Matemátca Fnancera Aplcada a Proyectos Juan Ramro Guerrero Jrón Unversdad Técnca de Machala
Matemátca Fnancera Aplcada a Proyectos
Ing. César Quezada Abad, MBA Rector Ing. Amarls Borja Herrera, Mg. Sc. Vcerrectora Académca Soc. Ramro Ordóñez Morejón, Mg. Sc. Vcerrector Admnstratvo COORDINACIÓN EDITORIAL VICERRECTORADO ACADÉMICO Tomás Fontanes-Ruz, PhD. Investgador Becaro Prometeo-Utmach Asesor Del Programa De Rengenería Ing. Karna Lozano Zambrano Coordnadora Edtoral Ing. Jorge Maza Córdova, Ms. Ing. Cynd Agular Equpo de Publcacones
Matemátca Fnancera Aplcada a Proyectos Juan Ramro Guerrero Jrón Unversdad Técnca de Machala 2015
Dedcatora Este lbro es dedcado a m famla y a toda clase de lectores que se, nteresan en el conocmento, tambén para aquellos que están supedtados en su trabajo empresaral y fnancero en las empresas. Y a todas las personas y organzacones, que ayudaron en la produccón del lbro, quen fue realzado con ntelgenca colectva, dándole valor agregado en ben de la comundad. [7]
Agradecmento Al fnalzar un trabajo tan arduo y lleno de dfcultades es nevtable la pletesía, como parte del mérto en el aporte a la academa e nvestgacón. Sn embargo, el análss objetvo te muestra nmedatamente que la magntud de ese valor agregado hubese sdo mposble sn la partcpacón de profesores y estudantes, agradezco sus valosas sugerencas e mportantes comentaros para esta prmera edcón. A la Unversdad Técnca de Machala que me ha brndado las facldades para que este trabajo llegue a un felz térmno. Por ello, es para mí un verdadero placer utlzar este espaco para ser justo y consecuente con ellas, expresándoles ms agradecmentos. [9]
Prmera edcón 2015 ISBN: 978-9978-316-21-4 D.R. 2015, unversdad técnca de machala Edcones utmach Km. 5 1/2 Vía Machala Pasaje www.utmachala.edu.ec Este texto ha sdo sometdo a un proceso de evaluacón por pares externos con base en la normatva edtoral de la utmach. Portada: Concepto edtoral: Jorge Maza Córdova Dseño: Lus Nera Samanego (Est. de U.A.C. Empresarales) Dseño, montaje y produccón edtoral: UTMACH Impreso y hecho en Ecuador Prnted and made n Ecuador Advertenca: Se prohíbe la reproduccón, el regstro o la transmsón parcal o total de esta obra por cualquer sstema de recuperacón de nformacón, sea mecánco, fotoquímco, electrónco, magnétco, electroóptco, por fotocopa o cualquer otro, exstente o por exstr, sn el permso prevo por escrto del ttular de los derechos correspondentes.
Índce Introduccón... 15 Conceptos ntroductoros sobre la matemátca fnacera... 17 Juan Ramro Guerrero Jrón Análss del despeje de fórmulas fnanceras... 17 Símbolos utlzados en las matemátcas fnanceras... 18 Interés smple: conceptos generales... 18 Formas o tpos de nterés... 20 Problemas... 23 Conversón del nterés... 28 Juego matemátco... 29 Ejerccos... 30 Interés compuesto y anualdades... 33 Javer Alejandro Bermeo Pacheco Conceptos generales: anualdades en el ámbto de negocos... 33 Anualdad antcpada... 34 Anualdad vencda... 36 Anualdad dferda... 38 Problemas de tasa nomnal y efectva... 39 Conversón de las tasas nomnales, efectvas y vceversa... 39 [11]
Conocmento de procesos y conceptos... 40 Interés smple e nterés compuesto... 44 Ejerccos de nterés smple e nterés compuesto... 44 Fondos de admnstracón: generaldades de la amortzacón... 49 Jorge Lus González Sánchez Carlos Bolívar Sarmento Chugcho Fórmulas y problemas de amortzacón... 49 Fórmulas de amortzacón... 50 Ejercco de aplcacón de amortzacón... 50 Flujo de caja, tasa nterna de retornos... 63 Eduardo Vnco Pulla Carrón Bblografía... 73
Prólogo Desde el punto de vsta cogntvo, analzamos a la matemátca fnancera en los proyectos como matera de análss, podemos comenzar con un breve crtero de su mportanca en el momento de decdr y evaluar proyectos. La matemátca fnancera se nscrbe dentro del campo de las cencas exactas, cuyo estudo es un requsto dentro del pensum con Eje Currcular para la formacón de profesonales en la Undad Académca de Cencas Empresarales y otras carreras del contexto. La matemátca fnancera aplcada a los proyectos es fundamental en el medo fnancero y bursátl, pudéndose consderar como base para el posteror estudo de asgnaturas, que por sus característcas requere el conocmento de conceptos y procedmentos para el manejo del dnero. Sendo de naturaleza teórco-práctca, tene como propósto el que los estudantes se adestren en la aplcacón de cálculos fnanceros para facltar la toma de decsones en las empresas de las que formen parte posterormente. Por las característcas de la msma, el enfoque de su enseñanza tene, en general, dos vertentes, una lógco-formal, otra técnco-nstrumental práctca. No obstante, se pretende compatblzar el rgor centífco con el análss práctco de las operacones fnanceras en su sentdo más amplo. Para el desarrollo lógco-formal se requere del dscente el conocmento de certos aspectos que sn ser abstractos, deben, sn embargo, apoyarse en axomas, teoremas y leyes cuya construccón formal defne para su desarrollo una métrca y una lógca propa, pero que deben tener por objeto la realdad de los fenómenos fnanceros. No obstante, y sn pérdda de rgor centífco se le ofrece al estudante y docente la posbldad [13]
de que desarrolle su capacdad de pensar, de analzar las operacones fnanceras, de construr o deducr el modelo matemátco-fnancero (aspectos técnco-nstrumentales) que se deben aplcar y a resolver los casos práctcos utlzando el modelo matemátco elegdo o deducdo. La fnaldad es apropar conocmentos e nstrumentos en la profesonalzacón del estudante, para que conozcan la mportanca de los conceptos fnanceros elementales y usarlos en el mundo de los negocos, conocendo los esquemas de cálculo de los valores fnanceros en el contexto. Al analzar estos procesos fnanceros aplcados a los proyectos nos permtra generar una dnámca de las transaccones fnanceras aplcada a los proyectos entre partes, mplca el acuerdo o entendmento entre una persona, de exstenca jurídca o físca. Al fnalzar el estudo de este lbro, los dscentes estarán en condcones de reconocer, tanto operacones smples como complejas, reconocer la estructura formal de las Varables Fnanceras en el Mercado Bancaro, poder defnr los alcances del empleo de dstntos tpos de tasas, anualdades, deprecacones, realzar cálculos relatvos a las formas y métodos de amortzacón de captales exstentes en el mercado, adqurr nocones de cálculo de las tr y van y reconocer los elementos fundamentales al momento de Evaluar Proyectos de Inversón.
Introduccón La matemátca fnancera juega un papel muy mportante dentro del ámbto socal-fnancero. Esta tene como objetvo fundamental el estudo y análss de todas aquellas operacones y planteamentos que conssten en encontrar modelos matemátcos que permtan descrbr y comprender esos ntercambos de captales en dferentes momentos de tempo. Por ello, a través del presente lbro se expone una recoplacón de los temas que son fundamentales para emprender un aprendzaje teórco-práctco en la matemátca fnancera. Para los profesonales que ncluyen esta área en su formacón este texto es de mucha sgnfcanca porque establece un nexo con el mundo de los negoco, y en les ayuda a relaconarse con temas que mantenen extrarelacón con el desarrollo de proyectos de nversón. [15]
Conceptos ntroductoros sobre la matemátca fnancera Juan Ramro Guerrero Jrón La matemátca fnancera centra su ámbto de nterés en el valor del dnero (Díaz y Agulera 2010), en el que ntervenen varos factores a través del tempo y que se encuentra afectado por varas causas: El resgo es una posbldad cuando se nverte o se presta dnero, dado que no se tene una certeza de recuperar el dnero nvertdo o prestado. La nflacón, esta permte que el dnero pueda llegar a desvalorzarse. La oportundad que tendría el dueño de nvertrlo en otra clase de negoco o en otra accón económca, protegéndolo de la nflacón Es decr que en las varables económcas, el tema de la nflacón mpde que lo que se nverte hoy en la compra de vvenda, sea lo msmo que se nverta en el futuro, dado que la cantdad de benes o cosas que se pueden adqurr el día de hoy con certa cantdad de dnero, no pueden ser adqurdos por la msma cantdad dentro de un año. Es así, que se puede afrmar que el nterés smple se entende como la gananca o benefco que se obtene de la venta o nversón en el captal fnancero, lo cual no hace parte del captal (Díaz y Agulera 2010). Análss del despeje de fórmulas fnanceras En prmer lugar es necesaro tener claro los sguentes conceptos, sgnos y formular para emprender este análss. Las matemátcas fnancera son un conjunto de análss e nterpretacones de dferentes conversones entre los pagos, el tempo (perodos) y la tasa de nterés, que nos permte regular, ordenar un monto real de una deuda o un pago (Hernández, 2010). [17]
18 Juan Ramro Guerrero Jrón Para ello, se ha acordado el uso de las sguentes sglas prncpales (Hernández, 2010): n Perodos a Pagos Tasa de Interés Así como una sere de pasos para realzar un ejercco fnancero, en la que se debe determnar coherentemente una conversón precsa (Hernández, 2010). 1.- Datos 2.- Gráfco 3.- Aplcacón de la Formula 4.- Razonamento Lógco 5.- Conclusón En cuanto a las formas de calcular el nterés y los pagos, se tenen en cuenta los sguentes factores (Díaz y Agulera 2010): - Convertble porcentualmente. - Determnar el nterés compuesto, lo permte realzar con precsón la tasa y el nterés smple. Símbolos utlzados en las matemátcas fnanceras El conjunto de símbolos en este tpo de análss reúne los sguentes (Hernández, 2010): % E.F. Prescón Secuenca o Perdda Gananca Tempo o Grafcacón Porcentaje de Factores de Partes Iguales Ecuacones Fnanceras Interés smple: conceptos generales Para poder desarrollar los prncpales problemas en relacón con el nterés smple y el nterés compuesto es necesaro tener claras las formulas fnanceras de (Hernández, 2010):
Conceptos ntroductoros sobre la matemátca fnancera 19 Interés: es el rédto que se paga por el uso de dnero, para el cual exsten dos tpos (Hernández, 2010): -Interés smple. -Interés compuesto. El nterés smple se da cuando se cobra o se paga al fnal de cada perodo y el nterés compuesto, cuando se ncorpora al captal al fnal de cada perodo. La fórmula para calcular el nterés smple es: IC..t Donde el nterés smple I se produce por el captal que es drectamente proporconal al captal nca C, a la tasa de nterés y al tempo t. El nterés smple puede ser ordnaro, exacto y dcestro (Hernández, 2010). El nterés ordnaro se calcula en funcón de la base de un año 360 días. El nterés exacto se calcula en funcón de un año 365 días y el nterés dcestro se calcula en funcón de 366 días (Hernández, 2010). Entendendo que el captal es la cantdad que se presta, la cantdad que va a ganar o pagar nterés, la fórmula para calcularlo es la sguente: C I I.T Y entendo que la tasa de nterés es la que se cobra por el uso del captal, que prmero representa la tasa de nterés y que está expresada en quncenas, meses, bmestres, trmestres, semestres, años, la fórmula para calcularla en la sguente (Hernández, 2010): C I C.T El tempo, por su parte, permte calcular el perodo de prestacón del captal que está expresado medante las conversones anterores. La fórmula para calcular el tempo es: t I C. En la gráfca 1 se representan el dagrama del tempo que se debe consderar en este tpo de análss, con base en el valor presente, la fecha ncal y el valor ncal (ver gráfca 1):
20 Juan Ramro Guerrero Jrón Gráfca 1. Dagrama del tempo Fuente: Juan Guerrero Jrón Pagos 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1 1999 1 1 Tempo 1 Fe<h Fnl 2005 Futuro "''º"'º Con base en este, y para encontrar el monto, se aplca la sguente fórmula (Hernández, 2010): M C. Por su parte, la fórmula para calcular el monto y el captal es (Hernández, 2010): M C(1+.t) Y la fórmula para calcular el valor presente de una cantdad que se debe pagar a futuro es (Hernández, 2010): M C ( +1.t) Formas o tpos de nterés En las transaccones que abarcan un perodo largo de tempo, el nterés puede ser manejado de dos maneras (Díaz y Agulera 2010): A ntervalos establecdos, el nterés vencdo se paga medante cheques o cupones. El captal que produce los ntereses permanece sn cambo durante el plazo de la transaccón. En este caso, estamos tratando el nterés smple. A ntervalos establecdos, el nterés vencdo es agregado al captal (por ejemplo a una cuenta de ahorros). En este caso, se dce que el nterés es captalzado o convertble y en consecuenca tambén gana nterés. El captal aumenta peródcamente, el nterés convertble en captal aumenta peródcamente y el nterés convertble en captal tambén aumenta peródcamente durante el perodo de la transaccón. La suma vencda al fnal de la transac-
Conceptos ntroductoros sobre la matemátca fnancera 21 cón es conocda como: monto compuesto. A la dferenca entre el monto compuesto y el captal orgnal se lo conoce como: nterés compuesto (Díaz y Agulera 2010). A a (1+ ) -n -1) (1+ ) S a (1 + (1+ )-n + (1+ ) c Mc - c McC(1+t) n Mc C 1 + t # perodos (n) # perodos Donde: n Sgnfca tempo, perodos, que puede ser en años, semestres, trmestres, bmestres, meses y quncenas, y lo más mportante es convertr a n perodos a como está el pago y el nterés. a Se puede expresar en pagos, deudas, renta, ahorros, depóstos, y debe r convertdo como está el nterés y como esta n perodos. sgnfca tasa de nterés que debe estar convertdo, con el pago y n perodos. S sgnfca acumulacón, monto, regular cuotas fnales, lo que se desea saber a futuro. A sgnfca valor actual, valor presente, captal que uno desea saber retrospectvamente, mentras que para el monto es prevsoramente. Ejemplo (ver gráfca 2): 1) El señor Porras vende un carro en $4000, para 4 años y las cuotas son de $80 mensuales, acuerdan un nterés por cada cuota del 8%. Cuáles son los ntereses acumulados? Cuál es el captal neto? Cuál es el monto fnal del señor Porras?
22 Juan Ramro Guerrero Jrón Datos n 4 años x 12 meses 48 meses a 80 mensuales 0.08 C? m? Gráfca 2. Representacón de ejercco Fuente: Juan Guerrero Jrón 80 so so 80 38~0 1 1 1 1 18585.60 2 3 4 El razonamento lógco es este ejercco es: s el Sr. Porras vende un carro para 4 años, multplcaremos por 12 meses y obtendremos 48 meses, ya que el recbrá los pagos $ 80 mensuales los cuales multplcaremos por los 48 meses para obtener el captal. Obtenemos el nterés con su respectva fórmula, luego calculamos el monto y, por últmo, el captal y nos cuenta que obtenemos el msmo resultado anteror. Para comprobar, utlzamos la fórmula de nterés compuesto. Aplcacón de la fórmula a) 80 (cuota) x 48 (meses) 3840 (Captal) Captal b) I C..t I 3840 X 0.08 X 48 I 14745.60 c) M C+ M 3840 + 14754.60 M 18585.60 M d) C 1 + I + t 18585,60 C 1 + 0.08 x 48 18585,60 C 4.84 C 3840
e) c M - C c 18585.60-3840 c 14745,60 Conceptos ntroductoros sobre la matemátca fnancera 23 Conclusón: el señor Porras, durante los 4 años, obtuvo un nterés de $ 14745.60, su captal fue de $3840 y el monto fnal de $18585.60 Problemas a) Karla obtene un préstamo de $ 600, acordando pagar el captal con nterés del 3% convertble semestralmente Cuánto debe al fnal de 4 años? (ver gráfca 3). Datos M? C 600 0.03 t 4x2 8 Gráfca 3. Representacón del problema a) 600. 123~5678 1 1 1 1 1 1 1 1... 760 06... Fuente: Juan Guerrero Jrón El razonamento lógco es el sguente: s la señorta Karla obtene un préstamo a 4 años al 3% semestralmente tendrá a futuro $760.06. Aplcacón de la fórmula M C (1+ ) n 8 M 600 (1+ 0.03) M 600 (1.03) 8 M 760.06-600 M 160.06
24 Juan Ramro Guerrero Jrón Conclusón: al fnalzar el perodo de un captal ncal de $ 600, tuvo que pagar $160.06 de dferenca. b) En 1948 el señor Guerrero obtuvo un préstamo al Banco de Machala de $ 2000 al 5% convertble trmestralmente Cuánto debía en 1960? (ver gráfca 4). Datos M? C 2000 0.05 t 12 x 4 48 Gráfca 4. Representacón del problema b) 2000 20802.5-t t9~s.....-.---------..1960..... -- Fuente: Juan Guerrero Jrón El razonamento lógco es el sguente: s el señor Guerrero obtuvo un préstamo al 5% trmestralmente durante 12 años, multplcando por los 4 perodos, deberá pagar el monto de $ 20802.54. Aplcacón de la fórmula M C (1 + ) n 48 M 2000 ( 1 + 0.05) M 2000 (1.05) 48 M 20802.54 2000 M 18802.54 Conclusón: al fnalzar el perodo de un captal ncal de $2000, tuvo que pagar la dferenca de $18802.54 c) Del msmo ejercco anteror, 6 años después el señor Guerrero abró una cuenta de ahorro en el banco del Pchncha con $2500 ganando de nterés al 6% convertble semestralmente Cuánto había en la cuenta 10 años después? (ver gráfca 5).
Datos M? C 2500 0.06 t 10 x 2 20 Conceptos ntroductoros sobre la matemátca fnancera 25 Gráfca 5. Representacón del ejercco c) 2500--------.. 8017 83 Fuente: Juan Guerrero Jrón 6 allos El razonamento lógco es el sguente: el señor Guerrero abre una cuenta con un captal de $2500 con el 6% nterés semestral al transcurrr 10 años multplcados por los 2 semestres al año obtenemos un captal de $8017.83 Aplcacón de la fórmula M C (1 + ) n 20 M 2500 (1 + 0.06) M 2500 (1.06) 20 M 8017.83 2500 M 5571.84 Conclusón: el señor Guerrero con captal ncal de $2500, menos el monto de 8017.83, obtuvo una dferenca de $5517.84. d) Del msmo ejercco anteror, el señor Guerrero, 8 años después vene ahorrando $1000 y ganando el 4% de nterés semestralmente Cuánto había en la cuenta después de 5 años, ya que el nterés aumentó al 6% en forma semestral? (ver gráfca 6). Datos M? C 1000 0.04 0.06 t 8 x 216 5 x 210
26 Juan Ramro Guerrero Jrón Gráfca 6. Representacón del ejercco d) Fuente: Juan Guerrero Jrón El razonamento lógco es el sguente: el señor Guerrero, en 8 años al 4% semestral con captal de $1000, obtuvo un monto de $1872.98. Pero, luego de 5 años al 6% semestral, obtuvo un monto fnal de $3354.22. Aplcacón de la fórmula M C (1 + ) n 16 M 1000 (1 + 0.04 ) M 1000 (1.04) 16 M 1872.98 M 1872.98 (1 + 0.06) 10 10 M 1872.98 (1.06) M 3354.22 + 1872.98 M 5227.20 Conclusón: el señor Guerrero, en su cuenta de ahorro, tuvo de monto total $5227.20, menos el captal ncal $1000, fue de $4.227.20. e) El señor Guerrero adquere una deuda de $10.000 para pagar en 10 años y la señorta Anta decde cobrarle el 8% de nterés mensual Cuál será el monto fnal que tene que pagar el señor Guerrero? (ver gráfca 7). Datos M? C 10.000 0,08 t 10 años 10 años x 12 meses 120 Gráfca 7. Representacón del ejercco e) Fuente: Juan Guerrero Jrón Pagos 100 100 100 100 100 s 500 Años
Aplcacón de la fórmula M C (1 + x t ) M 10000 ( 1 + 0.,008 x 120 ) M 10000 ( 10,6 ) M 106.000 Conceptos ntroductoros sobre la matemátca fnancera 27 El razonamento lógco es el sguente: s el señor Guerrero adquere una deuda de $ 10.000, debemos de multplcarlo a la suma de 1 más la tasa de nterés del 8% y el tempo que son 10 años, con lo cual obtendremos el monto fnal. Conclusón: el señor Guerrero, dentro de 10 años, deberá pagar un monto de $ 106.000. f) La señorta Prsclla decde ahorrar $ 100 para casarse y decde proyectarse en 5 años. Cuánto verdaderamente ahorrará Prsclla? (ver gráfca 8). Datos M.S.? C 100 t 5 años Gráfca 8. Representacón del ejercco f) Pagos 100 100 100 100 100 s 500 Años Fuente: Juan Guerrero Jrón Aplcacón de la fórmula M.S C x t M.S 100 x 5 M.S 500 El razonamento lógco es el sguente: s la señorta Prsclla ahorra $100 anuales, debemos multplcarlo por los 5 años para obtener el monto que ha ahorrado. Conclusón: la señorta Prsclla, en el transcurso de 5 años, ahorrará $500
28 Juan Ramro Guerrero Jrón Conversón del nterés Esto sgnfca relaconar el nterés, el pago y el tempo, y se realza medante la sguente fórmula: (1+c) (1+) Pagos mensuales 7,8% bmestral 6 (1+0,078) 12 (1,078) 2 1,162 6 (1+) 6 (1+) 1+ 1,162-1 0,162 Bmestral Nota: la palabra convertble y captalzable sgnfca dvsón. a) Pagos semestrales 7,8% Quncenal (1+c) (1+0,078) 24 24 (1+0.00325) 12 1,0397 a (1+) (1+) 2 ( 1 + ) 1 + 1,0397-1 0,0397 semestral
Conceptos ntroductoros sobre la matemátca fnancera 29 b) Pagos Trmestral 8% Semestral Juego matemátco (1+c) 0,08 (1+ ) 2 24 1,08 1,0392 a (1+) 4 (1+) 4 ( 1+ ) 1 + 1,0392-1 0,0392 Trmestral Para aplcar los conceptos y fórmulas expuestas, se propone el juego matemátco de la fgura 1: Fgura 1. Tabla mágca para el juego matemátco L LI LII IV 1 3 5 7 9 11 13 15 2 11 6 15 10 3 14 7 4 5 6 7 14 15 12 13 8 9 10 11 12 13 14 15 Fuente: Juan Guerrero Jrón La tabla de conversón de la fgura 2, contene nformacón complementara (ver fgura 2). Fgura 1. Tabla mágca para el juego matemátco Descrpcón Anual Quncenas Bmestres Trmestres Semestres Mensual Anual Efectvo Anual Convertble Captalzable % Valor Anual 24 6 4 2 12 1 0 Conversón 1 Fuente: Juan Guerrero Jrón
30 Juan Ramro Guerrero Jrón Ejerccos Ejercco 1. Pagos quncenales 23% anual efectvo (1+ c) a (1+ ) 24 4 (1+ 0,23) (1+) 24 24 1,08 ( 1+ ) 1,0086 1 + 1,0086-1 0,0086 Quncenales Pagos mensuales 24% anual covertble a (1+c) (1+) 12 (1+0,24) 24 4 12 (1+ ) 12 3 1,08 ( 1+ ) 1,0196 1 + 1,0196-1 0,0196 mensuales
Conceptos ntroductoros sobre la matemátca fnancera 31 Pagos bmestral 26 % c mensual a (1+c) (1+) 6 0,26 (1+ ) 12 12 6 (1+) 6 2 (1,216) ( 1+ ) 1,0436 1 + 1,0436-1 0,0436 Bmestral Ejercco 2. Pagos mensuales 18 % Anual convertble mensual a (1+c) (1+) 12 0,18 (1+ ) 12 12 12 (1+) 12 1,015 ( 1+ ) 1,015-1 0,015 Mensuales
32 Juan Ramro Guerrero Jrón Pagos bmestrales 10 % Anual Captalzable quncenal a (1+c) (1+) 6 0,10 (1+ ) 24 24 6 (1+) 6 4 (1 + 0.00416) ( 1+ ) 1,0167 1 + 1,0167-1 0,0167 Bmestral Pagos semestrales 3% semestral (1+ c) (1+ 0,03) 1,03 1,0148 a (1+ ) (1+) ( 1+ ) 1 + 1,0148-1 0,0148
Interés compuesto y anualdades Javer Alejandro Bermeo Pacheco En este capítulo se muestran las clases de anualdad exstentes, el nterés compuesto y el nterés smple (Díaz y Agulera, 2010). Para poder comprender las bases teórcas de este capítulo, se acompaña de ejemplos, tablas fnanceras y ejerccos aplcados a los conceptos de este apartado. Tambén se desarrollan dferentes casos, utlzando tablas de amortzacón. a) El nterés compuesto puede darse de dos maneras (Díaz y Agulera, 2010): I. A ntervalos establecdos, el nterés vencdo o nterés a plazo II. A ntervalos establecdos, pero con un nterés vencdo agregado al captal, es decr, el nterés es captalzable o convertble. b) La conversón del nterés, el pago y el perodo se realza con condcones: anualdades y amortzacones, y srve para relaconar el pago, la tasa de nterés y el período. Conceptos generales: anualdades en el ámbto de negocos Las anualdades se aplcan en los negocos para determnar los ntereses exactos, el pago y el tempo; el cual ayuda tanto al comprador como al vendedor a ajustar su captal, monto; medante el archvo de documentos y una formula en sstema (Hernández, 2010). [33]
34 Javer Alejandro Bermeo Pacheco...Referenca... C T (1 + (1+ )n Las anualdades en el mercado global, local e nternaconal son ndspensables para mnmzar un proceso de transaccón en negocos; las anualdades se las debe utlzar medante un programa fnancero para determnar con exacttud los valores que se detallan en la anualdad (Hernández, 2010). La comprensón y análss de las anualdades depende del reconocmento de categorías como anualdad antcpada, anualdad vencda y anualdad dferda (Hernández, 2010). Anualdad antcpada Esta se refere a los pagos que una persona o empresa realza en forma ncal como valores antcpados de una deuda. Esta anualdad permte saber realmente cuanto se tene que pagar un captal en forma nmedata. Cuando el perodo de un pago concde con el de la captalzacón de los ntereses, se realza la conversón (Hernández, 2010). Ejemplo de anualdad antcpada El tercero bachllerato E adquere una deuda para pagar medante $1.000 bmestrales durante 10 años, con la tasa de nterés del 15% captalzable mensualmente, y decde hacer el prmer pago en el qunto año. Cuál será el valor de la deuda el día de hoy? (ver gráfca 9). Datos A? a1000 bmestral (1ros años) n10 años60 bmestral 15% c.mensual
Interés compuesto y anualdades 35 Coversón: a bmestral 0.15 c. mensual 1,025156 1,0086 ( 1+ ) ( 1+ ) 1,025156-1 0,025156 Bmestral Gráfca 9. Representacón del ejercco anualdad antcpada Fuente: Juan Guerrero Jrón - 11111'\; 1 11 11'\; 1 1 1 ~ 3~ 5 ~- 18293031 59 60 B~ffSTRAL Aplcacón de la fórmula A a (1 - (1+ ) -n A 1000 (1 - (1 + 0.025156)-n 0.025156 A 1000 (30.7991) (2.0554588) A 30.799,11 (2.0554588) A 63.306,30
36 Javer Alejandro Bermeo Pacheco El razonamento lógco es el sguente: el valor de la deuda el día de hoy con $1.000 de pagos bmestrales, y con un perodo dferdo, es un total de $63.306,30. Anualdad vencda Es aquella que se conoce como una anualdad ordnara y se trata de casos en la que los pagos se efectúan a su vencmento, es decr al fnal de cada perodo (Hernández, 2010). Ejercco de anualdad vencda Calcular el valor de contado de una propedad vencda en las sguentes condcones: $20,000 de contado; $1,000 por mensualdades vencdas durante 2 años y 6 meses y el últmo pago de $ 2,500 un mes después de pagada la últma mensualdad. Para el cálculo de esta operacón se debe utlzar el 9% captalzable semestralmente (ver gráfca 10). Datos A 20,000 c/mes 1,000 n 2 años 6 meses 30 meses 9% bmestral A? Coversón: a mensual 0,09 bmestral (1+c) (1+) 0,09 (1+ ) 6 6 12 (1+) 6 6 1.015 ( 1+ ) 1,007 1 + 1,007-1 0,007 mensual
Grafca 10. Representacón del ejercco de anualdad vencda Interés compuesto y anualdades 37 soo 20,000...;F--+-+-'\ r-+"-+'--e 116A!5 11 o Fuente: Juan Guerrero Jrón El razonamento lógco es el sguente: s la propedad en 30 meses (2 años 6 meses), pagando $1000 mensuales al 0.007 obtene un valor de $26,974.65; pero con el últmo mes (31 meses), calculando con los $2,500, nos da un valor de $ 69.450.46. Luego, para obtener el valor de contado, sumamos los $20,000 de contado con los valores (2) anterormente obtendos. Aplcacón de la fórmula A a (1 - (1+ ) -n 30 meses A 10.000 (1 - (1 + 0.007) -30 0.007 A 10,000 (26.9746) A 26,974.65 31 meses A 2500 (1 - (1 + 0.007) -31 0.007 A 2500 ( 27.780 ) A 69,450.46 VC 20,000 + 26,974.65 + 69,450.46 VC 116,425.11 Conclusón: la propedad tene un valor presente de $116,425.11.
38 Javer Alejandro Bermeo Pacheco Anualdad dferda Es aquella anualdad en la que se dstngue en dferr los pagos, es decr compra ahora y paga después (Hernández, 2010). En la anualdad dferda se debe tomar en cuenta un perodo antes de la prmera cuota o pago. Ejercco de anualdad dferda Encuentre el valor actual de un conjunto de pagos de $5000 semestrales que debe pagarse en 6 años consecutvos, s el prmer pago debe efectuarse dentro de 3 años y la tasa de nterés es del 8% captalzable bmestralmente (ver gráfca 11). Datos A 5000 semestral. N 6 años 12 semestres I 8% cap.bmestral A? Coversón: a mensual 0,08 bmestral (1+c) (1+) 2 (1+ 0,08 ) 6 2 (1+) 2 6 3 (1.0133) ( 1+ ) 1,04053 1 + 1,04053-1 0,04053 semestral Gráfca 11. Representacón del ejercco de anualdad dferda Fuente: Juan Guerrero Jrón I 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 I 1 ~ 3 J 5 6-8 9 10 JI 12 SE.\[ESTRES
Interés compuesto y anualdades 39 Aplcacón de la fórmula A a (1 - (1+ ) -n A 500 (1 - (1 + 0.007) -12 0.04053 A 5000 (9.35628) (1.219756) A 46.781,39 (1.219756) A 57.061,88 Problemas de tasa nomnal y efectva Por tasa nomnal se entende toda operacón fnancera en la cual se pacta una tasa de nterés anual, que dura desde el nco hasta el fnal de dcha operacón (Díaz y Agulera, 2010). Por otro lado, la tasa efectva a aquella que se calcula para perodos defndos y que puede cubrr perodos ntermedos (Díaz y Agulera, 2010). Conversón de tasas nomnales, efectvas y vceversa La exposcón de esta categoría se hará con base en el sguente problema: La señorta Vanesa solcta un préstamo de $5000 al Banco de Machala, el msmo que le cobra un nterés del 8% mensual para 4 años y, después de 3 años, el Banco le otorga otro préstamo por $2000 al 9 % de nterés en forma mensual. Cuánto tene que pagar Vanesa en su totaldad del préstamo? (ver gráfca 12). Datos M? c 5000 ~ 2000 0.08 ~ 0.09 mensual t 4 años ~ 3 años 4x12 48m ~ 3x1236m
40 Javer Alejandro Bermeo Pacheco Gráfca 12. Representacón del ejercco de conversón de tasa nomnal Fuente: Juan Guerrero Jrón 8000 2000 8000 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 7 s 9 10 11 12 A~OS El razonamento lógco es el sguente: s la señorta Vanesa obtene un préstamo de $5000 al 8% mensual, multplcamos los 4 años por 12 (meses) obtenendo $201.052.87; luego con $2000 al 9% mensual (multplcado de gual manera) obtenemos $44.502,45; dándonos un monto de $245.555,32. Aplcacón de la fórmula M C (1 +.t) M 5000 (1 + 0.08) 48 M 2000 (1 + 0.09) 36 M 5000 (40,21057) M 2000 (22,2512) M 201.052,87 M 44.502,45M 18.728.504 + 57.250.350 78.978.854 Conclusón: la señorta Vanesa tene que pagar en totaldad un préstamo de $245.555,32. Conocmento de procesos y conceptos Para estas categorías, se propone resolver las sguentes conversones del pago con el nterés. a trmestral 12% anual cap. bmestral 24 ( 1 + 0,15) 12 12 24 (1+) 24 1+ 0.0125 (1+) 1,00623 1 + 1,00623-1 0,00623 Quncenal
Interés compuesto y anualdades 41 Conocmento de proceso Escrbr las fórmulas de valor presente y monto de anualdades A a S a (1 - (1+ ) -n (1+ )-n - 1 Valor presente Monto Comprensón de conceptos Escrbr las sguentes fórmulas para encontrar: - El captal C I I.t - El monto M C. - El tempo t - La tasa de nterés I C. I C.t Ejercco 1. Conocmentos de procesos y conceptos La señorta. Vanesa solcta un préstamo de $8000 al Banco del Pacfco, el msmo que le cobra un nterés del 13% mensual para 10 años, y después de 2 años el Banco le otorga otro préstamo por $2000 al 15% de nterés en forma mensual. Cuánto tene que pagar Vanesa en su totaldad del préstamo? (ver gráfca 13). Datos M? c 8000 ~ 2000 0.15 ~ 0.15 mensual t 10 años ~ 2 años Gráfca 13. Representacón del ejercco 1, conocmento de procesos y conceptos Fuente: Juan Guerrero Jrón SOCIO :?000 SOCIO' 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 ~ s 6 7 s 9 10 11 12 A~OS
42 Javer Alejandro Bermeo Pacheco El razonamento lógco es el sguente: s Vanesa solcta un préstamo de $8000 al 13% m. para 10 años x 12m. nos da 120m. y un valor de $18728504; pero en 2 años x 12m24m. al 15% m. con $200, nos da un valor de $57250350 tenendo en totaldad $78.978.854. Aplcacón de la fórmula M C ( 1 + 1) n 120 M 8000 (1 + 0.13) M 8000 (2341.063) M 18.728.504 M 2000 (1 + 0.15) M 2000 (28,625) M 57250350 24 18.728.504 + 57.250.350 78.978.854 Conclusón: la señorta Vanesa tene que pagar del préstamo la totaldad de $18.728,504. Conocmentos de procesos (1+c) (1+) 6 12 (1 + 0,02) 6 2 12 (1+) 12 1.01 ( 1+ ) 1,00166 1 + 1,00166-1 0,00166 mensual (1+c) (1+) (1 + 0,15) 24 12 12 (1+) 12 24 (1.00625) ( 1+ ) 1,025235 1 + 1,025235-1 0,025235 bmestral
Interés compuesto y anualdades 43 Ejercco 2. Conocmentos de procesos y conceptos Maranela tene un préstamo vencdo de $4200 mensuales vencdos durante 2 años al contado $1800 y el últmo pago de $ 300 un mes después de haber pagado la últma mensualdad, sendo al 5% conv. semestral (ver gráfca 14). Datos a 1.800 c/m 200 n 2 años (24 semestral) 5% cap.semestral A? Conversón a trmestral 0,11 cap. semestral 1.00412 (1 + ) 1 + 1.00412-1 0.00412-1 mensual Grafca 14. Representacón del ejercco 2, conocmento de procesos y conceptos Fuente: Juan Guerrero Jrón ~rrn- \ ~ 1,1415161 J J 9 V 1 J~l~J ~4 ~!ESES Aplcacón de la fórmula A a n 1 - (1 + ) A a n 1 - (1 + ) -24-25 1 - (1 + 0.00412) 1 - (1 + 0.00412) A 200 A 300 0.00412 0.00412 A 200 (22.8069) A 300 (23.70925) A 4.561,38 A 7.112,78 V.P 1.800 + 4.561,38 + 7.112,78 % P 13.474,16
44 Javer Alejandro Bermeo Pacheco El razonamento lógco es el sguente: Maranela tene un préstamo vencdo de $ 13.474,16. Interés smple e nterés compuesto El nterés smple se refere a la cantdad que se paga por usar dnero ajeno o por dejar el propo dnero en manos de terceros (bancos) a través de depostar dnero en cuentas de ahorro (Díaz y Agulera, 2010). A su vez, es necesaro aclarar que bajo esta modaldad de nterés el captal gana ntereses por el tempo que dure una transaccón, pues el nterés es el costo por hacer uso del dnero que sea solctado por préstamo o por el monto que se obtene por nversón de un captal. Por otro lado, el nterés compuesto hace referenca al nterés que se transforma en captal durante cada perodo de conversón (Díaz Agulera, 2010). Los ntereses que se van generando en este tpo de nterés, se adconan al captal en perodos de tempo preestablecdos, en esa medda el captal es nconstante a través del tempo. Ejerccos de nterés smple e nterés compuesto Ejercco 1. Calcular el valor presente de contado de una propedad vencda a 15 años de plazo con pagos de $ 3000 mensuales, por antcpado. S la tasa de nterés es del 12% convertble quncenalmente, cuál será el valor de contado? (ver gráfca 15). Datos A? 12% conv.qunc. a 3000 mensual n 15 años (180 meses)
Interés compuesto y anualdades 45 Conversón pagos mensuales 9% cap. bmestral (1+c) (1+) 0,12 24 12 12 1+ (1+) 12 24 2 (1.005) ( 1+ ) 1,010025 1 + 1,010025-1 0,010025 Mensual Grafca 15. Representacón del ejercco 1, nterés smple e nterés compuesto Fuente: Juan Guerrero Jrón '. S- -~ ~ ~ ~ ~ ~. ~... Mem05... mw Aplcacón de la fórmula A a 1 + A 3000 1 + A 3000 (84,02179567) A 252.065.39 -n+1 1 - (1 + ) -180 + 1 1 - (1 + 0.010025) 0.010025 El razonamento lógco es el sguente: el valor presente de la renta en 15 años es de $ 49.769.98 (ver gráfca 17).
46 Javer Alejandro Bermeo Pacheco Ejercco 2. Cuál es el valor presente de una renta de $ 500 depostado en el Banco del Pacífco a prncpos de cada mes durante 15 años en una cuenta de ahorros que gana el 9% de nterés captalzable bmestralmente? (ver gráfca 16). Datos A? a 500 mensual 9 / cap.bmest. n 15 años (180 meses) Conversón pagos mensuales 9% cap. bmestral 12 1+ (0,9) 2 12 (1+) 6 1.005 ( 1+ ) 1,00747 1 + 1,00747-1 0,00747 Mensual Gráfca 16. Representacón del ejercco 2, nterés smple e nterés compuesto... Fuente: Juan Guerrero Jrón Aplcacón de la fórmula -n+1 1 - (1 + ) A a 1 + -180 + 1 1 - (1 + 0.00747) A 500 1 + 0.00747 A 500 (99.539965) A 49.769,98
Interés compuesto y anualdades 47 El razonamento lógco es el sguente: el valor presente de la renta en 15 años es de $ 49.769.98 (ver gráfca 17). Ejercco 3. Un arqutecto desea ahorrar $ 400 mensuales durante 5 años. S sus ahorros ganan 24,4% convertble semestralmente, cuánto habrá acumulado el mes sguente del últmo depósto? Datos M? A 400 mensual 25,4%C Semestre n 5 años (60 meses) Conversón Pagos mensuales 25,4% conv. bmestral (1+c) (1+) 6 1+ (0,1254) 2 2 12 (1+) 6 (1.005) ( 1+ ) 1,020126 1 + 1,020126-1 0,020126 Mensual Gráfca 17. Representacón del ejercco 2, nterés smple e nterés compuesto.~f~~~~ -~~ 1 1 1 1 1 1 -.rt-t- 1 2 3 4 5 6 V S9 60 Meses (15 año~ Fuente: Juan Guerrero Jrón
48 Javer Alejandro Bermeo Pacheco Aplcacón de la fórmula -n+1 S a (1 + ) S 400 S 400 (116.85566) S 46.742,27 1-1 -180 + 1 1 +0.020126-1-1 0.020126 El razonamento lógco es el sguente: el arqutecto ha acumulado en 5 años $ 46.742,27.
Fondos de admnstracón: generaldades de la amortzacón Jorge Lus González Sánchez Carlos Bolívar Sarmento Chugcho La amortzacón se puede defnr como la manera de redmr el captal de un préstamo o deuda (Hernández, 2010). Tambén se puede entender como la forma de recuperar los fondos nvertdos en alguna empresa. En este sentdo, la amortzacón es la forma de controlar el pago de una deuda por parte de un deudor y para un creedor la forma de controlar la forma en que pagará. En esta medda se puede utlzar una tabla de amortzacón para realzar el control de un crédto vgente. Por medo de dcha herramenta se puede observar la evolucón del crédto debdo, perodo tras perodo, el valor de los ntereses, el valor de la cuota, del abono a captal y el saldo del crédto. Fórmula y problemas de amortzacón Las amortzacones se pueden realzar tomando en cuenta las sguentes referencas: Tabla de amortzacón A: Valor presente Fondo de amortzacón S: Futuro Para dentfcar cuándo es tabla y cuándo es fondo se establecó lo sguente (ver tabla 3): [49]
50 Jorge Lus González Sánchez/ Carlos Bolívar Sarmento Chugcho Fgura 3. Tabla de amortzacón Tabla (A) Saldar deuda Valor presente Préstamo Cantdad Hoy Debe Tene Captal Fondo (S) Tendrá Deberá (ra) Acumulará Instrumento de nve. A futuro Fondo Fuente: Juan Guerrero Jrón Fórmulas de amortzacón Para determnar el valor presente y el pago: -n 1- (1 + ) A. A a a -n 1 - (1 + ) Para determnar el fondo y el pago. -n (1 + ) - 1 s. S a a -n (1 + ) - 1 Ejercco de aplcacón de amortzacón Ejercco 1. Cuando es tabla: (muestra) El señor. Florndo desea saldar una deuda de $ 10.000, para lo cual se debe construr una tabla para determnar los saldos, a una tasa de nterés del 15% captalzable trmestralmente, y realza pagos mensuales para 12 años. Es necesaro determnar su saldo de amortzacón (ver gráfca 18). Datos A?meses 15% C.trmestre n 12 años (144 mese) A 10.000
Fondos de admnstracón: generaldades de la amortzacón 51 Conversón Pagos mensuales 15% Captalzable trmestral (1+c) (1+) 12 1+ (0,15) 4 4 3 (1.0374) 12 12 (1+) ( 1+ ) 1,0123496 1 + 1,0123496-1 0,0123496 Mensual Gráfca 18. Representacón del ejercco 1, amortzacón 1 1 1 1 ~I 1 2 3. 5. 3.. M~~ 12 años Fuente: Juan Guerrero Jrón Fórmula A A A A. 1- (1 + ) -n 10.000 x 0.0123469 1- (1 + 0.0123469) -144 123.460 0.829166693 A 148,91 Los resultados conducen a la clasfcacón de datos (ver fgura 4).
52 Jorge Lus González Sánchez/ Carlos Bolívar Sarmento Chugcho Fgura 4. Tabla de clasfcacón de datos, ejercco 1: amortzacón Perodo Pagos Interes sobre saldo (0.0123469) Amortzacón saldo 1 mes 2 meses 3 meses 3 meses 3 meses 143 meses 144 meses 148,91 148,91 148,91 148,91 148,91 148,91 148,91-123,47 123,15-10.000 25,44 9.974,56 25,76 9.948,80 Fuente: Juan Guerrero Jrón Ejercco 2. Construr una tabla de amortzacón que muestre la forma en que se acumularán $ 500.00 en un fondo de amortzacón, al cabo de 6 meses, medante depóstos mensuales, s el nstrumento de nversón en que se coloca el fondo rnde el 24% anual captalzable trmestralmente (ver gráfca 19). Datos S500 n6 meses 24% cap.trmestral A? Conversón Pago mensual 24% cap. Trmestral 12 (0,24) 4 1+ 4 3 (1.06) 12 12 (1+) ( 1+ ) 1,01961 1 + 1,01961-1 0, 01961 Mensual
Fondos de admnstracón: generaldades de la amortzacón 53 Gráfca 19. Representacón del ejercco 2, amortzacón Perodo Pagos Interes sobre saldo (0.0123469) Amortzacón saldo 1 mes 2 meses 3 meses 3 meses 3 meses 143 meses 144 meses 148,91 148,91 148,91 148,91 148,91 148,91 148,91-123,47 123,15-10.000 25,44 9.974,56 25,76 9.948,80 Fuente: Juan Guerrero Jrón Fórmulas a S. -n (1 + ) - 1 a 500 x 0.01961-144 (1 + 0.01961) - 1 a 9,805 0.123581 a 79,340 -n A a [1 - (1 + ) ] 1-(1 + 0.01961) -6 A 79,340 0.01961 A 79,340 (5,6081) A 445 Los resultados conducen a la clasfcacón de datos (ver fguras 5 y 6). Fgura 5. Tabla de datos del ejercco 2, amortzacón Perodo Pagos Interes sobre saldo (0.0123469) Amortzacón saldo 1 mes 2 meses 3 meses 3 meses 3 meses 143 meses 144 meses 148,91 148,91 148,91 148,91 148,91 148,91 148,91-123,47 123,15-10.000 25,44 9.974,56 25,76 9.948,80 Fuente: Juan Guerrero Jrón
54 Jorge Lus González Sánchez/ Carlos Bolívar Sarmento Chugcho Fgura 6. Tabla de datos-perodos del ejercco 2, amortzacón Perodo Pagos Interes sobre Amortzacón saldo (0.01961) Saldo 1 mes 2 meses 3 meses 3 meses 3 meses 143 meses 144 meses Fuente: Juan Guerrero Jrón - - - 79,340 8,73 70,61 79,340 7,34 72,00 79,340 5,93 73,41 79,340 4,49 74,85 79,340 3,02 76,32 79,340 1,53 77,81 4,45 374,39 302,39 228,98 154,13 77,81 - Conclusón: en ses meses, se realzó la aportacón y verfcó el pago de dcho depósto mensual. Ejercco 3. Una deuda de $ 8.000 se tene que amortzar medante cnco pagos, los dos prmeros de $ 1.500 y el tercero y cuarto de $ 2000. Se requere calcular el mporte (pago) del qunto pago para saldar totalmente la deuda, s la operacón se pacta al 28% anual convertble mensual (ver gráfca 20 y fgura 7). Datos A800 a1.500 (1,2)-2000 (3,4) 28 conv,mensual n5 meses Conversón Pago mensual 28% conv. mensual (1+c) (1+) (1 + 0.28) 12 12 12 12 (1+) 12 1.0233 ( 1+ ) 1,0233-1 0,0233 Mensual
Fondos de admnstracón: generaldades de la amortzacón 55 Gráfca 20. Representacón del ejercco 3, amortzacón Fuente: Juan Guerrero Jrón ~ ~ ~ ~ ~,l 1 1 1 1 A 800, 2 3 4 ~ " v, ~C~~S.' Fgura 7. Tabla basada en los perodos, ejercco 3. Perodo Pagos Interés sobre Amortzacón Saldo saldo (0.0233) Inco 1 mes 2 meses 3 meses 4 meses 5 meses Fuente: Juan Guerrero Jrón 1.500 1.500 2.000 2.000 1583,43 - - 8000 186,4 1313,6 6686,4 155,79 1344,21 5342,19 124,47 1875,53 3466,66 80,77 1919,23 1547,43 36,06 1547,43 0 Conclusón: la deuda fue correctamente amortzada durante 5 meses, sendo el últmo pago de $ 1583,49. Ejercco 4. El señor Guerrero necesta tener $ 18.500 en 3 años para lqudar una deuda contraída en el Banco de Machala para un negoco. Se requere encontrar el valor del depósto trmestral que tendría que hacer a un fondo de amortzacón que paga el 25% convertble mensualmente y construr una tabla que muestre el comportamento del fondo (ver gráfca 21). Datos A? a?trmestral 25% C.mensual S18.500 Conversón Pago trmestral 25% conv. Mensual (0,25) 12 4 4 1+ 4 (1+) 12
56 Jorge Lus González Sánchez/ Carlos Bolívar Sarmento Chugcho 3 (1.020833333) ( 1+ ) 1.063811126 1 + 1-1.063811126 0, 063811126 trmestral Gráfco 21. Representacón del ejercco 4, amortzacón gggggg~~~~~~ 1 1 1 1 1 2 3 ~ 1 1 1 1 1 1 1 1 s 6 7 8 9 10 11 12 Trmestres S ISSOO Fuente: Juan Guerrero Jrón Fórmula a a a S. n (1 + ) - 1 18.500 x 0.063811125 12 (1 + 0.063811125) - 1 1.180,51 1,100749809 a 1072,46 A a 1 A 1072,46 -(1 + ) -n 1 -(1 + 0.063811125) -6 0.063811125 A 1072,46 (8,211412787) Los resultados conducen al análss de datos por perodos (ver fguras 8 y 9).
Fondos de admnstracón: generaldades de la amortzacón 57 Fgura 8. Tabla de pago del ejercco 4, amortzacón Perodo Pagos Interes sobre saldo (0.063811125) Amortzacón Saldo Inco - 1 mes 1072,46 2 meses 1072,46 3 meses 1072,46 4 meses 1072,46 5 meses 1072,46 6 meses 1072,46 7 meses 1072,46 8 meses 1072,46 9 meses 1072,46 10 meses 1072,46 11 meses 1072,46 12 meses 1072,46-561,95 529,37 494,72 457,85 418,63 376,91 332,52 285,31 235,08 181,85 124,80 64,33-510,51 543,09 577,74 614,61 653,61 695,55 739,99 787,15 837,38 890,81 947,66 1008,14 8.806,41 8.295,9 7.752,81 7.175,07 6.560,46 5.906,63 5.211,08 4.471,14 3.683,99 2.846,61 1955,8 1.008,14 - Fuente: Juan Guerrero Jrón Fgura 9. Tabla de pago por perodos, ejercco 4, amortzacón Perodo Pagos Interes sobre saldo (0.063811125) Amortzacón Fondo Saldo 1 trmestre - 2 trmestre 1072,46 3 trmestre 1072,46 4 trmestre 1072,46 5 trmestre 1072,46 6 trmestre 1072,46 7 trmestre 1072,46 8 trmestre 1072,46 9 trmestre 1072,46 10 trmestre 1072,46 11 trmestre 1072,46 12 trmestre 1072,46-686,43 141,24 218,66 301,07 388,72 481,96 581,15 686,67 798,92 916,33 1045,37 1072,46 1140,89 1213,7 1291,14 1373,53 1461,18 1554,42 1653,61 1759,13 1871,36 1990,79 2117,83 1072,46 2213,35 3427,05 4718,19 6091,72 7552,9 9107,32 10760,93 12520,06 14391,44 16382,23 18500 Fuente: Juan Guerrero Jrón Conclusón: el señor Guerrero ha tendo que pagar trmestralmente por 3 años $ 2252,97. Ejercco 5. Construr una tabla de amortzacón que muestre la forma en que se acumularán $ 500 en un fondo de amortzacón a 5 años medante depóstos semestrales, s el nstrumento de nversón en que se coloca el fondo rnde el 15% captalzable trmestral (ver gráfca 22). Datos A? a?semestral 15% C.trmestral n5 años (10 semestres) S500
58 Jorge Lus González Sánchez/ Carlos Bolívar Sarmento Chugcho Conversón Pago semestral 15% cap. Trmestral 6 3 (1+0,15) 12 2 1.07640625 1.024846299 1 + 6 6 (1+) ( 1+ ) 1-1.024846299 0, 024846299 semestral Gráfca 22. Representacón del ejercco 5, amortzacón Fuente: Juan Guerrero Jrón ~~~~~~~~~~ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3. 5 6 7 8 9.lQ Semestres (5 año~ Fórmula a a a S. n (1 + ) - 1 500 x 0.024826298 10 (1+0.024846298) - 1 1242314929 0,278166311 a 44,66 semestral A a A 44,46 1 0.24846298 A 44.66 (8.759019142) A 391.18 1-(1 + ) -n -(1 + 0.024846298) -10
Fondos de admnstracón: generaldades de la amortzacón 59 Los resultados conducen al análss de datos por perodos (ver fguras 10 y 11). Fgura 10. Tabla de pago, ejercco 5, amortzacón Perodo Pagos Pagos Interes sobre saldo (0.063811125) Amortzacón Saldo nco 1 semestre 2 semestre 3 semestre 4 semestre 5 semestre 6 semestre 7 semestre 8 semestre 9 semestre 10 semestre - 44,46 44,46 44,46 44,46 44,46 44,46 44,46 44,46 44,46 44,46-9,72 8,85 7,96 7,05 6,12 5,16 4,18 3,17 2,14 1,08-391,18 34,94 356,24 35,81 320,43 36,7 283,73 37,61 246,12 38,56 207,58 39,5 168,08 40,48 127,6 41,49 86,11 42,52 43,59 43,59 _ Fuente: Juan Guerrero Jrón Fgura 10. Tabla de pago, ejercco 5, amortzacón Perodo Pagos Interes sobre saldo (0.024846298) 1 semestre 2 semestre 3 semestre 4 semestre 5 semestre 6 semestre 7 semestre 8 semestre 9 semestre 10 semestre 44,46 44,46 44,46 44,46 44,46 44,46 44,46 44,46 44,46 44,46-1,11 2,25 3,41 4,61 5,83 7,09 8,37 9,69 11,04 Acumulacón Fondo 44,66 45,77 46,91 48,07 49,27 50,49 51,71 53,03 54,35 55,7 Amortzacón Saldo 44,66 90,43 137,34 185,41 234,68 285,17 336,92 389,95 444,3 500 Fuente: Juan Guerrero Jrón Conclusón: en 5 años, medante depóstos semestrales de $ 44,66, se obtuvo un valor presente de $ 391,18. Ejercco de realmentacón académca Construr una tabla de amortzacón que muestre la forma en que se acumularán $ 1580 en un fondo de amortzacón, al cabo de 8 meses medante depóstos mensuales, s el nstrumento de nversón en que se coloca el fondo rnde el 18% captalzable trmestral (amortzacón de tabla y fondo) (ver gráfca 23).
60 Jorge Lus González Sánchez/ Carlos Bolívar Sarmento Chugcho Datos S158 A? a?mensual 18 Cap.trmestral n8 meses Conversón Pagos mensuales 18% Cap. trmestral (1+c) (1+) 12 1 + (0,15) 4 4 3 (1.045) 12 12 (1+) ( 1+ ) 1.01478462 1 + 1.01478462-1 0.014780462 Mensual Gráfca 23. Representacón del ejercco de realmentacón académca 1234567 Fuente: Juan Guerrero Jrón Fórmula a a a S. n (1 + ) - 1 1580 x 0.01478462 8 (1+0.014780462) - 1 23.35312996 0.124544836 a 187.51
Fondos de admnstracón: generaldades de la amortzacón 61 1-(1 + ) -n A a -(1 + 0.01478462) -8 A 187.57 1 0.01478462 A 187.51(7.493089878) A 1405.03 Los resultados de pago se representan en la fgura 12 y en la fgura 13. Fgura 12. Tabla de pago del ejercco de realmentacón académca Perodo Pagos Interes sobre saldo (0.014780462) Amortzacón Saldo Inco - 1 mes 187.51 2 mes 187.51 3 mes 187.51 4 mes 187.51 5 mes 187.51 6 mes 187.516 7 mes 187.51 8 mes 187.516-561,95 529,37 494,72 457,85 418,63 376,91 332,52 285,31-166.743 169.208 171.709 174.246 176.822 179.435 182.088 184.779 1.405.03 1238.287 1069.079 897.37 723.124 546.302 366.867 184.779 - Fuente: Juan Guerrero Jrón Fgura 13. Tabla de pago por perodos del ejercco de realmentacón académca Perodo Pagos Interes sobre saldo (0.014780462) Amortzacón Saldo Inco - 1 mes 187.51 2 mes 187.51 3 mes 187.51 4 mes 187.51 5 mes 187.51 6 mes 187.516 7 mes 187.51 8 mes 187.516-561,95 529,37 494,72 457,85 418,63 376,91 332,52 285,31-166.743 169.208 171.709 174.246 176.822 179.435 182.088 184.779 1.405.03 1238.287 1069.079 897.37 723.124 546.302 366.867 184.779 - Fuente: Juan Guerrero Jrón Conclusón: durante 8 meses, con depóstos mensuales de $187.51, se encontró un valor de $1405.03, el cual fue amortzado antes de amortzar el fondo de $1580.
Flujo de caja, tasa nterna de retorno Eduardo Vnco Pulla Carrón La tasa nterna de retorno (tr) es un mecansmo para valorzar las nversones, mdendo la rentabldad de los cobros y los pagos autorzados generados gracas a una nversón (Hernández, 2010). Comúnmente, las tr srven para determnar y analzar la vabldad de los proyectos o nversones (ver fgura 14). Fgura 14. Tabla de TIR Inversón ncal 30000 Valor de Rescate 0 Flujo de efectvo 25000 Vda en años 2 Fuente: Juan Guerrero Jrón La gráfca 24 expone una dagrama de nformacón para determnar la tr (ver grafca 24). Gráfca 24. Dagrama de nformacón, TIR VPN-1 + [FN6' 10 c1-w 25 30.000 10 25 Fuente: Juan Guerrero Jrón [63]
64 Juan Ramro Guerrero Jrón Fórmula 0-30 + 0-30 + 25 25 1-1- SI 1% 25 25 + (1 + ) 1 (1 + ) 2 1 -(1+) 0 1 -(1+) 2 30 2 1 -(1+) 30 25 2 1 -(1+) 1.2 SI 2% -2 1- (1 + 0,1) 0.1 1.73553719-2 1- (1 + 0,2) 0.1 1,527777778 SI 3% -2 1- (1 + 0,3) 0.1 SI 5% -2 1- (1 + 0,5) 0.1 1,3609466746 1,111111111 SI 4% -2 1- (1 + 0,4) 1,224489796 0.4 La aplcacón de la fórmula y dagrama de tr ofrece los resultados que se exponen en la gráfca 25. Gráfca 25. Aplcacón de fórmula y dagrama de TIR 4% 3% EXTRAPOLAR 15 16 Fuente: Juan Guerrero Jrón
Flujo de caja, tasa nterna de retorno 65 En esta medda se puede determnar que tendrá que nvertr con una tasa nterna de retorno del 4% para el proyecto. Para determnar la nterpolacón, la fórmula es la sguente: -n a a[1-(1+) ] S a n (1 + ) - 1 Para desarrollar la ncógnta n, los pasos son: Datos Conversón Aplcacón de la formula drectamente Grado del grafco Ejercco 1. S un trabajador ahorra $ 100 mensuales en una cuenta de ahorro del Banco del Pacífco que paga el 18% anual convertble mensualmente, a) En qué tempo recbrá $ 1.000,00? b) S desea juntar esa cantdad en un perodo exacto de meses, cuántos depóstos completos de $ 100 debe hacer el trabajador para reunr dcha cantdad? Datos a $ 100 18 % s 1.000 n? 9m Conversón a 100m 0.18 0.18 1 + (1 + ) 12 1 + 0.015 1 + 0.015-1 0.015
66 Eduardo Vnco Pulla Carrón Aplcacón de la fórmula S a n (1 + ) -1 1.000 x 0.015-1 n (1 +0.020126) -1 0.015 n 1000 x 0.015-1 [(1.015) -1] 0.15 +1 (1.015) n n (1.015) 1015 1.15 log. 1.015 n n 9.387170699 n 9 M 0.06069784 0.0006466042 Gráfco N 26. Informacón para el problema presente l~,~~i A 100 o o M~,~~IM 1 2 3 8 9 Fuente: Juan Guerrero Jrón Pago fnal para completar los $ 1000 100 * 0.015 1.5 1.5 * 9 (Depóstos) 13.5 13.5 + 900 913.50 1000 913.50 86.50 ultmo pago 913.50 + 86.50 1000 ahorro Ejercco nº 2 La señorta florselva ahorra $ 200 mensuales en la cuenta del banco del pacfco que paga el 20 % quncenalmente. a.- En que tempo reunrá $ 1800.00 b.- Cuantos depóstos completos de $ 200 debe hacer?
Conversón 1+ (0,15)24 4 (1 + 0.008333)2 1 + (1.008333)2 1 + 1.016735439 1 0.016735439 mensual (1+) Flujo de caja, tasa nterna de retorno 67 c.- Cuál es el mporte fnal para completar la cantdad la cantdad precso de $ 1800? Datos: S1800 20% quncenal n? n200 mensuales Aplcacón de la fórmula n [(1+) -1] S a n [(1+0.016785439) -1] 1800 200 0.016785439 1800 x 0.16785439 n (1.016785439) -1 200 0.151068951+1 (1.016785439) n 1.151068951 (1.016785439) n (1.016785439) 1.151068951 L 1.154068951 log. L 1.016785239 0.061101339 n 0.007229318 n 8.451881491 n 8 meses
68 Eduardo Vnco Pulla Carrón Gráfco N 27. Informacón para el problema presente Fuente: Juan Guerrero Jrón ---- -- -.. -~ 1 1 1 2 4 6 8 Pago ncal 200 x 0.016785439 3.36 3.36 x 8 (depóstos) 26,88 26.88 + 1.600 1.626,88 1800 1.626,88 173,12 pago 1.626,88 + 173,12 1.800 Ejercco nº 3 S la Srta. Mayra ahorra $ 300.00 mensuales en una cuenta de ahorros del banco de Machala que paga el 25% anual convertble mensualmente. a. En qué tempo reunera $ 2.600.00 b. Cuántos depóstos completas de $ 300 debe hacer? c. Cuál es el mporte fnal para completar 2.600? Datos: S2.600 25% 0.25 M n? Fórmula: S a n [(1+) -1] n 2.600 300 [1 + (0.020833333) - 1] n 2.600 x 0.020833333 (1.020833333)
Flujo de caja, tasa nterna de retorno 69 Fórmula S a 100 n 1000 x 0.015 1 [(1.015) -1] n 0.15 + 1 (1.015) 1.15 (1.015) n n (1,015) 1015 log. n 100 n 9.387170699 n 9 M n [(1+) -1] n 1.000 x 0.015 1 [(1 + 0.015) -1] 1.15 1.015 0.06069784 0.0006466042 Los datos se pueden representar en la gráfca 26 Gráfca 26. Datos del ejercco 1, TIR A 100 o o o,..,,..,,.., o o o N\,..,,..,,.., M 1 2 3 8 9 Fuente: Juan Guerrero Jrón El análss permte determnar el pago fnal para completar los $1000, en los sguentes térmnos: 100 * 0.015 1.5 1.5 * 9 (Depóstos) 13.5 13.5 + 900 913.50 1000 913.50 86.50 últmo pago 913.50 + 86.50 1000 ahorro
70 Eduardo Vnco Pulla Carrón Ejercco 2. La señorta Florselva ahorra $ 200 mensuales en la cuenta del Banco del Pacífco que paga el 20 % quncenalmente. a) En qué tempo reunrá $ 1800.00? b) Cuántos depóstos completos de $ 200 debe hacer? c) Cuál es el mporte fnal para completar la cantdad la cantdad precso de $ 1800? Datos S 1800 20 % quncenal n? n 200 mensuales Conversón (1 + 0.20)24 (1 + ) 24 (1 + 0. 008333)2 1 + (1. 008333)2 1 + 1.016735439 1 0.016735439 mensual Aplcacón de fórmula n [(1+) -1] S a n 1800 200 [(1 + 0.016785439) -1] 0.016785439 n 1800 x 0.016785439 (1.016785439) 1 100 n 0.151068951 + 1 (1.016785439) 1.151068951 (1.016785439) n n (1.016785439) 1.151068951 log. 1.15 1.015
Flujo de caja, tasa nterna de retorno 71 n n L 1.154068951 L 1.016785439 0.061101339 0.007229318 n 8.451881491 n 8 meses El análss de los datos se representa en la gráfca 27. Gráfca 27. Datos del ejercco 2, TIR / -- --------- --- ' ' - / ' ' o o o o o o o o N N N N N N N N ' Fuente: Juan Guerrero Jrón 7 '.\ 4 e; F 7 R Con base en el análss se puede determnar el pago ncal en los sguentes térmnos: 200 x 0.016785439 3.36 3.36 x 8 (depóstos) 26,88 26.88 + 1.600 1.626,88 1800 1.626,88 173,12 pago 1.626,88 + 173,12 1.800 Ejercco 3. S la señorta Mayra ahorra $ 300.00 mensuales en una cuenta de ahorros del Banco de Machala que paga el 25% anual convertble mensualmente, a) En qué tempo reunera $ 2.600.00? b) Cuántos depóstos completas de $ 300 debe hacer? c) Cuál es el mporte fnal para completar 2.600? Datos s 2.600 25% 0.25 M n?
72 Eduardo Vnco Pulla Carrón Fórmula S a n [(1+) -1] n 2.600 300 [1 + (0.020833333) - 1] n 2.600 x 0.020833333 (1.020833333) n 0.180555552 + 1 (1.020833333) n (1.020833333) 1.180555553 log. L 1.18055555 L 1.020833333 n 0.120786427 0.008958425 n 8.045905692 n 8 meses Los resultados se representan en la gráfca 28. Gráfca 28. Datos del ejercco 3, TIR.,,,..,,.-- -------------- <,,. " ' ' o o o o o o o o N N N N N N N N 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 Fuente: Juan Guerrero Jrón ---------------,,..,,.,,... '...,. ' o o o o o o o o o o o o o o o o ("(') ("(') ("(') ("(') ("(') ("(') ("(') ("(') 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 Como resultado, el últmo pago se puede establecer en los sguentes térmnos: 300 x 0.020833333 625 6.25 x 8 50,000 50, 00 + 2.400 2.450,002600 2450 150,00 2450 + 150 2600,00
Bblografía Díaz, A. y Agulera V.-M. (2010). Matemátca Fnancera. Méxco: Edtoral Mc Graw Hll. Hernández, A. (2010). Matemátcas Fnanceras (5a ed.). Méxco: Edtoral ecafsa 2010. [73]
Recomendacones Se debe usar estas herramentas para poder saber el valor de sus nversones, para esto es necesaro saber la tasa a la que rentara Utlzar procesos fnanceros cuando realzamos un ahorro o nversón y queremos tener x cantdad de dnero en x tempo. Estas herramentas son fundamentales a la hora de realzar flujos de caja, pues nos permte saber el valor a cancelar cada perodo. Se recomenda Planfcar, organzar, drgr, coordnar y controlar proyectos de nversón generadores de fuentes de fnancamento generadores de recursos drectamente recaudados medante dstntas formas de organzacón Aplcar procesos matemátcos, de modo que permta utlzar todas las potencaldades del personal, materal y recursos fnanceros. [75]
Conclusones 1. Estudar los conceptos, fórmulas y ejerccos, para un mejor entendmento del contendo de las matemátcas fnanceras. 2. Determnar el nvel de conocmentos adqurdos a través del desarrollo de este trabajo para tener una guía detallada sobre los temas de estudo. 3. Cabe señalar que para crear sstemas o formas para amortzar una deuda, no hay más límte que la propa creatvdad de quenes a esto se dedcan, a prestar su dnero; sn embargo, aquí abordaremos las más comunes, con algunas de sus ventajas o desventajas, y sus característcas. 4. Analzar la medcón de la rentabldad de la empresa a través de sus resultados y en la realdad y lqudez de su stuacón fnancera, para poder determnar su estado actual y predecr su evolucón en el futuro. 5. Comparar las tenden cas de las dferentes varables fnanceras que nter ve nen o son producto de las operacones econó mcas de una empresa Evaluar la stuacón fnancera de la organzacón; es decr, su solvenca y lqudez así como su capacdad para generar recursos. Verfcar la coherenca de los datos nformados en los estados fnanceros con la realdad económca y estructural de la empresa. Tomar decsones de nversón y crédto, con el pro pósto de asegurar su rentabldad y recuperabldad. Determnar el orgen y las característcas de los re cur sos fnanceros de la empresa: de donde prove nen, como se nverten y que rendmento generan o se puede esperar de ellos. [77]
Glosaro A: Actvos Se refere a todo lo que usted posee. Incluye dnero en efectvo y equvalentes de efectvo, nversones y benes de uso. El dnero en efectvo o los equvalentes de efectvo ncluyen cuentas de cheques, cuentas de ahorros, cuentas del mercado monetaro y el valor en efectvo del seguro de vda. Actvos líqudos Un actvo en efectvo o un actvo que se puede convertr fáclmente en dnero en efectvo. Amortzacón Proceso de cancelacón total del endeudamento por medo de pagos a plazos del captal e nterés devengado por un tempo determnado. Anualdad Se refere al pago que usted hace a una compañía de seguros como consecuenca del acuerdo que al jublarse la compañía le pagará a usted un monto fjo regular o un monto basado en las ganancas de su nversón. Anualdad o cuota unforme Nomenclatura básca utlzada en este texto Aversón al resgo: se refere a la stuacón en la que un nversonsta, expuesto a alternatvas con dferentes nveles de resgo, preferrá aquella con el nvel de resgo más bajo [79]
80 Eduardo Vnco Pulla Carrón B: Bonos Son títulos que representan una parte de un crédto consttudo a cargo de una entdad emsora. Su plazo mínmo es de un año; en retorno de su nversón recbrá una tasa de nterés que fja el emsor de acuerdo con las condcones de mercado, al momento de realzar la colocacón de los títulos C: Captal Medos para la produccón, tales como: maqunara, planta físca de empresas, equpos de produccón, entre otros Certfcados: son valores que emten los bancos o empresas. Los plazos de los documentos, el valor nomnal y la tasa de nterés varían según las polítcas de cada emsor Captal a corto plazo Operacones con actvos y pasvos fnanceros, cuyos térmnos de vencmento son nferores a un año. El captal a corto plazo del sector prvado comprende el endeudamento comercal externo drecto y los movmentos de las cuentas correntes en el extranjero de las empresas naconales. Y en el sector públco se ncluyen, entre otros, los movmentos de compensacón y los cambos en la poscón fnancera de algunas entdades descentralzadas. Captal a largo plazo Comprende las operacones con actvos y pasvos fnanceros cuyo vencmento orgnal es superor a un año, desagregadas en nversón drecta, nversón de cartera y otros captales. Captalzacón de ntereses S al fnal del perodo de nversón en vez de devolver los ntereses devengados al prestamsta, estos se suman al captal orgnal, para a partr de ahí, calcular un nuevo nterés, se dce que los ntereses se captalzan. Costo de oportundad Costo en que se ncurre al tomar una alternatva y desechar otras; el costo de oportundad de una determnada accón es el valor de la mejor alternatva sacrfcada. Tasa de nterés: Es el porcentaje al que está nvertdo un captal en una undad de tempo, determnando lo que se
refere como el preco del dnero en el mercado fnancero. La tasa de nterés (expresada en porcentajes) representa un balance entre el resgo y la posble gananca (oportundad) de la utlzacón de una suma de dnero en una stuacón y tempo determnado. En este sentdo, la tasa de nterés es el preco del dnero, el cual se debe pagar/cobrar por tomarlo prestado/cederlo en préstamo en una stuacón determnada. Costo margnal Es el aumento sobre el costo total que se genera al ncrementar la produccón en una undad más de un ben o servco; el prncpal determnante del costo margnal son las varacones que se producen en los costos varables. Costo medo Son los costos por undad de produccón. Los costos medos totales se calculan como el costo total entre la cantdad producda Costos fjos Son los costos en que ncurre la empresa, halla o no halla produccón. Costos totales Son equvalentes a la suma de los costos varables totales más costos fjos totales. Costos varables Los costos varables dependen del volumen de produccón. Glosaro 81 D: Deflacón Contraro a la nflacón, la deflacón es la dsmnucón generalzada del nvel de los precos de los benes y servcos en una economía; es decr, es el aumento del poder adqustvo de la moneda. Esto sgnfca que, en una economía con deflacón, la cantdad de productos que se pueden comprar con una cantdad determnada de dnero hoy es menor a la cantdad de productos que se podría comprar dentro de un tempo Devaluacón No se puede confundr con la nflacón, la devaluacón es la pérdda del valor del dnero con respecto a otra moneda, por ejemplo el dólar. La devaluacón puede ser causada por muchos factores: la falta de demanda de la moneda o una mayor demanda de la moneda con la cual se le compara. F:
82 Eduardo Vnco Pulla Carrón Factbldad económca Tene que ver con determnar la bondad de nvertr o no los recursos económcos en una alternatva de nversón proyecto-; sn mportar el orgen de dchos recursos. Factbldad fnancera Tene que ver con determnar s el retorno es atractvo o no para los dueños del dnero, para el nversonsta. Es decr, lo que nteresa es determnar s la nversón efectuada exclusvamente por el dueño, obtene la rentabldad esperada por él. Flujos Ingresos y pagos dados en certos nterlnéalos de tempo, dólares, pesos, etc. Fondo de nversón Fondo de carácter mutuo y de cartera dversfcada, cuyas partcpacones están dstrbudas en forma proporconal a sus aportes entre varos nversonstas G: Gananca Dnero que sobra después de haber realzado la venta de los benes, una vez deducdos todos los costos. I: Impuesto Es el monto en dnero que se debe pagar al estado por dversos rubros, para que este tenga el fnancamento para las necesdades y proyectos públcos. Inflacón Se defne como nflacón al aumento generalzado del nvel de precos de benes y servcos en una economía. Tambén se puede defnr como la caída del poder adqustvo de una moneda en una economía en partcular. Esto sgnfca que, en una economía con nflacón, la cantdad de productos que se pueden comprar con una cantdad determnada de dnero hoy es mayor a cantdad de productos que se podría comprar dentro de un tempo. Interés
El nterés es la cantdad que se paga o se cobra por el uso del dnero. Cuando alguen toma prestado dnero, este debe pagar por su uso; en dcho pago debe estar ncludo tanto la pérdda del valor del dnero; como tambén la renta por el uso del dnero. De gual manera, s en vez de un crédto lo que se hace es prestar dnero (nvertr), entonces se querrá recbr, aparte de lo nvertdo, un monto a través del cual se recupere el valor que ha perddo el dnero en el tempo y una renta por el préstamo del dnero. Interés smple Es el que se calcula usando solamente el captal, gnorando cualquer nterés que puede haberse acumulado en períodos precedentes. Interés compuesto Es aquel en el que el nterés de un período es calculado sobre la cantdad orgnal (Valor Presente) más la cantdad acumulada de ntereses ganados en períodos anterores. Inversón Actvo o recurso tangble o ntangble comprometdo en un proyecto con la expectatva de gananca y la asuncón de resgo económco Inversonsta Glosaro 83 Persona físca o jurídca que aporta sus recursos fnanceros con el fn de obtener algún benefco futuro. Consttuyen la contraparte de los emsores. En otras palabras, son las personas físcas o jurídcas que dsponen de recursos fnanceros, los cuales prestan a cambo de la obtencón de una gananca. M: Margen Se refere al acto de pedr prestado dnero a su corredor para comprar una accón y luego utlzar su nversón como garantía. Generalmente, los nversores utlzan el margen para aumentar su poder adqustvo y así poder tener más accones sn pagar el total de éstas. Sn embargo, el margen expone a los nversores a la posbldad de tener mayores pérddas. Margen de utldad Dferenca entre el preco de venta y el costo de un producto
84 Eduardo Vnco Pulla Carrón Matemátcas fnanceras Conjunto de herramentas matemátcas, que permten analzar cuanttatvamente la vabldad o factbldad económca y fnancera de los proyectos de nversón. Analza el valor del dnero en el tempo. Métodos cuanttatvos Es la metodología de la nvestgacón que produce datos numércos para ayudar al admnstrador en la toma de decsones. Modelo Representacón smplfcada de la realdad que busca explcar aquello puede ser relevante dentro de esa realdad. Modelo conceptual: es el dagrama que representa las relacones causales entre los conceptos relevantes mportantes de una ntervencón. P: Pago (Funcón fnancera de Excel) calcula el pago de un préstamo basándose en pagos constantes y en una tasa de nterés constante. Perodos (n) Numero de períodos. Porcentajes Cuando se opera con porcentajes en este texto, se hace con la expresón decmal (0.20), por ejemplo 20% 0.20 (20/100), que es la forma correcta de trabajar con las fórmulas. Los resultados de las operacones lo expresamos generalmente con cuatro decmales, en el caso de los factores o índces. Las respuestas fnales de los ejerccos se expresan en con dos decmales. En ambos casos los resultados son redondeados por exceso o por defecto. T: Tasa de nterés nomnal Es la tasa de nterés del período por el número de períodos. Tasa de nterés () Tasa de nterés por período, porcentaje por mes, porcentaje por año, etc. Tr Tasa Interna de Retorno. Nomenclatura básca utlzada en este texto.
Glosaro 85 U: Utldad Es la satsfaccón obtenda por el consumdor cuando consume un ben. En contabldad, es la dferenca postva entre los ngresos y los costos y gastos. V: Va (Funcón fnancera de Excel) devuelve el valor actual de una nversón. El valor actual es el valor que tene actualmente la suma de una sere de pagos que se efectuarán en el futuro. Por ejemplo, cuando pde dnero prestado, la cantdad del préstamo es el valor actual para el prestamsta. Valor Suma máxma que una persona o entdad está dspuesta a pagar por un servco o ben. Valor actual neto (van) Es el valor presente de los flujos de efectvo de un proyecto descontados a una tasa de nterés dada. Valor líqudo Valor total que se obtene por medo de la provsón o nversón de algo de valor. En benes raíces, valor líqudo se refere al nterés o valor que un propetaro tene en benes raíces más allá de la hpoteca que tenga el nmueble. Valor neto de los actvos Valor de los actvos de un fondo menos los pasvos. Para calcular el NAV por accón, smplemente reste los pasvos de los actvos del fondo y luego dvda el resultado por el número de accones pendentes. Valor presente (vp) Valor o suma de dnero en un tempo determnado presente dólares, pesos, etc. Es el prncpal. Valor futuro (vf) Valor o suma de dnero en un tempo futuro dólares, pesos, etc. Varable de decsón Varable algebraca que representa una decsón cuantfcable a ser adoptada, son cantdades, datos o supuestos a consderar en la elaboracón del modelo, en otras palabras son las proporcones a cuantfcar
86 Eduardo Vnco Pulla Carrón en funcón de certos objetvos y restrccones. Varable dependente: Propedad o característca que se trata de cambar medante la manpulacón de la varable ndependente. La varable dependente es el factor que es observado y meddo para determnar el efecto de la varable ndependente, resultado que uno pretende explcar o estmar. La varable dependente puede ser defnda como los cambos sufrdos por los sujetos como consecuenca de la manpulacón de la varable ndependente por parte del nvestgador. Varable dependente Propedad o característca que se trata de cambar medante la manpulacón de la varable ndependente. La varable dependente es el factor que es observado y meddo para determnar el efecto de la varable ndependente, resultado que uno pretende explcar o estmar. La varable dependente puede ser defnda como los cambos sufrdos por los sujetos como consecuenca de la manpulacón de la varable ndependente por parte del nvestgador. Varable ndependente Característca que supone ser la causa del fenómeno estudado. En nvestgacón expermental se llama así, a la varable que el nvestgador manpula. Varable que se mde para determnar el valor correspondente de la varable dependente. Las varables ndependentes defnen las condcones bajo las cuales se examnará la varable dependente. Vf (Funcón fnancera de Excel) devuelve el valor futuro de una nversón basándose en pagos peródcos constantes y en una tasa de nterés constante. Vfa Valor futuro de una anualdad. Nomenclatura básca usada en este texto. Vpn Valor Presente Neto, gual al valor actual neto. Nomenclatura básca usada en este texto Varable: Cualquer cualdad, fenómeno o acontecmento que puedan tener valores cuanttatvos dferentes.
Anexos Casos de estudo Ejerccos de nteres smple 1.La Sra. Elena Castro desea saber cuánto es el total de un préstamo de $6000 al 3% de nterés para pagar en 50 días. 2.El Sr. Guerrero desea saber cuánto es el total de un préstamo de $5000 al 2% de nterés para pagar en 120 días. 3.El Sr. Suarez desea saber cuánto es el total de un préstamo de $2000 al 3% de nterés para pagar en 60 días. 4.El Sr. Manuel desea saber cuánto es el total de un préstamo de $5000 al 2% de nterés para pagar en 120 días. Ejerccos de nteres compuesto 1.El señor Edson y la señora Prscla decden generar un crédto de 2 lavadoras a $850 c/u con el 4% de la tasa de nterés para cancelar en 180 días plazo. El centro comercal de ventas le aplca las sguentes condcones de pago el 50% efectvo y el saldo con un cheque de la entdad fnancera #0009958 Cuál será el valor que debe cancelar el señor Edson y la señora Prscla? 2. El doctor Enrque decden generar un crédto de 2 escrtoros para su consultoro a $550 c/u con el 3% de la tasa de nterés para cancelar en 190 días plazo. La casa comercal le aplca las sguentes condcones de pago el 60% efectvo y el saldo con un cheque de la entdad fnancera #0009948 Cuál será el valor que debe cancelar?
88 Eduardo Vnco Pulla Carrón Ejerccos de anualdades 1. Calcular el valor al contado de una propedad vencda con las sguentes condcones: $20000 de contado, $ 1000 por mensualdad vencda durante 2 años y 6 meses y el últmo tempo de pago de 2500 un mes después de pagada la últma mensualdad. Para el cálculo de esta operacón se debe utlzar el 9% captalzable bmestralmente. 2. Calcular el valor al contado de una propedad vencda con las sguentes condcones: $40000 de contado, $ 2000 por mensualdad vencda durante 3 años y 6 meses y el últmo tempo de pago de 3500 un mes después de pagada la últma mensualdad. Para el cálculo de esta operacón se debe utlzar el 8% captalzable quncenalmente. 3. Manuel y María realzan un préstamo en el Banco de $10.000 para crear una empresa de publcdad con el 4% captalzable quncenal, los mportes son de manera mensual durante 8 años, debendo establecer las sguentes condcones de pago con el banco, para cancelar el prmer pago desde el cuarto perodo Cuál será el pago y la comprobacón respectva del ejercco?. 4. Carlos y Antona realzan un préstamo en la entdad fnancera de $20.000 para construr su hogar con el 3% captalzable bmestral, los mportes son de manera mensual durante 9 años, debendo establecer las sguentes condcones de pago con el banco: cancelar el prmer pago desde el tercer perodo Cuál será el pago y la comprobacón respectva del ejercco? 5. Genere un caso tomando en cuenta un proceso fnancero de dferdo de pagos, medante tarjeta de credto, asoce las formulas y las evdencas. Ejerccos de amortzacones 1. Mchael desea saldar una deuda de $15000 y necesta generar una tabla de amortzacón con una tasa de nterés de 4% convertble trmestral, los mportes deben ser mensual para 40 meses. Cuál es el condensado de la transaccón? 2. Carolna desea saldar una deuda de $30000 y necesta generar una tabla de amortzacón con una tasa de nterés de 2% captalzable
Anexos 89 bmestral, los mportes deben ser mensual para 6 meses. Cuál es el condensado de la transaccón? 3. Alexandra desea saldar una deuda de $2500, por lo cual necesta generar una tabla de amortzacon con la tasa de nteres del 3% capatalzable mensual, los mportes son mensuales y los perodos 40 meses. 4. Genere un caso, tomando en cuenta un prestamo en una entdad fnancera, aplque una tabla de amortzacon con los procesos fnanceros pertnentes y las evdencas que sostengas esta transaccon fnancera. 5. El Señor Maldonado realza un préstamo de $20.000 otorgado por la entdad fnancera con el 4% Cap. Bmestral para pagar en 6 meses los depóstos son de manera mensual. Cuál será el Consoldado de la Tabla de Amortzacón?. Tasa Interna De Retorno Ejerccos De Las Tr- Van 1. Indcadores de un proyecto Inversón ncal 50000 Valor de rescate 0 Flujo neto de efectvo 20000 Vda en años 4 2. Se cuenta con la cantdad de $1100 y nos ofrecen un negoco donde hay que nvertr nuestro captal y al cabo de un año nos entregan $300, en el segundo año 300 y en el tercer año nos darán $700. Con un nterés anual del 9%. 3. Indcadores de un proyecto Inversón ncal 30000 Valor de rescate 0 Flujo neto de efectvo 10000 Vda en años 3
Bografía Juan Ramro Guerrero Jrón Ecuatorano, Ingenero Comercal. Maestra en Dreccón de Proyectos por la Unversdad Esprtu Santo - Ecuador, Investgador. Actualmente Docente de la Undad Académca de Cencas Empresarales de la Unversdad Técnca de Machala. Javer Alejandro Bermeo Pacheco Ecuatorano, Ingenero Comercal. Maestra en Admnstracón de Empresas por la Unversdad Técnca de Machala- Ecuador, Investgador. Actualmente Docente de la Undad Académca de Cencas empresarales de la Unversdad Técnca de Machala. Carlos Bolívar Sarmento Chugcho Ecuatorano, Ingenero Comercal. Maestras en: Geston de Proyectos, espae - Docenca e Investgacon por la Unversdad Casa Grande - Ecuador, Investgador. Actualmente Docente de la Undad Académca de Cencas Empresarales de la Unversdad Técnca de Machala. Jorge Lus González Sánchez Ecuatorano, Ingenero en Electrónca y Telecomuncacones. Maestra en Telecomuncacones por la Unversdad Escuela Superor Poltécnca
del Ltoral (espol) - Ecuador, Investgador. Actualmente Docente de la Undad Académca de Cencas Empresarales de la Unversdad Técnca de Machala. Eduardo Vnco Pulla Carrón Ecuatorano, Ingenero Comercal. Maestra en Admnstracon de Empresas en la Unversdad Naconal de Loja - Ecuador, Investgador. Actualmente Docente de la Undad Académca de Cencas Empresarales de la Unversdad Técnca de Machala.
Matemátca fnancera Aplcada a Proyectos Se termnó de mprmr en marzo de 2016 en la mprenta de la UTMACH, calle Loja y 25 de Juno (campus Machala) Esta edcón consta de 300 ejemplares. www.utmachala.edu.ec
ISBN: 978-9978-316-21-4 11 1 9 789978 316214