esto es, d d c f () c d d f ()

Técnics de diferencición : L segund regl de ls constntes Ejemplo 3: Determinr ls siguientes derivds d ) f 7 = b) c) d (9) d d 1 5 ) f 7 = 7f ( ) b) d d ( 9 ) 9 d d 7 f 7 = 8 3 1 11 91 d ( 9 ) 9 d

Técnics de diferencición : L segund regl de ls constntes Ejemplo 3 (conclusión): c) d 1 1 d 1 d 5 5 d 1 d 5 d 1 1 5 d 1, or d 5 5 5 3 3