Métodos Matemáticos III. Grupo 536. Prof. J.V. Álvarez. Comprobar que la familia de funciones del seno y la del coseno de la forma: Estando definidas entre 0 y L y donde son familias ortogonales por sí solas y entre sí. Probar si la familia de exponenciales imaginarias: También lo es. ( y pertenecen a los números enteros) SOLUCION: Lo primero que debemos hacer es definir un producto escalar entre funciones para definir de alguna forma lo que significa la ortogonalidad entre funciones. Tenemos una cierta función y otra función, el producto escalar entre ambas funciones lo vamos a definir como: Esto implica que el producto escalar se aplica sobre una región ( a ) del espacio (en este caso el espacio de números reales) en la que ambas funciones estén definidas. Estas dos funciones son ortogonales si: Podemos observar que el producto escalar es un número escalar, que se puede pensar como la proyección de una función sobre la otra. 1
Como vamos a trabajar en espacios de funciones, nos interesa conocer bases de funciones relativamente sencillas, para empezar necesitamos encontrar bases de funciones que sean ortogonales. Las familias anteriormente definidas del seno y el coseno son familias de funciones ortogonales (en estos dos casos y pertenecen a los números naturales), vamos a comprobarlo: Utilizamos las relaciones trigonométricas: Y sustituyendo en la integral del producto escalar: * * + + ( ) ( ) ( ) ( ) Ahora tenemos que sustituir en la expresión los límites de integración 0 y L. Al sustituir el límite de integración de cero quedará el seno de cero que es igual a cero. 2
( ) ( ) Como y pertenecen a los números naturales el primer término de la solución siempre va a ser igual a cero. ( ) Ahora estudiamos este caso y vemos que si entonces igual que el primer término, este segundo término se hace cero. Sin embargo si el numerador tiende a cero pero el denominador también tiende a cero, para resolverlo hacemos el desarrollo en serie de Taylor del seno: Si aplicamos el desarrollo de Taylor a nuestro caso: ( ) Por lo tanto: { 3
El símbolo utilizado: se refiere al delta de Dirac, es una distribución que vale cero en todos los puntos salvo en uno en donde vale infinito, siendo su área total 1, de manera que si y si. Para comprobar la ortogonalidad de la familia de funciones del seno podemos proceder de la misma manera: Utilizamos las relaciones trigonométricas: Y sustituyendo en la integral del producto escalar: * + ( ) ( ) Ahora sustituimos los límites de integración: ( ) ( ) 4
Como y pertenecen a los números naturales el segundo término de la solución siempre va a ser igual a cero. ( ) Ahora estudiamos este caso y vemos que si entonces igual que el segundo término, este primer término se hace cero. Sin embargo si el numerador tiende a cero pero el denominador también tiende a cero, para resolverlo hacemos el desarrollo en serie de Taylor del seno: Si aplicamos el desarrollo de Taylor a nuestro caso: ( ) Por lo tanto: { Ambas familias forman bases de funciones ortogonales en el espacio de funciones. Los que hemos utilizado eran aunque se puede comprobar que habríamos obtenido el mismo resultado si hubiésemos utilizado. 5
Hemos comprobado que ambas familias de funciones forman bases ortogonales en el espacio de funciones, ahora comprobemos si son ortogonales entre sí ambas familias: Utilizamos las relaciones trigonométricas: Ahora sustituimos estas expresiones en la fórmula del producto escalar: ( ) ( ) Sustituimos los límites de integración: ( ) ( ) 6
Ahora diferenciamos dos casos igual que en los procedimientos interiores. En el caso en el que fácilmente y obtenemos: todos los términos se pueden calcular ( ) ( ) Es igual a cero confirmando la ortogonalidad en este caso. En el caso en el que existen dos términos cuyo denominador se hace cero y divergen, sin embargo el hecho de que también hace que esos dos términos sean exactamente iguales pero de signo contrario, por lo tanto se pueden anular: ( ) ( ) De esta manera queda demostrado que la familia de funciones del seno multiplicada escalarmente por la familia de funciones del coseno es igual a cero, de esta manera ambas familias forman bases de funciones ortogonales. 7
Una de las propiedades del producto escalar es la conmutatividad, comprobemos ahora si el producto escalar que hemos definido es conmutativo o no, para ello comprobaremos si al hacer el producto escalar anterior pero con las familias de funciones en el orden contrario sale un resultado diferente: Tenemos que: ( ) ( ) Sustituimos los límites de integración: ( ) ( ) Ya nos ha aparecido esta suma al realizar el producto escalar de estas mismas funciones cambiando el orden y hemos demostrado que es igual a cero tanto si como si, por lo tanto ambos productos escalares son iguales, y el producto escalar que hemos definido es conmutativo. Observamos que en estos dos casos en los que hemos comprobado la ortogonalidad entre dos familias de funciones diferentes (el seno y el coseno) para que la ortogonalidad se cumpla los. No valen los como en el ejercicio anterior. 8
Ahora comprobemos si también es ortogonal la familia de funciones de las exponenciales complejas Hacemos su producto escalar: Estamos trabajando con números complejos, y al realizar el producto escalar, se multiplica el segundo término del producto por el complejo conjugado del primero. Fórmula de Euler: Aplicamos la fórmula de Euler: ( ) ( ) [ ] [ ] Ya hemos realizado estas integrales: 9
Por lo tanto: La exponencial compleja es sólo una combinación de senos y cosenos en el espacio de números complejos, por lo tanto era previsible que formara una familia de funciones ortogonal. Es más, se puede comprobar como la familia de exponenciales imaginarias también es ortogonal a la familia de senos y a la familia de cosenos: Tanto el seno como el coseno son funciones periódicas, por lo que solo funciones periódicas se pueden descomponer en familias de senos o cosenos. Ya que el seno es una función impar, su familia de funciones sólo permite expresar funciones impares, de la misma manera que al ser el coseno una función par sólo permite expresar funciones pares. La exponencial imaginaria, al ser una combinación de las dos permite expresar funciones tanto pares como impares pero deben ser periódicas. Por eso las familia de funciones en las que se descomponen las funciones al expresarlas en series de Fourier son exponenciales imaginarias. En el caso de las exponenciales imaginarias, nos quedan las integrales que hemos realizado anteriormente y se puede comprobar que los únicos que hacen posible la ortogonalidad en la familia de las exponenciales imaginarias son. 10