Límites, álgebra y continuidad 11. MATE 3013
PROPIEDADES DE LIMITES : Si f (x) L y g(x) M entonces tenemos que: L.1 a) c c b) x a x = a El límite de una constante es la constante. El límite de la función identidad en un valor es el mismo valor.
Si f x = 5, entonces f x es una función constante. Su gráfica está dada a la izquierda. Usemos la técnica de la pared para determinar el x 4 5 = 5 De la misma manera x c 5 = c, para cualquier valor real c.
Si f x = x, entonces f x es la función identidad. Su gráfica está dada a la izquierda. Usemos la técnica de la pared para determinar el x 4 x =4 De la misma manera x c x = c, para cualquier valor real c.
PROPIEDADES DE LIMITES (cont.): L. El límite de una potencia es el límite elevado a la potencia, y el límite de una raiz es la raiz del límite. Esto es, que para cualquier entero positivo n, 1.. ( ) n n f x f ( x) L, n f (x) n f (x) L asumiendo que L 0 cuando n es par. n n,
Ejemplo 1: Justifica el límites: 1 x (x 3 ) = 1 8 Por L1: 1 x x = 1 Y por L.1: 1 x (x 3 ) =( 1 x (x)) 3 = 1 3 = 1 8
PROPIEDADES DE LIMITES (cont.): L.3 El límite de una suma o diferencia es la suma o la diferencia de los límites. f (x) g(x) f (x) g(x) L M. L.4 El límite de un producto es el producto de los límites.
Ejemplo : Justificar el límites: Por la propiedad de suma y resta de límites Por la propiedad de potencias de límites y por el límite de una constante
PROPIEDADES DE LIMITES (cont.): L.5 El límite de un cociente es el cociente de los límites. f ( x) f( x) L, M 0. g( x) g( x) M L.6 El límite de una constante por una función es la constante multiplicada por el límite.
Ejemplo 4: Use las propiedades de límites para determinar x 4 x 3x 7 x 4 x 4. Por la propiedad L4,
Ejemplo 4 (conclusión): Por la propiedad L6, 3x 3 x 3 4 1. Por la propiedad L1, 7 7. x 4 x 4 x 4 Finalmente, por la propiedad L3, tenemos x 4 x 3x 7 16 1 7 11.
TEOREMA SOBRE LIMITES DE FUNCIONES RACIONAL Para cualquier función racional F, si a está en el dominio de F, F(x) F(a).
Ejemplo : Determinar x 0 x 3x Aplicando el teorema sobre límites de funciones racionales y la propiedad sobre límites sabemos que podemos sustituir para determinar el límite. x 0 x 3x 0 3 0
Repaso Rápido 1 Determine cada límite. Anote la propiedad de límite que aplica a cada cado. a.) b.) c.) 3 x 3x 6 x 1 x 5x 1 x 4 3 x 1 3x x
Solución del Repaso Rápido 3 a.) x 3x 6 x 1 Sabemos que x 1. x 1 1.) x 1 x 3 = ( x 1 x) 3 = (1 3 ) = Propiedad de límites L6.) x 1 3x = 3 ( x 1 x) = 3 1 = 3 Propiedad de límites L6 3.) 6 6 Propiedad de límites L1 x 1 4.) Combinando los pasos 1-3 obtenemos 3 x 3x 6 3 6 1 x 1 Propiedad de límites L3
Solución del Repaso Rápido: b.) Sabemos que x 4. x 4 1.) x 4 x = ( x 4 x) = 3 Entonces, Propiedad de límites L4 and L6.) x 4 5x = 5 ( x 4 x) = 0 Propiedad de límites L6 3.) 1 1 Propiedad de límites L1 x 4 x 5x 1 x 4 3 x 4.) Combine los pasos 1-3: x 5x 1 3 0 1 51 Propiedad de límites L3 x 4 5.) 3x = 3 ( x) x 4 x 4 = 1 Propiedad de límites L6 6.) x 4 Propiedad de límites L1 3x 1 10 7.) Combine los pasos 5-6: x 4 Propiedad de límites L3 x 5x 1 51 8.) Combine los pasos 4 y 7: 5.1 x 4 3x 10 Propiedad de límites L5
Solución del Repaso Rápido: c.) Sabemos que x. x 1 3x x 1.) 1 1 Propiedad de límites L1 x.) x 3x = 3 ( x x) = 1 Propiedad de límites L4 y L6 3.) Combine pasos 1 y 1: 1 3x 1 1 13 Propiedad de límites L3 x 4.) Use el paso 3. 1 + x 3x = (1 + 3x ) = 13 Propiedad de límites L x
Example 3: Determinar x 3 x 9 x 3 El Teorema de Límites de Funciones Racionales no aplica por que 3 no está en el dominio de x 9. x 3 Sin embargo, si simplificamos, el resultado sí se puede evaluar en x = 3.
Ejemplo 3 (conclusión): x 3 x 9 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3x 3 33 3 6
DEFINICION: Una función f es contínua en x = a si: f (a) 1) existe, (existe un valor de y que corresponde a x=a.) ) existe, (El límite a medida que x a existe.) f (x) f (x) f (a). 3) (El límite es igual al valor de y que corresponde a a.) Una función es contínua sobre un intervalo si es continua en cada punto en el intervalo.
f (x) x 5 Ejemplo 4: Es f contínua en x = 3? Justifique. 1) f (3) 3 5 9 5 4 ) Por el Teorema sobre los límites de funciones racionales x 5 3 5 9 5 4 x 3 3) Como f (x) f (3) f es contínua en x = 3. x 3
Ejemplo 5: Es g una función contínua en x =? Justifique. g(x) 1 x 3, for x x 1, for x 1) g( ) 1 3 ) Estudiamos el límite por la izquierda para determinar si el límite en x = existe. x g(x) 1 3 1 3
Ejemplo 5 (conclusión): Y por la izquierda: 3) g(x) 1 3 x Como g(x) g(x) x x, concluímos que el g(x) x no existe. Por lo tanto, g NO es continua at x =.
Práctica corta 3x 5, for x Sea gx ( ) Será g continua en x? Why or why not? x 1, for x 1.) g() () 1 4 1 5.) Para determinar el límit, observamos los límites por la derecha y por la izquierda. Por la izquierda: Por la derecha: gx ( ) 3() 5 6 5 1 x gx ( ) () 1 4 1 5 x Como g( x) g( x), concluímos que gx ( ) no existe. x x x Por lo tanto, g NO es contínua en x.
Práctica corta x 9, for x 3 Sea hx ( ) x 3 Es h una función continuous en x 3? Justifique. 7, for x 3 hx ( ) será contínua si, h x h 3. Hallemos el h x. h x x 3 x x x 3 x 3 9 3 x 3 ( x 3)( x 3) x 3 x 3 x 3 x 3 6 Por lo tanto, el h x 6. Sin embargo, h 3 7lo que implica que. x 3. En conclusión h x NO es contínua en x 3.