GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 0.. Derivadas parciales derivadas direccionales de un campo escalar. El cálculo de varias variables es básicamente el cálculo de una variable, aplicado a varias variables de una en una. En particular, cuando mantenemos constante todas las variables de una unción menos una de las variables independientes derivamos respecto de esa variable obtenemos una derivada parcial. En esta sección deiniremos las derivadas parciales las interpretaremos geométricamente. Además estudiaremos la orma de calcularlas mediante la aplicación de las reglas para la derivación de unciones de una variable. DEFINICIÓN. Sea :(, ) U (, ) una unción de dos variables consideremos un punto ( 0, interior al conjunto U. Sean > 0 k > 0 números suicientemente pequeños de orma que los puntos ( 0 +, ( 0, 0 + k) sean puntos de U. La derivada parcial de con respecto a en el punto ( 0, es, si eiste el siguiente límite, el número deinido por ( +, ) (, ) 0 0 0 0 ( 0, : = lim. 0 La derivada parcial de con respecto a en el punto ( 0, es, si eiste el siguiente límite, el ( 0, 0 + k) ( 0, número deinido por ( 0, : = lim. k 0 k OBSERVACIÓN (INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA). Consideramos un punto P= ( 0, 0, z en la gráica de la unción, de manera que z 0 = ( 0, 0 ), cortamos dica supericie con el plano de ecuación = 0, obteniendo una curva en dico plano. Observemos el siguiente gráico donde mostramos el corte del plano = 0 con la gráica de la unción z = (, ).
GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 0. Un trozo pequeño de esta curva puede ser parametrizado por la unción Ct () = (, t 0, (, t ), don- t ( r, + r) tomando r > 0 suicientemente pequeño. Observemos que los puntos de esta de 0 0 curva están en el plano = 0 en la supericie z = (, ). El punto P= ( 0, 0, z se obtiene para el valor del parámetro t = 0. Si llamamos zt () = (, t, el vector tangente a esta curva en el punto P viene dado por C ( = (,0, z ( ), siendo entonces z ( 0 ) la pendiente de la recta tangente a esta curva en P. Calculemos el valor z ( 0 ). Por deinición z ( 0 + ) z ( ( 0 +, ( 0, z ( : = lim = lim = ( 0,. 0 0 Entonces la derivada parcial ( 0, es la pendiente de la recta tangente a esta curva en P el vector tangente a la curva C en el punto P= ( 0, 0, z es (, 0, ( 0, ). Análogamente, la derivada parcial ( 0, es la pendiente en el punto P de la recta tangente a la curva que resulta de cortar la gráica de con el plano de ecuación = 0. El vector tangente a esta otra curva en el punto P= ( 0, 0, z viene dado aora por (0,, ( 0, ). Observemos, para inalizar esta interpretación geométrica, que el vector producto vectorial de los { } vectores (,0, (, ) 0 0 ), ( 0,, (, ) 0 0 ), esto es, el vector ( ( 0,, ( 0,,) es un vector normal a los vectores tangentes a estas dos curvas en la supericie, por tanto, será un vector normal a la supericie en el punto P= ( 0, 0, z.
GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 0. OBSERVACIÓN (CÁLCULO DE DERIVADAS PARCIALES). Siguiendo un argumento similar al que emos usado en la interpretación geométrica de las derivadas parciales, ijado el punto ( 0,, podemos deinir una unción de una variable ϕ : ( 0 r, 0 + r) ϕ( ): = (,, siendo r > 0 suicientemente pequeño. Entonces la unción ϕ es derivable en 0 si, sólo si, eiste la derivada parcial de con respecto a en el punto ( 0,. Esto se debe a que ϕ ( 0 + ) ϕ( ( 0 +, ( 0, =. Además, en caso de eistir esta derivada, se veriica que ϕ ( = ( 0,. O sea, la derivada parcial de con respecto a en el punto ( 0, se calcula derivando la unción con respecto a su variable mientras mantenemos su variable constante e igual a 0. Esto permite trasladar las reglas de derivación en una variable a derivadas Si eisten las derivadas parciales de dos unciones g con respecto de en el punto ( 0,, entonces se veriica que ( + g) (, ) = (, ) + g (, ), 0 0 0 0 0 0 ( g) (, ) = (, ) g(, ) + (, ) g (, ), 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( 0, g( 0, ( 0, g( 0, ( 0, =, si g( 0, 0. g g( 0, Análogamente, la derivada parcial de con respecto a en el punto ( 0, se calcula derivando la unción con respecto a su variable mientras mantenemos su variable constante e igual a 0. La derivada parcial con respecto a tiene reglas de derivación análogas a las que emos descrito anteriormente para la derivación respecto de. EJEMPLO. ) Vamos aora a calcular las derivadas parciales de la unción (, ) = + en el punto (,). Derivando (, ) con respecto a obtenemos que (, ) = +. Por tanto, (, ) = 6. Derivando (, ) con respecto a obtenemos que (, ) =. Por tanto, (, ) =. ) Podemos calcular las derivadas parciales en un punto arbitrario. Consideremos la unción (, ) = sen( + )cos( ). Entonces, derivando la unción (, ) con respecto a obtenemos que (, ) = cos( + )cos( ) sen( + )sen( ). Derivando aora con respecto a obtenemos que (, ) = cos( + )cos( ) + sen( + )sen( ). NOTACIÓN. Ha otras notaciones mu etendidas para las derivadas Por ejemplo, si e- 3
GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 0. presamos una tercera variable z como unción de e, digamos z = (, ), entonces podemos escribir las derivadas parciales de las siguientes maneras: z = = D = z =, análogamente, = = D = z =. z es discontinua en ( 0,0 ). Sin embargo, eisten las deri- 0, = 0, EJEMPLO. La unción (, ) =, 0 vadas parciales (0, = 0 (0, = 0. Derivada direccional. La derivada parcial con respecto a resulta de analizar el ritmo de variación de la unción cuando nos acercamos a ( 0, manteniendo la segunda coordenada constante; o sea, cuando nos acercamos a dico punto según la dirección marcada por el vector (,. Análogamente, la derivada parcial con respecto a nos da la tasa de cambio de al acercarnos al punto ( 0, según la dirección marcada por el vector (0,). Más generalmente, consideremos el punto ( 0, interior al conjunto U donde está deinida la unción un vector unitario u = ( u, u ), es decir, tal que u =. DEFINICIÓN. Sea :(, ) U (, ) una unción de dos variables consideremos un punto ( 0, interior al conjunto U. La derivada direccional de en la dirección u, es, si eiste el siguiente límite, el número deinido por D u = ( + u, + u ) (, ) 0 0 0 0 ( 0, : lim. 0 OBSERVACIÓN (INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA). Consideramos un punto P= ( 0, 0, z en la gráica de la unción, de manera que z 0 = ( 0, 0 ), cortamos dica supericie z = (, ) con el 4
GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 0. plano π que pasa por el punto P= ( 0, 0, z paralelo al eje OZ con vector director ( u, u,, obteniendo una curva C en dico plano en la supericie. Un trozo pequeño de esta curva puede ser parametrizado por la unción C t r r C t = + tu + tu z t 3 : (, ) ( ) ( 0, 0, ( )), siendo r > 0 suicientemente pequeño zt () = ( 0 + tu, 0 + tu). Observemos que los puntos de la curva están en el plano π en la supericie z = (, ). El punto P se obtiene para t = 0. El vector tangente a esta curva en el punto P viene dado por C ( = ( u, u, z (), siendo entonces z ( la pendiente (medida en el plano π ) de la recta tangente a esta curva C en el punto P. Calculemos el valor z (. Por deinición tenemos que z ( : = lim puesto que este co- z ( ) z( 0 ( 0 + u, 0 + u) ( 0, ciente incremental es, tenemos que z ( = Du ( 0,. Esto quiere decir que la derivada direccional Du ( 0, representa la pendiente de la recta tangente a esta curva en el punto P. Derivadas parciales de orden superior. Cuando eisten las derivadas parciales de una unción en cada punto (, ) del dominio U (suponemos que el dominio es un conjunto abierto) se pueden deinir las unciones derivadas parciales de dadas por U :(, ) (, ) U :(, ) (, ). Las derivadas parciales de una unción se suelen llamar derivadas parciales de primer orden. Nos planteamos aora el proceso de derivación sucesiva, para lo que introduciremos los conceptos de derivadas parciales segundas, terceras, etc. 5
GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 0. DEFINICIÓN. Consideremos una unción :(, ) U (, ) para la que eisten sus unciones derivadas parciales primeras, esto es, :(, ) U (, ) también :(, ) U (, ). Las derivadas parciales de estas unciones se llaman, si eisten, derivadas parciales segundas de pueden ser cuatro, cuas notaciones abituales damos a continuación: a) derivada parcial segunda de respecto de dos veces: = = =. = D b) derivada parcial segunda (o cruzada) de primero respecto de luego de : = = = = D. c) derivada parcial segunda (o cruzada) de primero respecto de luego de : = = = = D. d) derivada parcial segunda de respecto de dos veces: = = =. = D Reiterando el proceso, a partir de las derivadas parciales segundas se deinen las derivadas parciales terceras de que son oco. Estas son las siguientes : =, : =, : =, : =, : =, : =, : =, : =. TEOREMA (IGUALDAD DE LAS DERIVADAS CRUZADAS). Consideremos una unción de dos variables :(, ) U (, ). Si las derivadas parciales de primer orden eisten son continuas la derivada parcial cruzada eiste es una unción continua en U, entonces eiste la otra derivada cruzada ambas coinciden. OBSERVACIÓN. También es cierto el resultado si intercambiamos los papeles de e, es decir, si las derivadas parciales de primer orden eisten son continuas la derivada parcial cruzada eiste es una unción continua en U, entonces eiste la otra derivada cruzada ambas coinciden. EJEMPLO. ) La unción 3 4 5 7 = + tiene derivadas parciales son (, ) 3 4 4 7 = + (, ) 3 5 3 3 5 6 (, ) = 4 +. 3 4 6 Estas dos unciones son continuas, eiste la derivada cruzada (, ) = 6 8+ 05 es una unción continua. El teorema de las derivadas cruzadas nos asegura que la otra derivada cruzada 6
GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 0. (, ) eiste coincide con (, ), como se comprueba con un simple cálculo. ) En la maoría de los casos, con las unciones que nosotros trabajaremos, se veriican las ipótesis del teorema de las derivadas cruzadas, en consecuencia, las derivadas cruzadas coincidirán. Sin embargo, esto no es cierto en general. Por ejemplo, para la unción deinida por 3 3,si(, ) (0, (, ) = + 0, si (, ) = (0, tenemos que no coinciden las derivadas parciales cruzadas en el origen, es decir, se veriica que (0, (0,. Este eco se comprueba calculando estas derivadas con la deinición, pero es un proceso complicado no lo detallaremos aquí. EJERCICIO. Calcula las derivadas parciales de las siguientes unciones () (, ) ( ) =, () (, ) = +, (3) (, ) =, + + (4) (, ) =, (5) (, ) = arctan, (6) (, ) = e sen( + ), (7) (, ) e log, (, ) cos 3 =, (9) (, ) =. = (8) ( ) EJERCICIO. Escribe la deinición de derivada parcial para una unción de tres variables. EJERCICIO 3. Calcula las derivadas parciales de las siguientes unciones () ( z,, ) = + z + z, () ( z,, ) = log( + z z), (3) (,, z) =, (4) ( z,, ) = arcsen( z), + + z ( ) (5) (,, ) z z e + +, ( z,, ) = tan + 3+ 3 z. = (6) ( ) EJERCICIO 4. Escribe la deinición de derivada direccional para una unción de tres variables. EJERCICIO 5. Calcula la derivada direccional de las siguientes unciones en los puntos según las direcciones que se indican (, ) = 3, P= 5,5, = 4,3, (,, z) = 3e cos( z), P= 0,0,0, u =,,, ) ( ) u ( ) 3) ( ) ( ) ) z (, ) = +, P= (, ), u = ( 3, 4 ), 4) z = e + z P= = ( ) (,, ) log( ),,0,,,,. u EJERCICIO 6. Escribe las deinición de derivada parcial de segundo orden para una unción de tres variables (,, ), z cuántas a?, cuáles son iguales? 7