UNIDAD FUNDAMENTOS DE FÍSICA MODERNA 1. Radiació y materia: dualidad oda-corpúsculo. Pricipio de icertidumbre 3. Mecáica odulatoria Alados Arboledas, I.; Liger Pérez, E. (014) Ampliació de Física.
FUNDAMENTOS DE FÍSICA MODERNA Objetivos Coocer las dificultades de la Física Clásica para eplicar la radiació del cuerpo egro, del efecto fotoeléctrico y el efecto Compto. Valorar la importate cotribució de Plack y de Eistei para eplicar ambos efectos, respectivamete, que dio lugar al acimieto de la Física Cuática. Coocer la revolucioaria hipótesis de De Broglie de la dualidad odamateria, posteriormete refredada co la eperiecia de la difracció de electroes. Coocer las hipótesis itroducidas por Heiseberg e su pricipio de icertidumbre, que obliga a ua revisió coceptual de la relació etre el eperimetador y la medida, de ecepcioal iterés e el mudo subatómico. Coocer las bases de la Física Odulatoria desarrollada por Schrodiger y la revisió probabilística itroducida por Bor, que ha sido aplicados co éito e umerosos casos de física atómica y molecular. Alados Arboledas, I.; Liger Pérez, E. (014) Ampliació de Física.
1. RADIACIÓN Y MATERIA: DUALIDAD ONDA-CORPÚSCULO Satisfacció e el mudo cietífico hasta fiales del siglo XIX: los feómeos físicos se podía eplicar a partir de las leyes de Newto o a partir de las ecuacioes de Mawell. Alguos feómeos o eplicables por la Física Clásica: Espectros discretos Las características del espectro de emisió del cuerpo egro (1899) Efecto fotoeléctrico: Emisió de electroes al ilumiar u metal co ua radiació (1905) Cubierta de vidrio Vetaa de cuarzo R T ()(10-9 Wm - Hz -1 ) 6 4 0 T=000 K T=1500 K T=1000 K 1 3 (10 14 Hz) Fuete de rayos X Haz dispersado V A G B Luz icidete Iterruptor para ivertir la polaridad Haz icidete Cristal Dispersor Detector Efecto Compto: Dispersió de la luz por la materia (193) Alados Arboledas, I.; Liger Pérez, E. (014) Ampliació de Física.
Cavidad co u pequeño orificio Radiació del cuerpo egro Radiacia espectral de u cuerpo egro a distitas temperaturas R T ()(10-9 Wm - Hz -1 ) 6 4 T=000 K T=1500 K T=1000 K 0 1 (10 14 Hz) 3 Ley de Stefa: R T = T 4 = 5.6703 10-8 W m - K -4 Ley de desplazamieto de Wie: ma frecuecia para la que R T () es máima costate de Stefa-Boltzma ma T Si relacioamos ma co el valor correspodiete ma podemos escribir la ley de Wie: K w =.898 10-3 λ m K ma T= K w costate de Wie Alados Arboledas, I.; Liger Pérez, E. (014) Ampliació de Física. Nota: Defiició de R T, Radiacia: eergía total emitida por u cuerpo que se ecuetra a la temperatura T, por uidad de superficie y de tiempo
Radiació de cuerpo egro: Teoría Clásica de Rayleigh-Jeas 1º La eergía es ua variable cotiua º El cálculo de la eergía promedio se realiza a partir de la distribució de Boltzma: E/ kbt PE ( ) e kt 3º Valor de la eergía total promedio: B E 0 0 EPEdE ( ) PEdE ( ) kbt T ()(10-17 Jm -3 Hz -1 ) 3 1 0 1 Teoría clásica de Rayleigh-Jeas Resultados eperimetales (10 14 Hz) 3 T=1500 K 8 kt B T ( ) d d 3 c * Catástrofe ultravioleta Comparació de los valores eperimetales y los obteidos a partir de la Teoría Clásica Alados Arboledas, I.; Liger Pérez, E. (014) Ampliació de Física.
1º La eergía ua variable discreta º Los valores de la eergía respode a la epresió: E = E co = 0, 1,,... 3º A partir de cosideracioes estadísticas E = E() y supuso la depedecia lieal: E = h Radiació de cuerpo egro: Teoría Cuática de Plack * El valor de la eergía total promedio: * Epresió obteida: 8 h T ( ) d d 3 h / kbt c e 1 Otras cofirmacioes de la teoría de Plack: A partir de la epresió obteida por Plack se puede obteer las leyes eperimetales de Stefa y Wie. Al ajustar las costates obteidas aalíticamete co las determiadas eperimetalmete por dichas leyes se comprueba que coicide el valor de h co el determiado por Plack h=6.63*10-34 J s costate de Plack E e h h / k T B 1 T ()(10 3 Jm -4 ) Alados Arboledas, I.; Liger Pérez, E. (014) Ampliació de Física. Comparació de los valores eperimetales y los obteidos a partir de la Teoría Cuática. 1.5 1.0 0.5 0 Teoría cuática de Plack 4 6 7 (m) T=1595K
RESUMEN Radiació de cuerpo egro: Teoría Clásica de Rayleigh-Jeas 1º La eergía es ua variable cotiua º El cálculo de la eergía promedio se realiza a partir de la distribució de Boltzma 3º Valor de la eergía total promedio Radiació de cuerpo egro: Teoría Cuática de Plack 1º La eergía ua variable discreta º Los valores de la eergía respode a la epresió: E = E co = 0, 1,,... 3º A partir de cosideracioes estadísticas E = E() y supuso la depedecia lieal: E = h h=6.63*10-34 J s costate de Plack Alados Arboledas, I.; Liger Pérez, E. (014) Ampliació de Física.
EJEMPLO Ley de Stefa: R T = T 4 R T ()(10-9 Wm - Hz -1 ) 6 4 T=000 K T=1500 K T=1000 K 0 1 (10 14 Hz) 3 Ejemplo 1: E ua lámpara de icadescecia de 50 W, el filameto de wolframio está a ua temperatura de 150ºC. Si la eergía emitida e el campo visible es el 8% de la total correspodiete a u cuerpo egro a la misma temperatura, hallar la superficie del filameto de wolframio. SOL.: 0,914 cm Alados Arboledas, I.; Liger Pérez, E. (014) Ampliació de Física.
Efecto fotoeléctrico V Cubierta de vidrio A G B Vetaa de cuarzo Luz icidete Iterruptor para ivertir la polaridad Tubo de vacío co dos placas metálicas. La luz de ua sola frecuecia icide sobre la superficie A (cátodo) y se emite electroes. La corriete del amperímetro es ua medida del úmero de estos electroes que llega al áodo (placa B). El áodo se hace egativo para que repela a los electroes. Sólo los electroes co eergía ciética iicial suficiete puede superar la repulsió y llegar al áodo. EL voltaje etre las dos placas se aumeta letamete hasta que la corriete se hace cero (voltaje de freado, V o ). E ese mometo i los electroes más eergéticos alcaza el áodo. Alados Arboledas, I.; Liger Pérez, E. (014) Ampliació de Física.
Efecto fotoeléctrico Cubierta de vidrio Vetaa de cuarzo A B V G Luz icidete Iterruptor para ivertir la polaridad I Itesidad alta Itesidad baja -V o o Corriete fotoeléctrica e fució de la diferecia de potecial aplicada Esquema del dispositivo eperimetal V E cma (ev) Alados Arboledas, I.; Liger Pérez, E. (014) Ampliació de Física. 4 3 1 0 40 60 80 (10 14 Hz) 100 Ec máima de los electroes e fució de la frecuecia de la radiació icidete
Hechos o eplicables co la Teoría odulatoria clásica 1. Depedecia de la eergía ciética de los fotoelectroes co la itesidad de la luz icidete Clásica Eperimeto Los electroes absorbe eergía de forma cotiua. Ua luz más itesa aumeta la eergía ciética de los electroes. La eergía ciética máima de los electroes es idepediete de la itesidad de la luz. 3. Eistecia de ua frecuecia umbral 3. Tiempo trascurrido etre la icidecia de la luz y la emisió de electroes I Itesidad alta Itesidad baja -V o o V Clásica Eperimeto Clásica Eperimeto E cma (ev) Se tedría que producir para cualquier frecuecia lo úico que la radiació tedría que ser lo suficietemete itesa Para ua luz débil, debe trascurrir u tiempo perceptible etre icidecia y emisió, para que el electró alcace la eergía requerida. 4 3 1 Los electroes so emitidos de maera casi istatáea, icluso para itesidades bajas. 0 40 60 80 (10 14 Hz) Alados Arboledas, I.; Liger Pérez, E. (014) Ampliació de Física. La frecuecia umbral es idepediete de la itesidad de la luz usada 100
Efecto fotoeléctrico: Hipótesis de Eistei 1º La eergía radiate está cuatizada e paquetes: fotoes º La eergía del fotó es E=h 3º E el proceso fotoeléctrico u fotó es completamete absorbido por u electró del fotocátodo * Balace de eergía del proceso: h =E c +W W, es la eergía ecesaria para etraer el electró del metal * Eergía ciética máima del fotoelectró:e cma =h -W o W o, es la fució trabajo del metal o trabajo de etracció La teoría de Eistei predice ua relació lieal etre la eergía ciética máima E cma y la frecuecia 4 A partir de la pediete eperimetal de la represetació de E cma frete a, se puede determiar el valor de h valor obteido h = 6.57 10-34 J.s valor actual h = 6.666 10-34 J.s E cma (ev) 3 1 0 o 40 60 80 (10 14 Hz) 100 Alados Arboledas, I.; Liger Pérez, E. (014) Ampliació de Física.
EJEMPLOS Efecto fotoeléctrico 4 Eergía del fotó E = h E cma (ev) 3 1 o Balacedeeergía h =E c +W 0 40 60 80 (10 14 Hz) 100 Eergía ciética máima E cma =h -W o Ejemplo Para romper u elace químico e las moléculas de piel humaa (dado lugar a ua quemadura), se requiere la eergía de u fotó de, aproimadamete, 3,5 ev. A qué logitud de oda correspode? Qué lugar ocupa e el espectro de las odas electromagéticas? DATOS: h= 6 6 10-34 J s; c= 3 10 8 m/s. Ejemplo 3 (a) Calcular la frecuecia e Hertzios, la eergía e julios y e electró-voltios de u fotó de rayos X co ua logitud de oda de,70 Å. (b) Cuál es la logitud de oda de u fotó que tiee tres veces más eergía que otro fotó cuya logitud de oda es 500 m? DATOS: h= 6 6 10-34 J s; c= 3 10 8 m/s. Alados Arboledas, I.; Liger Pérez, E. (014) Ampliació de Física.
Ejemplo 4: El cesio metálico se usa mucho e fotocélulas y e cámaras de televisió ya que tiee la eergía de ioizació más pequeña de todos los elemetos estables. (a) Cuál es la eergía ciética máima de u fotoelectró emitido por el cesio a causa de ua luz de 500 m? (Tégase e cueta que o se emite fotoelectroes si la logitud de oda de la luz utilizada para irradiar la superficie del cesio es mayor de 660 m); (b) Usar la masa e reposo del electró para calcular la velocidad del fotoelectró del apartado (a). DATOS: h= 6 6 10-34 J s; c= 3 10 8 m/s; m e = 9 1 10-31 kg Ejemplo 5 La radiació emitida por electroes que cae de u estado eergético de 30,4 ev a otro de 5,54 ev se utiliza para irradiar u metal y producir efecto fotoeléctrico. Determiar: (a) la logitud de oda y frecuecia de la radiació utilizada; (b) el trabajo de etracció del metal si el potecial de freado medido es de,4 V; (c) la frecuecia umbral para la emisió fotoeléctrica del metal utilizado; (d) el radio de la circuferecia descrita por los electroes emitidos co la eergía ciética máima cuado éstos etra e el seo de u campo magético uiforme de 10 4 G perpedicular al plao de su trayectoria. Ejemplo 6 Ua radiació lumiosa de 000 Å e itesidad 3 mw/m icide sobre u metal de cobre cuya fució trabajo es 1 ev. Calcular (a) el úmero de fotoes por uidad de tiempo y área que llega al metal; (b) la eergía ciética máima de los fotoelectroes emitidos. DATOS: h= 6 6 10-34 J s; c= 3 10 8 m/s Alados Arboledas, I.; Liger Pérez, E. (014) Ampliació de Física.
0º Efecto Compto 1 =0.709Å 45º =0.716Å Resultados obteidos a partir del eperimetos de A. H. Compto (193). Las líeas verticales correspode a los valores de. E el eje y se represeta la itesidad. 90º =0.733Å 135º =0.750Å Alados Arboledas, I.; Liger Pérez, E. (014) Ampliació de Física.
Efecto Compto Fuete de rayos X Haz dispersado Haz icidete Dispersor Cristal Detector Esquema del dispositivo eperimetal Alados Arboledas, I.; Liger Pérez, E. (014) Ampliació de Física.
Eplicació del efecto Compto 1º La radiació se cosidera ua colecció de fotoes co eergía E=h. º Los fotoes colisioa co los electroes libres del blaco dispersor de forma similar a las colisioes que se produce etre bolas de billar. 3º E la colisió el fotó trasfiere parte de su eergía al electró co el que choca. Resultado Ecuació del desplazamieto de Compto h 1 (1cos ) mc o (1cos ) C Logitud de oda Compto C h 0.043 10 mc o 10 m Alados Arboledas, I.; Liger Pérez, E. (014) Ampliació de Física.
EJEMPLO Efecto Compto (1cos ) C Ejemplo 7 U fotó de 400 pm de logitud de oda choca cotra u electró e reposo y rebota e ua direcció que forma u águlo de 150 co la direcció icidete. Calcular la velocidad y la logitud de oda del fotó dispersado. Alados Arboledas, I.; Liger Pérez, E. (014) Ampliació de Física.
Pricipio de De Broglie: Odas de materia Pricipio de De Broglie: Cualquier partícula moviedose co u catidad de movimieto p lleva asociada ua logitud de oda, defiida de la forma: =h/p No sólo la luz, sio e geeral toda la materia, tiee carácter dual. V Haz icidete F D Haz dispersado Elsasser (196) propuso que la aturalezaodulatoriadelamateriase podría comprobar de la misma forma que se había demostrado la de los rayos X: estudiado la dispersió de los electroes cuado icide sobre u sólido cristalio. Davisso y Germer realizaro esta comprobació. C Esquema del dispositivo usado por Davisso y Germer Alados Arboledas, I.; Liger Pérez, E. (014) Ampliació de Física.
(a) Diferetes espectros de difracció b) Espectro de difracció producido por electroes de eergía de 600 ev de =0.050 m sobre ua hoja de alumiio. (b) (c) a) Espectro de difracció producido por rayos X de = 0.071 m sobre blaco formado por ua hoja de alumiio. c) Espectro de difracció producido por eutroes de eergía de 0.0568 ev de = 0.1 m sobre ua hoja de cobre. Coclusió: La materia tiee ua aturaleza dual. Alados Arboledas, I.; Liger Pérez, E. (014) Ampliació de Física.
EJEMPLO Odas de materia Ejemplo 8 Calcular la logitud de oda asociada a ua partícula que se mueve co ua velocidad de 10 6 m/s si dicha partícula es: (a) u electró; (b) u protó; (c) ua bola de 0 kg de masa. DATOS: m e = 9 1 10-31 kg ; m p = 1 65 10-7 kg ; h= 6 6 10-34 J s Alados Arboledas, I.; Liger Pérez, E. (014) Ampliació de Física.
. PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE Euciado 1 del Pricipio de icertidumbre de Heiseberg No puede medirse simultáeamete co toda precisió la posició y el mometo lieal de ua partícula p h 4 : error absoluto de la coordeada (icertidumbre e la posició) p : error absoluto de la coordeada del mometo lieal (icertidumbre del mometo lieal) Euciado del Pricipio de icertidumbre de Heiseberg No puede medirse simultáeamete co toda precisió la eergía que absorbe o emite u átomo y e el istate e que lo hace t h 4 E: error absoluto e la eergía (icertidumbre de la eergía) t : error absoluto e el tiempo (icertidumbre del tiempo) Sólo podemos hablar de la probabilidad de que ua partícula se ecuetre e ua determiada posició co u determiado mometo lieal. Esto coduce a la idea de que la oda que lleva asociada es ua fució de probabilidad La Física Cuática aparece como ua ciecia probabilística Pricipio de complemetariedad de Neils Bohr y dualidad Alados Arboledas, I.; Liger Pérez, E. (014) Ampliació de Física.
EJEMPLO PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE p h 4 Esta icertidumbre es debida a la aturaleza cuática de la materia Ejemplo 9 Los electroes de u haz tiee ua velocidad de (400 ± 5) 10 4 icertidumbre co que se puede coocer la posició? DATOS: m e = 9 1 10-31 kg; h= 6 6 10-34 J s m/s Cuál es la míima Alados Arboledas, I.; Liger Pérez, E. (014) Ampliació de Física.
3. MECÁNICA ONDULATORIA Fució de oda y desidad de probabilidad La relació de De Broglie = h/p, proporcioa la logitud de oda asociada a ua partícula co su catidad de movimieto. La Mecáica Cuática itroduce el uso de la probabilidad para describir el estado de las partículas. El estado de ua partícula se describe por medio de ua fució de oda (,y,z,t). Si se cosidera u volume elemetal dv=d dy dz cetrado e (,y,z). La probabilidad diferecial dp de que la partícula se ecuetre detro del volume dv e u istate dado, está dada por: dp (, y, z) dv (,y,z) represeta la desidad de probabilidad, es decir, la probabilidad por uidad de volume de que la partícula esté e el puto (,y,z) La probabilidad P, de que la partícula se ecuetre e ua regió fiita de volume V será: P V V Si coocemos la fució de oda podemos calcular la desidad de probabilidad de que la partícula esté e u puto. dv Alados Arboledas, I.; Liger Pérez, E. (014) Ampliació de Física.
Ecuació de Schrödiger depediete del tiempo para ua dimesió La hipótesis de De Broglie sobre la dualidad oda-corpúsculo fue el puto de partida de Schrödiger para establecer la llamada mecáica cuática o mecáica odulatoria, que reemplaza a la mecáica clásica de Newto cuado se quiere describir el movimieto de partículas microscópicas. Para ello, E. Schrödiger postuló ua ecuació, ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER. h 8 m d (, t) d U(, t) ih (, t) t U es la fució eergía potecial Ψ (,t) es la fució de oda La solució estacioaria Ψ (,t) = Ψ () e -iωt h 8 m d ( ) d U ( ) ( ) E( ) Ecuació de Schrödiger idepediete del tiempo para ua dimesió d ( ) d 8 m h U( ) ( ) Ecuació de Schrödiger idepediete del tiempo (o estacioaria) para ua dimesió Alados Arboledas, I.; Liger Pérez, E. (014) Ampliació de Física.
Ecuació de Schrödiger idepediete del tiempo para ua dimesió d ( ) d 8 m h U( ) ( ) Ecuació de Schrödiger e el sistema electró-úcleo La ecuació de Schrödiger es ua ecuació diferecial e derivadas parciales. Al itegrar la ecuació sólo se obtiee solucioes matemáticamete aceptables cuado la eergía total del sistema electró-úcleo (es decir, del átomo) toma ciertos valores fijos. La itegració de la ecuació de Schrödiger proporcioa la fució de oda ( como solució de la ecuació y los posibles valores cuatizados de la eergía del átomo. A partir de la fució de oda se puede calcular la probabilidad de ecotrar la partícula Alados Arboledas, I.; Liger Pérez, E. (014) Ampliació de Física.
Ecuació de Schrödiger Ecuació de Schrödiger idepediete del tiempo, aplicada a ua partícula de masa m limitada a moverse sobre el eje e iteractuado co el etoro mediate ua fució de eergía potecial U() y dode E es la eergía total del sistema (partícula y etoro) d ( ) 8 m U( ) ( ) d h h d ( ) U( ) ( ) E ( ) m d Ejemplo 10 Partícula moviédose e el iterior de u pozo de potecial de rectagular y de paredes ifiitas L El tratamieto de la ecuació de Schrödiger coduce a ua eergía cuatizada (igual resultado que e las odas estacioarias) v Ua limitació al movimieto de las partículas cuáticas e u sistema so las codicioes de cotoro, que produce ua cuatizació de la eergía del sistema. Los estados cuáticos so aquellos e los que se cumple las codicioes de cotoro. Alados Arboledas, I.; Liger Pérez, E. (014) Ampliació de Física.
Fució de oda para la partícula 1,,3,... ; ) ( L se L 1 d L se A d L A d L se A L 1 0 L Ase L L y Ase () o ) ( 0 0 U() L U() = < 0 0 0 < < L > L Resolució de la ecuació de Schrödiger para la partícula moviédose e u pozo rectagular e ifiito ) ( ) ( 8 ) ( U h m d d ) ( ) ( 8 E d d m h Detro del pozo, U()=0 Codicioes de cotoro: ()=0 para =0 y =L o k k Ase () Codició de ormalizació de la fució de odas Alados Arboledas, I.; Liger Pérez, E. (014) Ampliació de Física.
U() Fució de oda estacioaria para la partícula detro de ua caja ( ) se ; 1,,3,... L L 0 L Represetació de para = 1, = y = 3 A A 0 X F L A 0 X F3 L 0 X L 0 Represetació de para = 1, = y = 3 0 L 0 L 0 L Alados Arboledas, I.; Liger Pérez, E. (014) Ampliació de Física.
Ejemplo 11 Partícula moviédose e el iterior de u pozo de potecial de rectagular y de paredes fiitas U() U U U() = U < 0 0 0 < < L U > L 0 L Segú las Física clásica si las partículas tiee E < U o puede ecotrarse fuera de la regió del pozo. La partículas cuáticas (comportamieto odulatorio) preseta ua probabilidad medible ecotrarse fuera del pozo. Eiste cierta probabilidad de peetració de la partícula e las paredes Alados Arboledas, I.; Liger Pérez, E. (014) Ampliació de Física.
Ejemplo 1 Partícula moviédose y que ecuetra ua barrera de potecial de altura fiita Efecto túel 0 < 0 U() = U 0 < < L 0 > L La probabilidad o ula de ecotrar la partícula al otro lado de la barrera de deomia efecto túel Aplicacioes positivas y efectos egativos Alados Arboledas, I.; Liger Pérez, E. (014) Ampliació de Física.