Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I Resuelve Página 8 Movimiento de una partícula Un investigador, para estudiar el movimiento de una partícula, la a iluminado con destellos de las cada décima de segundo (0, s) durante cuatro segundos. Esta es la fotografía a tamaño real:. Aproima la velocidad de la partícula en el instante t s allando su velocidad media en los intervalos [;,] y [;,]. Para ello, toma medidas sobre la fotografía.. Calcula las velocidades medias anteriores tomando valores sobre la ecuación del movimiento de dica partícula: s (t 8t + 8t ). Halla aora las velocidades medias en los intervalos [;,00] y [;,00000] tomando de nuevo valores sobre la ecuación del movimiento de la partícula. Podemos considerar que esta última velocidad media es muy parecida a la velocidad instantánea en t s?. La distancia que separa los puntos en los instantes t y t, es de, mm, luego la velocidad es:, mm/s, cm/s 0, La distancia que separa los puntos en los instantes t y t, es de, mm, luego la velocidad es:, mm/s, cm/s 0,. s _ ( 8 8 ) + cm b, 8 8 v, cm/ s s ` 6 (, 8, 8, ) 8, cm 0, + b a s cm, 8, cm/ s s 7 v (, 77 8, 8, ) 7, cm 0 +,. s cm, 8, cm/ s s 00997 v (, 00 997 8, 00 8, 00 ), 00997 cm 0, 00 + s cm, 8 cm/ s s 00000 v (, 00000 8, 00000 8, 00000 ), 00000 cm 0, 00000 + Sí podemos considerar que esta última velocidad es muy parecida a la velocidad instantánea en t s porque el intervalo de tiempo transcurrido es tan solo una millonésima de segundo.
Medida del crecimiento de una función Página 8 Hazlo tú. Halla la T.V.M. de y en [, ], [, ] y [, 0]. T.V.M. [, ] T.V.M. [, ] T.V.M. [, 0] f( ) f( ) 0 f( ) f( ) 0 f( 0) f( ) 9 0 0 9 Verdadero o falso? a) La T.V.M. mide el crecimiento medio de una función en un intervalo. b) Si f es creciente en [a, b], su T.V.M. en ese intervalo es positiva, y si es decreciente, su T.V.M. es negativa. c) Si la T.V.M. de f en [a, b] es 0, signiica que f es constante en [a, b]. a) Verdadero. b) Verdadero. El signo de la T.V.M. depende solo del signo del numerador. Si f es creciente f (b ) > f (a), luego el numerador es positivo. Si f es decreciente, f (b ) < f (a), luego el numerador es negativo. c) Falso. Solo podemos airmar que f (a) f (b ). Esto no quiere decir que sea constante. Halla la T.V.M. de la función y 8 + en los siguientes intervalos: [, ], [, ], [, ], [, ], [, 6], [, 7], [, 8] T.V.M. [, ] T.V.M. [, ] T.V.M. [, ] T.V.M. [, ] T.V.M. [, 6] T.V.M. [, 7] T.V.M. [, 8] f( ) f( ) 0 f( ) f( ) f( ) f( ) f( ) f( ) f( 6) f( ) 0 6 f( 7) f( ) 0 7 6 f( 8) f( ) 8 7
Halla la T.V.M. de y 8 + en el intervalo variable [, + ]. Comprueba que, dando a los valores adecuados, se obtienen los resultados del ejercicio anterior. T.V.M. [, + ] f( + ) f( ) ( + ) 8( + ) + 6 ( 6) 6 Dando a los valores,,,,, 6, 7 se obtienen los resultados del ejercicio anterior. Página 8 En la gráica, en verde, de la función y f () adjunta, se an señalado cinco puntos: A, B, C, D y E. En cada uno de ellos está trazada la recta tangente, cuya pendiente se puede calcular. y f () B C A D E Epresa los resultados utilizando epresiones del tipo: f '(a) Por ejemplo, para el punto B : f '( ) PUNTO PENDIENTE A f ' ( 8) B f ' ( ) 9 7 C f ' () D f ' () E f ' (0)
Obtención de la derivada a partir de la epresión analítica Página 87 Hazlo tú. Halla la derivada de y en los puntos de abscisas, y. f( + ) f( ) f '() lm í " 0 f( + ) + f( ) f( + ) f( ) ( ) f( + ) f( ) f '() lm í 0 " f( + ) f( ) f '( ) lm í " 0 f( + ) + f( ) f( + ) f( ) ( ) f( + ) f( ) f '( ) lm í 0 " f( + ) f( ) f '() lm í " 0 f( + ) + + f () f ( + ) f () + + f( + ) f( ) + + f '() lm í c m " 0 +
Hazlo tú. Halla la derivada de y + 7 en los puntos de abscisas 0,,,, y. f ( + ) ( + ) + 7( + ) + + + 7+ 7 f ( + ) f () + + + 7+ 7 e + 7o + + 7 f ( + ) f () + + 7 + + 7 f ( + ) f () f '() lm í " 0 lm í c+ + " 0 7 m + 7 f '(0) 0 + 7 7 f '() + 7 8 f '() 9 f '() 0 f '() f '() Verdadero o falso? a) La derivada de una función, y f (), en a es la pendiente de la recta tangente a la gráica de la función en ese punto. b) f ' () 0 signiica que la tangente a la gráica de y f () en es paralela al eje. c) Si f ' () > 0, entonces f es creciente en el punto de abscisa. a) Verdadero. b) Verdadero. La pendiente de la recta tangente en es cero, luego la recta es orizontal. c) Verdadero, debido a la inclinación de la recta tangente a f en ese punto. Halla la derivada de y en el punto de abscisa. f ( + ) f ( ) f '( ) lm í " 0 f ( + ) f ( ) + + + + ( + ) f ( + ) f ( ) f '( ) lm í " 0 lm í lm í " 0 " 0 Halla la derivada de y + en los puntos de abscisas, 0, y 7. Eplica por qué obtienes en todos los casos el mismo resultado. f( + ) f( ) f ' ( ) lm í " 0 f ( + ) f ( ) ( + ) + 0 6 6 f '( ) lm í 0 " f( ) f( 0) f ' (0) lm í " 0 f () f (0) + f '(0) lm í " 0
f( + ) f( ) f ' () lm í " 0 f ( + ) f () ( + ) + ( ) 8 + 8 f '() lm í " 0 f( 7+ ) f( 7) f ' (7) lm í " 0 f (7 + ) f (7) (7 + ) + ( 0) + f '(7) lm í 0 " Como la función es una línea recta, crece o decrece siempre de la misma forma y al ser la derivada una forma de medir el crecimiento de una función, esta debe valer lo mismo en todos los puntos. Halla la derivada de y + en los puntos de abscisas,, 0,,,,, y 6. Calculamos la derivada de forma general y la evaluamos en cada uno de los puntos pedidos. f ( + ) f () f '() lm í " 0 f ( + ) f () ( + ) ( + ) + ( + ) + 6 + + + + 6 f '() lm í 0 + " 6 lm í ( + 6 ) 6 " 0 f '( ) 7 f '( ) f '(0) f '() f '() 7 f '() f '() 9 f '() f '(6) 6
Función derivada de otra Página 88 Verdadero o falso? Las rectas tangentes en un punto cualquiera, 0, a las gráicas de y f () e y f () + son paralelas. Eso signiica que las dos funciones tienen la misma función derivada. y f () + y f () 0 Verdadero, porque al ser paralelas las rectas tangentes en cualquier punto, deben tener la misma pendiente en todos los puntos. Halla la derivada de f () ( ) () + f+ f ( )( ) + + f ( + ) f () f '() lm í " 0 f ' () f ' ( ) f ' () f ' () y, a partir de ella, calcula f ' (), f ' ( ), f ' () y f ' (). lm í " 0 ( + )( ) ( ) ( + )( ) Halla la función derivada de f () y calcula las pendientes de las rectas tangentes a la curva en los puntos de abscisas y 7. f ( + ) f () + ( + )( + + ) ( + + ) + ( ) ( + + ) + + f ( + ) f () f '() lm í " 0 f ' () lm í " 0 + + f '(7) Halla la función derivada de f () +. f ( + ) f () ( + ) + ( + ) ( + ) + + + + + + + + + + + + + + f ( + ) f () f '() lm í " 0 lm í ( + + + + ) + " 0 7
Página 89 En la fórmula que sirve para allar la ecuación de la tangente a la curva y f () en un punto y f (a) + f ' (a)( a) di el papel que desempeña cada una de las letras que intervienen. La es la variable independiente, de qué función? a es la abscisa del punto en el que se alla la recta tangente. f (a) es la ordenada de dico punto. f ' (a) es la pendiente de la recta tangente o, también, la derivada de la función en el punto de abscisa a. es la variable independiente de la recta tangente. y es la variable dependiente de dica recta. 8
Reglas para obtener las derivadas de algunas funciones Página 90 Calcula: a) D ( ) b) D cm c) D ` j d) D ` j a) D ( ) b) D D ( ) cm c) D` j D ( / ) ( /) / d) D` j D ( / ) ( /) / e) D D / / f p e o D ` 6 / j ( 6 /) 6 6 6 Página 9 e) D f p Hazlo tú. Halla la función derivada de las siguientes funciones: a) f () + 7 b) g () a) f ' () + 0 + / / b) g () c) () g ' () / / c) () / / ' () cm 7 / 7 / Hazlo tú. Halla la función derivada de las siguientes funciones: a) f () b) g () + + a) f () ( ) 6 c) () + f ' () b) g ' () 6 ln 6 ln 6 6 ( ) ( + ) ( + ) ( + ) 9+ 9 ( + ) 8+ 8 ( + ) ( + ) ( + ) c) () + ' () + 9
Halla la función derivada de las siguientes funciones: f () + 7 f ' () + 7 0 + 7 f () e f () e / e f ' () c / e+ / em c e+ em e c + m f () e cos + f () e cos f ' () f () tg ( e cos e sen ) e cos ln e cos e sen e cos ln ( ) e ( cos sen ln cos ) f ' () tg + ln tg + cos 6 f () log f ' () lon log ln ln ln log ln 7 f () + f () + + f ' () + + ( ) + 6 8 f () + ( ) ( + ) f ' () ( ) ( ) ( ) 9 f () (sen ) b + πl f ' () (cos ) b + πl + (sen ) () 0 f () cos f ' () ln cos ( sen ) ( ln cos + sen ) cos cos 0
f () f () f ' () + ln ln Página 9 Halla la función derivada de las siguientes funciones: f () sen ( + 7) f ' () ( ) cos ( + 7) f () ( + ) ( + ) / f ' () ( + ) / 0 + f () sen b + πl Z ( ] )' D sen π ] e b + lo ( sen )' cos [ b + π ] l' \ f ' () senb+ πlcosb+ πl 6senb+ πlcosb+ πl También, usando la fórmula del seno del ángulo doble, podríamos dar el resultado de esta otra manera: f ' () sen b + πl cos b + π l sen ( 6 + π) sen 6 f () log f () log 8 f ' () ( ln0 log ) ln0 6 f () cos ( π) f ' () sen ( π) 7 f () + f ' () + 8 f () e + + + + f ' () e + e e ( + ) + sen( ) 9 f () cos ( + ) + [ sen( + )]/ f ' () ( ) cos ( + ) + sen( + ) ( )
Utilidad de la función derivada Página 9 Hazlo tú. Halla las rectas tangentes a y paralelas a y. Buscamos las rectas de pendiente : f () 8 f ' () Las soluciones de la ecuación son las abscisas de los puntos en los que las rectas tangentes a la gráica de la función tienen pendiente y, por tanto, son paralelas a la recta dada. 8 + 0 8, 8 f () 8 Recta tangente: y ( ) 8 y 8 fcc mm c m 8 Recta tangente: y c m 8 y + 7 7 7 Página 9 Hazlo tú. Halla los puntos singulares de y + y determina los intervalos donde crece o decrece. Resolvemos la ecuación f ' () 0: f ' () 6 6 f ' () 0 8 6 6 0 8 0 8, f () ( ) ( ) ( ) + 0 8 (, 0) es un punto singular. f () + 7 8 (, 7) es otro punto singular. Teniendo en cuenta las ramas ininitas: lm í f () "+ lm í f () " lm í ( + ) + "+ lm í ( + ) " Tenemos que los intervalos (, ) y (, + ) son intervalos de crecimiento. En el intervalo (, ) la función decrece. a) Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la gráica de y 8 + en los puntos de abscisas y. b) Halla las rectas tangentes a la curva con pendiente. a) Calculamos la derivada primera: f ' () 6 + f '( ) 6 + 0 8 La recta tangente es: y 0( ) + 8 y f ( ) 8+ f '( ) + 6 + 8 La recta tangente es: y ( + ) 9 8 y + f ( ) 8 9
b) Hallamos las abscisas de los puntos en los que las tangentes tienen pendiente resolviendo la ecuación f ' () : 6 + 8 6 0 8 ( 6) 0 8, 0, 8 f ( ) ( ) 8( ) + ( ) 0 La recta tangente es: y ( + ) 0 8 y 6 0 8 f (0) 0 La recta tangente es: y 8 f () 8 + 8 La recta tangente es: y ( ) + 8 8 y 6 Halla el valor máimo de la función y + + en el intervalo [0, ] y en el intervalo [, ]. Halla el mínimo en cada uno de esos intervalos. Calculamos primero los puntos singulares de la función: f ' () + f ' () 0 8 + 0 8, En el intervalo [0, ] evaluamos: f (0) f () 9 f () El máimo se encuentra en y vale 9. El mínimo se encuentra en 0 y vale. En el intervalo [, ] evaluamos: f ( ) 68 f ( ) f () 9 f () El máimo se encuentra en y vale 68. El mínimo se encuentra en y vale.
6 Representación de funciones Página 97 Representa estas funciones: a) y + 8 b) y + + 6 90 c) y + a) f '() 6 6 0 8, Máimo en (, ). Mínimo en (, ). 0 0 0 0 b) f '() + + 7 ( 6) 0 0 ± + ± Máimo en (, 6) y en (, 99). Mínimo en (0, 90). c) f '() + 0 ( + ) 0 Mínimo en (, 7). Punto de inleión en (0, 0). f () 0 8 0 ( + ) 0 Puntos de corte con los ejes: (0, 0) y (, 0). 00 00 00 00 0 0 0 0 Página 99 Representa las siguientes funciones racionales, siguiendo los pasos de la página anterior: a) y d) y + a) f ' () + + + b) y + + e) y + f ) y ( + )( + ) ( + + ) + + + + ( + ) ( + ) + 8 0 8, ( ) + Máimo en (, ). Mínimo en (, 7). Asíntota vertical: Asíntota oblicua: y + c) y + 8 0 0 8 0 0
b) f ' () ( + )( + ) ( + ) + + + + + 0 ( + ) ( + ) ( + ) Puntos de corte con los ejes: (0, 0) y (, 0) Asíntota vertical: Asíntota oblicua: y + c) f ' () ( + ) + 8 ( + ) ( + ) ( + ) 0 Mínimo en (0, 0). Asíntota orizontal: y 8 0 0 8 0 0 d) f '() 8 0 ( + ) Máimo en (0, ). Asíntota orizontal: y 0 e) f ' () ( ) ( + )( ) + + ( ) ( ) ± + 07, 0 8 ( ), 7 Máimo en (0,7;,7). Mínimo en (,7; 0,7). Asíntotas verticales: 0, Asíntota orizontal: y f) Dominio Á {0} Asíntota vertical: _ lm í b 8 0 b ` lm í 8 0+ b a Asíntota orizontal: y 0 es asíntota vertical ; y es asíntota orizontal Cuando 8, y < ; y cuando 8 +, y <. Por tanto, la curva está por debajo de la asíntota. Puntos singulares: f ' () ( ) + f ' () 0 8 f () no tiene puntos singulares Observamos que f ' () < 0 si < 0; y que f ' () > 0 si > 0. Luego la función es decreciente en (, 0) y es creciente en (0, + ). Corta al eje en (, 0) y (, 0). 6 y
Ejercicios y problemas resueltos Página 00. Función derivada a partir de la deinición Hazlo tú. Dada f (), alla f '() aplicando la deinición. + f ( + ) f () + ( )( ) ( ) + + + + + + + + + + ( + + )( + ) ( + + )( + ) ( + + )( + ) f ( + ) f () f '() lm í " 0 ( + + )( + ) lm í " 0. Reglas de derivación Hazlo tú. Halla f '() siendo: f () ln + c m lm í " 0 ( + + )( + ) ( + ) f () ln + [ ln( + ) ln )] f '() c m + ( + ) Página 0. Recta tangente paralela a una recta Hazlo tú. Halla la ecuación de la recta tangente a la curva f () que sea paralela a la recta y + 0. Despejando y en la ecuación de la recta dada, podemos obtener su pendiente. y + 8 La pendiente de la recta es. Las abscisas de los puntos en los que la recta tangente es paralela a la recta anterior son las soluciones de la ecuación f ' (). f ' () 6 8 6 8 es el punto en el que la tangente y la recta dada son paralelas. Finalmente, como f (), la recta buscada es y ( ), es decir, y.. Puntos de tangente orizontal Hazlo tú. Halla los puntos singulares de la función f () 6 y di si son máimos o mínimos. Hallamos las abscisas de los puntos singulares resolviendo la ecuación f '() : f '() 0 8 0 8 0, Calculamos las ordenadas de estos puntos: f (0) 0 f () Los puntos singulares son (0, 0) y (, ). Ramas ininitas: lm í ( 6 ) + 8 (, ) es un mínimo. "+ lm í ( 6 ) 8 (0, 0) es un máimo. " 6
6. Coeicientes de una función que tiene puntos singulares Hazlo tú. Halla b y c de modo que la función f () + b + c pase por (, 0) y f '(). Si f pasa por (, 0), entonces f () 0. + b + c 0 8 c 0 f '() + b f '() 8 + b 8 b Página 0 7. Intervalos de crecimiento y de decrecimiento Hazlo tú. Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función f (). Dom Á {} f ' () ( ) ( ) ( ) ( ) f '() 0 8 ( ) 0 8 0 8 0, Estudiamos los signos de f dentro del dominio de deinición en los intervalos cuyos etremos son los puntos singulares. f ' < 0 f ' >0 f ' > 0 f ' < 0 0 Por tanto, f crece en (0, ) (, ) y decrece en (, 0) (, + ). 8. Gráica de una función racional continua Hazlo tú. Estudia y representa la función f () +. Su dominio de deinición es asíntotas verticales. Asíntota orizontal: y porque Posición: Calculamos f () + Si 8 +, entonces f () < 0. Si 8, entonces f () < 0. Puntos singulares: f ' () ( + ) ( + ) ( + ) porque la ecuación + 0 no tiene solución. Por tanto, no tiene lm í " ± + + f ' () 0 8 0 8 0 8 f (0) 0 8 El punto (0, 0) es un punto singular. Estudiamos el signo de f ' (): (, 0) (0, + ) SIGNO DE f ' () + f () 7
El punto (0, 0) es un mínimo. Gráica: Página 0 9. Estudio y representación de una función polinómica Hazlo tú. Estudia y representa esta función: f () + ( ) Por ser una función polinómica, su dominio es, es continua y no tiene asíntotas. Ramas ininitas: lm í [ + ( ) ] + "+ lm í " [ + ( ) ] Puntos singulares: f ' () ( ) f ' () 0 8 ( ) 0 8 Como f (), el punto (, ) es el único punto singular. Crecimiento y decrecimiento: Como f ' () ( ) > 0 para todo, la función crece a ambos lados de y no es ni máimo ni mínimo. Cortes con los ejes: 0 8 y 6 y 0 8 + ( ) 0 8 ( ) 8 Gráica: 8 6 8 6 6 8 6 8 8
0. Estudio y representación de una función racional Hazlo tú. Estudia y representa esta función: f () + 8 La función no está deinida en 0 8 Dom {0} Asíntota vertical: 0 Posición: Si 8 0, f () 8 Si 8 0 +, f () 8 + Asíntotas orizontales y oblicuas: Como el grado del numerador es una unidad mayor que el grado del denominador, tiene una asíntota oblicua. Dividimos: f () + 8 8 La asíntota es y Posición: Si 8, f () y 8 < 0. Curva bajo la asíntota. Si 8 +, f () y 8 > 0. Curva sobre la asíntota. Puntos singulares: f '() 8 f '() 0 8 8 0 8 8 0 8, f ( ) 8, f () 8. Por tanto, (, 8) y (, 8) son los puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento: Cortes con los ejes: No corta al eje O. y 0 8 Gráica: y 8 f ' > 0 f ' < 0 f ' < 0 f ' > 0 0 8 0 8 + 8 0 No tiene solución (no corta al eje O). 6 8 6 8 9
Ejercicios y problemas guiados Página 0. Derivadas sobre la gráica Observando la gráica de la dereca, de y f (), sobre la que se an trazado las tangentes en y en : a) Hallar el valor de f '() y f '(). b) Para qué valores de es f '() 0? c) Para qué valores de es f '() < 0? a) La tangente en pasa por los puntos (, ) y (, ). Su pendiente es: m 8 f '() La tangente en pasa por los puntos (, ) y (, ). Su pendiente es: m 8 f '() b) Los puntos de pendiente orizontal tienen abscisas 0 y. c) Si f ' () < 0, entonces la función es decreciente. El intervalo de decrecimiento es (0, ) y, por tanto, en ese intervalo la primera derivada es negativa.. Función polinómica Representar una función polinómica sabiendo que lím " ± f (), que sus puntos de tangente orizontal son (0, ) y (, ), y que corta al eje solo en y en.. Función cuadrática Hallar la función de segundo grado que pase por (0, ) y tal que la pendiente de la recta tangente en el punto (, ) valga. La ecuación de una función cuadrática es de la forma y a + b + c. Pasa por (0, ) 8 c Pasa por (, ) 8 a + b + 8 a + b Como la pendiente de la tangente en (, ) es, debe ocurrir que f ' () : f ' () a + b f ' () 8 a + b Resolvemos este sistema: a+ b 8 a, b 9 a+ b La función cuadrática buscada es y 9 +. 0
. Gráica de la función derivada Esta es la gráica de f ', función derivada de f. a) Obtener f '(0) y f '(). b) Tiene f algún punto singular? c) Estudiar el crecimiento de f. f ' a) Leyendo directamente la gráica vemos que f ' (0) y f ' (). b) El punto es un punto singular porque f ' () 0. c) La función es creciente en (, + ) porque f ' () > 0 en este intervalo.. Máimo y mínimo en un intervalo Hallar los valores máimo y mínimo de la función f () + en el intervalo [0, ]. Los valores máimo y mínimo de una función en un intervalo de este tipo pueden darse en los etremos del intervalo o en los puntos singulares. Calculamos los puntos singulares: f ' () 8 0 8, El primer punto singular no lo consideramos porque queda fuera del intervalo [0, ] en el que se estudia la función. Evaluamos: f (0) f () f () 9 Por tanto, el máimo se da en y vale 9. El mínimo se da en y vale.
Ejercicios y problemas propuestos Página 0 Para practicar Tasa de variación media Halla la tasa de variación media de estas funciones en el intervalo [, ] e indica si dicas funciones crecen o decrecen en ese intervalo: a) f () / b) f () ( ) c) f () + d) f () T.V.M. [, ] a) T.V.M. [, ] b) T.V.M. [, ] c) T.V.M. [, ] d) T.V.M. [, ] f( ) f( ) f( ) f( ) / 8 Decrece 8 Decrece 7 8 Crece 8 8 Crece a) Halla la T.V.M. de las funciones f () + y g () en el intervalo [, + ]. + b) Calcula la T.V.M. de esas funciones en el intervalo [;,] utilizando las epresiones obtenidas en el apartado anterior. a) Para la función f (): f( + ) f( ) ( + ) + ( + ) T.V.M. [, + ] + + Para la función g (): g( + ) g( ) ( ) T.V.M. [, + ] + + + + b) Para la función f (): T.V.M. [;,] 0,, Para la función g (): T.V.M. [;,] 0, + Compara la T.V.M. de las funciones f () y g () en los intervalos [, ] y [, ], y di cuál de las dos crece más en cada intervalo. Para f (): T.V.M. [, ] 9 T.V.M. [, ] 7 Para g (): T.V.M. [, ] 8 T.V.M. [, ] En [, ] crece más f (). En [, ] crece más g ().
Esta gráica muestra la longitud de un feto durante el embarazo. Estudia el crecimiento medio en los intervalos [, ] y [0, 0] y di en qué periodo es mayor el crecimiento: T.V.M. [, ] T.V.M. [0, 0] f( ) f( ) 7, cm/semana 0 0 f( 0) f( 0),7 cm/semana 0 0 El crecimiento medio es mayor entre las semanas 0 y 0. 0 0 0 0 0 LONGITUD (cm) 0 TIEMPO (semanas) 0 0 0 Deinición de derivada Halla la derivada de las siguientes funciones en, utilizando la deinición de derivada: a) f () b) f () ( + ) c) f () / d) f () /( + ) f( + ) f( ) a) f '() lm í " 0 lm í 0 (+ ) " lm í 0 (+ + ) " lm í + + 6 " 0 f( + ) f( ) b) f '() lm í " 0 ( + 6) lm í " 0 6 ( ( + ) + ) 9 lm í " 0 ( + ) 9 lm í " 0 lm í + 9+ 9 " 0 f( + ) f( ) c) f '() lm í " 0 ( + ) lm í " 0 /( + ) lm í " 0 lm í " 0 ( + ) f( + ) f( ) d) f '() lm í " 0 ( + + ) " lm í 0 9 9 6 9 9( + ) lm í " 0 lm í 6 " 0 9 ( + ) lm í 6 " 0 9( + ) 7 6 Aplica la deinición de derivada para allar la pendiente de la tangente en de las curvas f () y g (). 7 f( + ) f( ) ( + ) ( + ) 8 + f( + ) f( ) f '() lm í " 0 lm í ( ) 0 " 0 ( ) g( + ) g( ) + ( + ) 7 g( + ) g( ) g' () lm í " 0 lm í " 0
7 Observa la gráica de f en la que se an trazado las tangentes en, f 0 y y responde. 6 a) Cuál es el valor de f '( ), f '(0) y f '()? b) En qué puntos es f '() 0? c) En, la derivada es positiva o negativa? en? a) f ' ( ) f ' (0) b) En y. f ' () c) En la derivada es positiva porque la pendiente de la tangente lo es. Análogamente, la derivada en es negativa. 8 Halla la función derivada de las siguientes funciones, aplicando la deinición: a) f () ( ) b) f () + 7 c) f () d) f () a) f ( + ) f () f ( + ) f () f '() lm í " 0 ( + ) lm í " 0 + + b) f ( + ) f () ( + ) + 7( + ) ( + 7 ) f ( + ) f () f '() lm í " 0 + + + 7 + 7 7 + lm í ( + + 7) + 7 " 0 + + 7 c) f ( + ) f () ( + ) ( + ) ( ) f ( + ) f () f '() lm í " 0 + + + + + + lm í ( + + ) " 0 d) + f ( ) f () + + ( + ) ( + )( ) ( + ) f ( + ) f () f '() lm í " 0 + ( + ) ( + ) ( + ) lm í " 0 ( + )
Reglas de derivación 9 Halla la función derivada de las siguientes funciones y simpliica cuando sea posible: a) f () + 7 b) f () e c) f () + d) f () + e) f () g) f () i) f () e 7 + + f ) f () ln ( + ) + a) f ' () + 7 + b) f ' () e 6e c) f '() + + d) f ' () ( + ) + ( + ) ( + ) e) Teniendo en cuenta que f ' () : 0 ( 7 + ) 7 7 + + ( 7 + ) ( 7 + ) 6 f ) f '() ( ) + + + + ) f () ln + e j) f () c m log g) f ' () + + ( + ) + + ) f () ln + ln + e f '() + e ( ) e i) f '() e j) f '() ( ) ( ) log log log + + c ln ln + m ln 0 Aplica las reglas de derivación y simpliica si es posible. a) f () ( ) b) f () cos ( + π) c) f () sen d) f () e + e e) f () + 7 f ) f () e bl g) f () tg () ) f () sen i) f () 7 ln j) f () ( + ln ) a) f ' () ( ) ( ) +
b) f '() sen ( + π) c) f '() cos cos d) f () + e ( e ) + e e f '() e ( ) e e) f '() ( + 7) 7 + 7 + 7 + f) f '() e + + e + e ( + ) 8 8 8 g) f '() ( ) cos cos( ) ) f '() sen + cos sen + cos i) f '() 7 7 ln ln j) f '() ( + ln ) c+ m c+ + ln + ln m Deriva las siguientes funciones: a) f () e + b) f () ln cm c) f () d) f () e o e) f () log ( ) f ) f () e ln g) f () ( + ) ) f () ln c a) f () (e + ) / f '() ( e + ) / ( e + ) ln ( ) b) f '() ln ln ln c) f () ( ) / f '() cm ( ) / ( ) ( ) / ( ) d) f '() ( ) ( ) ( ) ( ) 6 + 8 + ( ) ( ) ( ) m e) f '() log ( ) log ( ) ( ) ln + f ) f () e ( ln ) e ln f '() c e ln + e m e ln c m ( ) ln 6
g) f () ( + ) / f '() ( + ) / 0 + ) f () lne o f '() ( ) ( ) 8 ( + ) + ( ) ( ) ( ) Aplica las propiedades de los logaritmos antes de aplicar las reglas de derivación, para obtener la derivada de estas funciones: a) f () ln + b) f () ln ( e ) c) f () ln ( ) d) f () log e) f () ln g) f () log + f ) f () log ( ) ) f () log e a) f () ln ( + ) ln ( ) f '() + b) f () ln + ln e ln f '() c) f () ln ( ) f '() ( 6) d) f () log ( ) / log ( ) f '() ( ) ln ( ) ln e) f () [ ln ln ( )] + f ' () < F + G + + + f) f () log ( ) log f '() < 9 F ln0 ln0 ln0 9 + 6 ln0 ( + ) ln0 ( ) 7
/ g) f () log log c [ log ( ) log ] m c m f '() c m e o ln ( ) ln ) f () ln Página 06 f '() ln + ln + Recta tangente y recta normal Halla la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la función f en el punto de abscisa indicado en cada caso. a) f () + 6 en b) f () + en c) f () e) f () sen + π b l en π a) f ' () f () 0 f ' () en d) f () ln en e La recta tangente es y ( ) + 0, es decir, y + La recta normal es y ( ) + 0, es decir, y b) f '() + f () f '() La recta tangente es y ( ) +, es decir, y La recta normal es y ( ) c) f '() 6 ( ) f ( ) f ' ( ) 8 + ( ) +, es decir, y + / La recta tangente es y 8( + ), es decir, y 8 La recta normal es y ( + ), es decir, y 8 8 8 d) f '() f (e ) f ' (e ) e La recta tangente es y e ( e ) +, es decir, y + e La recta normal es y ( e ) +, es decir, y e + e / e 8
e) f '() cosb+ πl fbl π f ' π bl La recta tangente es y b πl+ La recta normal es y b πl +, es decir, / y b πl+ Halla los puntos en los que la pendiente de la recta tangente a cada una de las siguientes funciones es igual a : a) y b) y + c) y + d) y ln ( ) a) f ' () f ' () 8 8 b) f ' () f ' () 8 c) f ' () ( + ) ( + ) ( + ) + f ' () 8 d) f ' () f ' () 8 ( + ) + 8 ( + ) 8, 8 + 8 8 8 Escribe, en cada caso, la ecuación de la recta tangente a f, que sea paralela a la recta dada. a) f () + + paralela a + y + 0 b) f () paralela a y 6 + 0 c) f () + paralela a y 0 a) + y + 0 8 y Por tanto, la recta tangente debe tener pendiente para que sea paralela. f ' () + f ' () 8 + 8 f ( ) y la recta tangente es y ( + ). 9
b) La recta tangente debe tener pendiente 6 para que sea paralela. f ' () f ' () 6 8 6 8, Si 8 f ( ) 0 La recta tangente en es y 6( + ) Si 8 f ( ) 0 La recta tangente en es y 6( ) c) y 0 8 y Por tanto, la recta tangente debe tener pendiente para que sea paralela. f ' () f ' () 8 ( + ) ( ) ( + ) ( + ) ( + ) Si 8 f ( ) 8 ( + ) 8, La recta tangente en es y ( + ) Si 8 f ( ) 6 La recta tangente en es y ( + ) + 6 6 Escribe las ecuaciones de las rectas tangentes y de las rectas normales a la función y en los puntos de corte con el eje de abscisas. Los puntos de corte con el eje de abscisas se obtienen aciendo y 0. y 0 8 0 8, f ' () Si 8 f ' ( ). La recta tangente en es y ( + ) Si 8 f ' (). La recta tangente en es y ( ) Las rectas normales son: en, y ( + ) y en, y ( ). 7 Obtén los puntos donde la recta tangente es orizontal y escribe su ecuación. a) y + b) y + c) y d) y e) y + f ) y + Los puntos donde la recta tangente es orizontal son aquellos en los que f ' () 0. a) f ' () 6 f ' () 0 8 6 0 8 f c m c m + La ecuación de la recta tangente es y 0
b) f '() 6 6 f '() 0 8 6 6 0 8 0, f (0) 0 8 La ecuación de la recta tangente en 0 es y 0. f () 0 8 La ecuación de la recta tangente en es y 0. c) f '() f '() 0 8 0 8 0, f (0) 0 8 La ecuación de la recta tangente en 0 es y 0. f () 7 8 La ecuación de la recta tangente en es y 7. d) f '() f '() 0 8 0 8, f ( ) 6 8 La ecuación de la recta tangente en es y 6. f () 6 8 La ecuación de la recta tangente en es y 6. e) f '() f '() 0 8 0 8 0 8, f ( ) 8 La ecuación de la recta tangente en es y. f () 8 La ecuación de la recta tangente en es y. f) f '() ( + ) f ' () 0 8 ( + ) 0 8 0 f (0) 0 8 La ecuación de la recta tangente en 0 es y 0. Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento 8 Halla, en cada caso, los puntos singulares de la función y determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento. a) f () 8 + b) f () c) f () d) f () + 6 + e) f () a) f ' () 8 f ' () 0 8 8 0 8 Como f (), el punto (, ) es un punto singular. f ) f () + f ' < 0 f ' > 0 Intervalo de crecimiento, (, + ). Intervalo de decrecimiento, (, ). b) f ' () 6 f ' () 0 8 6 0 8 Como f (), el punto (, ) es un punto singular. f ' > 0 f ' < 0 Intervalo de crecimiento, (, ). Intervalo de decrecimiento, (, + ).
c) f ' () 6 f ' () 0 8 6 0 8 0, 6 Como f (0) 0 y f (6) 6, los puntos (0, 0) y (6, 6) son puntos singulares. f ' > 0 f ' < 0 f ' > 0 0 6 Intervalos de crecimiento, (, 0) (6, + ). Intervalo de decrecimiento, (0, 6). d) f ' () + + f ' () 0 8 + + 0 8 Como f ( ) 8, el punto (, 8) es un punto singular. Intervalo de crecimiento,. e) Dom {} f '() ( ) f ' () 0 8 0 8 0, ( ) Como f (0) 0 y f (), los puntos (0, 0) y (, ) son puntos singulares. f ' > 0 f ' < 0 f ' < 0 f ' > 0 0 f ' > 0 f ' > 0 Intervalos de crecimiento, (, 0) (, + ). Intervalos de decrecimiento, (0, ) (, ). f) Dom { } f '() ( + ) No tiene puntos singulares. Como f ' () > 0 siempre que y la función no está deinida en, los intervalos de crecimiento son (, ) (, + ). 9 Comprueba que las siguientes funciones no tienen puntos singulares y determina los intervalos donde crecen o decrecen: a) y + b) y c) y d) y ln a) f ' () + f ' () 0 8 + 0 no tiene solución. Por tanto, no tiene puntos singulares. Como f ' () > 0, la función es creciente en todo. b) Dom {0} f '() f '() 0 8 0 no tiene solución. Por tanto, no tiene puntos singulares. Como f ' () < 0 siempre que 0 y no está deinida en 0, los intervalos de decrecimiento son (, 0) (0, + ). c) Dom [0, + ) f ' () f ' () 0 8 0 no tiene solución. Por tanto, no tiene puntos singulares. Como f ' () > 0 siempre que 0, el intervalo de crecimiento es [0, + ).
d) Dom (0, + ) f ' () f ' () 0 8 0 no tiene solución. Por tanto, no tiene puntos singulares. Como f ' () > 0 en su dominio de deinición, el intervalo de crecimiento es (0, + ). 0 Halla los puntos singulares de las siguientes funciones y, con ayuda de las ramas ininitas, determina si son máimos o mínimos: a) y + + b) y c) y 8 + 0 d) y e) y + a) f ' () + f ' () 0 8 + 0 8, f ) y + Como f cm 8 y f (), los puntos c, 8 m y (, ) son puntos singulares. 7 7 lm í " lm í "+ f () Por tanto c, 8 m es un máimo y (, ) es un mínimo. f () + 7 b) f ' () 6 f ' () 0 8 6 0 8 0, Como f (0) 0 y f (), los puntos (0, 0) y (, ) son puntos singulares. lm í " lm í "+ f () + Por tanto, (0, 0) es un mínimo y (, ) es un máimo. f () c) f ' () 6 f ' () 0 8 6 0 8, 0, Como f ( ) 6, f (0) 0 y f () 6, los puntos (, 6), (0, 0) y (, 6) son puntos singulares. lm í " lm í "+ f () + Por tanto, (, 6) y (, 6) son mínimos. f () + El punto (0, 0) debe ser un máimo porque está entre dos mínimos. d) f '() f '() 0 8 0 8 Como f ( ) 9 el punto (, 9) es un punto singular. lm í " lm í "+ f () Por tanto, (, 9) es un máimo. f ()
e) f '() 6 ( + ) f ' () 0 8 6 ( + ) 0 8 0 Como f (0), el punto (0, ) es un punto singular. lm í " lm í "+ f () 0 Por tanto, (0, ) es un máimo. f () 0 f) Dom {0} f ' () f '() 0 8 0 8 Como f ` j, el punto `, j es un punto singular. lm í " lm í "+ f () + Por tanto, `, j es un mínimo. f () + Indica en cada una de estas funciones los valores de en los que f ' es positiva y en los que f ' es negativa: a) b) c) a) f ' > 0 si < f ' < 0 si > b) f ' > 0 si < 0 f ' < 0 si > 0 c) f ' > 0 si é (, ) (, + ) f ' < 0 si é (, ) Gráicas de funciones polinómicas y racionales Representa una función y f () de la que conocemos: Dominio de deinición: Á {0} Corta al eje en. Asíntota orizontal: y 0 Si +, f () < 0 Si, f () < 0 Asíntota vertical: 0 Si 0 +, f () + Si 0, f () Mínimo en (, ).
Representa una función y f () de la que conocemos: Asíntota vertical: Si +, f () + Si, f () Asíntota oblicua: y Si +, f () > Si, f () < Tiene máimo o mínimo la función que as representado? Sí. Tiene un máimo y un mínimo. Representa una función y f () de la que sabemos que: Es continua. lm í " f () + ; lm í " + f () Sus puntos de tangente orizontal son (, ) y (, ). Indica si los puntos de tangente orizontal son máimos o mínimos. (, ) es un mínimo. (, ) es un máimo.
Página 07 De una función polinómica sabemos que: lm í " f () + ; lm í " + f () + Su derivada es igual a 0 solo en (, ) y en (, ). Corta a los ejes solo en (0, 0) y en (, 0). Represéntala gráicamente. 6 Representa una función continua y f () de la que sabemos que: Sus puntos de tangente orizontal son (, ) y (, ). Sus ramas ininitas son así: 7 Comprueba que la función y ( ) pasa por los puntos (0, ), (, 0) y (, ). Su derivada se anula en el punto (, 0). Puede ser un máimo o un mínimo ese punto? f ' () ( ) : f (0) 8 pasa por (0, ) f ' () 0 f () 0 8 pasa por (, 0) f () 8 pasa por (, ) El punto (, 0) no es ni máimo ni mínimo. 6
8 Comprueba que la función y + tiene dos puntos de tangente orizontal, (, ) y (, ); sus asíntotas son 0 e y y la posición de la curva respecto de las asíntotas es la que se indica en la ilustración. Represéntala. f () + f ' () 0 8, Puntos (, ) y (, ). lm í f () + ; lm í + " 0 " 0 Asíntota vertical en 0. Asíntota oblicua en y. f () 9 I II Observa estas gráicas y describe: a) Sus ramas ininitas, asíntotas y posición de la curva con respecto a ellas. b) Sus puntos singulares, crecimiento y decrecimiento. a) Función I Tiene una rama parabólica cuando 8. La recta y 0 es una asíntota orizontal cuando 8 + y la función queda por encima de la asíntota. Función II La recta y es una asíntota oblicua cuando 8 y cuando 8 +. En ambos casos, la función queda por debajo de la asíntota. La recta 0 es una asíntota vertical y la función tiende a por los dos lados. b) Función I El punto (, ) es un mínimo. El punto (, ) es un máimo. Hay otro punto singular, (0,; ), pero no es ni máimo ni mínimo. Función II Solo tiene un punto singular, el máimo (, ). 7
0 Dada la función y comprueba que: + Tiene derivada nula en (0, 0). La recta y es una asíntota orizontal. La posición de la curva respecto a la asíntota es: Si, y < Si +, y < Represéntala. f ' () ( + ) f ( 0) 0 8 La derivada en (0, 0) es nula. f ' ( 0) 0 lm í " + f () lm í "+ + + + 8 La recta y es una asíntota orizontal. Como la diferencia siempre es negativa, la función queda por debajo de la asíntota y. Completa la gráica de una función de la que sabemos que tiene tres puntos singulares:, c m, (0, 0),, cm y que sus ramas ininitas son las representadas a la dereca. 8
Para resolver a) Halla el vértice de la parábola y + 6 + teniendo en cuenta que en ese punto la tangente es orizontal. b) Halla las coordenadas del vértice de una parábola cualquiera y a + b + c. a) f ' () + 6 0 8 Punto (, ). b) f ' () a + b f ' () 0 8 a + b 0 8 b es la abscisa del vértice. a fc bm ac bm + bc bm + c b + ac es la ordenada de vértice. a a a a Determina la parábola y a + b + c que es tangente a la recta y en el punto A(, ) y que pasa por el punto B(, ). f () a + b + c f ' () a + b _ f ( ) 8 a+ b+ c b a f' ( ) 8 a+ b ` b 6 f ( ) 8 a+ b+ c b c 7 a La función es f () + 6 7. Halla el valor de para el que las tangentes a las curvas y + e y + 6 sean paralelas y escribe las ecuaciones de esas tangentes. f () + 8 f' () 6 6 + 6 8 g () + 6 8 g' () + 6 Para f () + la tangente en es: y 0( ) + 8 y 0 7 Para g () + 6 la tangente en es: y 0( ) + 6 8 y 0 Halla a, b y c en f () + a + b + c de modo que la gráica de f tenga tangente orizontal en y en 0 y que pase por (, ). f () + a + b + c f ' () + a + b _ f' ( ) 0 8 8 8a+ b 0 b a 6 f' ( 0) 8 b 0 ` b 6 f ( ) 8 + a+ b+ c b c 6 a La función es f () + 6 6. 6 La ecuación de la recta tangente a una función f () en el punto de abscisa es y + 0. Cuál es el valor de f '()? el de f ()? Despejamos y de la ecuación de la recta tangente: y +. f ' () es la pendiente de la recta tangente en, es decir, f ' () Como la recta tangente y la curva pasan por el punto de tangencia, f () +. 9.
7 Halla una función de segundo grado sabiendo que pasa por (0, ) y que la pendiente de la recta tangente en el punto (, ) vale 0. f () a + b + c f ' () a + b _ f ( 0) 8 c b a / f ( ) 8 a+ b+ c` b f' ( ) 0 8 0 a+ b b c a La función es f () +. 8 Representa las siguientes funciones allando los puntos singulares y las ramas ininitas: a) f () + b) f () + c) f () d) f () + a) f ' () 6 f ' () 0 8 6 0 8 0, f (0), f () 8 Los puntos singulares son (0, ) y (, ). lm í ( + ) + "+ lm í " ( + ) b) f '() + f '() 0 8 + 0 8, 0 f ( ) 7, f (0) 0 8 Los puntos singulares son (, 7) y (0, 0). lm í ( + ) + "+ lm í ( + ) + " 0 0 0 0 0 0 0 0 c) f '() f '() 0 8 0 8, f ( ) 6, f () 6 8 Los puntos singulares son (, 6) y (, 6). lm í ( ) "+ lm í ( ) + " 6 8 6 8 8 6 0
d) f ' () + 8 f ' () 0 8 + 8 0 8, 0, f` j, f (0) 0, f` j 8 Los puntos singulares son `, j, (0, 0) y `, j. lm í ( + ) "+ lm í ( + ) " 9 Estudia y representa. a) y + b) y 9 + 0 c) y 6 8 d) y 8 + a) f '() f '() 0 8 ± f ( ) 0 8 ( 0, ) * f ( ) 8 (, ) 6 y + lm í ( + ) " lm í ( + ) + "+ 6 6 b) f '() 8 + 6± 6 f '() 0 8 6± f ( ) 8 (, ) * f ( ) 0 8 ( 0, ) lm í ( 9 + 0) " lm í ( 9 + 0) + "+ y 9 + 0 6 0
c) f '() 8 8 8 f ( ) 8 (, ) f '() 0 8 * 8 f ( ) 8 (, ) lm í ( 6 8 ) " lm í ( 6 8 ) + 0 0 "+ y 6 8 0 0 0 0 0 0 0 0 d) f '() 6 Z 0 8 f ( 0) 8 ( 0, ) ] f '() 0 8 [ 8 f ( ) 8 (, ) ] 8 f ( ) 8 (, ) \ lm í ( 8 + ) + "+ lm í ( 8 + ) " y 8 + 6 6 0 Comprueba que estas funciones no tienen puntos de tangente orizontal. Represéntalas estudiando sus ramas ininitas y los puntos de corte con los ejes: a) y + a) f '() 0 ( + ) b) y Los puntos de corte son: c0, m, (, 0). c) y + d) y ( ) y + 6 0 8 6 6 8
+ b) f '() 0 Los puntos de corte son: (, 0), (, 0) y 6 6 6 6 c) f ' () + 0 El punto de corte es (0, 0). y + 6 6 d) f '() 0 ( ) El punto de corte es cm. 0, y ( ) 6
Estudia y representa las siguientes funciones: a) y b) y 6 c) y + 6 + d) y ( ) + e) y + f ) y a) f '() 6 ( 6 ) Asíntotas verticales:, y 6 6 Asíntota orizontal: y 0 No ay asíntotas oblicuas ni puntos de tangente orizontal. 6 6 6 + b) f '() ( ) Asíntotas verticales:, Asíntota orizontal: y 0 y No ay asíntotas oblicuas ni puntos de tangente orizontal. c) f '() + 7 ( 6 + ) Asíntotas verticales:, Asíntota orizontal: y 0, + y 6 + 0, No ay asíntotas oblicuas. Sus puntos de tangente orizontal son, aproimadamente: ( 6,8; 0,0), (,8;,97) 6 0,, 6
d) f '() + ( + ) Asíntota vertical: ( ) y + Asíntota oblicua: y 0 No ay asíntotas orizontales. Sus puntos de tangente orizontal son: (, 0), (, ) 6 y 6 0 0 e) f '() + + ( + ) Asíntota vertical: Asíntota oblicua: y y + 6 No ay asíntotas orizontales. Sus puntos de tangente orizontal son, aproimadamente: ( 0,6; 0,), (,7; 7,6) 6 6 6 y f) f '() ( ) Asíntotas verticales:, Asíntota orizontal: y No ay asíntotas oblicuas. 6 y 6 Punto de tangente orizontal: (0, 0) 6 Página 08 Calcula el valor de a para que f () ln e o veriique que f '() 0. + a f () ln ln ( + a) f ' () + a f ' () 0 8 8 f ' () + a 0 8 a + a
La función (t ) 0 + 0t t ( en metros, t en segundos) muestra la altura de una pelota lanzada acia arriba. a) Calcula su velocidad media entre t 0 y t. b) En qué instante la velocidad es igual a 0? c) Cuál es la altura máima que alcanza y en qué momento lo consigue? a) La velocidad media entre t 0 y t es la tasa de variación media en el intervalo [0, ]. T.V.M. [0, ] ( ) ( 0) 90 0 0 m/s 0 b) La velocidad será 0 cuando la pelota alcance su altura máima. Por tanto, el instante t en el que la velocidad es máima es un punto singular de (t ). ' (t ) 0 0t ' (t ) 0 8 0 0t 0 8 t A los segundos la velocidad es igual a 0. c) Si t <, entonces ' ( t) > 0 8 ( t) crece 8 t es el máimo de la función. Si t >, entonces '() t < 0 8 () t decrece La altura máima en () 0 + 0 9 m y se alcanza a los segundos. El coste total (en dólares) de fabricación de q unidades de cierto artículo es: C (q) q + q + 7 El coste medio por unidad es: M (q) Cq ( ) q a) Cuántas unidades se deben fabricar para que el coste medio por unidad sea mínimo? b) Calcula C (q) y M (q) para el valor de q que as allado en el apartado a). a) M (q) q + q + 7 q M' (q) ( 6q+ ) q ( q + q+ 7 ) 6q + q q q 7 q 7 0 8 q q q 8 q 8 q unidades Se deben fabricar unidades. b) C () 7; M () La función f () 60 indica los beneicios obtenidos por una empresa desde que comenzó + 9 a funcionar ( f () en miles de euros, en años). a) Represéntala gráicamente. b) Al cabo de cuánto tiempo obtiene la empresa el beneicio máimo? Cuál es ese beneicio? c) Perderá dinero la empresa en algún momento? a) f ' () 60( + 9) 60 60 0 0 60 + + 0 0 8 ( + 9) ( + 9) ( + 9) 8 ( no está en el dominio). Máimo en (, 0). lm í f () 0 8 asíntota orizontal: y 0 "+ 6
La gráica sería: 0 8 6 b) Beneicio máimo en 8 A los años. El beneicio sería f () 0 miles de euros. 6 8 0 6 8 c) No perderá dinero ni llegará un momento en que no obtenga beneicios ni pérdidas, pues f () 0 y f () > 0 para todo > 0. 6 El coste de producción, en una empresa de electrodomésticos, de unidades fabricadas, viene dado por la función C () + 80 + 0 000, C () en euros. El precio de venta de una unidad es 880. a) Escribe la función que nos da el beneicio de la empresa si se venden todas las unidades fabricadas. b) Cuántas unidades se deben fabricar para que el beneicio sea máimo? Cuál será ese beneicio? a) El beneicio es igual a los ingresos por ventas menos los costes de producción. B () 880 ( + 80 + 0 000) + 800 0 000 b) La gráica de la función anterior es una parábola abierta acia abajo. Por tanto, el máimo se alcanza en su vértice. 0 800 00 8 B (00) 00 + 800 00 0000 0000 El beneicio máimo es de 0000 y se obtiene fabricando 00 unidades. 7 Determina, en cada caso, los valores máimo y mínimo de la función en el intervalo que se indica. a) y 6, [0, ] b) y 6 +, [, ] c) y, [, ] d) y, [0, ] + Hallamos los puntos singulares que quedan dentro de los diferentes intervalos, evaluamos en ellos y en los etremos de los intervalos. a) f ' () 6 f ' () 0 8 6 0 8 f (0) f () f () 9 El máimo se encuentra en 0 y vale. El mínimo se encuentra en y vale. b) f ' () + f ' () 0 8 + 0 8 f ( ) f () f () 8 El máimo se encuentra en y vale 8. El mínimo se encuentra en y vale. 7
c) f ' () 6 f ' () 0 8 6 0 8 0, f ( ) 0 f (0) 0 f () f () 6 El máimo se encuentra en y vale 6. El mínimo se encuentra en y vale 0. d) f '() ( + ) f ' () 0 8 ( + ) f (0) 0 f ( ) f () 0 8, f () El máimo se encuentra en y vale. El mínimo se encuentra en 0 y vale 0. 8 El área de un rectángulo, en función de su base, viene dada por la epresión S () 0, [8, 8]. Halla el área máima y el área mínima en ese intervalo. Los valores máimo y mínimo de una función en un intervalo de este tipo pueden darse en los etremos del intervalo o en los puntos singulares. S' () 0 S' () 0 8 0 0 8 0 Evaluamos: S (8) 0 8 8 96 S (0) 0 0 0 00 S (8) 0 8 8 6 El área máima es 00 y se alcanza en 0. El área mínima es 6 y se alcanza en 8. Cuestiones teóricas 9 Dibuja una función que tenga derivada nula en y en, derivada negativa en el intervalo [, ] y positiva para cualquier otro valor de. 0 Pon ejemplos de funciones f cuya derivada sea f ' (). Cuántas eisten? Eisten ininitas. f () + k, donde es cualquier número. 8
Esta es la gráica de la función y. a) Tiene algún punto singular? b) Es creciente o decreciente en 0? c) Cuál es la ecuación de la recta tangente en 0? a) El punto (0, 0) tiene tangente orizontal. Este es el único punto singular. b) La función es creciente en 0. c) La recta tangente en 0 es y 0. Eiste algún punto de la función y en el que la tangente sea paralela a la recta r? En caso airmativo, állalo. r f' () 8 Pendientedelarecta Punto c, m Sabiendo que f ' () 0, cuál de estas airmaciones es correcta? a) La función f tiene máimo o mínimo en. b) La recta tangente en es orizontal. c) La función pasa por el punto (, 0). La correcta es la b). Esta es la gráica de f ', la función derivada de f. a) Tiene f algún punto de tangente orizontal? f '() b) Es f creciente o decreciente? a) Sí, en, puesto que f ' () 0. b) Si <, es creciente, pues f ' > 0; y si >, es decreciente, pues f ' > 0. Sabemos que f (0) 0 y f '(0) y () e f (). Cuál de estos tres valores corresponde a ' ( 0)?: a) e b) 0 c) ' () e f () f '() Por tanto, ' (0) e f (0) f '(0) e 0, que se corresponde con b). 9
6 Cuál de estas gráicas corresponde a la función derivada de una curva que tiene un máimo en? Por qué?: a) b) c) f '() f '() f '() La gráica del apartado b), porque f ' () 0. Además, f ' > 0 f ' < 0 En consecuencia, es un máimo. 7 Verdadero o falso? Justiica tu respuesta. a) Si f ' (a) > 0, entonces f es creciente en a. b) Si f ' (a) 0, entonces f no crece ni decrece en a. c) Si f es decreciente en a, entonces f ' (a) < 0. a) Verdadero. b) Falso. Hay funciones con puntos singulares donde la función es creciente. Por ejemplo, f () es creciente en el punto singular (0, 0). c) Falso. La función f () siempre es decreciente y f ' (0) 0. Página 09 Para profundizar 8 Dada f () + + a + b, alla el valor de a y b para que la recta tangente a f en sea y. La recta tangente y la función coinciden en el punto de tangencia cuyas coordenadas son: 8 y ( ) 7 Por tanto, la función pasa por el punto (, 7), es decir, f ( ) 7. Por otra parte, f' ( ), ya que la pendiente de la recta tangente es. f ' () 6 + + a f ( ) 7 ( ) + ( ) + a ( ) + b 7 8 a 6, b f '( ) 6 ( ) + ( ) + a 0
9 a) Calcula el valor que debe tener k para que la función f () k tenga un máimo en. b) Después de allar k, estudia y representa la función obtenida. a) Si f () tiene un máimo en, entonces f ' () 0. f '() + k f ' () 0 8 + k 0 8 k Por tanto, f () + y f '() b) Dominio: {0} Asíntotas verticales: lm í f () lm í " 0 Posición: " 0 c + m ± 8 La recta 0 es una asíntota vertical. izquierda: 0,0 8 f ( 0,0) 0,0 + 00, 00,0 8 lm í " 0 f () dereca: 0,0 8 f (0,0) 0,0 + 00,0 8 lm í f () + 00, " 0+ Por la epresión de f (), la recta y es una asíntota oblicua. Calculamos f () para estudiar su posición: Si 8 +, f () > 0 8 f () está encima de la asíntota. Si 8, f () < 0 8 f () está debajo de la asíntota. Puntos singulares: f ' () 0 8 0 8, f ( ) + f () + Los puntos (, ) y (, ) son puntos singulares. Gráica:
60 En los estudios de mercado previos a su implantación en una zona, una franquicia de tiendas a estimado que sus beneicios semanales, en miles de euros, dependen del número de tiendas que tengan en la zona, según la epresión B (n) 8n + 60n 96n, siendo n el número de tiendas. Determina el número de tiendas que deben abrir para maimizar sus beneicios semanales, y el valor de dicos beneicios. Calculamos los puntos singulares de la función beneicios: B ' (n) n + 0n 96 B ' (n) 0 8 n + 0n 96 0 8 n n + 0 8 n, n B () 8 + 60 96 B () 8 + 60 96 6 Los puntos (, ) y (, 6) son puntos singulares de la función beneicios. El máimo se da abriendo tiendas, y es de 6 000. 6 De una cartulina cuadrada de 0 cm de lado, se cortan cuadrados de lado en cada esquina para acer una caja sin tapa. Calcula el lado del cuadrado que ay que cortar para que el volumen de la caja sea máimo. 0 La caja que se obtiene plegando esta cartulina mide 0, tanto de largo como de anco, y de alto. Por tanto, el volumen en función de es: V () (0 )(0 ) 80 + 00 con 0 < < 0 Hallamos sus puntos singulares: V ' () 60 + 00 V ' () 0 8 60 + 00 0 8 0 + 00 0 8 0, 0 El primer resultado no tiene sentido porque no está en el dominio de deinición. 0 8 Vc 0 m c 0 m 80 c 0 m + 00 0 6000 9,9 cm 7 Solo queda comprobar que el punto Si 0 < < 0 es un máimo: 0, entonces V '() > 0 8 V () es creciente. Si 0 < < 0, entonces V '() < 0 8 V () es decreciente. Como la función crece a la izquierda de volumen máimo es de 9,9 cm. 0 y decrece a la dereca, este punto es un máimo. El
6 Esta es la gráica de una función y f (). Cuál de las siguientes gráicas puede ser la de f ' ()? Justifícalo: a) b) c) f '() f '() f '() La gráica del apartado c), porque f ' ( ) f ' () 0 al ser y puntos singulares de f (). Como f () crece en el intervalo (, ), f ' () > 0 y esto solo curre en el apartado c). El resto de la gráica de c) es coerente con la de f (). 6 Asocia a cada una de las gráicas I, II, III la gráica de su función derivada. I II III a b c I 8 c II 8 a III 8 b
Autoevaluación Observa la gráica de la función y f () y responde. a) Cuál es la T.V.M. en los intervalos [0, ] y [, ]? b) Tiene algún punto de tangente orizontal? f () c) Para qué valores de es f ' () > 0? a) T.V.M. [0, ] f( ) f( 0) / 0 T.V.M. [, ] f( ) f( ) 0 - ( ) + b) Sí, P (, ). c) Si <, f ' () > 0. Dada f (), prueba que f ' ( ) 7 aplicando la deinición de derivada. f( + ) f( ) f ' ( ) lm í " 0 f ( ) ( ) ( ) + 6 0 f ( + ) ( + ) ( + ) + + 6 7 + 0 f ( + ) f ( ) 7 f( + ) f( ) 7 7 lm í 7 7 " 0 Por tanto, f ' ( ) 7. Halla la derivada de las siguientes funciones: a) y + b) y ln b e l c) y cos ( + π) d) y e o a) f () / + f '() / b) f () lnbl+ ln e ln ln f '() c) f '() 6 cos ( + π) + [ sen ( + π)] [cos( + π) sen ( + π)] d) f '() ( ) ( ) D e o e o ( ) ( ) ( )
Escribe la ecuación de la tangente a la curva f () Calculamos la ordenada de : f () Hallamos la pendiente de la recta tangente, m f '(): en el punto de abscisa. f '() ( ) 8 f' ( ) ( ) Con el punto (, ) y la pendiente m, escribimos la ecuación: y ( ) 8 y Halla los puntos de la gráica de f () + en los que la recta tangente es paralela a la recta y. Tenemos que allar los puntos cuya derivada es. f ' () 6 + 8 6 0 8 ( ) 0 8 0, f (0) 0; f () Los puntos en los que la recta tangente es paralela a y son (0, 0) y (, ). 6 Observa la gráica y describe: a) Sus asíntotas y la posición de la curva con respecto a ellas. b) Sus puntos singulares y sus intervalos de crecimiento. 6 6 6 a) Asíntotas verticales: rectas y Posición: lm í " lm í " f () +, f (), lm í f () " + lm í f () + + " Asíntota orizontal: recta y Posición: Si 8 +, f () > Si 8, f () < b) El punto (0, ) es un máimo de la función. Los intervalos de crecimiento son (, ) «(, 0). Los intervalos de decrecimiento son (0, ) «(, + ).
7 Representa la función y f () de la que conocemos: Dominio de deinición: Á Mínimo: (0, 0) Asíntota orizontal: y Si +, f () < Si, f () < A cuál de estas funciones corresponde esa gráica? a) f () + b) f () c) f () + La función del apartado b) no puede ser porque tiene asíntotas verticales y no se airma nada sobre esto en el enunciado. La función del apartado a) no puede ser porque es negativa a la izquierda de 0, y, por tanto, el punto (0, 0) no sería un mínimo de la función. La gráica se corresponde con la función del apartado c). 8 a) Estudia las ramas ininitas y los puntos singulares de la función f () + 6. Tiene máimo o mínimo? b) Represéntala gráicamente. a) Ramas ininitas: lm í "+ lm í " f () f () Puntos singulares: f ' () lm í "+ lm í " ( + 6) + ( + 6) f ' () 0 8 0 8, 8 f ( ) ( ) ( ) + 6 8 f () + 6 0 Los puntos (, ) y (, 0) son puntos singulares. El punto (, ) es un máimo y el (, 0) es un mínimo por la posición de las ramas ininitas. b) Gráica: 0 0 0 0 0 0 6