3 3.5. Identiddes notles Un identidd es un iguldd lgeric que es ciert pr vlores culesquier de ls letrs que intervienen. 37. Es l iguldd 3x 7x x 9x un identidd? 40. Determin si lgun de ls siguientes igulddes es un identidd sustituyendo ls vriles por l menos tres vlores distintos. ) x x 5x x ) x 1 x c) x x 3 x 1 x 3 Con un identidd estmos representndo l mism informción pero de dos forms prentemente distints. Ls mtemátics trjn menudo con tres identiddes que se llmn identiddes notles y que son ls siguientes: 1ª Identidd: Cudrdo de un sum: ª Identidd: Cudrdo de un diferenci: 3ª Identidd: Sum por diferenci:
33 x 5y ; Ests identiddes se utilizn pr hllr el cudrdo de un inomio como este: es decir, no tienen por qué ser A. 1ª Identidd o. x 5y 38. Clcul est potenci: Si utilizmos l 1ª identidd notle, se hce sí: x 5y x x 5 y 5 y Definición El cudrdo de un sum es igul l cudrdo del primer término, más el dole producto del primero por el segundo, más el cudrdo del segundo. x 5y 39. Utiliz l primer iguldd pr clculr est potenci:
34 41. Utiliz l primer identidd notle pr hllr ests potencis. ) x 3 x 1 ) 3x x c) B. ª Identidd x 5y 40. Clcul est potenci:. Si utilizmos l ª identidd notle, se hce sí: x 5y x 5y x x 5y 5 y Definición El cudrdo de un diferenci es igul l cudrdo del primer término, más el dole producto del primero por el segundo, más el cudrdo del segundo.
35 x 5y 41. Utiliz l primer iguldd pr clculr est potenci: 4. Utiliz l primer y l segund identidd notle pr hllr ests potencis. ) x 3 x 1 ) 3x x c) y 3 5 x d) C. 3ª Identidd 4. Clcul este producto: x 5y x 5y Si utilizmos l 3ª identidd notle, se hce sí: x 5y x 5y x 5 y
36 Definición Un sum por un diferenci es igul l cudrdo del primer término, menos el cudrdo del segundo. 43. Utiliz l tercer identidd pr clculr este producto: x 5y x 5y 43. Utiliz ls identiddes notles pr hllr ests potencis y productos. x 3 x 3 ) ) xy 3z xy 3z x 1 c) 3yx tx d) D. Trnsformción de sums en productos o potencis Si leemos ls identiddes notles de derech izquierd ls podemos utilizr pr trnsformr sums en productos o potencis. Así: 1ª Identidd: Cudrdo de un sum: ª Identidd: Cudrdo de un diferenci: 3ª Identidd: Sum por diferenci: Pr relizr este proceso se siguen estos psos: ) Se colocn ls sums, o ls diferencis, de l mism form que en ls identiddes notles. ) Se identificn los dos cudrdos. c) Se comprue el término centrl en el cso de ls dos primers.
37 44. Trnsform est sum 1xy 9x 4y en un potenci. Como no tenemos ningun diferenci, se trt de l primer identidd notle. ) Colocmos los términos en su orden correspondiente, sí: ) Identificmos los cudrdos: 9x 3x ; 4y y 9x 1xy 4y c) Compromos que el término centrl es correcto: 3xy 1xy Así podemos concluir que l sum se convierte en potenci sí: 1xy 9x 4y 3x y Oservción Los prtdos ) y ) siempre se pueden escriir, en cmio el prtdo c) no siempre se verific, en este cso se dice que no se pueden escriir l sum, o l diferenci, como un potenci o un producto. 44. Utiliz ls identiddes notles pr escriir ests sums como potencis. ) 9 6x x ) 4 5t 49z 70tz c) 4xy x y 45. Trnsform est sum 1xy 9x 4y en un potenci.
38 Oservción Los términos l cudrdo siempre tienen que ser positivos. 45. Utiliz ls identiddes notles pr escriir ests sums como potencis. ) 16 8x x ) 4 4t 5z 40tz c) 4xy x 4y 46. Trnsform est diferenci 9x 4y en un producto. Como solo tenemos un diferenci de dos términos, se trt de l tercer identidd notle. ) Colocmos los términos en su orden correspondiente, sí: ) Identificmos los cudrdos: 9x 3x ; 4y y 9x 4y Por tnto, l diferenci se convierte en un producto sí: 9x 4y y 3x y 3x Oservción En este cso no es necesri l tercer condición y por tnto siempre se puede escriir como un producto. 46. Utiliz ls identiddes notles pr escriir ests sums como potencis. ) 16 x ) 4 9x 5z c) x 4y
39 s 47. Aplic ls identiddes notles pr desrrollr los siguientes cudrdos: ) x 5 x 3 ) 3 4 c) 7t 48. Efectú los siguientes productos, plicndo l tercer identidd notle: ) x x ) 5 x y 5x y x x c) 3 3 49. Expres en form de producto o potencis, según correspond: ) 4x 5 0x x ) x 1 4 9 c) y 4 1 d) 49t 7t 4 50. Simplific ls siguientes expresiones: ) 4x 5 0x ) x x x 4
40 c) 3x 1 3x 1 d) x 5 x 50 e) x 1 x x 1