Tema 1. Funciones: Límites y Continuidad. Raúl González Medina. I.E. Juan Ramón Jiménez Tema 1

Transcripción

1 Tema Funciones: Límites y Continuidad.- Introducción.- Deinición de Función..- Funciones elementales..- Operaciones con unciones...- Composición de unciones...- Función inversa o recíproca.- Transormaciones de Funciones 4.- Límite de una unción En un Punto En el Ininito. 5.- Límites indeterminados. 6.- Continuidad de una unción en un punto. 7.- Continuidad de una unción en un intervalo. 8.- Ejercicios Resueltos. Raúl González Medina I.E. Juan Ramón Jiménez Tema

2 Matemáticas º Bachillerato..- Introducción El concepto de unción real de una variable real se remonta a unos años a.c., evolucionando en el tiempo desde una concepción puramente geométrica, en la que se considera que una unción se identiica con una curva, hasta una concepción lógica, en la que se deine unción como una correspondencia entre conjuntos, pasando por una concepción algebraica, en la que una unción se epresa mediante una órmula, que en un principio (Euler, 748) ue de tipo inito y más adelante (Fourier, 8) se admitió que pudiera tener un número ininito de términos (la llamada "epresión analítica" ). El concepto de unción es uno de los más importantes no solo en matemáticas, sino en ingeniería y ciencias en general. La propiedad esencial que comparten todas las deiniciones de unción es que se trata de una regla que asigna a cada ente de un conjunto de partida un único ente de otro conjunto de llegada. Cuando no se plantea esta restricción, se dice que dicha regla es una relación o una correspondencia. Por ejemplo, la epresión ( ), R, con, no deine una unción real de la variable real no negativa porque asigna a cada número real, no negativo, dos números reales, y, mientras que la epresión ( ), si deine una unción real de la variable real no negativa., R, con En este tema, además de deinir los primeros conceptos relativos a las unciones reales de una variable real, repasando brevemente algunas de las unciones elementales con las que trabajaremos en este curso, introduciremos la idea de proimidad, deiniendo una topología en la recta real...- Deinición de Función real de variable Real Dados dos conjuntos numéricos A y B, una unción de A a B es una aplicación (normalmente biyectiva) que asigna a cada número del conjunto A uno y solo un número del conjunto B. La representaremos de la siguiente orma: : A B : A : [,] Ejemplo : ó ( ) ( ) ( ) donde es la variable independiente y ( ) es la variable dependiente. Si el conjunto B es el cuerpo de los números reales,, decimos que la unción es una unción real de variable real. Al conjunto A se le llama conjunto de deinición de o dominio, Dom, y son los valores de la variable independiente,, para los que eiste valor de la variable dependiente, ( ), (la unción está deinida). Dom( ) / ( ) eiste Se llama recorrido de una unción o imagen de, Im( ), al conjunto de valores que toma la variable dependiente (). Im( ) y / y ( ), Dom( ) Se llama grao de una unción a un subconjunto G del producto cartesiano A ormado por los pares (,y) tal que y=(). G, ( ) / A Si consideramos un sistema de reerencia aín, p.e. O, ˆi, ˆj podemos representar los puntos del grao G en el plano aín. La igura del plano aín determinada por los puntos correspondientes a los elementos del grao, recibe el nombre de gráica de la unción. Es decir, es el lugar geométrico de los puntos del plano cuyas coordenadas veriican la ecuación y=(). Selectividad.intergranada.com Funciones, límites y Continuidad I-

3 Matemáticas º Bachillerato Y y M(,y) Curva de Una unción, nunca vuelve hacia atrás, ya que para cada valor de, obtenemos un solo valor de (). O X o La unción : A R está acotada superiormente, si A, c / ( ) c. A los números c que cumplen esta propiedad se les llama mayorantes o cotas superiores de. La unción : A R está acotada ineriormente, si A, c / ( ) c. A los números c que cumplen esta propiedad se les llama minorantes o cotas ineriores de. Se dice que está acotada si eisten cotas superiores e ineriores, ó P / A, ( ) P Se llama supremo de una unción al menor de los mayorantes de dicha unción. Se representa por sup(). Si este valor lo alcanza la unción en algún punto de su dominio, recibe el nombre de máimo absoluto. Por tanto, se dice que una unción tiene un máimo absoluto en un punto a D si se veriica que () (a) D, Se llama ínimo de una unción al mayor de los minorantes de dicha unción. Se representa por in(). Si este valor lo alcanza la unción en algún punto de su dominio, recibe el nombre de mínimo absoluto. Por tanto, se dice que una unción tiene un mínimo absoluto en un punto a D si se veriica que () (a) D....- Funciones elementales de una variable real. Selectividad.intergranada.com Funciones, límites y Continuidad I-

4 Matemáticas º Bachillerato Ejemplo : Sea : A deinida por ( ) Si, A, la unción está acotada superiormente: A, c / ( ) 4, y además, la unción está acotada ineriormente ya que A, c / ( ) 7 Por tanto la unción es Acotada, por estar acotada superior e ineriormente. Si A, la unción no está acotada superiormente ya que cualquiera que sea el número real M, siempre eiste un tal que ( ) M. Esta unción si está acotada ineriormente porque A, ( ). Por tanto la unción no es acotada porque no tiene cotas superiores. Funciones Polinómicas, son de la orma Funciones Racionales, son de la orma ( ) a a... a a y su dominio es. n n n n o a a... a a ( ) b b b b n n n n o n n n n... o valores que anulan el denominador. n Funciones Irracionales, son del tipo ( ) g( ), siendo su dominio: Funciones eponenciales, son de la orma El mismo que el de g( ) si n es impar El conjunto de valores reales que hagan g( ) si n es par ( ) su dominio es menos los g( ) a, con a> y a, su dominio es el mismo que el de g( ) Funciones logarítmicas, son de la orma ( ) log g( ), con a>. Su dominio son los valores de, que hacen g( ). Funciones circulares: ( ) sen, ( ) cos, su dominio es. a A partir de estas dos, podemos deinir el resto de unciones circulares: sen tg( ), sec( ) cos cos sus dominios son (k ), k Z cos ctg( ), cosec( ) sus dominios son k, k Z sen sen Función Valor Absoluto: () si ( ) () si Función Parte entera E[]: Es una unción que hace corresponder a cada número real, el número entero inmediatamente inerior. Función mantisa: Función que hace corresponder a cada número el mismo número menos su parte entera. () = - E() Función Valor Absoluto Función Parte Entera Función Mantisa Selectividad.intergranada.com Funciones, límites y Continuidad I-

5 Matemáticas º Bachillerato...- Funciones deinidas a trozos: Decimos que una unción está deinida a trozos si su epresión algebraica depende del intervalo en el que se encuentre el número real cuya imagen se quiere calcular. A cada trozo llamaremos rama de la unción. Ejemplo : si ( ) si si Si la representamos, dibujo de la derecha, observamos que la unción está compuesta por tres ramas...- Operaciones con unciones Sean : y g :, dos unciones de variable real, las distintas operaciones con unciones, las podemos resumir en la siguiente tabla: Operación Notación Operación Notación Suma g ( ) ( ) g( ) Producto Dierencia g ( ) ( ) g( ) Cociente...- Composición de Funciones g ( ) ( ) g( ) k ( ) k ( ) k ( ) ( ) g g( ) Sean ( ) y g( ) dos unciones, de modo que el dominio de la segunda esté incluido en el recorrido de la primera, se puede deinir una nueva unción que asocie a cada elemento del dominio de () el valor de g[()], en otras palabras, componer dos unciones, es aplicar el resultado de una de ellas a la otra. g g ( g)( ) g( ) : g compuesta con ( ) ( ) : compuesta con g Arriba, tenemos un ejemplo con las unciones () = y g() = +. Ejemplo 4: Sean ( ) y g ( ), calcula la composición de con g y la de g con. ( g )( ) g ( ) ( ) ( g )( ) g( ) ( ) g( )...- Inversa de una unción Dada una unción, se deine su inversa de o recíproca de la unción, y la representaremos por a la unción que veriica: Si ( a) b, entonces ( b) a Selectividad.intergranada.com Funciones, límites y Continuidad I-4

6 Matemáticas º Bachillerato Y que además cumple: El dominio de es el recorrido de. El recorrido de es el dominio de. Si queremos hallar el recorrido de una unción tenemos que hallar el dominio de su unción inversa. Si dos unciones son inversas su composición es la unción identidad. ( ) ( ). Gráicamente, una unción y su inversa son simétricas respecto de la recta y= Ejemplo 5: Sean ( ) y su unción inversa: ( ) log ( ), comprueba que realmente son unciones inversas. log ( )( ) ( ) log ( )( ) ( ) ( ) log log Es importante que se distinga bien entre la inversa de una unción,...- Cálculo de la unción inversa o recíproca: ( ), y la unción inversa ( ). Dada una unción ( ), para calcular su inversa, seguiremos los siguientes pasos: Se escribe la ecuación de la unción con e y. Se despeja la variable en unción de la variable y. Se intercambian las variables. Ejemplo 6: Calcula la unción inversa de ( ). Primero, escribimos la unción con las variables e y: y Segundo despejamos en unción de y: y y( ) y y y y y ( y ) y y Tercero, intercambiamos las variables: y..- Transormaciones de unciones Como hemos visto en cursos anteriores, conocida la gráica de una unción, podemos trazar la gráica de otra similar utilizando técnicas aplicadas a los modelos gráicos de cada unción llamadas transormaciones. Estas transormaciones aectan la orma general de la gráica de cada unción. Selectividad.intergranada.com Funciones, límites y Continuidad I-5

7 Matemáticas º Bachillerato Tabla Resumen de Transormaciones de Funciones Si sumamos o restamos una constante k a una unción, su gráica se desplaza verticalmente. Si k> hacia arriba Si k<, hacia abajo Si esa constante se añade o se quita a la variable independiente, su gráica se desplaza horizontalmente. Si k> hacia la izquierda Si k< hacia la derecha. Si multiplicamos la unción por una constante su gráica se comprime o estira verticalmente. Si k> la unción se estira Si k<, la unción se comprime * k, Si multiplicamos la variable independiente por una constante, la unción se estira o se comprime horizontalmente. Si k> la unción se estira Si k<, la unción se comprime Al multiplicar una unción por una constante, los puntos de corte con el eje de abscisas no cambian. Si multiplicamos la unción por un número negativo, se produce una releión con respecto al eje X. Si multiplicamos la variable independiente por un número negativo, se produce una releión con respecto al eje Y. Multiplicar una unción por un número negativo, convierte todos los puntos (,y) del gráico en (,-y) Hacer el valor absoluto de una unción, mueve todos los puntos que están por debajo del eje a posiciones por encima del eje. Multiplicar la variable independiente por un número negativo, convierte todos los puntos (,y) del gráico en (-,y) Hacer el valor absoluto de la variable independiente, hace que la parte izquierda de la gráica sea igual que la parte derecha. Selectividad.intergranada.com Funciones, límites y Continuidad I-6

8 Matemáticas º Bachillerato Hasta ahora, en cursos anteriores hablamos de tendencias de una unción, ahora utilizaremos límites. El límite, L, de una unción ( ) en el punto o es el valor al que se aproima ( ) cuando la variable independiente se aproima al valor o. Lo representaremos por ( ) L.4.- Límites.4..- Límite de una unción en un punto o a se lee tiende al valor a y signiica que toma valores muy próimos al valor a. Una orma rápida de calcular este límite es sustituir directamente por el valor o. ( ) ( ) o Deinición: ( ) l, / a ( ) l a o Ejemplo 7: Sea ()=, calcular el límite de () en el punto o= ( ) () Límites Laterales initos de una unción: Llamamos límite por la izquierda de una unción, y lo representaremos por ( ) A al valor que toma ( ) cuando nos acercamos al número =a por números menores que a (por la izquierda). Llamamos límite por la derecha de una unción, y lo representaremos por ( ) A al valor que toma ( ) cuando nos acercamos al número =a por números mayores que a (por la derecha). Veamos con algunos ejemplos gráicos: a a Al acercarnos a = por la izquierda, la unción se acerca a y=, por tanto ( ) Al Acercarnos a = por la derecha, la unción se acerca a y=, por tanto ( ) Al acercarnos a = por la izquierda, la unción se acerca a y=, por tanto ( ) Al Acercarnos a = por la derecha, la unción se acerca a y=, por tanto ( ) En el primer caso los límites laterales en el valor de = son distintos, mientras que en el segundo ejemplo los límites laterales en el valor de = coinciden (valen cero). Si una unción está deinida a trozos, se dice que tiene límite en un punto o si eisten los límites laterales y estos coinciden: ( ) ( ) ( ) l o o Si los límites laterales toman distinto valor en el límite de ( ) en. o se dice que no eiste Así que en la unción de la derecha no eiste el límite en =, mientras que en la unción de la derecha si eiste el límite en =. o si Ejemplo 8: Sea ( ) si Calcula el límite de () en el punto o= ( ) ( ) ( ) Selectividad.intergranada.com Funciones, límites y Continuidad I-7

9 Matemáticas º Bachillerato Si eisten ( ) b y g( ) c, se cumplen las siguientes relaciones: a a ( ) g( ) ( ) g( ) b c a a a Si, ( ) ( ) b a a ( ) g( ) ( ) g( ) a b a a a ( ) ( ) a b Si g( ) ; a a g ( ) g ( ) c a Si ( ) ; a a ( ) ( ) Si ( ) a Se dice que ( ) a ; Álgebra de límites initos a g( ) ( ) ( ) ( ) g a a a Límites Laterales No initos de una unción: si cuando toma valores próimos a a, por su izquierda, ( ) toma valores cada vez mayores, llegando a superar a cualquier valor, por muy grande que este sea. Se dice que ( ) a si cuando toma valores próimos a a, por su derecha, ( ) toma valores cada vez mayores, llegando a superar a cualquier valor, por muy grande que este sea. En esta gráica de la unción ( ) vemos que se veriica: ( ) ( ) En esta gráica de la unción ( ) vemos que se veriica: ( ) ( ) Se dice que ( ) a si cuando toma valores próimos a a, por su izquierda, ( ) toma valores cada vez más negativos (o sea, más pequeños). Se dice que ( ) a si cuando toma valores próimos a a, por su derecha, ( ) toma valores cada vez más negativos (o sea, más pequeños). Si ( ) y ( ) entonces: ( ) a a a Si ( ) y ( ) entonces ( ) a a a Si los límites laterales toman distinto valor en a se dice que no eiste el límite de ( ) en a. Selectividad.intergranada.com Funciones, límites y Continuidad I-8

10 Matemáticas º Bachillerato ( ) g( ) ( ) g( ) (Si el resultado no es ) a a a Si, ( ) ( ) a a ( ) g( ) ( ) g( ) (Si el resultado no es ) a a a ( ) ( ) a Si g( ) ; a a g ( ) g ( ) a Si ( ) ; a a ( ) ( ) Si ( ) a ; Álgebra de límites ininitos a g( ) ( ) ( ) ( ) g a a a (Si el resultado no es, (Si no resulta,, ) Ejemplos 9: Calcula los siguientes límites: a b c Sen sen cos ) ) 4 ) Cos d) hemos de hacer los límites laterales Por tanto en este último caso, como los límites laterales no coinciden, la unción no tiene límite cuando Cálculo de límites A la hora de sumar números e ininitos es importante tener en cuenta la siguiente tabla: Sumas Productos Cocientes Potencias l l Logaritmos ln ln l l si l si l si l si l l l si l l si l l si l l si l l Si l Si l l l l.4..- Límites en el ininito Cuando, una unción puede comportarse de diversas maneras: ( ) l ( ) Límite inito ( ) l Podemos conseguir que () esté tan próimo de l como queramos, agrandando. Selectividad.intergranada.com Funciones, límites y Continuidad I-9

11 Matemáticas º Bachillerato Se observa que cuanto más grande es, más nos acercamos al valor y=, y cuanto más negativo es, más nos acercamos al valor y=- Si ( ) a y g( ) b, se cumplen las siguientes relaciones: [ ( ) g( )] ( ) g( ) a b [ ( ) g( )] ( ) g( ) a b [ ( ) g( )] ( ) g( ) a b ( ) ( ) a Si b g ( ) g ( ) b g( ) g( ) ( ) ( ) a b Si () > n n ( ) n ( ) a Si n es impar ó n es par pero () [log ( )] log [ ( )] log a Si b > y () > Límite ininito b b b Si ( ), podemos conseguir que () sea tan grande ó tan negativa como queramos simplemente con hacer lo suicientemente grande. En el ejemplo de la derecha, y=, vemos que cuanto más grande es, más grande es y, por tanto: ( ) Y de igual modo, cuanto más negativo es, más grande es la y, por tanto: ( ) Comparación de Ininitos Si ( ) y g( ) Decimos que: ( ) g( ) () es un ininito de orden superior a g() si: ó g( ) ( ) ( ) () y g() son ininitos del mismo orden si: l g( ) Selectividad.intergranada.com Funciones, límites y Continuidad I-

12 Matemáticas º Bachillerato a es de orden superior a a es de orden superior a a es de orden superior a a es de orden superior a b si a > b b si a > b y a,b > a si a > log a Los ininitos de las eponenciales son de orden superior que los ininitos de los polinomios, y éstos son de orden superior a los ininitos de los logaritmos. eponencial polinomio logarimo Funciones equivalentes en un punto Se dice que las unciones y g son equivalentes en un punto a (a inito, ( ) a g( ), ), si: Si en una epresión igura como actor o divisor una unción, el límite no varía al sustituir dicha unción por otra equivalente. Sen tg X X Arcsen X Arctg X X Cos X X / e X ln ( + ) X ln () X Sen (X ) X Cociente de polinomios Cuando calculamos el límite de una unción racional, o de un cociente de polinomios, es importante saber que: Si p q p p a a'... Si p q q q b b'... a Si p q b.5.- Límites indeterminados Eisten 7 tipos de inderterminaciones: () Vamos a eplicar cómo se resuelven algunas de ellas:.5..- Tipo La orma de resolverla es eectuar la operación y estudiar la epresión resultante. Si aparecen raíces, utilizaremos el conjugado. Ejemplo : ( ) ( ) ( ) ( ) Selectividad.intergranada.com Funciones, límites y Continuidad I-

13 Matemáticas º Bachillerato.5..- Tipo / Normalmente se da en el cociente de polinomios., para resolverla, tenemos que dividir numerador y denominador por la raíz que haga cero el denominador. Si aparecen raíces utilizaremos el conjugado. P( ) P ( )( c) P ( ) Q( ) Q ( )( c) Q ( ) c c c Ejemplo : 4 4 ( ) ( ) ( )( 5) Tipo Normalmente se da en el cociente de polinomios. La orma de resolverla es comparar los ininitos de numerador y denominador. Ejemplo : 7 7 porque el grado del numerador es menor que el del denominador Tipo Para resolver esta indeterminación, sustituiremos la variable del límite por otra variable t. Este cambio inluirá en la orma de la unción resultante y en el punto en el que se calcula el límite. Ejemplo : ln Si hacemos el cambio de variable t, observamos que cuando ln t ln ln t t escribir: t t t, la variable t, por tanto podemos Tipo ( ) g g e Utilizaremos la regla del zapato ó regla del nº e. ( ) ( ( ) ) ( ) Sabemos que,77... e, pues trataremos de convertir límites con indeterminación de este tipo en límites de esta orma. ( ) ( ) ( ) g g g ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g( ) ( ) ( ) ( ) g( ) ( ) e g( ) ( ( ) ) g ( ) Selectividad.intergranada.com Funciones, límites y Continuidad I-

14 Matemáticas º Bachillerato Selectividad.intergranada.com Funciones, límites y Continuidad I- Éstas y el resto de indeterminaciones las resolveremos más delante de otra orma, utilizando la regla de L Hôpital, una herramienta bastante más potente que veremos en el tema de derivación. Sea una unción real deinida en un intervalo I, y a un punto de I. Se dice que la unción es continua en el punto c si y solo si eiste el límite de en el punto c y éste es igual a (c). Por tanto, una unción es continua en un punto c si se cumplen estas tres propiedades: La unción está deinida en c, es decir, eiste (c) Eiste ( ) c ( ) ( ) c c La unción es continua en el punto c si es continua por la derecha y por la izquierda ó si los límites laterales coinciden: ( ) ( ) ( ) c c c Eisten cuatro casos de discontinuidad: () no deinida en C De salto Evitable Asintótica La unción no está deinida en el punto C No coinciden los límites laterales de la unción en el punto C. No coincide el límite de la unción en el punto C, con el valor de la unción en el punto C. No eiste alguno de los límites laterales de la unción en el punto C. Ejemplo: Ejemplo: Ejemplo: Ejemplo: ( ) si si si ) ( 4 si si ( ) si sen si ( )? ) ( 6 ) ( 5 ) ( ) ( 4 () sen ) ( ) ( Todas las unciones elementales descritas con anterioridad son continuas en su dominio de deinición, ecepto: Ejemplo 4: e e e.6.- Continuidad de una unción en un punto

15 Matemáticas º Bachillerato Funciones Racionales: Son discontinuas en los puntos que no son del dominio, es decir, donde Q()=. Las discontinuidades son de tipo asintótico o evitables, en ningún caso pueden ser de salto. Funciones Trigonométricas: La tangente, la secante, la cosecante y la cotangente presentan discontinuidades asintóticas en los puntos que no son de su dominio. Funciones a trozos: Se debe estudiar la continuidad de cada una de las ramas en su dominio, y la continuidad en el punto donde cambiamos de rama, donde puede aparecer una discontinuidad de salto Propiedades de las unciones continuas Sean y g dos unciones continuas en un punto c, entonces: g es una unción continua en c. es una unción continua en c. es una unción continua en c, si g ( c) g es una unción continua en c. Si g es continua en a y es continua en g(a), entonces la unción g es continua en a..7.- Continuidad de una unción en un intervalo I Una unción,, es continua en un intervalo I=[a,b] si es continua en cada uno de los puntos de (a,b), continua por la derecha en el punto a y continua por la izquierda en el punto b. Las unciones polinómicas son continuas en todo intervalo real. Las unciones racionales son continuas en un todo intervalo real donde no aparezcan las raíces del denominador. Las unciones trigonométricas sen(), cos() son continuas en todo intervalo real. Las unciones tg(), sec() son continuas en todo intervalo real donde cos(). Las unciones ctg(), cosec() son continuas en todo intervalo real donde sen(). La unción eponencial, a con a > es continua en todo intervalo real. La unción logarítmica, log ( ), a con a > es continua en el intervalo e si Ejemplo 5: Estudiar en la continuidad de la unción deinida en R por: ( ) e si La unción es una unción deinida a trozos compuesta por dos ramas, la primera rama es el cociente de dos unciones eponenciales, que es continua, porque las unciones eponenciales son siempre continuas y e es siempre distinto de cero, la segunda rama es una unción polinómica, y por tanto continua, por tanto esta unción solo puede tener problemas de continuidad en el punto en el que cambia de rama. O sea, en =. Estudiemos ese punto: () La unción es continua en el punto = si veriica las tres propiedades vistas anteriormente: ( ) ( ) () Calculamos Calculamos =. () ; ( ) ; ( ) Como los límites laterales son distintos, ( ) y por tanto la unción no es continua en Así que la unción () es una unción continua en, donde presenta una discontinuidad de salto inito. Selectividad.intergranada.com Funciones, límites y Continuidad I-4

16 Matemáticas º Bachillerato.7..- Teoremas Sobre Funciones Continuas Ya hemos visto que, salvo en algunos casos, las unciones sueles ser continuas a la largo de un intervalo. Podríamos decir que una unción es continua en un intervalo I si la unción es continua cuando prescindimos de todos los puntos que no son de I. Veamos algunos teoremas que tienen que ver con la continuidad de unciones en intervalos Teorema de Bolzano (Teorema demos ceros) Si una unción continua en un intervalo [a,b] cambia de signo, es decir (a) (b)<, eiste al menos un punto c del intervalo en el que la unción vale. continua en [a,b], y (a) (b)<, c(a,b) en el que (c)= Geométricamente, el teorema establece que si dos puntos (a,(a)) y (b,(b)) de la gráica de una unción continua están situados en dierentes lados del eje X, entonces la gráica corta al eje X en algún punto entre a y b. Por supuesto que pueden eistir varios puntos de corte con el eje X. Este teorema, también se puede enunciar de la siguiente orma: Si es continua en I=[a,b] y el signo de (a) es distinto del de (b), entonces la ecuación ()= tiene alguna solución en (a,b). Ejemplo 6: Usando el teorema de Bolzano, demostrar que la ecuación que < o<. 5 tiene al menos una solución o tal El teorema de Bolzano dice que si tenemos una unción deinida en un intervalo [a,b] cerrado y acotado, en el que la unción c a, b / ( c). es continua y además cambia de signo, entonces esta unción pasa por el cero: Por tanto si deinimos la unción ( ) 5 en el intervalo [,], como la unción es continua en dicho intervalo por ser polinómica, y además como ()=- y ()=5, entonces vemos que cambia de signo, entonces según Bolzano: c, / ( c). Por lo que podemos asegurar que la ecuación 5 tiene al menos una solución o tal que < o< Teorema de Weiertrass Si una unción () está deinida y es continua en un intervalo cerrado [a,b], entonces () alcanza al menos un máimo y un mínimo absolutos en el intervalo [a,b]. ( a) ( ) ( b ) Es decir que hay al menos dos puntos y pertenecientes al intervalo [a,b] donde alcanza valores etremos absolutos. El teorema de Weierstrass no nos indica donde se encuentran el máimo y el mínimo, sólo airma que eisten. Selectividad.intergranada.com Funciones, límites y Continuidad I-5

17 Matemáticas º Bachillerato Teorema de los valores intermedios (Teorema de Darbou) Si una unción es continua en [a,b] y K es un número real comprendido entre (a) y (b), entonces eiste un número c ( a, b ) tal que (c)=k. El teorema de los valores intermedios es una consecuencia inmediata del Teorema del Bolzano. Otra consecuencia es: Si y g son dos unciones continuas en [a,b] y ocurre que (a)<g(a) y además (b)>g(b), entonces eiste un número c ( a, b) tal que (c)=g(c). Ejemplo 7: Probar que las unciones ()=ln y g()=e - se cortan en algún punto y localizarlo aproimadamente. Empezamos probando con los números y a ver qué pasa: y g e () ln (),7 y g e () ln,69 (),4 Vemos que: () g() y () g () Como ambas son unciones continuas en todo su dominio, y más concretamente en el intervalo [,], y vemos que se cumplen las condiciones del teorema de los Valores Intermedios, podemos asegurar que se cortan en algún punto c comprendido entre y. El ejemplo anterior, también podrá demostrarse, deiniendo una nueva unción h()=()-g() y aplicando en ella el teorema de Bolzano..8.- Ejercicios Resueltos.- Determinar el valor de a para que: a Tenemos una indeterminación del tipo, por tanto vamos a multiplicar y dividir por el conjugado: a a a De donde a 4. a a a a a.- Calcular: a Como tenemos, multiplicamos y dividimos por el conjugado: a a a a a Selectividad.intergranada.com Funciones, límites y Continuidad I-6

18 Matemáticas º Bachillerato a a a a a cos.- Calcular el límite de la unción ( ), en el punto, en el punto y en En = : cos o En = : En : cos cos cos, porque la unción -cos es una unción acotada entre y, y el denominador tiende a cuando tiende a. 4.- Calcular el siguiente límite: Utilizando la regla del zapato, tenemos que: e e e e 4 e 5.- Calcular el valor de la constante c para que e c Utilizando la regla del zapato : c c c c c e e e e c sen ae b cos 6. - Determinar a y b para que la unción real, deinida por ( ) sen a b( ) sea continua en la recta real. si si Para que está unción sea continua en toda la recta real, tiene que ser continua en todos los puntos de la recta real, pero vemos que para =, la unción no está deinida, así que como no es continua en =, no puede ser continua en toda la recta real, y por tanto no eisten a y b que hagan que esta unción sea continua. Selectividad.intergranada.com Funciones, límites y Continuidad I-7

19 Matemáticas º Bachillerato e si 7.- Calcular a y b para que la unción deinida por ( ) a b si ln si sea continua La unción es una unción deinida a trozos compuesta por tres ramas, la primera rama es el producto de una polinómica por una eponencial, que es continua, porque las unciones eponenciales y las polinómicas son siempre continuas, la segunda rama es una unción polinómica, y por tanto continua, la tercera rama es la composición de una polinómica y una logarítmica, que está bien deinida porque >, así que también es continua siempre, por tanto esta unción solo puede tener problemas de continuidad en los puntos en los que cambia de rama. O sea en = y =. Estudiemos esos puntos: ( a ) Una unción es continua en un punto =a si ocurre: ( ) a ( ) ( a) a En =: ( ) ; ( ) b ; ( ) Por tanto para que sea continua en cero b=. En =: ( ) ; ( ) ; ( ) a b Por tanto para que sea continua en uno, a+b=. Y para que la unción sea continua, se han de cumplir las dos condiciones, por tanto es continua si b= y a=. 8.- Probar que la unción deinida por ( ) no es continua en =. Indicar que tipo 7 8 de discontinuidad presenta. Lo primero es actorizar el denominador, y para ello utilizamos la regla de Ruini. 7 8 ( )( 8), por tanto la unción: ( ) 7 8 ( )( 8) La unción no está deinida en =, por tanto no es continua, presenta una discontinuidad de segunda especie, llamada discontinuidad asintótica. 9.- Representa gráicamente la unción ( ) Para ello debemos epresar y a trozos. Si resolvemos la inecuación de la primera y las ponemos en unciones a trozos, obtenemos: si si ( ) si g( ) si si Si juntamos ambas, llegamos a: Selectividad.intergranada.com Funciones, límites y Continuidad I-8

20 Matemáticas º Bachillerato si si ( ) si y operando ( ) si si si Que dibujada queda:.- Resuelve la siguiente ecuación - - Por la deinición de valor absoluto, sabemos que: Por tanto: si si 4 Si porque 4 Si porque Así que las soluciones son y -. Selectividad.intergranada.com Funciones, límites y Continuidad I-9