ESQUEMA LAS CÓNICAS LA PARÁBOLA ECUACIONES DE LA PARÁBOLA ECUACIÓN DE LA TANGENTE A UNA PARÁBOLA ELIPSE ECUACIONES DE LA ELIPSE PROPIEDADES DE LA ELIPSE LA HIPÉRBOLA ECUACIONES DE LA HIPÉRBOLA 10 ASÍNTOTAS DE LA HIPÉRBOLA 11 PROPIEDADES DE LA HIPÉRBOLA CÓNICAS COMO LUGAR GEOMÉTRICO: Una superficie cónica es la engendrada por una recta al girar en torno al eje que la corta La intersección de esta superficie con planos da lugar a unas curvas que se conocen como secciones cónicas y que pueden ser de varios tipos: circunferencia, elipse, hipérbola o parábola Estas curvas pueden definirse también como lugares geométricos (conjuntos de puntos que cumplen determinada propiedad) y sus ecuaciones se obtienen entonces a partir de estas definiciones La circunferencia se define como el lugar geométrico de los puntos que equidistan de uno dado Su ecuación, si C (a,b) es el centro y r el radio, será CX = r, es decir (x a) + (y b) = r Es la elipse el conjunto de puntos fijos cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante LA PARÁBOLA: Es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que su distancia a una recta fija, situada en el plano, es siempre igual a su distancia a un punto fijo del plano que no pertenece a la recta El punto fijo se denomina foco y la recta fija, directriz de la parábola El vértice de la parábola es el punto de esta línea más próxima a la directriz de la parábola ECUACIONES DE LA PARÁBOLA: La ecuación de una parábola adopta su forma más simple cuando su vértice está en el origen y su eje coincide con uno de los ejes coordenados Sea P(x,y) un punto cualquiera de la parábola Tracemos por P el segmento PA perpendicular a l 1
Entonces, por la definición de parábola, el punto P debe satisfacer la condición: FP = PA, ahora bien, FP =, pero como PA = x+p, tendremos, = X+P Elevando al cuadrado ambos miembros de esta ultima ecuación y simplificando, se obtiene y = 4px Si sumamos (x1 p) a ambos miembros de esta ecuación, obtenemos por la raíz positiva: = x1+p Si P>0, debe excluirse todos los valores negativos de x,y y toda la curva se encuentra a la derecha del eje y Cómo no se excluye ningún valor positivo de x,y como y no puede tomar todos los valores reales, se obtiene una curva abierta que se extiende indefinidamente hacia la derecha del eje Y y hacia arriba y abajo del eje X, en este caso la parábola se abre hacia la derecha Análogamente, si P<0, todos los valores positivos de x debe excluirse en la ecuación y toda la curva aparece a la izquierda del eje y, tal como puede observarse, en este caso se dice que la parábola se abre hacia la izquierda Si el vértice de la parábola está en el origen y su eje coincide con el eje Y, se demuestra que la ecuación de la parábola es: x = 4py, en donde el foco es el punto (0,p) La parábola cumple rigurosamente simetría respecto al eje; En el eje de la parábola se encuentra el foco y el vértice La ecuación de la parábola, en su forma más simple, está referida a los ejes de coordenadas, siendo el vértice el punto 0 y el eje de la parábola, el eje de coordenadas Cuando la parábola no coincide en su dirección y situación con los ejes de coordenadas, la fórmula general se modifica fácilmente para referirse en cualquier posición del plano En un punto de la parábola sólo pasa una sola línea recta que se denomina tangente 4 ECUACIÓN DE LA TANGENTE A UNA PARÁBOLA: Cómo la ecuación de la parábola es de segundo grado, consideramos los tres casos siguientes: Tangente en un punto medio de contacto dado Tangente con una pendiente dada Tangente trazada desde un punto exterior TANGENTE EN UN PUNTO DE CONTACTO DADO: Se determina la ecuación de la tangente a la parábola y =4px, en un punto cualquiera P1(X1Y1) de la parábola, la ecuación de la tangente buscada es de la forma y y1= m(x x1), en donde debe determinarse la pendiente m Si el valor de Y obtenido en la 2
ecuación precedente se sustituye en la primera ecuación tendremos (y1+mx mx1) =4px Por la condición de tangencia, el discriminante de esta última ecuación debe anularse y por la tanto se tiene x1m y1m+p=0, de donde, m= Conocida la pendiente de la tangente de una parábola dada es posible conocer el punto único de contacto En una parábola la condición de tangencia viene dada por la fórmula (2mk 4p) 4 k m =0 desde un punto exterior a una parábola se pueden trazar n rectas tangentes TANGENTE CON UNA PENDIENTE DADA: Consideremos el problema de determinar la ecuación de la tangente de pendiente m a la parábola anterior La ecuación buscada es del tipo y=mx +k, en donde k es la constante cuyo valor debe determinarse Si sustituimos el valor de Y en la ecuación de la parábola se obtiene (mx+k) = 4px, es decir, m x +(2mk 4p)x+k = 0, la condición de tangencia es (2mk 4p) 4k m =0, de donde K=p/m, sustituyendo este valor la ecuación buscada Y=mx+p/m, m 0 Esta ecuación nos permite deducir el siguiente resultado: La tangente de pendiente m a la parábola y =4px tiene por ecuación Y=mx+p/m, m 0 La función cuadrática o trinomio de segundo grado se representa por una parábola cuyo eje coincide o es paralelo con el eje de abscisas LA ELIPSE: Es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano, de modo que la suma de sus distancias a dos puntos fijos de ese plano es siempre igual a una constante, mayor que la distancia entre los dos puntos Se conoce como diámetro de la elipse a toda recta que une dos puntos de la curva y que pasa por el centro 3
Las rectas que unen los focos con un punto determinado de la elipse se denominan radios vectores ECUACIONES DE LA ELIPSE: Sea P(x,y) un punto cualquiera de la elipse El punto P debe satisfacer la ecuación FP + F P =2ª, siendo a una constante positiva mayor que c, ahora bien, FP = de modo que la condición geométrica queda expresada analíticamente por la ecuación Para simplificar la ecuación anterior pasamos el segundo radical al segundo miembro, elevamos al cuadrado, simplificamos y agrupamos los términos semejantes De este modo se obtiene cx+a =a La suma de la distancia de los radios vectores en cualquier punto de la elipse es constante La elipse guarda relación de simetría respecto de su eje mayor y menor La elipse no tiene asíntotas verticales ni horizontales La excentricidad de una elipse, que se representa por e en la razón r/a y siempre es menor que 1: La ecuación de la elipse puede representarse de la siguiente manera: ax +cy +dx+ey+f=0 En cada punto de la elipse pasa una única tangente; La bisectriz del ángulo que forman los dos radios vectores es perpendicular a la tangente de la elipse 7 PROPIEDADES DE LA ELIPSE: La tangente a la elipse b x +a y =a b en cualquier punto P1 (x1 y1) de la curva tiene por ecuación: b2 x1 x + a2 y1 y = a2 b2 Las ecuaciones de las tangentes de pendiente m a la elipse b2 x2 + a2 y2 = a2 b2 son: 4
La normal a una elipse en uno cualquiera de sus puntos es bisectriz del ángulo formado por los radios vectores de ese punto 8 LA HIPÉRBOLA: Es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de modo que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos del plano, llamados focos, es siempre igual a una cantidad constante, positiva y menor que la distancia entre los focos En la hipérbola los radios vectores iguales que pueden trazarse en cada punto desde los focos son dos 9 ECUACIONES DE LA HIPÉRBOLA: Por la definición de hipérbola, el punto P debe satisfacer la condición: FP F P = 2a En donde a es una constante positiva y 2a < 2c La condición geométrica es equivalente a dos relaciones FP F P = 2a FP F P = 2a La primera de estas relaciones se verifica cuando P está sobre la rama izquierda de la hipérbola La segunda relación se verifica cuando P está sobre la rama derecha Ahora bien, FP = F P = Las ecuaciones precedentes se reducen a: (c2 a2) x2 a2 y2 = a2 (c2 a2) que puede escribirse de la forma: x2/a2 y2/b2 = 1 5
Despejando, resulta: Los radios vectores tienen su valor menor cuando coinciden con el eje focal En este caso los puntos son los vértices Los radios vectores aumentan de forma constante en cada punto de la hipérbola La hipérbola no es una línea cerrada y se extiende hasta el infinito La excentricidad de la hipérbola se define por la razón: Llamamos asíntotas a la recta que se acerca progresivamente a la hipérbola en puntos de esa curva cada vez más alejado del vértice Esta recta no llega a tener nunca contacto aunque se acerque infinitesimalmente Una hipérbola se llama equilátera cuando los ejes transversos y conjugados son de la misma longitud 10 ASÍNTOTAS DE LA HIPÉRBOLA: Si en la ecuación de la hipérbola b2x2 a2y2 = a2b2 Despejamos y se obtiene: Que puede escribirse del modo siguiente: Una forma particularmente útil de la ecuación de la hipérbola equilátera es: xy= k Puesto que la ecuación de una hipérbola es: x2/a2 y2/b2 =1 La hipérbola conjugada tiene por ecuación: y2/b2 x2/a2 = 1 Las asíntotas de una hipérbola son dos En una hipérbola equilátera las asíntotas son perpendiculares Se denominan hipérbolas conjugadas cuando ocurre que el eje transverso de una es igual al eje conjugado de la otra 11 PROPIEDADES DE LA HIPÉRBOLA: 6
La ecuación de la tangente a la hipérbola b2x2 a2y2 = a2b2 en cualquier punto P1 (x1y1) de la curva es b2x1x a2y1y = a2b2 Las ecuaciones de la tangente a la hipérbola b2x2 a2y2=a2b2 de pendiente m son: m > b/a c) La tangente a una hipérbola en cualquier punto de la curva es bisectriz del ángulo formado por los radios vectores de ese punto 1 SEGMENTO RECTILINEO DIRIGIDO: Es la porción de una línea comprendida entre dos de sus puntos, los dos puntos se llaman extremos del segmento 2 SISTEMA COORDENADO EN EL PLANO: Consta de dos rectas dirigidas x' x, y' y llamadas ejes de coordenadas perpendiculares entre sí Los ejes de coordenadas dividen el plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes 3 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS: Las distancias entre dos puntos que tienen ordenadas (valores y) es igual al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas, por tanto la distancia entre dos puntos debe ser considerada positiva La distancia entre dos puntos que tienen abscisas (valores x) es igual al valor absoluto de la diferencia de las ordenadas 4 LINEA RECTA: Es el lugar geométrico de los puntos tales que tomados dos puntos diferentes cualquiera P1(x1,y1) P2 (x2,y2), de el lugar del valor de la pendiente m Se calcula así: m=y2 y1 ó x2 x1 donde x2 x1 7