º BT Mt II CS Bloque 1: Álgebr Tem 1: Mtrices. 1.1.- Concepto de mtriz. Iguldd de mtrices. Definición : Un mtriz rel de orden o dimensión m n es un conjunto de m n números reles ordendos en m fils y n columns encerrds entre préntesis. 11 1 1n 1 n Μ Μ Μ Μ m1 m mn Ls mtrices ls representremos con letrs myúsculs A, o de l form ( ij ). Cd ij indic el elemento de l mtriz que se encuentr situdo en l fil i column j. El símbolo ( ij ) design l mtriz complet (l igul que A), mientrs que ij represent un elemento culquier de l mism. Definición : Dos mtrices son igules cundo tienen l mism dimensión y los elementos que ocupn el mismo lugr en mbs son igules. En consecuenci, pr conocer un mtriz hy que especificr clrmente su dimensión y cd uno de sus elementos. 1..-Ejemplos de mtrices. Ls mtrices se emplen, entre otrs muchs coss, pr lmcenr informción, pr describir relciones, pr el estudio de sistems de ecuciones, etc, y precen de modo nturl en Economí (mtrices input-output), Sociologí, Psicologí (Sociomtrices), Estdístic, Geometrí, etc. Vmos ver lgunos ejemplos de ells. Mtrices de informción : Son quélls que presentn l informción numéric en form de tbls. Por ejemplo: Un cden de tiends de electrodomésticos dispone de cutro lmcenes. En un determindo momento ls eistencis de lvdors, frigoríficos y cocins son ls siguientes: Almcén 1: 1 lvdors, 8 frigoríficos y 5 cocins. Almcén : 0 lvdors, 18 frigoríficos y 9 cocins. Almcén 3: lvdors, 3 frigoríficos y 15 cocins. Almcén 4: 7 lvdors, 6 frigoríficos y 1 cocin. Esos dtos pueden orgnizrse en form de mtriz del siguiente modo: L F C Al11 8 5 Al 0 18 9 Al 3 3 15 Al 4 7 6 1 Mtrices socids grfos : Un grfo es quéll figur que nos permite representr ls relciones eistentes entre los elementos de un conjunto. (ordendores conectdos entre sí, redes de trnsporte de un empres, un sistem de comunicciones). En un grfo, llmmos vértice cd uno de los objetos que lo formn y ejes ls línes o flechs que los relcionn. Un de ls forms más sencills de epresr un grfo por medio de mtrices es tomr un mtriz A de orden n n, siendo n el número de vértices del grfo y en l que cd elemento ij será uno si hy un eje que vy del vértice i l vértice j, y cero en otro cso. Por ejemplo: Los puntos A,B,C y D del gráfico del mrgen representn cutro equipos de rescte de montñ. Ls flechs indicn ls direcciones posibles de comunicción por rdio. Por ejemplo, el Teorí Álgebr Pág 1
º BT Mt II CS equipo de rescte D puede comunicr directmente con C pero no con A. El equipo D puede comunicr con A pero trvés de C. L mtriz socid l grfo serí, A B C D A B A0 1 1 0 B1 0 0 0 C 1 1 0 1 D0 0 1 0 D C En el cso de que el grfo correspond relciones personles, ls correspondientes mtrices se llmn Sociomtrices. Mtrices socids un sistem de ecuciones lineles. Consideremos el sistem de ecuciones -3y + z =1. -y = - + 3y-z = 0 Se llm mtriz de coeficientes del sistem y mtriz mplid, respectivmente, ls mtrices 3 3 1 A = 1 1 0 y AM = 1 1 0 1 3 1 1 3 1 0 1.3. -Tipos de mtrices Definición : Dd un mtriz A de orden m n, se define l mtriz trspuest de A como otr mtriz de orden n m que se obtiene cmbindo en A ls fils por ls columns, y se denot por A t. Atendiendo l form de l mtriz, definimos Mtriz fil es quéll cuyo orden o dimensión es 1 n, es decir, l que tiene un únic fil. Mtriz column es l que tiene orden o dimensión m 1, esto es, l que tiene únicmente un column. Mtriz cudrd es l que tiene orden o dimensión n n, es decir tiene el mismo número de fils que de columns. En este cso se dice que l mtriz es de orden n. Mtriz rectngulr es tod quell mtriz que no es cudrd. Ls mtrices cudrds constituyen un subconjunto importnte dentro del conjunto de ls mtrices, y por ello eisten definiciones propis de este subconjunto. Así, pr mtrices cudrds de orden n, se llm Digonl principl l formd por los elementos 11,,, nn Digonl secundri l formd por los elementos ij tles que i + j = n +1 De igul modo, un mtriz cudrd de orden n diremos que es: Tringulr superior si todos los elementos que están por debjo de l digonl principl son cero. Tringulr inferior si todos los elementos que están por encim de l digonl principl son cero. Simétric si los elementos simétricos respecto l digonl principl son igules, esto es, ij = ji i, j. Antisimétric si ij = - ji i, j. Por tnto, l digonl principl de un mtriz ntisimétric es l formd por ceros. Teorí Álgebr Pág
º BT Mt II CS Atendiendo los elementos de l mtriz, definimos Mtriz nul es l que tiene todos sus elementos igules 0. Mtriz digonl es l mtriz cudrd en l que todos los elementos que no están en l digonl principl son cero; es decir, ij = 0 si i # j. Mtriz esclr: es un mtriz digonl con todos los elementos de l digonl principl igules. Mtriz identidd I es un mtriz esclr con los elementos de l digonl principl igules 1 1.4.-0perciones con mtrices Definición : L sum de dos mtrices A= ( ij ) y B= (b ij ) de l mism dimensión, es otr mtriz S=(S ij ) de l mism dimensión que los sumndos y con término genérico s ij = ij + b ij. L sum de A y B se denot por A + B. L dición de mtrices posee ls siguientes propieddes: -Propiedd socitiv : A +(B +C)=(A +B)+C -Propiedd conmuttiv: A +B =B+A - A + 0 = A (0 es l mtriz nul correspondiente) L mtriz -A, que se obtiene cmbindo de signo todos los elementos de A, recibe el nombre de opuest, y que A+(-A)=0 Definición : L diferenci de dos mtrices A = ( ij ) y B = (b jj ) de l mism dimensión, es otr mtriz D=(d ij ) de l mism dimensión que ls nteriores y con término genérico d ij = ij - b jj. Se denot como A-B. Definición : El producto de un mtriz A=( ij ) por un numero rel k es otr mtriz B=(b jj ) de l mism dimensión que A y con término genérico b ij = k. ij.se denot como k.a. Al número rel k se le llm tmbién esclr, y este producto, producto de esclres por mtrices. El producto de un número por un mtriz verific ls siguientes propieddes: k(a +B)=kA+kB. (k+h)a=ka+ha. k(ha)=(kh)a Definición : Producto de un mtriz fil por un mtriz column : Se A=( 1,, 3,.. n ) un mtriz b1 b fil y B = un vector column. b n Se define su producto A.B como el número rel 1.b 1 +.b + 3.b 3 + + n.b n Producto de dos mtrices culesquier : El producto de l mtriz A = ( ij ) de dimensión m n por l mtriz B = (b ij ) de dimensión n q, es otr mtriz P = (P ij ) de dimensión m q, tl que cd elemento P ij se obtiene multiplicndo l fil i de l primer mtriz por l column j de l segund, considerds mbs como mtrices fil y column, respectivmente. El producto de ls mtrices A y B se design como A.B. El producto de mtrices verific ls siguientes propieddes, siempre y cundo ls diferentes operciones estén definids:. - Propiedd socitiv :A.(B.C)=(A.B).C - El producto de mtrices en generl no es conmuttivo, es decir A.B es distinto de B.A - Propiedd distributiv del producto con respecto de l sum: A.(B+C)=A.B+A.C. Teorí Álgebr Pág 3
º BT Mt II CS - Si A es un mtriz cudrd de orden n, se tiene A.I n =I n.a=a Definición : Se define l potenci n-ésim de un mtriz cudrd A de form nturl como A n =A.A.A. A (n veces) Ejemplo: Volvmos l ejemplo de l mtriz socid un grfo del prtdo 1.. Si hllmos M =M.M obtenemos 0 1 1 00 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 M = M. M = 1 1 0 1. 1 1 0 1 = 1 1 0 =A 0 0 1 00 0 1 0 1 1 0 1 L mtriz M =A epres en qué form se pueden estblecer comunicciones entre 105 equipos trvés de otro. Por ejemplo, vemos que 11 = lo que signific que A puede comunicrse con A de dos forms distints trvés de otro equipo (A-B-A y A-C-A), 1 =1 signific que A puede comunicrse con B de un sol form trvés de otro equipo(a-c-b), etc. De igul modo, M 3 nos indicrí ls posibiliddes de comunicción entre 105 diferentes puntos trvés de otros dos equipos. L mtriz 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 T = M + M = + = 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 d ls forms que tienen de comunicrse por rdio los cutro equipos, bien directmente o bien trvés de otro equipo. 1.5.-Rngo de un mtriz Definición : Tringulr un mtriz consiste en convertir dich mtriz en otr que teng nulos todos los elementos situdos por debjo de l digonl principl por medio de l plicción sucesiv de ls llmds operciones elementles: -Permutr el orden de colocción de dos fils. -Permutr el orden de colocción de dos columns -Multiplicr un fil por un número distinto de cero. -Sumr un fil otr fil multiplicd por un número rel. Definición : Se llm rngo de un mtriz A l número de fils no nuls de l correspondiente mtriz tringulrizd obtenid prtir de A con el proceso nterior. Método de Guss pr el cálculo del rngo: Eminentemente práctico. 1.6.-Mtriz invers Si nos restringimos l conjunto de ls mtrices cudrds de orden n con l operción de multiplicr, podemos considerr demás de ls propieddes y citds, l eistenci de elemento inverso. Est mtriz no siempre eiste, pero de eistir, será únic y se define de l siguiente form. Definición :Llmmos mtriz invers de un mtriz cudrd A de orden n otr mtriz de orden n que representremos como A -1 tl que A.A -1 =A -1.A=I n donde I n es l mtriz identidd de orden n. No tods ls mtrices cudrds tienen invers. Teorí Álgebr Pág 4
º BT Mt II CS Definición : Un mtriz cudrd de orden n es regulr si tiene invers. En cso contrrio se dice que es singulr. Se puede demostrr que un mtriz cudrd de orden n es regulr si y sólo si su rngo es n. Cálculo de l mtriz invers: Eminentemente práctico. 1.7.-Ecuciones y sistems mtriciles A quells ecuciones o sistems en los que ls incógnits o coeficientes son mtrices ls llmremos ecuciones o sistems mtriciles. Pr resolverlos procederemos de l mism form que pr resolver ecuciones o sistems con coeficientes e incógnits reles, utilizndo l sum, rest y producto de mtrices estudids nteriormente. Además, hbremos de tener en cuent que el producto de mtrices no es conmuttivo, sí como l posible no eistenci de l mtriz invers. -Si l ecución puede reducirse l form k.x=a, siendo k un número rel, X y A mtrices, l solución es inmedit, y X = 1/k.A -Si l epresión l que podemos reducir l ecución es de l form A.X=B, y A posee invers, l solución será X=A -1.B, y que A.X=B.A -1. (A.X)=A -1. B => (A -1.A).X=A -1.B I.X=A -1.B X=A -1.B Si A es cudrd y no tiene invers, l ecución no tiene solución -Pr resolver sistems lineles de ecuciones mtriciles procederemos de l mism form que pr resolver sistems de ecuciones lineles, teniendo en cuent ls considerciones nteriores. Teorí Álgebr Pág 5
º BT Mt II CS Bloque 1:Álgebr Tem : Sistems de ecuciones lineles.1.sistems de ecuciones lineles con dos incógnits. Definición : Se llm ecución linel con dos incógnits un ecución de l form + by = c, donde y b son números reles conocidos que se llmn coeficientes, c es el término independiente. e y son números reles desconocidos llmdos incógnits. Definición : Se llm solución de un ecución linel con dos incógnits un pr ( o,y o ) que l verifique. Not : L ecución linel con dos incógnits + by = c, con y b 0 posee múltiples soluciones. c Pr hllrls bst despejr un de ls incógnits: y = ; signndo vlores, se obtienen b los correspondientes vlores de y. Como sbemos, ests soluciones, representds en el plno crtesino, formn un rect. Definición : Dos ecuciones lineles con dos incógnits se llmn equivlentes si tienen ectmente ls misms soluciones. Not : Si un ecución l multiplicmos por un número distinto de cero, se obtiene un ecución equivlente Definición : Se llm sistem de dos ecuciones lineles con dos incógnits un conjunto de dos ecuciones lineles de l form: 1 + b1 y = c1 donde 1,,b 1,b se llmn coeficientes, c 1 y c se llmn términos + b y = c independientes. A e y se les llm incógnits. Definición : Se llm solución de un sistem de dos ecuciones lineles con dos incógnits un pr de números ( o,y o ) que verificn simultánemente mbs ecuciones. Definición : Dos sistems de dos ecuciones lineles con dos incógnits se llmn equivlentes si tienen ectmente ls misms soluciones. Not : Ls trnsformciones que permiten convertir un sistem de dos ecuciones lineles con dos incógnits en otro sistem equivlente son ls siguientes: - Cmbir el orden de ls ecuciones. - Cmbir el orden de ls incógnits. - Multiplicr o dividir un de ls ecuciones por un número distinto de cero. - Sumr un ecución otr multiplicd por un número distinto de cero. Métodos de resolución : Eisten vrios métodos de resolución pr un sistem de dos ecuciones lineles con dos incógnits, y conocids de cursos nteriores: Método de sustitución : En un de ls ecuciones del sistem se despej el vlor de un de ls incógnits y se sustituye en l otr ecución, que de est form quedrá trnsformd en un ecución de un únic incógnit. Teorí Álgebr Pág 6
º BT Mt II CS Método de igulción : Consiste en elegir un de ls incógnits, despejrl en ls dos ecuciones del sistem e igulr ls epresiones obtenids; de est form se obtiene un ecución con un sol incógnit. Método de reducción : Elegimos un de ls incógnits pr conseguir un sistem equivlente, de form que los coeficientes de dich incógnit, en ls dos ecuciones, sen igules u opuestos. Pr ello se multiplicrá un o mbs ecuciones por los números convenientes. Un vez se hyn conseguido los coeficientes igules (u opuestos) pr l incógnit elegid en ls dos ecuciones, ls restremos ( o sumremos) y sí quedrá un únic ecución en l que quedrá elimind dich incógnit. Método gráfico : Consiste en dibujr mbs rects. Ls soluciones de estos sistems y l posición reltiv en el plno de ls rects que lo componen se relcionn de l siguiente form: ) Si ls dos rects son secntes, esto es, tienen un único punto en común, ls coordends de dicho punto constituyen l solución del sistem. El sistem se llm comptible determindo. b) Si ls dos rects son prlels, esto es, no se cortn en ningún punto, el sistem no tiene solución y se llm sistem incomptible. c) Si ls dos rects son coincidentes, el sistem tiene infinits soluciones, y se llm sistem comptible indetermindo...sistems de ecuciones lineles en generl. Definición :Se llm ecución linel un iguldd de l form 1 1 + + + n n = b, donde 1,,, n son números reles conocidos que se llmn coeficientes, b es el término independiente y 1,,, n son números reles desconocidos llmdos incógnits. Definición : Se llm solución de un ecución linel un n-tupl ( 1,,, n ) que stisfg l ecución. Not : L ecución linel 1 1 + + + n n = b, posee múltiples soluciones. Pr hllrls bst con despejr un de ls incógnits y; signndo vlores rbitrrios n-1 de ells, se obtienen los correspondientes vlores de l incógnit despejd. Definición : Dos ecuciones lineles se llmn equivlentes si tienen ectmente ls misms soluciones. Not : Si un ecución l multiplicmos por un número distinto de cero, se obtiene un ecución equivlente Definición :Se llm sistem de m ecuciones lineles con n incógnits un conjunto de m ecuciones lineles de l form: + 11 1 1 + + Teorí Álgebr Pág 7 1 + + + + 1n n + + mn n n = b = b.. m1 1 1 m n 1 = b m donde ij (1 i m,1 i n bj (1 i m,) se llmn ) se i (1 i n )se llmn incognits llmn coeficientes, términos independientes,.
º BT Mt II CS Definición : Se llm solución del sistem de m ecuciones lineles con n incógnits un n-tupl ( 1,,, n ) que verifique simultánemente tods ls ecuciones. Resolver un sistem es encontrr tods sus soluciones. Definición : Dos sistems de ecuciones lineles con el mismo número de incógnits (unque no tengn el mismo número de ecuciones) se llmn equivlentes si tienen ectmente ls misms soluciones. Not : Ls trnsformciones que permiten convertir un sistem de m ecuciones lineles con n incógnits en otro sistem equivlente son ls siguientes: - Cmbir el orden de ls ecuciones. - Cmbir el orden de ls incógnits. - Multiplicr o dividir un de ls ecuciones por un número distinto de cero. - Sumr un ecución otr multiplicd por un número distinto de cero. Definición :Un sistem homogéneo es quel cuyos términos independientes son todos nulos. Dependiendo de los términos independientes y de ls soluciones, se puede hcer l siguiente clsificción de los sistems de ecuciones lineles: Un sistem de ecuciones lineles qued determindo por sus coeficientes y sus términos independientes. Si situmos dichos números en un tbl, en ls misms posiciones en ls que precen en el sistem, obtenemos l mtriz de los coeficientes; si ést le ñdimos los términos independientes, se obtiene l mtriz mplid. m 11 1 1 Mtriz 1 m 1 n n mn coeficientes 11 1 m1 1 m 1n n mn Mtriz mplid b1 b b m Llmndo A l mtriz de coeficientes, X l mtriz column formd por ls incógnits, y B l mtriz column formd por los términos independientes, el sistem puede tmbién escribirse en l form A.X= B. Teorí Álgebr Pág 8
º BT Mt II CS.3.Sistems esclondos. Método de resolución de Guss El método de Guss, conocido tmbién como de tringulción o de cscd, se bs en el método de reducción que, plicdo sucesivs veces, permite obtener un sistem esclondo equivlente l ddo inicilmente. Definición : Un sistem de ecuciones lineles es esclondo si tiene l form: + 11 1 1 + + 1n + + n n = b.... n 1 = b = bm es decir, cd un de ls ecuciones tiene un incógnit mn n menos que l nterior. Se debe observr que l resolución de este tipo de sistems es muy sencill, prtiendo de l últim ecución. El método de Guss consiste en trnsformr un sistem de m ecuciones lineles con n incógnits culquier en otro equivlente y esclondo, utilizndo ls trnsformciones vists nteriormente. (Práctic) TEOREMA DE ROUCHE-FROBENIUS El tipo de sistem está relciondo con el rngo de l mtriz de coeficientes y l mtriz mplid del siguiente modo: TEOREMA :Un sistem de m ecuciones lineles con n incógnits es comptible (tiene solución) si, y sólo si, el rngo de l mtriz de coeficientes coincide con el rngo de l mtriz mplid. Además, si dicho rngo es igul l número de incógnits, el sistem es comptible determindo, e indetermindo en otro cso..4.sistems dependientes de un prámetro. Definición : Un sistem linel se dice dependiente de un prámetro cundo lguno de sus coeficientes o términos independientes es un prámetro. (Un número rel desconocido, pero no incógnit). Discutir un sistem de ecuciones dependiente de un prámetro es identificr pr qué vlores del prámetro el sistem es comptible, distinguiendo los csos en que es determindo o indetermindo. Su resolución por el método de Guss se hce como si fuese un sistem culquier de los nteriormente vistos, discutiendo ls distints soluciones según los vlores del prámetro. Teorí Álgebr Pág 9
º BT Mt II CS Bloque 1:Álgebr Tem 3: Progrmcion Linel 3.1.-Desigulddes e inecuciones. Definición : Ddos y b números reles culesquier, se dice que b si eiste un número c positivo o nulo tl que b = +c b si eiste un número c positivo o nulo tl que = b +c < b si eiste un número c positivo tl que b = + c > b si eiste un número c positivo tl que = b + c Not : Se verificn ls. siguientes propieddes: -Propiedd trnsitiv, b, c R, si b y b c, entonces c -, b R, se verific que < b, = b o > b -, b, c, d R, si b y c d, entonces + c b + d Definición : Un inecución es un desiguldd en l que intervienen incógnits o vlores desconocidos. Definición : Resolver un inecución consiste en encontrr todos los vlores de ls incógnits que verificn dich inecución. El conjunto de estos vlores se denomin solución de l inecución. Definición : Dos o más inecuciones son equivlentes cundo tienen l mism solución. Not : Pr resolver un inecución l trnsformremos en otr equivlente más sencill; pr ello utilizremos ls siguientes trnsformciones de equivlenci: - Si los dos miembros de un inecución se les sum o se les rest un mismo número o epresión lgebric, result un inecución equivlente l dd., b, c R, si b + c b + c - Si los dos miembros de un inecución se los multiplic por un número rel positivo, result otr inecución equivlente l dd:, b R y c R +, si b. c b.c - Si los dos miembros de un inecución se los multiplic por un número rel negtivo, result otr inecución cuyo signo de desiguldd es contrrio l de l dd, y que es equivlente ell., b R y c R -, si b.c b.c 3.. -Inecuciones y sistems lineles con un incógnit Definición : Un inecución es linel si el grdo de tods sus incógnits es uno. Así, ls inecuciones lineles con un incógnit pueden epresrse como culquier de ls siguientes desigulddes: + b 0; + b 0; + b > 0; + b < 0, donde y b son números reles y no es nulo. Pr resolver un inecución linel con un incógnit bst con plicr ls trnsformciones de equivlenci necesris hst obtener un inecución equivlente de un culquier de ls siguientes forms:,, >, <. Not : Tmbién es posible que, l trnsformr un inecución en otr equivlente, desprezcn tods ls incógnits; en este cso, si l desiguldd obtenid es ciert, su solución será todo R; en cso contrrio, l solución será el conjunto vcío. Definición : Un sistem de inecuciones lineles con un incógnit es el formdo por dos o más inecuciones lineles con un incógnit. Teorí Álgebr Pág 10
º BT Mt II CS Su solución estrá formd por todos quellos vlores que stisfgn l vez tods ls inecuciones, es decir, l solución de un sistem de inecuciones lineles con un incógnit es l intersección de ls soluciones de tods ls inecuciones que lo formn. 3.3. -Inecuciones y sistems de inecuciones lineles con dos incógnits. Definición : Se llm inecución linel con dos incógnits un inecución que pued epresrse medinte culquier de ls desigulddes siguientes: +by +c 0; +by +c < 0; + by +c 0; +by + c > 0, con, b y c números reles culesquier. Definición : Se llm solución generl de un inecución linel con dos incógnits l conjunto de pres (, y) que l verificn y un solución prticulr será un punto culquier que stisfg dich desiguldd. L solución generl de un inecución linel con dos incógnits es un semiplno que tiene por fronter l rect + by +c = 0. Est fronter estrá incluid en l solución si l inecución no es estrict. Pr determinr gráficmente dicho semiplno, dibujremos l rect de ecución + by + c = 0, que dividirá l plno en dos semiplnos; continución tomremos un punto de uno de dichos semiplnos y lo sustituiremos en l inecución. - Si l verific, el semiplno que contiene dicho punto es l solución de l inecución. - Si no l verific, l solución será el semiplno que no contiene l punto. Definición : Un sistem de inecuciones lineles con dos incógnits es un conjunto de dos o más inecuciones lineles con dos incógnits. Definición : Se llm solución generl de un sistem de inecuciones lineles con dos incógnits l conjunto de los puntos (,y) que stisfcen simultánemente tods ls inecuciones. Dich solución generl se puede clculr hllndo l intersección de ls regiones que son solución de cd un de ls inecuciones que formn el sistem. Así, el conjunto solución de un sistem de inecuciones lineles puede ser un semiplno, un semirrect, un segmento, un punto o el conjunto vcío. En culquier cso, l solución de un sistem de inecuciones lineles con dos incógnits es un conjunto conveo que puede estr cotdo o no. (Un conjunto conveo es quel que l unir dos culesquier de sus puntos, el segmento obtenido qued dentro del conjunto). L fronter de este conjunto puede pertenecer o no l solución, dependiendo de si ls inecuciones iniciles son estricts o no. Definición : Llmremos vértices los puntos de l solución generl que son intersección de ls rects fronter. 3.4.-Orígenes de l progrmción linel Aunque los orígenes de l progrmción linel se remontn l siglo XVII, en el que mtemáticos como Bernouilli y Lgrnge estudiron problems de máimos y mínimos, se consider George Bernrd Dritzing (Portlnd,1914) como el precursor de est rm de l mtemátic, y que fue él el que en 1947 formuló y desrrolló los lgoritmos necesrios pr plnter y resolver problems de progrmción linel. Uno de los episodios más llmtivos de l guerr frí entre l ntigu Unión Soviétic y ls potencis lids (principlmente, Inglterr y USA) se produjo medidos de 1948, cundo l URSS bloqueó ls comunicciones terrestres desde ls zons lemns en poder de los lidos con l ciudd de Berlín, inicindo sí el llmdo bloqueo de Berlín. A los lidos se les presentron dos posibiliddes: o romper el bloqueo terrestre por l fuerz, o llegr Berlín por el ire. Se doptó l decisión de progrmr un demostrción técnic de poder éreo nortemericno; tl efecto, se orgnizó un grn puente éreo pr bstecer l ciudd: en diciembre de 1948 se estbn Teorí Álgebr Pág 11
º BT Mt II CS trnsportndo 4500 tonelds diris; en mrzo de 1949, se llegó ls 8000 tonelds, tnts como por crreter y ferrocrril ntes del corte de ls comunicciones. En l plnificción de los suministros se utilizó l progrmción linel, y éste fue uno de sus primeros éitos. Desde entonces, est cienci se h utilizdo pr otrs muchs plicciones: problems de l diet, del trnsporte, de l rut más cort,; en todos estos problems se trt de hllr l gnnci máim o el coste mínimo cundo se dispone de un serie de recursos limitdos o hy que cubrir uns necesiddes mínims. Se h estimdo, de un mner generl, que si un pís subdesrrolldo utilizse los métodos de l progrmción linel, su producto interior bruto (PIB) umentrí entre un 10 y un 15% en tn solo un ño. Nosotros vmos estudir un cso muy concreto de progrmción linel: L de dos vribles. 3.5. -Plntemiento generl de un problem de progrmción linel Como y se h dicho, un problem de progrmción linel pretende hllr gnncis máims con unos recursos limitdos o bien costos mínimos cubriendo cierts necesiddes. Más concretmente: Definición : Un problem de progrmción linel pr dos vribles consiste en optimizr (mimizr o minimizr) un función linel de l form f(,y) = +by que llmmos función objetivo, sujet un sistem de desigulddes lineles: 1 + b1y c1 + by c n + bny c n que llmmos restricciones Nots : - Ls incógnits e y se llmn en este cso vribles de decisión. - Ls inecuciones que formn ls restricciones no tienen que ser necesrimente del tipo epuesto, sino que son posibles tmbién inecuciones del tipo i + b i d i. - En los problems reles, dos de ls inecuciones suelen ser 0 e y 0 (restricciones de no negtividd) - Cd desiguldd nterior determin un semiplno. El conjunto de los puntos que cumplen tods ls restricciones determinn un recinto conveo, cotdo o no, llmdo región fctible. A cd uno de los puntos del recinto, por cumplir tods ls restricciones, se les denomin soluciones fctibles. Definición : Se llm solución óptim un solución fctible que hg máim o mínim (según se desee) l función objetivo. Definición : Se llm vlor del progrm linel l vlor que tom l función objetivo f(,y) en l solución óptim 3.6.-Solución de un problem de progrmción linel. Discusión de l solución óptim. Pr resolver problems de progrmción linel tendremos que: -Encontrr l función objetivo y el conjunto de restricciones. -Determinr l región fctible. -Clculr l solución fctible que se óptim. Pr resolver el problem se pueden utilizr dos métodos, el método nlítico o el método gráfico. Pr ello tendremos que considerr el siguiente teorem: Teorí Álgebr Pág 1
º BT Mt II CS TEOREMA : Si un función linel posee un máimo o un mínimo en un conjunto conveo, tom este vlor en un vértice o en un ldo de dicho conjunto. Método nlítico: L región fctible de un sistem de inecuciones con dos incógnits es un conjunto conveo; si demás este conjunto es cotdo, podemos segurr l eistenci de máimo y mínimo de un función linel en este conjunto; por tnto, el teorem nterior indic que debemos determinr los vértices de es región y clculr el vlor que l función objetivo tom en dichos puntos, de form que: -Si l función lcnz un vlor máimo (o mínimo) en un único vértice, éste será l solución del problem. -Si el vlor máimo (o mínimo) lo lcnz en dos vértices, l solución serán todos los puntos del ldo de l región que une esos dos vértices. Si el conjunto conveo no es cotdo, no podremos segurr l eistenci del máimo ni del mínimo de l función. En este cso es consejble usr el método gráfico. Método gráfico: Pr hllr el máimo (o mínimo) de l función objetivo f(,y) por este método dibujremos ls rects de ecución f(,y) = k, donde k tom distintos vlores. Ests rects, denominds rects de nivel, son prlels y proporcionn un ide de hci dónde se desplz f(,y) cundo est función ument o disminuye. Así, desplzándols prlelmente, encontrremos el vértice o ldo, si eiste, en el que l función lcnz el máimo o el mínimo. En resumen, dependiendo de l form de l región fctible y de l función objetivo, un problem de progrmción linel puede tener solución únic, infinits soluciones o crecer de solución. Línes de nivel de l función objetivo. Se llmn línes de nivel de l función objetivo z=+by quells epresiones en ls que función objetivo tom un determindo vlor constnte. Tmbién reciben el nombre de rects de beneficio constnte. En el método grfico pr l obtención de l solución se suele dibuj r l líne de nivel de vlor nulo, tmbién llmd rect de beneficio nulo cuy ecución es de l form +by=0 L rect prlel l nterior que solmente toque en un punto l región fctible es l que que proporcion l solución buscd en l resolución del problem y cundo est solución se únic. Cundo el problem de solución linel present solución múltiple, l rect de nivel puede tocr en todos los puntos de un segmento de l región fctible. 1.-Determin los vlores máimo y mínimo de l función z = - 8y sometid ls restricciones: 3-y 1; -4y -0; 3+y 4; + y 4; 0; y 0 En el gráfico puede verse l región fctible que proporcionn ls restricciones. L región conve está definid por los vértices de coordends: A(4, 0), B(6, 3), C(4, 6), D(0,5) y E(0,) En el dibujo se observ que l líne de nivel que proporcion el vlor máimo es l rect de ecución - 8y = 8. Est rect ps por el vértice A(4, 0). L líne de nivel que proporcion el vlor mínimo es l rect de ecución - 8y = -40, que ps por los vértices C(4,6) y D(0,5). Por tnto, l función objetivo lcnz el máimo en el punto A(4, 0) y el mínimo en culquier de los puntos del segmento determindo por los vértices C(4, 6) y D(0, 5). Teorí Álgebr Pág 13
º BT Mt II CS.- Determin los vlores máimo y mínimo de l función z = 5 3y sujet ls restricciones: + y 3, + y 8;0 0; y 0. Puede verse en el gráfico que ls restricciones no proporcionn ningún punto en l región fctible. Nos encontrmos nte un progrm linel no fctible, es decir, que crece de soluciones. 3. - Determin los vlores máimo y mínimo de l función z = +y sometid ls restricciones: 0 6 ; 0 y 10 ; 8 + y 16 L región fctible que delimitn ls restricciones puede verse en el gráfico. Est región está delimitd por los vértices: A(4,0), B(6, 0), C(6,4), D(3, 10), E(0, 10) y F(0, 8) L líne de nivel que lcnz el vlor máimo es l rect de ecución + y = 16. Se observ que ps por los vértices C(6,4) y 0(3, 10). L líne de nivel que lcnz el vlor mínimo es l rect de ecución + y = 8. Se observ que ps por los vértices A(4, 0) y F(0, 8). Por tnto, l función objetivo lcnz el máimo en culquier de los puntos del segmento determindo por los vértices C(6,4) y O(3, 10) y el vlor mínimo en culquier de los puntos del segmento determindo por los puntos A(4, 0) y F(0, 8). 4.- Recinto ilimitdo En l región determind por + y ; y ; 0 ; y 0, hll ls coordends de los puntos en los que l función f(, y) = 3 + 4y lcnz su mínimo y su máimo..obtenemos un región infinit con vértices en (1,1) y (0,) Representmos l dirección de ls rects z = 3 + 4 y dibujndo l que ps por el origen de coordends. El mínimo se lcnz en (1,1) y es 7 No hy máimo, L función 3 + 4y se puede hcer tn grnde como se quier en el recinto propuesto 5.-Soluciones enters Hll los vlores de e y que hcen máim l función z = 8 + 5y, sujet ls restricciones djunts: e y deben ser números nturles. + y 7;. 3 + y. 1 ; 3. Los puntos fctibles son los de coordends nturles que están en el recinto ilimitdo por ls rects: + y = 7, 3 + y = 1, = 3, = 0, y = 0 Hy 5. Clculmos el vlor de l función en los puntos: A(0,7), B( 1, 6), C(, 5) y D(3, 3) ZA = 35; ZB = 38; ZC = 41 ZD = 39 El vlor máimo se obtiene pr =, y = 5. Teorí Álgebr Pág 14