EAL - # -.- Señales elécricas e domiio de iempo SEÑALES ELECRICAS Clasiicació de señales elécricas e domiio de iempo: De acuerdo a su duració emporal: rasiorias (Eergía iia o Permaees (Poecia iia. De acuerdo a su modelació maemáica : Deermiísicas o Aleaorias. odas las señales elécricas, ísicamee posibles, so rasiorias. Lo de permaee es ua aproimació. Se las cosidera e esa caegoría si eise durae u iempo suicieemee largo (pero iio...- Señal rasioria, eise (oma valores sigiicaivos durae u iervalo de iempo iio: (..- Señal periódica: Caso paricular de señal permaee, cumple que, para cualquier valor de ( = ( ±, dode es ua cosae posiiva real y eero El período udameal de la señal es (= y su iversa, la recuecia udameal = ( Caso mas simple y coocido de señal periódica so las ucioes armóicas seo/coseo: π ( = A.cos( ω± φ. La ampliud máima de la señal es A y su período udameal = = ω.3.- Señal aleaoria: caso paricular de señal permaee, o iee epresió maemáica eplícia, ( =? (.4.- Deiicioes de promedios emporales:
EAL - # - ( ( valor cuadráico medio durae valor isaáeo de la señal = ( valor medio durae el iempo : = m =. (. d valor cuadráico medio durae el iempo : =. (. d valor eicaz durae el iempo :. (. = = d e Formalmee, e las deiicioes aeriores. E la prácica se lo debe elegir de acuerdo a lo que se busque medir e ució de las caracerísicas de la señal. Para señales periódicas, si se cumple que es mucho mayor que el período udameal, es ácil demosrar que los valores medio, cuadráico medio y eicaz so: m = =. (. d =. (. d. (. e = = d E aplicacioes elécricas, ( es geeralmee ua señal corriee o esió ísicamee posible, es decir que ( debe ser (a Fució real y coiua, (b Limiada e iempo, (c Limiada e ampliud. Para simpliicar modelos o maipulacioes maemáicas que se aproime a la realidad, e alguos casos se uiliza modelos de señales o realizables ísicamee (complejas, discoiuas, ec.. Si ( represea ua esió desarrollada sobre ua resisecia de R ohm, la poecia isaáea ( disipada e R será: p ( = mieras, si es ua corriee que circula por R ohm p ( = R. (. La R poecia media disipada e R durae u iempo por ( esá deiida por: Pm,. (. = d = R o Pm, = R. (. d = R. R segú ( sea ua señal de esió o corriee, mieras que la eergía disipada es:.. ( E. = d = R o E = R. (. d = R.. R E la lieraura, es comú deiir como la poecia o eergía de ( a las epresioes de arriba, supoiedo
EAL - # - 3 u valor ormalizado de R igual a ohm. Bajo ésa suposició, la uidad de < >, [vol ] o [amp ] se oma como equivalee a [Wa], mieras que la de <(>. [vol.seg] o [amp.seg] se oma como equivalee a [Wa.seg] o [Wa./Hz]. Si la señal elécrica ( iee compoees de corriee alera y coiua, al que: ( = o + ac (, se iee que : o = <(> e = (< > / e_ac = (< > - <> / (valor de la compoee coiua de ( (valor eicaz de ( (valor eicaz de la compoee alera de ( E el caso que ( = y( ± z( se iee que: = y( ± z( = y ± z La compoee media o de coiua de la suma es la suma de las compoees coiuas idividuales. ( = y ± z = y + z ± y ( (. z, para el caso paricular que <y.z>= se iee que: ( ( ( y z y z = ± = +, e ese caso se dice que ( e y( so icoherees y la poecia de la suma (o resa es la suma de las poecias idividuales. Se puede omar como deiició de icoherecia de dos señales cuado se cumple que: <.y>=. P.ej. dos señales armóicas de disia recuecia..3.- Señales aleaorias Las señales puede deiirse segú dos ipos: deermiísicas o o deermiísicas. Las primeras puede ser rasiorias, periódicas o cuasi-periódicas (suma de ucioes seoidales o relacioadas armóicamee. Esá deiidas por ua relacio maemáica que permie coocer su valor e cualquier isae de iempo (supoiedo que el iempo sea la variable idepediee p. ej. ( =.e -a.se(ω + 4.cos(ω. Las segudas cosiuye el grupo de las variables o señales esadísicas o aleaorias y o es posible epresarlas como ucioes eplícias de ua variable idepediee. Puede deiirse alguas propiedades comues a ua amilia (esemble, e domiio de iempo a ravés de sus promedios esadísicos..3.- Promedios Esadísicos Supoer u cojuo arbirariamee grade de señales (e el gráico se dibuja úicamee res ucioes miembro del cojuo que so geeradas por u deermiado proceso aleaorio (p.ej. ruido érmico : ( ( ( ( ( (
EAL - # - 4 odas se parece y iee el mismo valor eicaz, pero o so idéicas. Si e u isae se oma ua muesra de las señales, se obiee u cojuo de valores: (, (,... ( cuyo valor medio es: ( + ( + ( +... ( ( ( + ( + 3( +... ( medio de los valores obeidos será: ( = 3 = Si el eperimeo se repie e oro isae, se iee que el valor Se deie el mecaismo o proceso que ha geerado las señales como esacioario si se cumple que ( = ( = = valor medio esadísico del cojuo de señales (, cualquiera sea y. omado el cojuo de los valores muesreados e por ejemplo, admiiedo el rago de variacio de los ( ere + y - y que el úmero de muesras (, se puede deiir ua curva a parir de: (a Si eise k muesras que o supera u valor k, se deie la caidad (k/ como la probabilidad de que la variable esadísica o supere el valor k : P ( < k = k/ (b Represeado P( < k para odos los valores posibles de, se obiee ua curva F( k =P(< k como la de la igura: F( F( k k F( es siempre creciee (pediee posiiva, iede a cuado + (odas las muesras so meores que k= y a cuado - (odas las muesras so mayores que - k= Se deie a F( como la ució de probabilidad acumulaiva del proceso o mecaismo aleaorio que da orige a las señales del ejemplo. De uso mas comú e aplicacioes de igeiería es la derivada de F(: df( p( = df( = p(. d F( p( z. dz d = De lo aerior, resula que la probabilidad de que la variable sea meor que u ciero valor k es: k F( = p(. d y si k + F(+ =, eoces: p (. d= k La ució p( es ua desidad de probabilidad (es usual abreviarla pd = probabiliy desiy ucio, el área de p( ere dos valores y da la probabilidad de que esé ere y. p( Area ere y = P( <<
EAL - # - 5 P ( < < = p (. d El valor medio esadísico, deiido aes, esá relacioado co la desidad de probabilidad p( por: =. p(. d (o er momeo esadísico Esa relació permie calcularlo si ecesidad de eecuar el eperimeo de oma de muesras realizado aes. E geeral se deie el momeo esadísico como: =. p(. d Y, a parir de ellos, dos promedios imporaes e el aálisis de probabilidades : σ = y Desviació Sadard = σ Variacia: (.3..- Procesos ergódicos omado ua cualquiera de las señales miembro del eperimeo de muesreo de.., y se mide durae u iempo suicieemee largo, sus promedios emporales <> y < >: / ( = lim. (. d / / ( = lim. (. d / Si el proceso que geera las señales del eperimeo es, además de esacioario, ergódico, los promedios emporales deiidos arriba so iguales a los promedios esadisicos, es decir: = Si se cumple la codicio de ergodicidad, se iee que para señales de esió o corriee: Valor medio esadísico = valor de compoee coiua o momeo esadísico = poecia oal Desviació sadard = valor eicaz de compoee alera Variacia = poecia de compoee alera =.3.3.- Uso de la ució de desidad de probabilidad Si ( es ua señal aleaoria, miembro de u cojuo caracerizado por ua ució de desidad de probabilidad coocida p(, o puede epresarse eplíciamee e domiio de iempo, si embargo es posible ijar alguas de sus caracerisicas: por lo idicado e el puo aerior, su compoee de coiua, su valor eicaz y su poecia. Además de alguas propiedades de su comporamieo e iempo. Coociedo que el área de p( ere dos valores deermiados, y por ejemplo, idica la probabilidad de eisecia de ( ere esos valores. Puede hacerse dos ierpreacioes: ( Si la señal es observada durae u iempo suicieemee largo, P( < < represea la racció del iempo que la señal se ecuera ere los valores y. ( Si e u isae arbirario, se oma ua muesra de (, la probabilidad de ocurrecia de que esé ere y será igual a P( < <.
EAL - # - 6 Area=P( << = ( + + 3 + 4 / ( p( 3 4 Lo aerior permie deermiar crierios prácicos para deiir, por ejemplo, el valor de pico de ua señal que deba ser rasmiida a ravés de u disposiivo acivo co disorsió olerable. (P.ej, deiir como valor de pico aquel valor que o es superado el 9 % del iempo..3.4.- La ució de disribució ormal o gaussiaa ( u. σ Esá deiida por: p ( =. e. πσ. dode σ y so la desviacio sadard y el valor medio, respecivamee, de la variable. La pd ormal es imporae e aplicacioes de igeiería, porque es la que caraceriza a eómeos aleaorios geerados por la acció de u úmero grade ( de agees co coribucioes iiiesimales de cada uo de ellos omados idividualmee (eorema del límie ceral. Por ejemplo: el movimieo browiao de elecroes e el ierior de u coducor, que produce el ruido érmico o el eómeo de propagacio por camios múliples, causae de desvaecimieos e elaces de radio. La probabilidad de que la variable supere u deermiado valor k es: llamado z = u/σ queda: u. σ P ( > k =. e. du. πσ. supoiedo = k z k P( > k =. e. dz Q. π = σ k σ La ució Q( es de uso comú e esadísica y esá abulada e ablas maemáicas y calculadoras de mao. Oras de uso comú so la ució error (er y error complemearia (erc, deiidas como: z er ( =. e. dz er c( = er ( π La relació que eise ere Q, er y erc es: Q ( =. er. erc =.- Señales elécricas e domiio de recuecia
EAL - # - 7 Ua orma aleraiva de represear las propiedades de ua señal elécrica es e domiio de recuecia. La herramiea maemáica que vicula los domiios de iempo y recuecia es la rasormada de Fourier. Si para ua señal (, las iegrales eise (como ocurre para oda señal ( ísicamee posible, se deie el par de rasormada de Fourier segú: z z jω jω X( = (. e d ( = X(. e d dode ω =.π. X( es la represeació de ( e domiio de recuecia o el especro de recuecias de (. Simbólicamee, se idica la relació de rasormació como: ( X(, que debe leerse como La rasormació de ( es X(. El par ( y X( es biuívoco (a u ( correspode u X( y viceversa. El símbolo idica rasormació. X(, es ormalmee ua ució compleja e domiio de recuecia. X( = Re X( + jim X( = (.cos( ωd j (. se( ωd Aalizado la epresió de arriba puede deducirse que, supoiedo a ( real : si ( es ua ució par, Im[X(]= y X( es real si ( es ua ució impar, Re[X(]= y X( es imagiario Re X( = Re X(-, la pare real de X( es de simería par Im X( = -Im X(-, la pare imagiaria de X( es de simería impar ambié puede poerse: X( X(. e Φ ( =, dode: X( = (Re X( + (Im X( X Φ( = arca Im ( Re X( X( es ució par y Φ( (especro de ase ució impar. oar además que, para ( real : X(- = X*( (X( es ució Hermíica ( = área de X( X( = área de ( Φ( X( Im(X( Re(X( Si ( es ua esió o corriee, la dimesió de X( será [vol.seg] o [amp.seg] que equivale a [vol/hz] o
EAL - # - 8 [amp/hz], es decir que X( es u especro de desidad de esió o corriee. Se demuesra (eorema de Parseval que: + + (. d = X (. d La dimesió de X( es [V.seg ] o [V.seg/Hz] = [W.seg/Hz] lo que idica que X( es u especro de desidad de eergía. Si la señal ( eise durae u iervalo [seg] y su especo iee compoees sigiicaivas e u acho de bada W [Hz], la aplicació del. de Parseval idica que la poecia media de ( será: X( (. d =. d = G(. d W X( Dode G( =, de dimesió [V.seg] o [W/Hz],represea el especro de desidad de poecia (media durae de (. Los especros de desidad de poecia y eergía G( y X( so idéicos, salvo u acor de escala e ordeada. El coocimieo de la disribució especral de eergía/poecia es udameal para dimesioar el acho de bada ecesario que u sisema de rasmisió debe eer para rasmir la señal (. Se debe oar que si bie eise ua relació biuívoca ere ( y X(, o eise al correspodecia ere ( y su especro de desidad de poecia/eergía G( = X(, e oras palabras, varias señales dierees k ( puede comparir u mismo G(...- eoremas relacioados co la rasormada de Fourier W Deiidas las rasormacioes : ( X( y ( Y( jπ...- Desplazamieo e iempo: ( X(. e...- Desplazamieo e recuecia :..3.- Diereciació e iegració : jπ (. e X(. d( j π. X( d (. d. X( +. X(. δ( jπ..4.- Covolució : (. y ( X( * Y( (* y ( X(. Y( Dode el produco de covolució (* esá deiido por:
EAL - # - 9 z + c ( = (* y ( = z (. y ( z. dz Ierpreació gráica del produco de covolució: Dadas dos ucioes ( e y(, se muesra el produco de covolució (*y( para dos isaes y : y( y( -z y( -z ( (z z= z= z (z.y( -z (z.y( -z Area=c( c( z= z= z Area=c(..5.- Liealidad :..6.- Cambio de escala: a. ( + by. ( = ax. ( + by. ( ( a.. X a a..7.- Simería: X ( ( X( (..- Dela de Dirac Fució ideal deiida por: δ ( z =, para odo z δ ( z =, para z = + ε ε δ( z. dz =, para cualquier ε > Ua ució geeradora simple y úil e muchas aplicacioes del Dela de Dirac, es u pulso recagular de
EAL - # - ampliud, acho y cerado e : p(z - z Se ve que δ ( z = lim p( z Propiedades del dela de Dirac de uilidad e el aálisis de señales:...- Muesreo: + z (. δ ( z z. dz= z (...- Desplazamieo: z ( * δ( z z = z ( z Es evidee que ua señal coiua puede (z puede aproimarse omado ua serie de valores (muesras de (z a iervalos z y maeiédolos durae ese lapso : (z z (k. z z. z k. z z ambié es evidee que la aproimació será mejor cuado z La versió muesreada de (z puede poerse como: ( m z ( k. z. p ( z k. z, dode p(z es u pulso ampliud cosae =, duració z y cerado e z=. Muliplicado el segudo miembro de m(z por z p( z k. z queda: m ( z ( k. z. p( z k. z. = ( k. z.. z, cuado z, k z k z pz ( k. z δ ( z k. z y la epresió para m (z: z ( m z = ( z = [ ( k. z. z]. δ ( z k. z k (Se podría haber llegado al mismo resulado uilizado la propiedad de desplazamieo del impulso para el caso k z z
EAL - # - paricular que z = : z ( = z ( * δ ( z y realizado el produco de covolució e orma discrea. ( z. z (. z ( z. z (k z. z z =(z si z --> z. z k. z z..3.- rasormada de Fourier de u dela de Dirac e iempo: z jω X δ ( = δ (. e d = ( aplicado. de muesreo..4.- rasormada de Fourier de u dela de Dirac e recuecia: z jω δ ( = δ (. e d = ( aplicado. de muesreo.3.- Especro de ucioes usuales.3..- Fució sigo Si ( = sg(, eoces ( = para >, ( = - para < y ( = para = La ució sigo o iee ormalmee. de Fourier, puede deiirse ua por medio de u proceso límie: a. sg( = lim e, para > a ( sg( =, para = a a. ( sg( = lim e, para < j π. a j π. a j π. X ( = sg(. e. d = lim e. e. d + e. e. d a = jπ.3..- Escaló uiario Si ( = u(, eoces ( = para >, ( =.5 para = y ( = para < u ( = +.sg( y, uilizado el resulado de (.3. : X( = δ ( + jπ.3.3.- Pulso recagular El pulso recagular, abreviado rec(,, esá deiido por u valor uiario durae -/ y / y para el reso del iempo: rec (, = u + u, su rasormada de Fourier es : / jπ se( π.. X( = e d=. =. sic(. π.. /
EAL - # - La ució sic( se deie como se(π./π. Propiedad úil de la ució sic: se( π se( π d = d = ( π ( π + + Uilizado las ucioes deiidas se ve que ució ideal δ( puede aproimarse por: δ ( = lim. rec(, = lim. sic.3.4.- Pulso riagular La rasormada de Fourier de u pulso riagular de ampliud uiaria y seg. de duració, simérico respeco a es: j.. π.. j.. π.. X ( = ( +. e. d + (. e. d.3.5.- Pulso coseo elevado se( π.. X ( =. π.. El pulso coseo elevado, de ampliud uiaria y seg. de duració, simérico respeco de, esá deiido por: ( =. cos π.. rec (, + Su rasormada es : jπ se(. π.. X( =. cos π.. e. d. + = 4... π.. Aalizado las epresioes de X( obeidas para las señales.3. a.3.5, se comprueba el resulado coocido sobre comporamieo especral de señales elécricas, que dice que si el pulso (o señal presea discoiuidad e la derivada m, la magiud de su especro de recuecias dismiuye iversamee proporcioal a (m+. O, e érmios cualiaivos, señales co pediees abrupas e iempo, iede a ocupar achos de bada mayores.. Formas de oda y especros de los res pulsos aalizados (oar que los res pulsos iee igual área: Formas de oda de pulsos: cuadrado riagular coseo elevado / /
EAL - # - 3 Especro de pulsos: cuadrado riagular coseo elevado 3/ / / / / 3/.4.- Especro de señales periódicas El caso mas simple de ucioes periódicas so las rigooméricas seo y coseo, para ellas, la. de Fourier es casi direca. Aplicado el eorema de desplazamieo e recuecia: j.. π.. j.... π ( = cos(. π.. = e + e. δ( +. δ( + j.. π.. j.... π y ( = se(. π.. = e e. δ(. δ( + j. j. j. j. E geeral, ua ució periódica puede escribirse como: = ( = ( dode ( es ua ució rasioria que represea u ciclo de (, su. de Fourier será X (. La iversa del período es la recuecia udameal de (: =/. Aplicado el eorema de desplazamieo e iempo, puede deiirse la rasormada X( e ució de X ( segú: ( = ( X(. e = = j.. π... como ( π...(. + se j.. π... e =, cuado, es posible demosrar que : se( π... j.. π... e = δ = = Queda eoces : X ( = X(.. δ( =. X(. δ( = X( = c. δ ( = dode se ha deiido y c como : Especro de ua señal periódica: = y = c = X = e d a+ jπ. (. (.. a
EAL - # - 4 c -3 c - c - c c c c 3-3 - - 3 Es usual represear a cada impulso co alura proporcioal al módulo de su área. o coudir co el especro de líeas, e el que se represea las compoees como líeas cuya alura es proporcioal a los c : c -3 c - c - c c c c 3-3 - - 3 E geeral, c es u úmero complejo que compare las caracerísicas euciadas al pricipio para X( : Si ( es ució par, c es real. Si ( es impar, c es imagiario y siempre c - = c *. oar que la dimesió de c es la misma que la de (. Si eise X(, se puede deermiar ( e érmios de los coeiciees c y z z = z = j. π.. j. π.. j. π.. ( = X(. e. d = c. δ(. e. d = c. δ(. e. d Aplicado el eorema de muesreo a la iegral del úlimo érmio: j. π... j(. π... + φ π + φ ( = c. e = c. e = c +. c cos( = = = Que so alguas de las ormas habiuales de represear señales periódicas por medio de los coeiciees de Fourier. La poecia media de la señal ( es: ( = +. = = = c c c Como el especro de ( eise e múliplos de, es ísicamee razoable deiir el especro de desidad de poecia de ( como: G( = X( = c. δ (. = La igualdad ere los dos úlimos érmios de la ecuació de arriba debe omarse como simbólica, pues o es maemáicamee correca (el cuadrado de la ució δ, o esá deiido, se ha omado que A.δ( = A.δ( para que la iegral ere ± de G( sea igual a la poecia de (. U caso paricular de señal periódica, de uilidad e alguas aplicacioes, es el re de impulsos de Dirac (ució comb. Se iee que : ( = δ (, X( = c =. X(. = X( =. δ (. =
EAL - # - 5 La rasormada de Fourier de u re periódico de impulsos e iempo de área y período, es ambié u re periódico de impulsos e recuecia, de área y período E geeral, cualquier señal realizable puede epresarse como. ( = c. e π j... co ua elecció adecuada de los c y. Las señales periódicas so u caso paricular e que los esá relacioados armóicamee. E la epresió geeral, para que ( sea real, debe cumplirse que: y c =, e al caso: π φ = ( = c +. c cos(... + = = c A eecos prácicos, la epresió de arriba permie simular co buea precisió cualquier señal, deermiísica o aleaoria realizable ísicamee. El especro de dos lados de ua señal es uilizado e cálculos maemáicos, la represeació usual mediae isrumeos de medició (aalizador de especros es úicamee del lado de recuecias posiivas. E ése caso iee sigiicado ísico, la represeació de módulo-ase de X(: X( X( φ(=arg(x( X + ( X + ( =. X( + φ + (=φ( +.5.- La rasormada de Fourier discrea (DF La rasormada de Fourier de ua deermiada señal, puede calcularse a pesar de o coocerse su epresió maemáica (, si se dispoe de u úmero adecuado de muesras de la señal a lo largo del iempo. Supoer ua señal ( que eise durae u lapso de seg. y es para el reso del iempo. Si se oma muesras de la señal a iervalos razoablemee coros, p. ej. a =,,, 3, k, y se maiee después de cada muesra el valor (k durae seg. puede aproimarse la iegral para calcular X( segú: j. π.. j. π.. k. X( = (. e. d ( k.. e. k = ( Aproimacio a ua ucio mediae pulsos recagulares 3 (k
EAL - # - 6 =,supoiedo iervalo uiorme ere muesras. La epresió para X( queda: j. π.. k. X ( =.. k e dode k = ( k. k = llamado =, queda:. π j.. k k e k= X( =... El especro de la rasormada discrea X( es coiuo, y aalizado la ecuació de arriba, se ve que: ( +.. π... π j k j.. k j. π. k k k k= k= X( +. =.. e =.. e. e = X(.. como k es u úmero eero, el érmio e -jpk es siempre igual a por lo que resula que X( es periódica e y su período vale :. = = = s dode s es la recuecia a que se oma las muesras de ( (recuecia de muesreo. El especro de X( se repie a múliplos de s ( aliasig. Es evidee que, ua mala elecció de s puede iroducir errores e el cálculo por eeco del raslapamieo de especros, como se verá mas adelae e el capíulo de digializació de señales aalógicas. A los eecos del cálculo de la DF, se debe uilizar la recuecia de muesreo mas ala posible, como guía aproimada, debe ser mayor que 5... veces del acho de bada (sigiicaivo esperable de (. E el límie, cuado y s, se edrá la solució eaca para X(. Eise algorimos de cálculo que acelera el procesamieo de la suma (FF, Fas Fourier rasorm, y, ormalmee calcula X( e múliplos de :. π j.. k X ( =. k. e = X. k = resulado u especro discreo co líeas a múliplos de (E la ermiología de la DF o FF, deermia la resolució del especro o el espacio ere líeas. Si la señal aalizada uera periódica, la oma de muesra debería hacerse durae u período ( y los coeiciees de la serie de Fourier resulae sería:. π j.. k c =. X ( =. k. e k = La variable o aparece eplíciamee e las ucioes de X o c sio que esá implícia e el orde de la armóica de. Geeralmee, los paquees de soware que realiza la FF, iee las siguiees caracerísicas: (a el úmero de muesras es ua poecia de (=56,4, 65536, ec. y (b La resolució del especro es / y la máima armóica calculada es ma =/, lo que da u acho de especro F ma =. / = s /..6.- Señales aleaorias e domiio de recuecia
EAL - # - 7 Las señales aleaorias se deie e domiio de recuecia por medio de su especro de desidad de poecia (o eergía. Es posible calcular (aproimadamee la. de F. de ua ució miembro mediae la DF. Lo que es comú a odas las ucioes miembro del cojuo es su especro de desidad de poecia. Co señales deermiísicas, eise ua relació bi-uívoca ere ( y X(, eso o ocurre co señales aleaorias. Ua señal ( puede eer su especro de desidad de poecia G(, pero ése puede correspoder ambié a oras señales (, (,..., (, ec. oar que lo mismo sucede para señales deermiísicas, al perder G( la iormacio de ase de X(. Lo aerior sugiere que G( caraceriza, e domiio de recuecia, a u cojuo de señales y o a ua e paricular. Esa paricularidad es erapolable a los promedios esadísicos. Si ( es ua señal aleaoria cuyo especro de desidad de poecia es G(, puede demosrarse que: G( R(z, dode R(z es la ució de auocorrelació deiida por: Rz ( = (. ( z. d o, si ( es ua señal permaee y la iegral o coverge : Rz ( =. (. ( z. d co o suicieemee grade respeco a las variacioes de (. E el caso de señales periódicas, es suiciee omar igual al período udameal de la señal. oar que: (a R(z es ua ució par y (b segú sea su deiició, R( represea la poecia o eergía de (. Demosració de que G( R(z: ( j π ( z R( z = ( z. ( + z. dz = ( z. X ( e + d dz, para señales realizables ísicamee, es válido iercambiar X( y (z lo que lleva a: ( jπ z jπ z X(. X(. e d = X(. e d j π ( + z jπz jπ Rz ( = X(. e ( d d= X( e e ( d = E aplicacioes écicas, es usual represear el la raiz cuadrada de G( como u especro de desidad de valor eicaz e u acho de bada B. Cosiderado que la poecia de ua señal de esió (o corriee muliplicado V( por R sobre R ohm vale: P= V( d = G( d R, resula que V( = RG. (, ució real, B B Vol par y de dimesió Hz o Amp Hz que puede represear, lo mismo que G(, a u cojuo iiio de señales. X( oar que (para señales de bue comporamieo V( =, dode X( es la. de Fourier de la señal y el iempo de observació. Además, que úicamee el cuadrado de V( iee sigiicado ísico. 3.- Señales de bada agosa Se cosidera ua señal como de bada agosa si los valores sigiicaivos de su especro eise e u iervalo de recuecias (acho de bada ocupado mucho meor (meor que... 5% de la recuecia ceral. Si ( es ua ució real de bada agosa (puede ser ua señal que raspore iormació o simplemee ruido, cerada e ua recuecia y co acho de bada W, su rasormada X( debe ser ua ució Hermíica (X(-=X*( y iee que cumplirse que Re[X(] es ua ució par y que Im[X(] es impar. Su especro puede escribirse como:
EAL - # - 8 X( X ( X ( = + + dode X ( y X ( so especros de bada de base, cerados e = y acho de bada ±W/ Aplicado el eorema de desplazamieo e recuecia (.: X( = X ( δ( + X ( δ( + (. e + (. e jπ jπ Supoiedo u especro cualquiera para X( que cumpla las codicioes ecesarias para ( real: Re[X(] w Im[X(] w o -o Especros de X ( y X (: Re[X(] -w/ w/ Im[X(] Re[X(] Im[X(] -w/ w/ Por la simería de los especros e bada de base, las rasormadas ( y (, e geeral, será ucioes complejas y se ve que: Re X ( = Re X ( [ ] [ ] [ ] [ ] * Im X( = Im X( X( = X( ( = ( + j. ( real imag ( = ( = ( j. ( * real imag ( π ( ( = (. e + (. e = ( + (.cos + j. ( (.si π j π j π ( =. (.cos π. (.si π = a (.cos π b (.siπ real imag
EAL - # - 9 dode a( y b( so señales reales de bada de base y sus especros A( y B( cerados e y de de acho de bada: a (. ( y = real = imag b (. ( W ± Hz Especros A( y B(: Re[X(]+ Re[X(]=Re[A(] Re[X(]- Re[X(]=Re[B(] -w/ w/ -w/ w/ Im[X(]+Im[X(]=Im[A(] Im[X(]-Im[X(]=Im[B(] La poecia de (, e érmios de sus compoees de bada de base es: ( (.cos( π (.si( π a b = + = = a (.cos ( π + b (.si ( π +. a (. b (.cos( π.si( π = =. a +. b Ua orma aleraiva y usual de represear a ( y que surge de las ecuacioes de arriba es : dode: r e r jπ ( = Re (. = (.cos(. π.. + φ( ( r ( = a ( + b (. e y φ( = arca a ( jφ ( b ( U modelo deermiísico úil para alguas aplicacioes es ua suma (grade de compoees armóicas de recuecias y ases aleaorias como: π φ = ( =. c.cos(... + dode las recuecias compoees, co coeiciees c dierees de esá disribuidas ere ma y mi. Deiiedo = ( ma + mi / y b = (, la ecuació aerior puede poerse como: π b φ [ π b φ + π ] ( =. c.cos(..( +. + =. c.cos (... +... = = ( =. c.cos(. π. b. + φ.cos(. π... c. se(. π. b. + φ. se(. π.. = =
EAL - # - ( = a (.cos(. π.. b (. se(. π.. dode: a ( =. c.cos(... + π b φ = b ( =. c. se(... + π b φ = El acho de bada ocupado por ( es W = - Hz + (es decir cosiderado recuecias posiivas ma mi úicamee y cerado e, mieras que a( y b( so señales de baja recuecia (bada de base, co especro ubicado ere y W/ Hz +. De las ecuacioes de arriba, se ve que si e (, a( y b( o eise compoees armóicas de eacamee la misma recuecia, la poecia de ( es : ( =. a ( +. b (, y que, además : = ( =. c = a ( = b (