MODULO SOBRE PROGRAMACION MATLAB

7 MODULO SOBRE PROGRAMACION MATLAB Fracisco Muñoz Paba MSc. 7 VARIABLES CON SUBINDICES Y ARREGLOS OBJETIVOS Al termiar este módulo el estudiate estará e codicioes de: Crear maualmete u arreglo o matriz e secuecia. Eter la maipulació y otació de matrices. Determiar el tamaño, logitud y dimesió de ua matriz. Idetificar u elemeto de u arreglo o matriz Utilizar variables co subidices que so elemetos de u arreglo. Defiir y distiguir arreglos de ua dimesió y dos dimesioes de u archivo. Geerar valores de arreglos de ua dimesió co la proposició for. Utilizar etrada/salida de arreglos de ua dimesió co las proposicioes iput y fpritf co formato dirigido usado el ciclo for. Utilizar etrada/salida de arreglos de dos dimesioes co las proposicioes iput y fpritf co formato dirigido usado el ciclo for aidado. INTRODUCCIÓN E el módulo 6 se aaliza los descriptores de edició: descriptores de edició de datos, descriptores de edició de cotrol y descriptores de edició de cadea de caracteres para la salida/etrada de valores eteros, reales y complejos. Este módulo describe los arreglos, como se defie e MATLAB y explica la maera de expresar y aplicar las proposicioes que se utiliza e los arreglos. Co frecuecia es ecesario trabajar co catidades uméricas que so elemetos de u grupo asociado llamado arreglo y de acuerdo co su forma tambié se les puede llamar matrices o vectores. U arreglo o matríz es ua familia de elemetos o catidades, relacioados, todos asigados al mismo ombre de variable, cada elemeto se idetifica por u subidice diferete. U subídice es el orde de los elemetos e u arreglo. Las variables que so elemetos de u arreglo se cooce como variables co subidices. Las variables si subidices se defie como variables secillas. Cosidérese u programa para resolver tres ecuacioes simultáeas co tres icogitas, X, Y y Z. Se implica tres coeficietes distitos de X, tres coeficietes diferetes de Y, tres coeficietes distitos de Z y tres diferetes costates (sumas): 2.0X +.0Y + 4.0Z 4.0X +.0Y + 2.0Z X + Y + Z = 15.0 = 49.0 = 41.0 Uiversidad del Atlático-Facultad de Igeiería 1

A cada coeficiete y a cada suma podría asigársele u distito ombre de variable secilla: AX + BY + CZ = R DX + EY + FZ = S GX + HY + PZ = T Cuado se tiee muchos ombres de variables(12 e este caso) puede requerirse de ivetiva, de recordar y de cotar. Es posible reducir e forma sigificativa el úmero de proposicioes e el programa y muchas de las tareas de recordar y cotar puede pasarse del programador a la computadora si los tres coeficietes de cada ua de las icogitas X, Y y Z so elemetos de maera respectiva, de tres arreglos, A, B y C y las tres sumas so miembros de u cuarto arreglo, SUM: AX + BY + CZ = SUM 1 2 1 A X + BY + C Z = SUM 2 AX + BY + C Z = SUM 1 2 1 2 Los ueve coeficietes tambié puede asigarse al ombre de u solo arreglo, como C(por coeficiete), co ueve elemetos: C C C 1,1 2,1,1 X + C X + C X + C 1,2 2,2,2 Y + C Y + C 1, Y + C 2,, Z = SUM 1 Z = SUM Z = SUM 2 El primer subidice de cada elemeto de C se refiere a la ecuació (fila), primera,seguda o tercera; el segudo subídice especifica la icógita(columa), la primera(x), la seguda(y) o la tercera(z), SUM, co u subídice, es u arreglo de ua dimesió, C, co dos subídices, es u arreglo de dos dimesioes. A través del coocimieto del uso de variables co subidice el programador puede escribir programas de relativa brevedad que aprovecha todas las vetajas de las capacidades de la computadora para procesar e forma eficiete grades catidades de datos uméricos. ARREGLOS Los arreglos e MATLAB puede ser de ua a siete dimesioes,lo que sigifica que ua variable co subidice que es u elemeto de ese arreglo trá de uo a siete subídices, respectivamete. Cada elemeto de u arreglo es u escalar. El aálisis e éste módulo se limita a arreglos de ua y dos dimesioes, co variables de uo y dos subídices, respectivamete. ARREGLOS DE UNA DIMENSIÓN U arreglo de ua dimesió se escribe e otació X 1 X 2 X... X Dode los úmeros pequeños 1, 2,,..,, impresos u poco debajo de la líea, so los subídices. A causa de que la forma de subídice o está dispoible como parte del cojuto de caracteres MATLAB, debe utilizarse otros símbolos. E MATLAB el subídice se idetifica ecerrádolo e parétesis. El caso aterior, escrito co variables co subídices MATLAB, es: Uiversidad del Atlático-Facultad de Igeiería 2

X ( 1) X (2) X () X (4) K KX ( N) La variable X(N) es ua variable real co subídice de ua dimesió co u subídice, N. E úico subídice e u arreglo de ua dimesió específica la posició de u elemeto e el arreglo. Por ejemplo, X() es el tercer elemeto;x(4) es el cuarto y X(N) es el eésimo elemeto e el arrglo X de N elemetos reales. ARREGLO DE DOS DIMENSIONES. U arreglo bidimesioal se expresa e otació matemática como: L 1,1 2,1,1 j,1 LL 1,2 2,2,2 j,2 1, 2,, LL j, 1,4 2,4,4 j,4 1, k L L L 2, k, k L El mismo arreglo expresado e MATLAB es: Columa Fila 1 2 4 K 1 N(1,1) N(1,2) N(1,) N(1,4)... N(1,K) 2 N(2,1) N(2,2) N(2,) N(2,4)... N(2,K) N(,1) N(,2) N(,) N(,4)... N(,K).............................. J N(J,1) N(J,2) N(J,) N(J,4)... N(J,K) La variable N(J,K) es ua variable co subídices etera, de dos dimesioes co dos subídices, J y K. El primer subídice especifica la fila y el segudo subídice la columa. Por ejemplo,el elemeto N(2,) se localiza e la seguda fila, tercera columa del arreglo etero bidimesioal N(J,K). REGLAS PARA VARIABLES CON SUBINDICES 1. Ua variable co subídice puede ser etera o real. A causa de que cada elemeto del arreglo se asiga al mismo ombre de la variable(arreglo). Es obvio que o puede haber modos mezclados etre los elemetos del arreglo. Todos los compoetes de u arreglo particular so eteros o reales, como lo especifica el idicador de la primera letra del ombre del arreglo. Las reglas que gobiera los ombres de variables secillas tambié se aplica a todos los ombres de variables co subídice. 2. Los subídices sigue al ombre de la variable y se ecierra e parétesis.. Los dubídices dobles se separa por ua coma. 4. Los subídices debe ser valores eteros positivos diferetes de cero. U subídice puede ser ua costate, ua variable o ua expresió etera (Tabla 7.1). 5. A las variables co subídices se les debe u valor etero ates de utilizarlas e ua proposició ejecutable. Obsérvese que los subídices cuyos valores se asiga como resultado del cáculo o de ua iteracó o sea cero o egativos o mayor que el tamaño del arreglo especificado. L j, k Uiversidad del Atlático-Facultad de Igeiería

Tabla 7.1 FORMAS PERMITIDAS DE SUBÍNDICES Variables co subídice Subídice Arreglo A(5) Costate etera Arreglo A(N) Variable etera Arreglo A(N+5) o (N-5) Variable más ua costate o ua variable meos ua costate. Arreglo A(5*N) Costate por ua variable. Arreglo A(5*N+) o (5*N-) Costate por ua variable más ua costate o ua costate por ua variable meos ua costate. Las combiacioes descritas e la Tabla 7.1 represeta las formas de subídices que e geeral so aceptadas por muchos compiladores MATLAB. El arreglo A es u arreglo real de ua dimesió(u subídice) dode el valor mayor del subídice es N. Si N=5 el arreglo o cotiee más de cico variables reales co subídices(elemetos), estos so: A = [A(1) A(2) A() A(4) A(5)] El arreglo B es u arreglo real bidimesioal (dos subídices) dode el valor máximo del primer subídice es, el valor mayor del segudo subídice es 5 y el arreglo o icluye más de 15 (x5) valores(elemetos) ordeados e filas y 5 columas: B(1,1) B(1,2) B(1,) B(1,4) B(1,5) B= B(2,1) B(2,2) B(2,) B(2,4) B(2,5) Arreglo de x 5 B(,1) B(,2) B(,) B(,4) B(,5) El arreglo N es u arreglo etero de dos dimesioes(dos subídices) dode el valor máximo del primer subídice es 5, el valor mayor del segudo subídice es 4 y el arreglo o cotiee más de 20(5x4) variables eteras co subídice clasificadas e 5 filas y 4 columas: N(1,1) N(1,2) N(1,) N(1,4) N= N(2,1) N(2,2) N(2,) N(2,4) Arreglo de x4 N(,1) N(,2) N(,) N(,4) CREANDO UN VECTOR FILA Hay muchos formas para crear variables de vectores e fila. La forma más directa es colocar los valores requeridos etre corchetes, separados por espacios o comas. Por ejemplo, ambas proposicioes de asigació crea el mismo vector A: >> A=[1 2 4] A= 1 2 4 >> A=[1,2,,4] A= 1 2 4 Uiversidad del Atlático-Facultad de Igeiería 4

EL CARÁCTER DOS PUNTOS Y LA FUNCIÓN LINSPACE E el ejemplo aterior,se puede utilizar el operador dos putos (:) para iterar a través de estos valores. Por ejemplo, >> A=[1:4] A = 1 2 4 Los corchetes o so ecesarios para defiir el vector. Co el carácter dos putos (:), u valor de paso puede tambié especificarse co otros dos putos, de la forma (iicio:valor de paso:fial). Por ejemplo, para crear u vector co todos los eteros de 1 a 9 co valor de paso de 2: >> B=1:2:9 B = 1 5 7 9 De igual forma, la fució lispace crea u vector liealmete espaciado; lispace(x,y,) crea u vector co valores e u rago iclusive desde x hasta y. Por ejemplo, para crear u vector co cico valores liealmete espaciados etre y 15, icluyo el y el 15: >> v = lispace(,15,5) v = 6 9 12 15 EL CARÁCTER PUNTO Y COMA. Co el carácter puto y coma (;) los elemetos de ua variable co subídice de arreglo uidimesioal, separados por puto y coma, crea vectores columas, Por ejemplo, el vector v del ejemplo aterior, se puede covertir e vector columa: >> v =[;6;9;12;15] v = 6 9 12 15 MATLAB tiee otra forma más rápida para covertir los elemetos filas a elemetos columas de arreglos uidimesioales o bidimesioales, utilizado el carácter apóstrofo ( ' ) : >> v=[ 6 9 12 15]' v = 6 9 Uiversidad del Atlático-Facultad de Igeiería 5

12 15 U elemeto particular e u vector es accedido usado el ombre de la variable del vector y el úmero(subídice) del elemeto e parétesis. Por ejemplo, v() correspode al elemeto 9: >> v() as = 9 El siguiete ejemplo es ua matríz B de x, co sus elemetos filas separados por puto y coma (;). Escriba e la líea de comado de MATLAB: >> B=[1 2 ;4 5 6;7 8 9] B = 1 2 4 5 6 7 8 9 Para covertir los elemetos filas a elemetos columas, de éste arreglo bidimesioal, se coloca u apóstrofo ( ' ) al fial del corchete : >> B=[1 2 ;4 5 6;7 8 9]' La salida es B = 1 4 7 2 5 8 6 9 Los siguietes diagramas muestra, de izquierda a derecha, u escalar, u vector columa, u vector fila y ua matríz 7 4 6 8 5 10 12 7 9 12 11 14 18 5 20 15 TABLA 7.2 DOS PUNTOS (:) USADO EN UNA MATRÍZ Arreglo Descripció A(:,) Se refiere a todos los elemetos de la fila de ua columa de la matríz A. A(,:) Se refiere a los elemetos de todas las columas de la fila de la matríz A. A(:,m:) Se refiere a los elemetos de toda la fila etre columas m y de la matríz A. A(m:,:) Se refiere a los elemetos e todas las columas etre las filas m y de A. A(m:,p:q) Se refiere a los elemetos e las filas m hasta y las columas p hasta q de A. A(:) Lista todos los elemetos de A e secuecia ordeada e columa. Por ejemplo, si se tiee ua matríz M =[7 9 12; 11 14 18;5 20 15] y se quiere trabajar co la columa de elemetos 9 14 y 20 de la matríz M. Escriba e la líea de comado de MATLAB: Uiversidad del Atlático-Facultad de Igeiería 6

>> M2=M(:,2) M2 = 9 14 20 EJEMPLO 7.1 GENERACIÓN DE VALORES DE ARREGLOS CON CICLOS for El siguiete programa muestra la forma de defiir u arreglo real uidimesioal de cico elemetos y como se asiga valores uméricos a cada elemeto del arreglo llamado : A= [0.5 1.0 1.5 2.0 2.5] clear all clc X=0; for N=1:5 X=X+0.5; A(N)=X; if N > 5 disp([a]) A = 0.5000 1.0000 1.5000 2.0000 2.5000 Para utilizar datos de u arreglo, sólo tiee que usar el subídice del elemeto de el arreglo que desea trabajar. Los valore asigados e otació matemática so: A(1) = 0.5 A(2) = 1.0 A() = 1.5 A(4) = 2.0 A(5) =2.5 Si e el programa aterior, cambia la proposició disp por la proposició fpritf, dada a cotiuació, se obtiee los valores del arreglo A, co sus respectivos subídices: >> fpritf('a(1)=%2.1f A(2)=%2.1f A()=%2.1f A(4)=%2.1f A(5)=%2.1f \',A) A(1)=0.5 A(2)=1.0 A()=1.5 A(4)=2.0 A(5)=2.5 El carácter corchete [ ] puede usarse para otorgar los cico valores, e orde, a los cico elemetos de la variable A co subídice: >> A=[0.5 1.0 1.5 2.0 2.5] A = 0.5000 1.0000 1.5000 2.0000 2.5000 Uiversidad del Atlático-Facultad de Igeiería 7

EJEMPLO 7.2 GENERACIÓN DE VALORES DE ARREGLOS CON CICLOS for aidados. Dado que los valores asigados a las 48 variables co subídice e este arreglo aumeta por icremetos uiformes de 1 a 48, tato los valores del arreglo como el ídice etero puede geerarse aidado e el programa ciclos for implícitos como sigue: clear all,clc N=0; for J=1:6 for L=1:8 N=N+1; K(J,L)=N; KCUAD(J,L)=K(J,L)^2; disp(ʹ ESTE ES EL ARREGLO K ʹ ) disp([k]) disp(ʹ ESTE ES EL ARREGLO KCUAD ʹ ) disp([kcuad]) ESTE ES EL ARREGLO K 1 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2 24 25 26 27 28 29 0 1 2 4 5 6 7 8 9 40 41 42 4 44 45 46 47 48 ESTE ES EL ARREGLO KCUAD 1 4 9 16 25 6 49 64 81 100 121 144 169 196 225 256 289 24 61 400 441 484 529 576 625 676 729 784 841 900 961 1024 1089 1156 1225 1296 169 1444 1521 1600 1681 1764 1849 196 2025 2116 2209 204 EJEMPLO 7. GENERACIÓN DE VALORES DE ARREGLOS CON CICLOS for aidados. Geere el siguiete arreglo de A de 4x5, usado u ciclo for aidado: 1 2 4 5 A = 2 4 6 8 10 6 9 12 15 4 8 12 16 20 El siguiete programa geera la matríz A de 4x5: clear all,clc % A=[1 2 4 5;2 4 6 8 10; 6 9 12 15;4 8 12 16 20]; s=0; for J=1:5 for I=1:4 A(I,J)=I*J; A Uiversidad del Atlático-Facultad de Igeiería 8

A = 1 2 4 5 2 4 6 8 10 6 9 12 15 4 8 12 16 20 EJEMPLO 7.4 GENERACIÓN DE VALORES DE ARREGLOS CON CICLOS for Se desea almacear solamete la porció iferior triagular de la matríz A e u arreglo uidimesioal B: 1 2 4 1 A = 2 4 6 8 B = 2 4 6 9 12 6 9 4 8 12 16 4 8 12 16 El siguiete programa geera el arreglo B de ua dimesió: clear all clc K=1; for J=1:4 for I=J:4 B(K)=I*J; K=K+1; B B = 1 2 4 4 6 8 9 12 16 EJEMPLO 7.5 MATRÍZ TRASPUESTA DE A. Sea la matriz A = [2 1; 4;7 0], determie la traspuesta de A mediate u programa usado MATLAB. clear all clc A=[2 1; 4;7 0]; for I=1: for J=1:2 B(J,I)=A(I,J); B B = 2 7 1 4 0 EJEMPLO 7.6 GENERACIÓN DE UNA MATRÍZ TRASPUESTA DE A DE X El siguiete programa geera los valores de A= [1 2 ;2 4 6; 6 9] y halla la traspuesta de A: Uiversidad del Atlático-Facultad de Igeiería 9

clear all clc for J=1: for I=1: A(I,J)=I*J; disp(ʹ Esta es la matriz A ʹ) A for i=1: for j=1: B(j,i)=A(i,j); disp(ʹ Esta es la matriz traspuesta de A ʹ ) B Esta es la matriz A A = 1 2 2 4 6 6 9 Esta es la matriz traspuesta de A B = 1 2 2 4 6 6 9 Para trabajar co estos elemetos del arreglo e forma uidimesioal, escriba e la líea de comado de MATLAB: >> A=A(:) A = 1 2 2 4 6 6 9 LOCALIZACION ESPACIAL PARA ARREGLOS BIDIMENSIONALES MATLAB almacea u arreglo bidimesioal como ua secuecia cotiúa lieal de celdas. Ua celda es u elemeto de u arreglo de cualquier dimesió. E los ejemplos, se usa costates eteras, pero e geeral cada subídice puede formarse de ua expresió escalar, es decir, cualquier expresió aritmética cuyo valor es del tipo escalar. Cada subídice debe estar detro de los ragos correspodietes defiidos e la declaració del arreglo y el úmero del subídice debe ser igual al rago. Por ejemplo, el siguiete Uiversidad del Atlático-Facultad de Igeiería 10

diagrama muestra la localizació espacial de u arreglo b de 5x4 y el orde e que se realiza los cálculos e el arreglo: EJEMPLO 7.7 SALIDA DE DATOS CON ENCABEZADOS DE COLUMNAS. Escriba y ejecute u programa que lea cuatro úmeros reales A,B,C,D y u úmero etero J de datos sumiistrados e forma de arreglos uidimesioales. Depio del valor de J el programa debe ejecutar alguo de los siguietes cálculos: Si J=1 X= A + B + C + D Si J=2 X= (A + B + C + D)/4 Si J= X= (A + B)/(C + D) Si J=4 X= A/B + C/D Si J=5 X= A/B - C/D Imprima todos los datos iiciales y los valores de X co ecabezados adecuados. Cosidere u escape e el programa si J es mayor que 5. El programa debe termiar cuado se lea el último valor. Use los siguietes datos de prueba: J A B C D 1 1.0 2.0.0 4.0 2 5.6 2.0 10.4 4.0-10.0.5 5. 6. 4 27.8 8. 45.75-41.02 5.68 21.46 1.21 14.6 El siguiete es el programa codificado e MATLAB: clear all clc A=[1 5.6-10.5 27.8.68]ʹ; B=[2.0 2.0.5 8. 21.46]ʹ; C=[.0 10.4 25.2 45.75 1.21]ʹ; D=[4.0 4.0 6. -41.02 14.6]ʹ; JJ=[1 2 4 5]ʹ; disp(ʹ J A B C D Xʹ ) for J=1:5 if J==1 X(J)=A(J)+B(J)+C(J)+D(J); if J==2 X(J)=(A(J)+B(J)+C(J)+D(J))/4; if J== Uiversidad del Atlático-Facultad de Igeiería 11

X(J)=(A(J)+B(J))/(C(J)+D(J)); if J==4 X(J)=A(J)/B(J)+C(J)/D(J); if J==5 X(J)=A(J)/B(J)- C(J)/D(J); if J>5 break disp([jj A B C D X(:)]) J A B C D X 1.0000 1.0000 2.0000.0000 4.0000 10.0000 2.0000 5.6000 2.0000 10.4000 4.0000 5.5000.0000-10.5000.5000 25.2000 6.000-0.2222 4.0000 27.8000 8.00 45.7500-41.0200-0.900 5.0000.6800 21.4600 1.2100 14.600 0.6495 EJEMPLO 7.8 USO DE LISTA DE VALORES E este ejemplo se cálcula las vetas brutas de u vedor que ve u cierto úmero de cada uo de cada cico articulos. Dode P represeta la lista de precios, C el úmero de articulos, S el precio total de las vetas y CP la veta bruta de cada uo de los articulos: El siguiete programa realiza los calculos: clear all,clc P=[1.2 2.15 0.65 4.0 2.00]; C=[5 0 2 2]; S=0; for I=1:5 S= S + C(I)*P(I); CP=C(:).*P(:); CP fpritf(ʹprecio total=%.f\ʹ,s) CP = 6.0000 6.4500 0 8.6000 4.0000 Precio total=25.050 Uiversidad del Atlático-Facultad de Igeiería 12

EJEMPLO 7.9 GENERACIÓN DEL PRODUCTO DE DOS MATRICES A y B El siguiete programa geera las matrices A y B y cálcula el producto A*B: 1 2 1 2 4 A= 2 4 6 B= 2 4 6 8 6 9 6 9 12 La multiplicació realizada maualmete es : C(:,1)=[1*1+2*2+*;1*2+2*4+*6;1*+2*6+*9] C(:,2)=[1*2+2*4+*6;2*2+4*4+6*6;*2+6*4+9*6] C(:,)=[1*+2*6+*9;2*+4*6+6*9;*+6*6+9*9] C(:,4)=[1*4+2*8+*12;2*4+4*8+6*12;*4+6*8+9*12] Dode C(:,1),C(:,2),C(:,) y C(:,4) so los valores de las filas de las columas 1, 2, y 4. El siguiete programa realiza los calculos hechos ateriormete: % Este programa calcula la operació % por matrices de C=A*B clear all clc for i=1: for j=1: A(i,j)=i*j; A; for I=1: for J=1:4 B(I,J)=I*J; B; %CALCULO DEL PRODUCTO A*B for I=1: for J=1:4 sum=0; for K=1: sum= sum+a(i,k)*b(k,j); C(I,J)=sum; C C = 14 28 42 56 28 56 84 112 42 84 126 168 La multiplicació de dos matrices es solamete posible, cuado el úmero de columas de la primera matríz es igual al úmero de filas de la seguda matríz. El resultado de la matríz tiee el mismo úmero de filas como la primera matríz y el mismo úmero de columas como la seguda matríz. Observe que de acuerdo a su defiició, la multiplicació de matrices o es commutativa: A*B B*A. Uiversidad del Atlático-Facultad de Igeiería 1

Además de las listas, MATLAB tambié permite tablas,que so arreglos bidimesioales. Se puede cosiderar que las listas so catidades co u solo subídice y las tablas como catidades co doble subídice. Las tablas so llamadas por letras solas, igual que las listas, así que ua letra dada puede represetar ua lista o ua tabla, pero o las dos e el mismo programa. EJEMPLO 7.10 USO DE TABLAS DE VALORES E este programa, tomamos los datos del ejemplo 7.8, añadimos la estadistica de vetas por articulos así como por vedor. Se elabora ua tabla de datos de vetas C, dode las filas correspode a los vedores y las columas a los articulos. clear all,clc P=[1.20 2.15 0.65 4. 2.0]; C=[5 0 2 2;7 1 12 1 5; 6 6 8]; for I=1: S=0; S1=0; for J=1:5 S=S + C(I,J)*P(J); S1= S1 + C(I,J); fpritf('\') fpritf('vedor %2i\',I) fpritf('número de articulos =%i\',s1) fpritf('precio total =%.f\',s) fpritf('\\') for j=1:5 S=0; for i=1: S= S + C(i,j); Vb=S*P(j); fpritf('\') fpritf('articulo %i %i \',j,s) fpritf('vetas brutas=%.f\',vb) Vedor 1 Número de articulos= 12 Precio total =25.050 Vedor 2 Número de articulos= 26 Precio total =2.650 Vedor Número de articulos= 26 Precio total =55.750 Articulo 1 15 Vetas brutas=18.000 Uiversidad del Atlático-Facultad de Igeiería 14

Articulo 2 7 Vetas brutas=15.050 Articulo 18 Vetas brutas=11.700 Articulo 4 9 Vetas brutas=8.700 Articulo 5 15 Vetas brutas=0.000 EJEMPLO 7.10 INTERES COMPUESTO Uiversidad del Atlático-Facultad de Igeiería 15

Libro: MATLAB A practical Itroductio to programmig ad problem solvig Uiversidad del Atlático-Facultad de Igeiería 16