Universidad Técnica Federico Santa María Departamento de Matemática Campus Santiago Geometría Analítica 1. Determine el valor de la constante k para que la recta kx + (3 k)y + 7 = 0 sea perpendicular a la recta x + 7y + 1 = 0. Detremine el valor de k para que la recta x + 3y + k = 0 forme con los ejes coordenados un triángulo de área 7. 3. Los vértices de un triángulo son A( 1, 3), B(3, 5), C(7, 1). Si D es el punto medio del lado AB y E el punto medio del lado BC, demostrar que la longitud del segmento DE es la mitad de la longitud del lado AC. 4. Hallar el lugar geométrico de los puntos tales que la suma de las pendientes de las rectas que los unen con los puntos A(0, 5) y B(0, 1) es igual a. 5. Calcular la distancia entre las rectas paralelas de ecuaciones : x + 3y 6 = 0, x + 3y + 14 = 0. 6. El ángulo formado por las rectas de ecuaciones dadas por x+y+1 = 0 y 7x+y 7 = 0 tiene una bisectriz de pendiente negativa. Determine la ecuación de ésta. 7. Hallar las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto (, 1) y que forman un triángulo isósceles con las rectas de ecuaciones x y +5 = 0, 3x+6y 1 = 0. 8. Determinar el lugar geométrico de un punto que se mueve de modo que su distancia a la recta de ecuación 4x 3y + 1 = 0 es siempre igual a la mitad de su distancia al eje Y. 9. Dada la ecuación del haz de rectas : (x + y + 4) + λ(x y 3) = 0, demostrar que entre las rectas de este haz existe sólo una que está a la distancia 10 del punto (, 3) y escribir la ecuación de la recta. 10. Determinar las ecuaciones de los lados de un triángulo, dados uno de sus vértices (, 1) y las ecuaciones de la altura 7x 10y+1 = 0 y de la bisectriz 3x y+5 = 0, trazadas desde un segundo vértice. 1
11. Las ecuaciones de los lados de un triángulo son: y = ax bc, y = bx ca Demostrar que área del triángulo es igual a :, y = cx ab. 1 (a b)(b c)(c a) 8 1. Dado un triángulo ABC y la bisectriz AD, se traza por el punto D la paralela a AB la cual corta a AC en E y por el punto E se traza la paralela a BC, la que intersecta a AB en F. Demustre que dist(a, E) = dist(b, F ) 13. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto ( 1, ) y pasa por el punto (, 6). 14. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (1, 1), (1, 1) y (, 0) 15. Hallar la ecuación de la circunferencia que teniendo su centro sobre la recta x + y = 0 es tangente a las rectas de ecuaciones: 4x 3y + 1 = 0, 4x 3y 30 = 0. 16. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (0, 8), es tangente a la recta de ecuación 3x 4y = 0 y tiene su centro en la recta de ecuación 4x 7y + 40. 17. Dado un triángulo de vértices (, 0), (10, 0) y (0, 4), encuentre la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos medios de los lados del triángulo. 18. Hallar la ecuación de la cuerda de la circunferencia de ecuación: cuyo punto medio es (x 3) + (y 7) = 169, ( 17, 3 ). 19. Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes trazadas desde el punto (1, 6) a la circunferencia de ecuación: x + y + x 19 = 0. 0. Demuestre que las rectas tangentes comunes a las circunferencias de ecuaciones : forman un triángulo equilátero. x + y + x = 0, x + y 6x = 0
1. Demostrar que el lugar geométrico de un punto que se mueve en el plano de modo que la suma de los cuadrados de sus distancias a los cuatro lados de un cuadrado es constante, es una circunferencia con centro en el centro del cuadrado.. Demostrar que el lugar geométrico de los puntos medios de las cuerdas de una circunferencia dada que pasan por un punto fijo, es la circunferencia que tiene por diámetro al trazo que une el centro de la circunferencia dada con el punto dado. 3. Encuentre vértice, foco, directriz, eje focal, lado recto de las siguientes ecuaciones: (a) 4y 48x 0y 71 = 0 (b) y + 4x 7 = 0 4. Encuentre la ecuación de la parábola con vértice (4, 1), eje la recta y + 1 = 0 y que pase por el punto (3, 3). 5. Encontrar la ecuación de la circunferencia que pasa por el vértice y por los extremos del lado recto de la parábola x + 8y = 0 6. Hallar la ecuación de la parábola que contenga a A( 3, 4), B(5, 4) y que la distancia de A y B al foco sea igual a 5. 7. Hallar la ecuación de la parábola de foco en el punto (3, 1), de directriz vertical y vértice en la recta de ecuación 7x + 3y 4 = 0. 8. Demostrar que el lugar geomético de los puntos cuya distancia a la recta de ecuación y = 1 es dos unidades menor que su distancia al punto (, 3), es la parábola de ecuación (x + ) = 1y. 9. Una circunferencia cuyo centro es el punto (4, 1) pasa por el foco de la parábola x + 16y = 0. Demostrar que la circunferencia es tangente a la directriz de la parábola. 30. Para que valores de k, las rectas de ecuaciones x + y + k = 0 (a) cortan a la parábola de ecuación y x + 6y + 9 = 0 (b) son tangentes a la parábola y x + 6y + 9 = 0 31. Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes trazadas desde el punto (1, 4) a la parábola de ecuación y + 3x 6y + 9 = 0 3. Determinar el lugar geométrico de los centros de una circunferencia tangente a la recta de ecuación y + = 0 y que pasa por el punto (4, 4). 33. El eje de una parábola contiene al eje mayor de la elipse de ecuación 3x + 4y + 6x 16y 9 = 0. Su vértice es el foco izquierdo de la elipse y su directriz pasa por el vértice izquierdo de la elipse. Determinar la ecuación de la parábola. 3
34. Los focos de una elipse son los puntos ( 4, ) y ( 4, 6) y la longitud de cada lado recto es 6. Hallar la ecuación de la elipse y su excentricidad. 35. Dada la ecuación x + 4y 6x + 16y + 1 = 0, determine: centro, vértices, focos, longitudes de ejes mayor y menor, longitud de cada lado recto y la excentricidad. 36. La excentricidad de una elipse es 1, su centro es el origen y una de sus directrices tiene ecuación x = 16. Calcular la distancia desde el punto de la elipse cuya abscisa es 4, al foco correspondiente a la directriz dada. 37. Una elipse tiene su centro en el origen y su eje mayor contenido en la recta x 3y = 0, si además pasa por los puntos (3, ) y (1, 3 ). Hallar su ecuación. 38. Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes a la elipse de ecuación: x 30 + y 4 = 1, paralelas a la recta de ecuación 4x y +3 = 0 y calcular la distancia entre ellas. 39. Encontrar en la elipse de ecuación: x 18 + y 8 = 1, el punto más cercano a la recta x 3y + 5 = 0 y calcular la distancia desde el punto a la recta. 40. Determine los valores de k para que la recta y = x + k sea tangente a la elipse de ecuación x + 4y = 0. 41. Hallar la ecuación de la hipérbola cuyas asíntotas son las rectas : y tiene un vértice en el punto (0, 3). x y + 7 = 0, x + y + 1 = 0, 4. Hallar la ecuación de la hipérbola cuyos focos son los puntos (10, 1) y (10, 3) y su excentricidad es 3. 43. Determine la ecuación de la elipse que tiene los mismos focos que la hipérbola de ecuación 7x 9y = 63 y su excentricidad es igual a la mitad de la excentricidad de la hipérbola. 44. Hallar los valores de m para los que las rectas y = mx 1 sean tangentes a la hipérbola de ecuación 4x 9y = 36. 4
45. Encuentre el lugar geométrico de los puntos P tales que las rectas tangentes trazadas desde él a la elipse de ecuación : son perpendiculares entre sí. x a + y b = 1, 46. Una circunferencia variable es tangente a las dos circunferencias fijas de ecuaciones: x + y 8x + 1 = 0, x + y + 8x + 15 = 0. Determinar el lugar geométrico del centro de la circunferencia variable. 47. Hallar el lugar geométrico de los puntos, cuya suma de los cuadrados de sus distancias a los puntos (-3,0) y (3,0) es igual a 50. 48. Desde cada punto de la circunferencia x +y +4x+4y 8 = 0 se traza una perpendicular al diámetro paralelo al eje x (y solo hasta el diámetro). Hallar e identificar la ecuación del lugar geométrico de los puntos medios de estas perpendiculares. 49. Determine el lugar geométrico de todos los puntos del plano P (x, y) que se encuentran a la misma distancia del punto (4,0) y de la circunferencia x + y = 4. 50. Demuestre que las tangentes a una parábola en los puntos extremos de cualquier cuerda focal se cortan en la directriz. 5