SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER PARA EL OSCILADOR ARMÓNICO: OPERADORES DE CREACIÓN Y ANIQUILACIÓN DE ESTADOS Se l ecución de Schrödinger del oscildor rmónico: d 1 + kx = E (1 m dx L solución de est ecución, o lo que es lo mismo, l obtención de l función de ond correspondiente, se logr medinte el método de seprción de vribles. Pr ello es preciso crer dos términos nuevos: 1 E m λ = = ω x ω k donde ω = m Sustituendo ls nuevs vribles, l ecución de Schrödinger (1 qued como: d = λ ( que es l correspondiente l estdo cu energí se represent por λ. 1 Reservdos todos los derechos de reproducción. Luis A. Montero Cbrer, Universidd de L Hbn, Cub, 003.
Sen ls ecuciones: d d d 1 = + d d d + 1 = + los nuevos operdores: d + d + con los que ls ecuciones (3 (4 se pueden escribir: d + = ( + 1 (3 (4 d + = ( 1 Como el término de l izquierd es equivlente l de l ecución de Schrödinger (, entonces, por simple sustitución qued que l mism puede ser escrit en culquier de ls forms: + + = ( λ + 1 = ( λ 1 (5 (6 donde (λ es l función de ond del estdo de energí λ. Reservdos todos los derechos de reproducción. Luis A. Montero Cbrer, Universidd de L Hbn, Cub, 003.
Esto quiere decir que l plicción del operdor - l imgen + (λ tiene el vlor propio de l energí del estdo inferior (λ+1 contrrimente l plicción del operdor + sobre l imgen - (λ tiene como vlor propio l energí del estdo superior (λ-1. L conmuttividd de estos operdores puede conocerse restndo (6 de (5: + + ( = lo que es válido pr culquier función de ond, por lo que el conmutdor es, obvimente: + + + [, ] = = (7 Qued clro que + - no tienen ls misms funciones propis. Aplicndo - en mbos ldos de l ecución (6, qued: + = ( λ 1 (8 teniendo en cuent que (7 se puede expresr como: + + = se sustitue en el primer término de (8 se reorden, quedndo: + ( = ( λ 3 ( Como l ecución de Schrödinger (6 en términos del estdo con l energí λ- se podrí escribir tmbién como: + = ( λ 3 (9 se not que - (λ es equivlente o, por lo menos, proporcionl (λ-. Por lo tnto, l función de ond que describe el estdo cu energí es λ- puede ser generd por el operdor d ( + l ser plicdo l función del estdo cu energí es λ. Reservdos todos los derechos de reproducción. Luis A. Montero Cbrer, Universidd de L Hbn, Cub, 003.
A prtir de lo nterior se dice que el operdor d + es de reducción de estdos o de niquilción. Recíprocmente, de dice que el operdor + d es de generción de estdos o de creción. En el cso prticulr del oscildor rmónico no se puede repetir l operción de niquilción indefinidmente sobre ls funciones de ond de sus diversos estdos porque el mismo no puede tener energís negtivs. Esto implic l existenci de un vlor mínimo positivo de λ llmdo λ min de form que: min = 0 (10 Si se plic + mbos ldos de (10, qued tmbién: + ( λmin = 0 usndo l ecución de Schrödinger (6, qued hce que: ( λ min + ( λmin ( λmin = ( λ 1 = 0 como no puede ser cero, entonces: λ min = 1 Como se vio en (9, ls funciones de ond corresponden estdos cus energís en términos de λ vrín con diferencis de (como λ - 4, λ - 6, etc., por lo que según ls restricciones que hemos ido encontrndo nteriormente se puede concluir que: λ = 1,3,5,... que se puede proponer un número cuántico vibrcionl v, tl que: Entonces: λ = υ + 1 pr v=0,1,,... ( λmin = υ= 0 = 0 Reservdos todos los derechos de reproducción. Luis A. Montero Cbrer, Universidd de L Hbn, Cub, 003.
Si se sustitue el vlor de λ en términos del número cuántico v en su definición con respecto l energí qued que: E ω = (υ + 1 = ( υ + 1 ω lo que implic que: 1. Aunque los estdos están cuntizdos ls diferencis de energí entre ellos son equivlentes entre si, pues siempre E ν+1 E ν = ћω. Como l constnte de fuerz determin el vlor de ω k cundo l mism es pequeñ o tiende cero, los estdos se seprn cd vez menos se v perdiendo l cuntizción, psndo un contínuo, o lo que es lo mismo, un prtícul no cuntizd. Usndo el operdor de creción + puede generrse culquier estdo correspondiente los números cuánticos v. Así, si pr generr el primer estdo excitdo de v = 1: + 1 = N1 0 sucesivmente: + υ υ = Nυ ( 0 donde N v es l constnte de normlizción. Reservdos todos los derechos de reproducción. Luis A. Montero Cbrer, Universidd de L Hbn, Cub, 003.
Pr finlmente resolver l ecución de Schrödinger encontrr l form funcionl de 0 tenemos que recordr que no existe ningún estdo de menor energí por lo que no se puede niquilr con -, entonces: d 0 = + 0 = 0 d 0 = 0 cu solución es l función gussin: 0 = N0e Si se plic sucesivmente el operdor de creción +, entonces: 1 = N1 e = N( 4 e lo que d lugr un regulridd de polinomios denomind como polinomios de Hermite, ddos por H 0 = 1, H 1 =, H = 4 -, H 3 = 8 3-1, etc. Así l solución generl del oscildor rmónico es: donde υ = Nυ Hυ ( m = ω e 1 x Reservdos todos los derechos de reproducción. Luis A. Montero Cbrer, Universidd de L Hbn, Cub, 003.