Fundamentos Físcos de la Ingenería Examen Fnal / julo 1. Una lanca motora, que naega río arrba, se encontró con una balsa arrastrada por la corrente. Una ora después de este encuentro, el motor de la lanca se aeró. La reparacón duró 3 mn; durante este tempo la lanca ue arrastrada por la corrente. eparado el motor, la lanca naegó río abajo con la msma elocdad (respecto del río) que antes de la aería, y alcanzó a la balsa a una dstanca de 7.5 km del punto de su prmer encuentro. Determnar la elocdad de la corrente del río, consderándola constante. La resolucón del problema es muy smple s lo planteamos en un reerencal (el del río) en el que la balsa se encuentra en reposo. En ese reerencal, la lanca tambén está en reposo durante los 3 mn que dura la reparacón de la aería y su elocdad (en módulo, no en dreccón) es la msma cuando naega río arrba que cuando lo ace río abajo. En consecuenca, cuando la lanca naega río abajo, después de la reparacón, empleará de nueo 1 en alcanzar a la balsa. Así, el tempo total que abrá transcurrdo desde el prmer encuentro y el reencuentro con la balsa será de 1 + 3 mn + 1 =.5. Durante ese tempo, la balsa, arrastrada por la corrente, a recorrdo una dstanca (respecto a terra) de 7.5 km. De este modo, la elocdad de la balsa (respecto a terra), y tambén la elocdad de la corrente, será: 7.5 km = = 3. 5 km Tambén podemos resolerlo en el sstema de reerenca de terra. En este reerencal, la balsa se desplaza con elocdad constante (la msma que llea la corrente del río). Sea la elocdad de la lanca con respecto al río. La lanca motora llea una elocdad ( ) durante 1 (cuando remonta el río), una elocdad durante.5 (durante la aería, arrastrada por la corrente) y una elocdad +( ) durante un certo tempo t (cuado descende por el río, asta reencontrar la balsa). Las poscones de la balsa y de la lanca en este reerencal serán: balsa x = (1.5 + t) 1 lanca x = 1. ( ) +.5 + ( + ) t de modo que gualando esta dos expresones (nstante de reencuentro) obtenemos (1.5 + t) = 1. ( ) +.5 + ( + ) t = + t t= 1 Durante las.5, la balsa se a desplazado 7.5 km, arrastrada por la corrente, de modo que su elocdad, que será la de la corrente, es 7.5 km = = 3.5 km (.5 ) + (1 ) - (1 ) lanca balsa (.5 ) corrente x km 7.5 km
Fundamentos Físcos de la Ingenería Examen Fnal / julo. Un clndro de rado r, y masa m, se apoya sobre un suelo y una pared rugosas (coecente de rozamento, µ). Determnar el momento mínmo que ay que aplcar al eje del clndro para que dco clndro deslce. M r m Puesto que estamos nteresados el el momento mínmo, se entende que el clndro permanece en reposo, tanto de traslacón (lo mpde la pared), como de rotacón, en tanto que no se supere dco alor mínmo. A 1 N 1 N O M par mg De las dos prmeras se sgue: En la gura se representan las uerzas que actúan sobre el clndro (peso, rozamentos y reaccones normales en los apoyos), con = µ N = µn 1 1 Las Ecuacones Cardnales de la Estátca, descomponendo en las dreccones orzontal y ertcal y tomando momentos con respecto al eje del clndro, nos permten escrbr: N = N µ N 1 1 + N = µ N 1 par 1 1 = + N = mg M = r+ r= µ ( N + N ) r 1 µ µ N = = + + 1 1 µ 1 µ mg 1 1 µ = = 1+ µ µ 1 1 1 1 N = = y susttuyendo en la tercera: r 1+ µ µ mg 1+ µ µ 1 µ (1 + µ ) Mpar = µ mg+ mg r = mgr 1+ µ 1+ µ 1+ µ 1 mg mg
Fundamentos Físcos de la Ingenería Examen Fnal / julo 3. Un pequeño bloque de masa m deslza sn rozamento por una guía en orma de lazo como la ndcada en la gura. El bloque parte del reposo desde el punto P. a) Determnar la altura mínma,, desde la que debe partr el bloque para alcanzar la parte superor del lazo sn separarse de la guía. Aora, supongamos que la altura sea gual a 5. b) Determnar la reaccón de la guía sobre el bloque en el nstante en el que éste alcanza la parte superor del lazo. c) Calcular las componentes normal y tangencal de la aceleracón del bloque en dco nstante. P m mg Q N a) Conseracón de la energía: 1 mg = mg ( ) + m g 4g = Ecuacón del momento en el punto más alto (Q): mg + N b) escrbmos las expresones [1] y [] con =: = m = g [] con N = en las condcones crítcas de llegar asta Q. Combnando las expresones [1] y [], se sgue g 4 g= g = 1 5 mg( ) = mg( ) + m = 4g 4g = 4g 4g = 6g mg+ N = m N = m mg = 6mg mg = 5mg c) Las componentes ntrínsecas de la aceleracón, en el punto Q, son: a t =, ya que no ay componente de uerza en la dreccón tangencal an = acp = = 6g, es la componente normal o centrípeta de la aceleracón. 5 [1]
Fundamentos Físcos de la Ingenería Examen Fnal / julo 4. Una caja de 15 kg está sujeta al extremo de una cuerda nextensble arrollada sobre un tambor unorme de 4 kg y 6 mm de dámetro, según se ndca en la gura. En el nstante representado, la caja está cayendo a 9 m/s. Determnar el par constante de renado que ay que aplcar al tambor para que la caja quede en reposo tras descender 3 m. ω M par 3 mm 4kg Método dnámco: El momento del bloque es un momento unormemente acelerado, por lo que aceleracón (de renado) que detendrá al bloque se calcula a partr de la expresón: 9m/s 15kg T T mg M par m + M, + = + ax a = 9 m = = = 13.5 x x 3 s Llamando α a la aceleracón angular del tambor, la condcón de lgadura que relacona el momento de éste y con el del bloque se expresa por a= α Escrbmos las ecuacones del momento: loque (momento de traslacón): mg T = ma T = m( g a) Tambor (momento de rotacón): T M par 1 1 1 = Iα= M α Mpar = T M α= T Ma Susttuyendo los alores dados en las expresones anterores, calculamos la tensón T de la cuerda y el momento del par peddo: T = m( g a) = 15 (9.8 + 13.5) = 349.5 N Ma 4 13.5 Mpar ( T ) = = 349.5+.3 = 185.9 N. m Método de la energía: Mentras que el bloque descende una dstanca, asta detenerse, el tambor gra un ángulo θ; además, en cada nstante, la elocdad del bloque está relaconada con la elocdad angular del tambor: 3 9 = θ θ = = = = ω ω = = = 3.3 1 rad 3 rad/s El trabajo realzado por el par de renado, Wpar = Mparθ, es gual a la dsmnucón de la energía del sstema, que ene dada por: E= mg+ m + ( M ) ω = 1 1 1 = mg + m + M = 15 9.8 3+ 15 9 + 4 9 = 1858.5 J Y el momento de renado será: 1 1 1 1 4 4 W M M W E θ 1858.5 1 par par = parθ par = = = = 185.9 θ N.m
Fundamentos Físcos de la Ingenería Examen Fnal / julo 5. a) Expresar el módulo de compresbldad de un materal en uncón del módulo de Young y del coecente de Posson del msmo. b) Calcular el ncremento de presón al que debemos someter un certo olumen de agua (K = 1 8 N/m ) para que su densdad aumente en un.1%. a) El módulo de compresbldad se dene como p K = [1] V / V Para obtener V/V aplcamos una compresón unorme p sobre las ses caras de un elemento de olumen de orma paraleleppédca. Las deormacones untaras de las arstas, con σ xx = σ yy = σ zz = p, enen dadas por las ecuacones elástcas: 1 1 ( 1 µ ) εxx = ( σ xx µσ yy µσ zz ) = (1 µ )( p) = p E E E y expresones análogas para ε yy y ε zz. El cambo untaro en el olumen será que susttuda en [1] nos conduce a V 3(1 µ ) = εxx + εyy + εzz = p V E K E = 3(1 µ ) b) Como la masa (constante) de un certo olumen de agua se expresa por m = ρv, sendo ρ la densdad, la derencal logarítmca de esta expresón nos conduce a que susttuda en [1] nos llea a dρ dv ρ V + = = ρ V ρ V ρ V p ρ = = p= K = = ρ V K ρ 8 5 1.1 1 1 a a P tm
Fundamentos Físcos de la Ingenería Examen Fnal / julo 6. Expresar la elongacón en uncón del tempo para los m.a.s. sguentes: a) Momento con perodo de 1 s tal que para t = son = 3 cm/s y a = b) Momento con recuenca.5 Hz tal que para t = son = y a = 16 cm/s c) Es la superposcón de los m.a.s. cuyas ecuacones, en el S.I. de undades, son: π x1=.6sen πt+ x =.8sen( πt) 4 Ecuacones del m.a.s.: x Asen( ωt φ) = + x = Asen φ = ωacos( ωt+ φ) t= = ωacosφ a= ω Asen( ωt+ φ) = ω x a = ω Asen φ= ω x π a) T = 1s ω= = π rad/s T Como a =, será x = y senφ =, de modo que φ = º o 18º y cosφ = ±1. Como = +3 cm/s (posta), será cosφ >, de modo que φ = º, de donde resulta ωa A ω 3 π = = = =.48 cm x=.48 sen( πt) (S.I.) π b) ν =.5 Hz ω = πν = π.5 = rad/s Como =, será cosφ =, de modo que φ = ±9º y senφ = ±1. Como a = 16 cm/s (negata), deberá ser senφ >, de modo que φ = +9º, resultando x = A= a 16 16 4 = =+ =+ 6.48 cm ω ( π /) π π π π x=.648sen( t+ ) =.648 cos( t) (S.I.) x c) Se trata de superponer (sumar) dos m.a.s. de la msma dreccón y de la msma recuenca. ecurrmos a la representacón asoral (de gura): A = A + A + AA cos φ φ =.6 +.8 +.6.8 cos 45º =.1679 1 1 1 A sen φ + A sen φ.6 sen 45º φ = = = A cosφ + A cosφ.6 cos 45º +.8 1 1 tg.3465 1 1 a x φ a A 1 45º φ A A =.13 m φ = 19.11º =.33 rad x=.13sen(π t+.33) (S.I.) A
Fundamentos Físcos de la Ingenería Examen Fnal / julo 7. Desde un estanque de grandes dmensones se desagua a un gran depósto medante una tubería de seccón S 1. Desde este depósto, a su ez, se desagua medante una tubería de seccón S, tal como se ndca en la gura. a) Determnar la relacón entre los derentes datos para que permanezca constante el nel del depósto ntermedo. b) Ídem para que sean déntcas las elocdades de desagüe en ambas tuberías. A 1 Empezamos determnando las elocdades de desagüe en ambas tuberías. Aplcamos la ecuacón de ernoull entre 4 C 3 A-!!!!" -C!!!!" 1 p + ρg ( + + ) = p + ρ p = p + ρ g 1 3 1 que sumadas membro a membro, nos conducen a Aplcamos la ecuacón de ernoull entre 3 1 ρg ( 1+ ) = ρ1 1 = g ( 1+ ) 1 C-D!!!!" p + ρg ( 4 + 5) = p + ρ = g ( 4 + 5 ) Deberán ser guales los caudales en ambos desagües;.e., 5 D 1 1= S S1 ( S Igualamos las elocdades;.e., + ) = S ( + ) 1 4 5 = 1 ( + ) = ( + 1 4 5)
Fundamentos Físcos de la Ingenería Examen Fnal / julo 8. Dos moles de ntrógeno a 7ºC están contendos en un clndro cerrado por un émbolo mól y aslado térmcamente del exteror. Incalmente el gas está a una presón de 4 atm debdo a una pesa que ay sobre el émbolo. Cuando se retra la pesa, el gas se expande bruscamente contra una presón exteror constante de 1 atm. a) Determnar el estado nal del gas. b) Calcular el trabajo realzado por el gas y las aracones de energía nterna, entalpía y entropía. Datos: =.85 atm L/mol K = 1.987 cal/mol.k p 4 atm 1 atm Se trata de una expansón adabátca rreersble, contra una presón exteror constante, ya que no exste equlbro entre la presón del gas y la presón exteror, de modo que tan sólo los estados ncal () y nal () del sstema son estados de equlbro.. a) Calcularemos la temperatura nal a partr del Prmer Prncpo, con Q = (proceso adabátco): U = Q W = W = W V Por tratarse de una gas deal que se expande contra una presón exteror constante, tendremos: U = nc ( T T) V nt nt p W = p ( V V) = p = n T T ext p p p V p p p nc ( T T ) = n T T ( C ) T C T T T V + = + = V V o sea, 1.3 L Proceso rreersble 38.7 L T El olumen nal será: V 3 K 36 K p p 5 + 1 4.75 = 3 = 3 = 36 K = 37 º C 7 3. 5 nt.85 36 = = = 38.7 L p 1 b) Las aracones de energía nterna y de entalpía en el proceso serán: 5 U = ncv ( T T) = 1.987 (36 3) = 639 cal = 673 J 7 H = ncp ( T T) = 1.987 (36 3) = 895 cal = 374 J El trabajo realzado durante el proceso de expansón es W = U = 7 6 3J C p + Para calcular la aracón de entropía, partmos de la ormulacón del Segundo Prncpo en uncón de la entalpía: đq dt dp đq = ncp dt V dp ds = = ncp n T T p de modo que, para un proceso entre los estados ncal () y nal (), será: T p 7 36 1 cal J S = S S = ncp ln nln = 1.987 ln ln =.15 = 9. 1 T p 3 4 K K producéndose un ncremento de entropía por tratarse de un proceso de expansón adabátca espontánea (rreersble). C p
Fundamentos Físcos de la Ingenería Examen Fnal / julo 9. Una carga eléctrca puntual, +q, está stuada a una dstanca D del centro de una esera conductora de rado. a) Determnar el potencal eléctrco al que se encuentra la esera. b) Unmos la esera a terra medante un lo conductor largo y delgado (de nluenca desprecable). Calcular la magntud de la carga eléctrca nducda sobre la esera. (Explcar y acer los esquemas grácos oportunos para cada apartado, ndcando la poscón de las cargas nducdas sobre la esera.) a) Todos los puntos de la esera conductora en equlbro están al msmo potencal, por lo que basta con determnar el potencal al que se encuentra su centro (O). Este potencal será gual al creado en O por la carga puntual +q;.e., D 1 + q V = [1] 4πε D más el creado por las cargas nducdas (de uno y otro sgno) sobre la superce de la esera conductora, como se lustra en la gura. Como la carga neta +q nducda es nula y todos los elementos de dca carga se encuentran a la msma dstanca del centro de la esera conductora, su contrbucón al potencal en O será nula. Así el potencal de la esera será el expresado por [1]. b) La esera conductora, después de conectarla a terra, quedará con una carga nducda negata. Esto es así porque la toma a terra sumnstra carga negata que neutralza la carga posta nducda en la esera, como se muestra en la gura. Cuando suprmamos la toma a terra, la carga negata (-Q) quedará atrapada sobre la superce de la esera (carga por nduccón). El potencal de la esera será aora D 1 + q 1 Q 1 q Q V = + = = 4πε D 4πε 4πε D puesto que está conectada a terra (reerencal nulo de potencales). En consecuenca, la carga negata nducda será q Q = D Q= q D dsmnuyendo, como era de esperar, cuando aumenta la dstanca D. +q -Q Flujo de cargas negatas +Q
Fundamentos Físcos de la Ingenería Examen Fnal / julo 1. En el esquema del crcuto de corrente contnua de la gura, determínese: a) Las ntensdades que crculan por cada rama. b) La derenca de potencal entre los puntos A y. 3Ω Ω 1Ω 6V A 5Ω esulta más cómodo oler a dbujar el crcuto en la orma que se ndca. Lo resoleremos por el método de Maxwell, consderando las correntes de malla que se muestran en la gura: 3Ω C 6V I Ω 6 8 5 I 1 6 6 1 I = = 174 Ω 6 5 1 8 I 3 6 5 8 6 5 1 348 1 I1= 6 6 1 A I 6 1 = = = = = A 174 174 6 1 8 5 6 8 A A 1Ω Ω I 3 A 5Ω 6V I 1 A 1Ω A 8 6 1 348 I3 = 6 6 = = A 174 5 1 6 y las ntensdades de rama son las que se ndcan en la gura (crcuto en sere). b) La derenca de potencal entre A y la calculamos por el camno AC: V A = 6= V 3 6V Ω 1Ω Método rápdo (smetrías): Es ácl obserar la smetría que presenta el crcuto con respecto al eje que se ndca en la gura. Como consecuenca de dca smetría, los puntos D y E, por un lado, y los puntos y C, por otro, están al msmo potencal, por lo que no crculará ntensdad por las ramas DE y C y pueden suprmrse. Nos queda un crcuto sere, como se ndca en la gura (crcuto resaltado), por el que crcula una ntensdad Σ E 6+ 6 1 = = = = A Σ + 1+ + 1 6 3Ω D E Ω 1Ω 6V A 5Ω 6V 1Ω Ω C
Fundamentos Físcos de la Ingenería Examen Fnal / julo 11. Determnar, razonada y detalladamente, la expresón de la uerza por undad de longtud con que nteractúan dos conductores ndendos y paralelos que conducen ntensdades 1 e. I Comenzamos determnando, medante el teorema de Ampère, el campo magnétco a una dstanca r de un largo conductor rectlíneo que transporta una ntensdad de corrente I. Para ello calculamos la crculacón de campo a lo largo de una trayectora crcular (línea de campo) stuada en un plano perpendcular al conductor: µ I dl = l d = " dl= π r= µ I = 4π r " " Así, los campos magnétcos creados por cada una de las correntes rectlíneas ndendas en las poscones ocupadas por el otro conductor, stuado a una dstanca, tenen las dreccones ndcadas en la gura y sus módulos son: F 1 r I I 1 F 1 1 µ µ = = 4π 4π 1 1 y las uerzas de nteraccón mutua, que enen dadas por, F = I ( l ), tenen las dreccones ndcadas y sus módulos son F F = l µ F µ = l 1 = l = 4π l 4π = l µ F µ = l1 = l = 4π l 4π 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 de modo que la uerzas de nteraccón mutua es atracta s ambas corrente tenen la msma dreccón (como se ndca en la gura) o repulsa s tenen dreccones opuesta, sendo la uerza por undad de longtud gual a F l µ = 4π 1
Fundamentos Físcos de la Ingenería Examen Fnal / julo 1. Por un conductor rectlíneo e ndendo crcula una ntensdad I. Un segundo conductor de longtud l, está stuado perpendcularmente al prmer conductor y se desplaza en la msma dreccón y sentdo que la ntensdad con una elocdad. Determnar la derenca de potencal nducda que se orgna entre los extremos del segundo conductor. Comenzamos determnando, medante el teorema de Ampère, el campo magnétco a una dstanca r de un largo conductor rectlíneo que transporta una ntensdad de corrente I. Para ello calculamos la crculacón de campo a lo largo de una trayectora crcular (línea de campo) stuada en un plano perpendcular al conductor: I µ I dl = l d = dl= π r= µ I = πr " " " M dr N r a l E Como el conductor MN se muee en el campo magnétco creado por el otro conductor, se nduce en el una.e.m.. Como el campo magnétco no es constante en todo el conductor MN, consderamos un elemento de longtud dr, en el que la.e.m. nducda será de = d l( ) = dr en la dreccón del producto ectoral de ; esto es, de N aca M, como se lustra en la gura. La.e.m. nducda en todo el conductor se obtene por ntegracón: a+ l I d µ r µ I a+ l E = dr= = = ln π r π a La derenca de potencal entre los extremos del conductor en momento concde con el alor de la.e.m. anterormente calculada, estando el extremo M a mayor potencal que el N. a I r