Funciones racionales, irracionales y exponenciales

0 Funciones racionales, irracionales y exponenciales. Funciones racionales Despeja y de la expresión xy = 6. Qué tipo de función es? P I E N S A C A L C U L A 6 y = x Es una función racional que corresponde a una función de proporcionalidad inversa. Representa la gráfica de la función y = /x, calcula el valor de la constante de proporcionalidad e indica si ésta es creciente o decreciente. Tabla de valores: x y = /x y = x las ecuaciones de las asíntotas. c) las discontinuidades. Haciendo la división se obtiene: f(x) = + x y = A P L I C A L A T E O R Í A x = Dom(f) = {} = ( @, ) á (, + @) Constante de proporcionalidad k = > 0 ò decreciente Dibuja la gráfica de la función f(x) = Halla: su dominio. x 5 x Asíntotas Asíntota vertical: x = Asíntota horizontal: y = c) Es discontinua en x = Halla la ecuación de las siguientes funciones: 68 SOLUCIONARIO

Se dibujan las asíntotas y un rectángulo. y = x = 5 Se dibuja un rectángulo. Como es creciente, k es negativo. 5 y = x x 8 y = x Como es decreciente, k es positivo. y = x. Operaciones con funciones. Funciones irracionales Desarrolla los siguientes polinomios y calcula su suma: (x ) + (x + )(x ) x 6x P I E N S A C A L C U L A Dadas las siguientes funciones: f(x) = (x + 5) g(x) = (x 5) calcula: f + g f g (f + g)(x) = x + 50 (f g)(x) = 0x 5 Dadas las siguientes funciones: f(x) = (x + ) g(x) = (x +)(x ) 6 calcula: f g f/g c) Dom(f/g) (f g)(x) = x + x x x + (f/g)(x) = x c) Dom(f/g) = {} = ( @, ) á (, + @) Dadas las siguientes funciones: f(x) = x + 5 g(x) = x A P L I C A L A T E O R Í A TEMA 0. FUNCIONES RACIONALES, IRRACIONALES EPONENCIALES 69

calcula: g f f g 8 Clasifica la función f(x) = x, halla su dominio y represéntala. (g f)(x) = g(f(x)) = g(x + 5) = (x + 5) = = x + 0x + 5 (f g)(x) = f(g(x)) = f(x ) = x + 5 La función es irracional. Dom(f) = [, + @) 7 Dada f(x) = x +, calcula f, representa ambas funciones y la recta y = x. Qué observas? y = x x = y + y = x + x y = x ò y = x f (x) = f(x) = x + y = x f (x) = x 9 Halla la fórmula de las siguientes funciones: Se observa que f(x) y f (x) son simétricas respecto de la recta y = x y = x + 5 y = x. Funciones exponenciales Calcula mentalmente las 0 primeras potencias enteras positivas de,, 8, 6,, 6, 8, 56, 5, 0 P I E N S A C A L C U L A 70 SOLUCIONARIO

0 Representa la siguiente función: f(x) = x Tabla de valores x y = x /9 / 0 9 Es la función y = (/) x trasladada unidades hacia abajo y una hacia la izquierda. (, ) A P L I C A L A T E O R Í A y = + (/) x + y = x (, ) (, ) (0, ) Halla la ecuación de las siguientes funciones definidas por su gráfica: Representa la siguiente función: f(x) = (/) x x y = (/) x 9 0 / /9 y = (/) x (, ) (0, ) y = x y = + (/) x 5 Una célula se reproduce por bipartición cada minuto. Halla la función que expresa el número de células en función del tiempo, y represéntala gráficamente. Representa la siguiente función: f(x) = + x Es la función y = x trasladada unidades hacia arriba y una hacia la derecha. (, 5) y = t,t Ó 0 Como no puede haber fracciones de células, será una función discreta. y = + x (, ) t 0 y = t 8 6 5 Representa la siguiente función: f(x) = + (/) x + Número de células y = t Tiempo (min) T TEMA 0. FUNCIONES RACIONALES, IRRACIONALES EPONENCIALES 7

Ejercicios y problemas. Funciones racionales 6 Representa la gráfica de la función y = /x. Calcula el valor de la constante de proporcionalidad e indica si es creciente o decreciente. Tabla de valores: 8 Halla la ecuación de las siguientes funciones: x y = /x Constante de proporcionalidad k = > 0 ò creciente Se dibuja un rectángulo. y = x Como es creciente, k es negativo. y = x Se dibujan las asíntotas y un rectángulo. 7 Dibuja la gráfica de la función f(x) = Halla: su dominio. x + x + x = y = las ecuaciones de las asíntotas. c) las discontinuidades. Haciendo la división se obtiene: f(x) = x + Como es decreciente, k es positivo. y = + x + x + 5 y = x + y = x = Dom(f) = { } = ( @, ) á (, + @) Asíntotas Asíntota vertical: x = Asíntota horizontal: y = c) Es discontinua en x =. Operaciones con funciones. Funciones irracionales 9 Dadas las siguientes funciones: f(x) = (x ) g(x) = x 9 calcula: f + g f g (f + g)(x) = x 6x (f g)(x) = 6x + 8 7 SOLUCIONARIO

0 Dadas las siguientes funciones: f(x) = x 6 g(x) = (x + ) calcula: f g f/g c) Dom(f/g) (f g)(x) = x + 8x 8x 56 x (f/g)(x) = x + c) Dom(f/g) = { } = ( @, ) á (, + @) Clasifica la función f(x) = x +, halla su dominio y represéntala. La función es irracional. Dom(f) = [, + @) y = x + Dadas las siguientes funciones: f(x) = 5x g(x) = x + x calcula: g f f g (g f)(x) = g(f(x)) = g(5x ) = = (5x ) + (5x ) = 5x 5x + (f g)(x) = f(g(x)) = f(x + x ) = = 5(x + x ) = 5x + 5 x 9 Halla la fórmula de las siguientes funciones: Dada la siguiente función: f(x) = x + 5 calcula f Representa ambas funciones y la recta y = x. Qué observas? y = x y = + x +. Funciones exponenciales x = y + 5 x = y + 5 y = x + 5 y = x 5 f (x) = x 5, x Ó 0 5 Representa la función f(x) = x Tabla de valores x y = x /6 / 0 6 f(x) = x + 5 y = x Se observa que f(x) y f (x) son simétricas respecto de la recta y = x y = x 5 6 y = x (, ) (0, ) Representa la función f(x) = (/) x TEMA 0. FUNCIONES RACIONALES, IRRACIONALES EPONENCIALES 7

Ejercicios y problemas x y = (/) x 6 0 / /6 9 Halla la ecuación de las siguientes funciones definidas por su gráfica. y = (/) x (, ) (0, ) 7 8 Representa la función f(x) = + x Es la función y = x trasladada unidades hacia abajo y dos hacia la derecha. Representa la función f(x) = + (/) x + Es la función y = (/) x trasladada unidad hacia arriba y tres hacia la izquierda. (, ) y = + x (, ) (, 5) (, ) y = + (/) x + y = (/) x y = + x 0 Un estanque contiene 8 hectolitros de agua y cada mes se gasta la mitad de su contenido. Halla la función que define la capacidad que queda en el estanque en función del tiempo y represéntala gráficamente. y = (/) t,t Ó 0 t 0 y = (/) t 8 Como el agua disminuye continuamente, será una función continua. Volumen (hl) y = (/) t / 5 / Tiempo (meses) T 6 /8 7 SOLUCIONARIO

Para ampliar Halla el dominio de las funciones: x 7 y = x Función irracional. y = x Dom(f) = {} = ( @, ) á (, + @) Dom(f) = [, + @) Halla el dominio de las funciones: y = x + 5 y = x + Dom(f) = = ( @,+@) Dom(f) = [, + @) Halla las discontinuidades de las funciones: x + x 5 y = y = x x + x = x = 5 Creciente ( ) : [, + @) Decreciente ( ) : Ö y = + x + y = 8 8 x + x + Función exponencial. Clasifica las siguientes funciones. Represéntalas y halla su crecimiento: x + y = y = x x Función racional. 8 Creciente ( ) : = ( @,+@) Decreciente ( ) : Ö Función racional. x + y = ò y = + x + x + 8 x = y = y = x = x + y = ò y = + x x Creciente ( ) : Ö Decreciente ( ) : ( @, ) á (, + @) 8 8 8 Creciente ( ) : Ö 8 Decreciente ( ) : ( @, ) (, + @) 6 Dadas las siguientes funciones: f(x) = 7x x g(x) = 5x + 6x calcula: f + g f g TEMA 0. FUNCIONES RACIONALES, IRRACIONALES EPONENCIALES 75

Ejercicios y problemas 0 (f + g)(x) = x + x (f g)(x) = x 9x + 7 Dadas las siguientes funciones: f(x) = x 7 g(x) = x + 7 calcula: f g f/g c) el dominio de f/g Función racional. (f g)(x) = x 9 x 7 (f/g)(x) = x + 7 c) Dom(f/g) = { 7} = ( @, 7) á ( 7, + @) 8 Representa la función f(x) = x, multiplica dicha función por y represéntala en los mismos ejes coordenados. Qué observas en las gráficas de ambas funciones? y = x Función exponencial. y = e x La gráfica de la función f(x) = x es la simétrica de la función f(x) = x respecto del eje f(x) = x f(x) = x Función racional. 9 Dadas las siguientes funciones: f(x) = x g(x) = 5x + calcula: g f f g y = x (g f)(x) = g(f(x)) = g(x ) = 5(x ) + = Función racional. = 5x 0x + 6 (f g)(x) = f(g(x)) = f(5x + ) = 5x + = = 5x Clasifica y halla la ecuación de las siguientes funciones definidas por su gráfica. y = x 76 SOLUCIONARIO

Función racional. Función racional. y = x Función irracional. y = x y = x Función exponencial. y = (/e) x 5 Función exponencial. Función irracional. y = 5 x y = + x Función racional. Función racional. y = x 5 y = x 5 TEMA 0. FUNCIONES RACIONALES, IRRACIONALES EPONENCIALES 77

Ejercicios y problemas 6 7 Función racional. Función racional. 6 6 y = x Función exponencial. y = (/5) x y = x Función irracional. y = x + Problemas 8 Un árbol crece durante los tres primeros años, según la función y = x. Representa dicha función en los tres primeros años de vida del árbol. x y = x 0 0 7 (g f)(x) = g(f(x)) = g(x + ) = x + = = x = x (f g)(x) = f(g(x)) = f ( x ) = = ( x ) + = x + = x c) Que las funciones f y g son una inversa de la otra. 50 Dada la siguiente función: f(x) = calcula: x f f Qué puedes afirmar del resultado obtenido? 9 Dadas las funciones: f(x) = x + g(x) = x, x Ó calcula: g f f g c) Qué puedes afirmar del resultado obtenido? (f f)(x) = f(f(x)) = f( ) = x x Que la función f es inversa de sí misma. 5 Calcula la función inversa de f(x) = x 5, x Ó 0. Representa ambas funciones en unos mismos ejes coordenados, y la recta y = x. Qué observas? 78 SOLUCIONARIO

y = x 5, x Ó 0 Se cambian las letras. x = y 5 Se despeja la y y = x 5 y = x + 5 f (x) = x + 5 Los puntos de corte son: O(0, 0) y A(, ) O(0, 0) y = x y = x A(, ) f (x) = x + 5 y = x Se observa que ambas gráficas son simétricas respecto de la recta y = x 5 Calcula la función inversa de f(x) = x +. Representa ambas funciones en unos mismos ejes coordenados, y la recta y = x. Qué observas? y = x + Se cambian las letras. x = y + Se despeja la y x = y + y = x + y = x f (x) = x f (x) = x f(x) = x 5 f(x) = x + 5 y = x y = El único punto de corte es P(, ) Clasifica y halla la ecuación de las siguientes funciones definidas por su gráfica: 55 Función racional. x y = x P(, ) y = /x Se observa que ambas gráficas son simétricas respecto de la recta y = x Representa en unos mismos ejes coordenados las siguientes funciones y luego halla los puntos de corte: 5 y = x y = x y = x Función irracional. y = x + TEMA 0. FUNCIONES RACIONALES, IRRACIONALES EPONENCIALES 79

Ejercicios y problemas 56 58 Función exponencial. Función racional. y = + x + Función racional. y = x = y = x y = + = x x x = x + 7 y = = x + x + Función irracional. y = x 57 59 Función exponencial. Función racional. y = 0 x Función racional. y = x = y = x + y = 0 x = x + y = = x + x + Función exponencial. y = (/0) x 80 SOLUCIONARIO

60 x y = + = x x Función irracional. y = x Función racional. 6 En una granja hay pienso para alimentar 000 pollos durante 0 días. Calcula la función que da el número de días en función del número de pollos. Clasifica la función obtenida. x = 0 000 xy = 0 000 ò y = x y = Es una función racional. Es de proporcionalidad inversa. x + y = = x x Función racional. 6 5 x y = + = x x y = x = 5 6 6 Halla la función que calcula la longitud del lado de un cuadrado de área x m. Clasifica la función obtenida. y = x Es una función irracional. Los ingresos y gastos, en millones de euros, de una empresa en función del número de años que llevan funcionando vienen dados por: i(x) = 8x x g(x) = x Calcula la función que da los beneficios de dicha empresa. Cuándo empieza a ser deficitaria la empresa? b(x) = i(x) g(x) b(x) = 5x x Empieza a ser deficitaria a partir de que los beneficios sean cero. Función racional. y = x = 65 5x x = 0 x(5 x) = 0 ò x = 0, x = 5 Para x = 0 es cuando empieza a funcionar. A partir de los 5 años empezará a ser deficitaria. Las diferencias de presiones, que aparecen al ascender por una montaña, son la causa del mal de montaña y del dolor de oídos. Se ha probado experimentalmente que la presión viene dada por la fórmula TEMA 0. FUNCIONES RACIONALES, IRRACIONALES EPONENCIALES 8

Ejercicios y problemas y = 0,9 x, donde y se mide en atmósferas, y x, en miles de metros. Representa dicha función. Qué presión hay a 000 m de altura? c) A qué altura tendremos que ascender para que la presión sea de 0,59 atmósferas? Gráfica Presión (atmósferas) y = 0,9 = 0,79 atmósferas. c) 0,9 x = 0,59 x log 0,9 = log 0,59 log 0,59 x = = 5 log 0,9 Altura = 5 000 m 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0, 0, 0, 0, 567890 Longitud (miles de metros) 68 la función que expresa el valor en función del número de años. el valor que tendrá al cabo de 0 años. c) cuántos años tendrán que transcurrir para que valga la mitad del precio inicial. y = 0 6 0,8 x y = 0 6 0,8 0 = 7 8,0 c) 0 6 0,8 x = 0,5 0 6 0,8 x = 0,5 x log 0,8 = log 0,5 log 0,5 x = =,9 años log 0,8 Aproximadamente años y medio. El alquiler de un piso es de 500 mensuales. Si en el contrato se hace constar que se subirá un % anual, calcula: la función que expresa el precio del alquiler en función del número de años. el precio del alquiler al cabo de 0 años. c) cuántos años tendrán que transcurrir para que se duplique el alquiler. 66 La bacteria Eberthella typhosa se reproduce por bipartición cada hora. Si partimos de un millón de bacterias, calcula: la función que expresa el número de bacterias en función del tiempo. cuántas bacterias habrá al cabo de horas. Da el resultado en notación científica. c) qué tiempo tiene que transcurrir para tener 0 millones de bacterias. y = 500,0 x y = 500,0 0 = 67,96 c) 500,0 x = 000,0 x = x log,0 = log log x = =,5 años. log,0 y = 0 6 x y = 0 6 =,67776 0 c) 0 6 x = 0 0 6 x = 0 x = 0 x = 0 horas. 67 Un barco de vela deportivo cuesta un millón de euros. Si se devalúa un 8% anualmente, calcula: 69 Un bosque tiene 5 m de madera. Si el ritmo de crecimiento es de un 0% al año, calcula: la función que expresa el volumen de madera en función del número de años. el volumen que tendrá al cabo de 5 años. c) cuántos años tendrán que transcurrir para que se triplique el volumen. y = 5, x y = 5, 5 = 0,89 m 8 SOLUCIONARIO

c) 5, x = 5, x = x log, = log log x = =,5 años. log, 6 x + 8 y = + = x + x + Función exponencial. y = + (/) x Para profundizar 70 Calcula la función inversa de f(x) =. Qué x puedes afirmar viendo el resultado que has obtenido? 7 y = x Se cambian las letras. x = y Se despeja la y y = x Función logarítmica. y = + log (x ) Función irracional. y = + x f (x) = x Se puede afirmar que dicha función coincide con su inversa. 7 Clasifica y halla la ecuación de las siguientes funciones definidas por su gráfica: 7 Función racional. Función racional. x = 0 x = y = 6 y = x + y = = x x Función logarítmica. y = + log / (x ) TEMA 0. FUNCIONES RACIONALES, IRRACIONALES EPONENCIALES 8

Ejercicios y problemas 7 75 Para recolectar las fresas de una huerta, 0 trabajadores tardan 5 días. Calcula la función que da el número de días en función del número de trabajadores. Clasifica la función obtenida. Función exponencial. y = + x + Función irracional. y = + x xy = 00 00 y = x Es una función racional. Es de proporcionalidad inversa. 8 SOLUCIONARIO

Aplica tus competencias 76 Escribe la fórmula que relaciona la presión y el volumen dada por la ley de Boyle-Mariotte, y clasifícala. PV = k k P = V Es una función racional; es de proporcionalidad inversa. 77 Escribe la fórmula que relaciona la presión y el volumen dada por la ley de Boyle-Mariotte, sabiendo que para una determinada cantidad de gas P = atmósferas, V = litros. Represéntala gráficamente. Tabla de valores: V P Gráfica: Presión (atmósferas) V 6 P = V 6 P PV = P = V TEMA 0. FUNCIONES RACIONALES, IRRACIONALES EPONENCIALES 85

Comprueba lo que sabes Define función exponencial y pon un ejemplo. Una función es exponencial si la variable independiente está en el exponente. Es de la forma: f(x) = a x siendo a > 0 y a π Ejemplo: Representa la función f(x) = x Se hace una tabla de valores: x y = x /8 / Clasifica y representa la función y = /x, calcula el valor de la constante de proporcionalidad, indica si la función es creciente o decreciente y di si es continua. Es una función racional. / 0 y = x (, ) (, ) (0, ) 8 Se despeja la y y = x y = x + y = x + f (x) = x + Ambas son simétricas respecto de la recta y = x 5 f (x) = x + y = x Dadas las funciones f(x) = x y g(x) = x, calcula: g f (g f)(x) = g(f(x)) = g(x ) = (x ) = = x x + 9 (f g)(x) = f(g(x)) = f(x ) = x f(x) = x Clasifica y halla la ecuación de las siguientes funciones definidas por su gráfica. k = > 0 ò decreciente. Es discontinua en x = 0 Halla la función inversa de f(x) = x, x Ó 0. Representa ambas funciones y la recta y = x. Qué observas? Se cambian las letras. x = y Función irracional. y = + x + 86 SOLUCIONARIO

Función exponencial. y = e x 6 Clasifica y halla la ecuación de las siguientes funciones definidas por su gráfica. y = x Función exponencial. y = (/5) x 7 Para hacer la revista del centro, 8 alumnos tardan 6 días. Calcula la función que expresa el número de días en función del número de alumnos. Clasifica la función obtenida. 8 xy = 8 ò y = x Es una función racional. Es de proporcionalidad inversa. Función racional. 8 Una ciudad tiene un índice de crecimiento de población del 0,5%. Si en el año 000 tenía millones de habitantes, escribe la función que calcula la población en función del número de años. Cuántos habitantes tendrá en el año 050? P = 0 6,005 t 000 P = 0 6,005 50 =,89677 0 6 = = 89 677 habitantes. TEMA 0. FUNCIONES RACIONALES, IRRACIONALES EPONENCIALES 87

Linux/Windows GeoGebra Paso a paso 78 Dada la función: y = + x clasifícala. Represéntala. Descríbela como traslación. Halla y representa las asíntotas. Halla el dominio, las discontinuidades y el crecimiento. Resuelto en el libro del alumnado. 79 Representa en los mismos ejes las funciones: y = x, x Ó 0 y = x + y = x Qué observas? Resuelto en el libro del alumnado. 80 8 Clasifica la siguiente función dada por su gráfica y mediante ensayo-acierto halla su fórmula o ecuación: Resuelto en el libro del alumnado. Internet. Abre: www.editorial-bruno.es y elige Matemáticas, curso y tema. 88 SOLUCIONARIO

Windows Derive Practica 8 Dada la función: y = + x + clasifícala. represéntala. c) descríbela como traslación. d) halla y representa las asíntotas. e) halla el dominio. f) halla las discontinuidades. g) halla el crecimiento. 8 y = x + 8 y = e x Dadas las siguientes funciones: clasifícalas. represéntalas. c) halla el dominio. d) halla el crecimiento. TEMA 0. FUNCIONES RACIONALES, IRRACIONALES EPONENCIALES 89

Linux/Windows GeoGebra 85 Representa en unos mismos ejes coordenados las funciones: y = x +, x Ó 0 y = x y = x Qué observas? Clasifica y halla mediante ensayo-acierto la ecuación de las siguientes funciones definidas por su gráfica: 87 Función racional. y = + x + 86 Representa en unos mismos ejes coordenados las funciones y = x, y = (/) x. Qué observas? 88 Se observa que las funciones son simétricas respecto de la recta y = x Función exponencial. y = + ( ) x 90 SOLUCIONARIO

Windows Derive 89 Plantea el siguiente problema y resuélvelo con ayuda de Geogebra o Derive: 9 Una célula se reproduce por bipartición cada minuto. Halla la función que define el número de células y represéntala gráficamente. Función racional. y = x 90 Función irracional. y = + x TEMA 0. FUNCIONES RACIONALES, IRRACIONALES EPONENCIALES 9